四川省射洪中学校2024-2025学年高二（强基班）上学期开学考试 数学试题

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1-8：DBACD BAB
9. ABC 10. AC 11. ABD
12. 20 13. 14.
15.【详解】（1）由图知：，，
.
（2）
.
16.【详解】（1）由图象可知：，解得：，，
又由于，可得：，所以，
由图象知，，又因为，
所以，．所以．
（2）由，，得，．
函数的单调递增区间是，．
（3）依题可得，因为，
则，所以，
即的值域为．
17.【详解】（1）解：由正弦定理得，
即，
利用余弦定理可知，
因为，所以；
（2）在中，，
所以，
即，
因为为角平分线，所以，所以，
由余弦定理，得，
则，因此．
18.【详解】（1）解：设这人的平均年龄为，
则（岁；
（2）由频率分布直方图可知各组的频率之比为，
第四组应抽取人，记为，，，甲，第五组抽取人，记为，乙，对应的样本空间为，，，甲），，乙），，，，甲），，乙），，，甲），乙），，（甲，乙），（甲，，（乙，，共15个样本点．
分设事件 “甲、乙两人至少一人被选上”，
则，甲），，乙），，甲），，乙），，甲），，乙），（甲，乙），（甲，，（乙，，共有9个样本点，
所以；
（3）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为；
则，
，
因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，
据此可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为10
19.【详解】（1）因为，，所以为等边三角形，
因为为的中点，所以．
取的中点，连接，，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以．
因为，，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为,，，平面，所以平面．
（2）①过点作，垂足为．如图所示，
由（1）知，平面．因为平面，所以．
，所以平面，
所以就是与平面所成角的平面角．
由（1）知，平面，平面，所以．
在中，，，，
因为为的中点，所以．
在中，，
在中，，
在中，，
所以由同角三角函数的基本关系得．
所以与平面所成角的正弦值为．
②取的中点为，连接，因为为线段的中点，
所以，
由（1）知，平面，所以平面，平面．
所以．
过点作，垂足为，连接，，，平面，
所以平面．平面，所以，
所以为二面角的平面角．
在中，，
由（1）知，为等边三角形，为线段的中点，
所以
由（1）知，平面，平面．所以，
在中，，由（2）知，，
即，解得．
因为平面，平面，所以．
在中，．
，
所以二面角的平面角的余弦值为．