重庆市南开中学校2024-2025学年高三上学期第二次质量检测（10月）数学试题

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命审单位:重庆南开中学
注意事项:
1.本试卷满分150分,考试时间120分钟。
2.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1.已知集合,则
2.函数的定义域为
A.B.
C.D.
3.已知,则
4.已知命题:角与角的终边关于直线对称,命题,则是的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.已知,若不等式对一切恒成立,则实数的取值范围是
A.B.
C.D.
6.人教A版《数学必修第二册》第102页指出,“以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆(circularcne).”若一个直角三角形的斜边长为,则按以上步骤所得到圆锥的体积的最大值为
7.如图,直线与函数的图象相交,为相邻的三个交点,且,若为的一个零点,则的解析式可以为
A.
B.
C.
D.
8.已知锐角满足,则的值为
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错得0分.
9.关于函数,以下说法正确的是
A.为奇函数B.为偶函数
C.在区间单调递增D.在区间单调递减
10.已知,则以下说法正确的是
A.B.
C.D.
11.已知直线是函数图象的一条对称轴,则下列结论正确的是
A.的最小值为
B.不可能是的零点
C.若在区间上有且仅有2个对称中心,则
D.若在区间上单调递减,则
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.一个扇形的周长为4,面积为1,则其圆心角的弧度数为___.
13.已知直线与曲线相切,则___
14.在中,.
(1)若,则面积的最大值为___;
(2)若点满足:,则的取值范围为___.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知中,角的对边分别为,且满足.
(1)求角;
(2)若,求的面积.
16.(15分)
在减肥界,碳水化合物一直是个备受争议的角色.俗话说,减肥八分靠吃,两分靠动.而在吃上,“少吃碳水”被奉为圭臬,米饭、馒头、面条……这些传统主食,早已成了减肥人士眼中的洪水猛兽.相对应地,在谈及身边肥胖情况越来越普遍时,主食也就理所当然被归成了“罪魁祸首”.世界卫生组织的标准中,BMI值大于等于的成人属于肥胖人群.某健身机构为研究碳水化合物与肥胖是否有关联,在该机构的健身学员中随机抽取200名学生调查,列表如下:
(1)完善列联表,根据概率值的独立性检验,分析不控制碳水摄入是否会增加变肥胖的风险;
(2)以样本频率估计概率,从该健身机构肥胖的学员中随机抽取5名学生,用表示这5名学生中恰有名不控制碳水摄入的概率,求取最大值时的值.
附:参考公式:,其中.
临界值表:
17.(15分)
已知函数,其图象中两条相邻的对称轴之间的距离为.
(1)求函数的解析式,并求出它的单调递减区间;
(2)将函数的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,当时,求方程的所有根之和.
18.(17分)
已知双曲线的实轴长为4,渐近线方程为.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)双曲线的左、右顶点分别为,过点作与轴不重合的直线与交于两点,直线与交于点,直线与交于点.
()设直线的斜率为,直线的斜率为,若,求的值;
(ii)求的面积的取值范围.
19.(17分)
若函数对其定义域内任意满足:当时,有为同一常数,则称函数具有性质.
(1)请写出一个定义域为且具有性质的函数;
(2)已知,函数,当时,证明:;
(3)设函数,
(i)判断函数是否具有性质;(ii)证明:.肥胖
碳水
合计
不控制碳水摄入
控制碳水摄入
肥胖
40
60
不肥胖
合计
135
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828