云南省红河州开远市第一中学校2024-2025学年高二上学期10月检测数学试题

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13．64 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。
15.（本小题13分）已知的各项均为正数的等比数列，，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【解析】（1）设等比数列的公比为，
由，，得，
即，解得（舍或．
；
（2），
，，
数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
则数列的前项和．
16．（本小题15分）
（1）；（2）2.
【详解】解：（1）由，得，
得，得，
由正弦定理得，
因为，所以，所以，因为，所以．
（2）若的面积是，
则，解得，所以．
由余弦定理，可得，
所以．
17．（本小题15分）【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）因为，分别是，的中点，所以.
如图，取的中点，连接，，则，.
因为四边形为正方形，所以，.
所以，，
所以四边形是平行四边形，所以.
因为平面，平面，
所以平面
（2）连接.因为，所以.
又为的中点，所以，且由勾股定理可得.
以的中点为坐标原点，在平面内过点作垂直于的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，
则令，则，，所以.
设平面的法向量为，
则令，
则，，所以.
所以.
由图可知二面角的平面角是锐角，所以二面角的余弦值为.
18.（本小题17分）
【详解】(1)当0≤x≤200时，y＝0.5x；
当200当x>400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140.
所以y与x之间的函数解析式为
y＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0.5x，0≤x≤200，,0.8x－60，200400.))
(2)由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即用电量不超过400千瓦时的占80%，
结合频率分布直方图可知
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0.001×100＋2×100b＋0.003×100＝0.8，,100a＋0.000 5×100＝0.2，))
解得a＝0.0015，b＝0.0020.
(3)设75%分位数为m，
因为用电量低于300千瓦时的所占比例为(0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%，
用电量不超过400千瓦时的占80%，
所以75%分位数为m在[300，400)内，
所以0.6＋(m－300)×0.002＝0.75，
解得m＝375千瓦时，
即用电量的75%分位数为375千瓦时．
19.（本小题17分）
【解析】（Ⅰ）设的坐标为．依题意，，，，解得，，于是．
所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为．
（Ⅱ）设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故．将与联立，消去，
整理得，解得，或．
由点异于点，可得点．
由，可得直线的方程为，令，解得，故．所以．
又因为的面积为，故，
整理得，解得，所以．
所以，直线的方程为或．
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
A
D
D
C
C
A
序号
9
10
11
答案
AB
BCD
CD