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四川省成都市外国语学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）
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这是一份四川省成都市外国语学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷（Word版附解析），文件包含四川省成都市外国语学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题Word版含解析docx、四川省成都市外国语学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分第I卷和第II卷两部分；
2．本堂考试120分钟，满分150分；
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学号正确填写在答题卡上，并使用2B铅笔填涂；
4．考试结束后，将答题卡交回．
第I卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．
1. 现须完成下列2项抽样调查：①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查；②某生活小区共有540名居民，其中年龄不超过30岁的有180人，年龄在超过30岁不超过60岁的有270人，60岁以上的有90人，为了解居民对社区环境绿化方面的意见，拟抽取一个容量为30的样本.较为合理的抽样方法分别为（ ）
A. ①抽签法，②分层随机抽样B. ①随机数法，②分层随机抽样
C. ①随机数法，②抽签法D. ①抽签法，②随机数法
【答案】A
【解析】
【分析】根据抽签法以及分层抽样的使用条件，可得答案.
【详解】对于①，由于抽取的总体个数与样本个数都不大，则应用抽签法；
对于②，抽取的总体个数较多，且总体有明确的分层，抽取的样本个数较大，则采用分层随机抽样.
故选：A
2. 已知向量，，且，那么实数等于（ ）
A. 3B. -3C. 9D. -9
【答案】D
【解析】
【分析】运用空间向量共线列式计算即可.
【详解】∵，，且，
∴，
解得，，
∴．
故选：D．
3. 若是两条不相同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据线面关系，对A、B、D,都可能推出l，而C，由面面平行的性质定理直接判断即可.
【详解】对A、B、D,都可能推出l,所以不正确；
对C，根据两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，所以正确.
故选C.
【点睛】本题考查了线面、面面平行的判定定理与性质定理的应用，考查了空间线面的位置关系，属于基础题．
4. 如图，空间四边形中，，点为中点，点在侧棱上，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由图形中线段关系，应用向量加减、数乘的几何意义用表示出.
【详解】.
故选：C
5. 为了养成良好的运动习惯，某人记录了自己一周内每天的运动时长（单位：分钟），分别为53，57，45，61，79，49，x，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则（ ）
A. 58或64B. 59或64C. 58D. 59
【答案】A
【解析】
【分析】先对数据从小到大排序，分，，三种情况，舍去不合要求的情况，列出方程，求出答案,
【详解】将已知的6个数从小到大排序为45，49，53，57，61，79．
若，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57，他们的差为4，不符合条件；
若，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61，它们的差为18，不符合条件；
若，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x和61（或61和x），则，
解得或
故选：A
6. 已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，正数满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间向量共面定理的推论可得，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】由题意知，四点共面，又，
则，
所以，即，
因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
7. 现有一段底面周长为厘米和高为12厘米的圆柱形水管，是圆柱的母线，两只蜗牛分别在水管内壁爬行，一只从点沿上底部圆弧顺时针方向爬行厘米后再向下爬行3厘米到达点，另一只从沿下底部圆弧逆时针方向爬行厘米后再向上爬行3厘米爬行到达点，则此时线段长（单位：厘米）为（ ）
A. B. C. 6D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件建系结合弧长得出角及点的坐标，最后应用空间向量两点间距离计算.
【详解】应用圆柱的特征取上下底面的圆心为轴，再过作的垂线为轴，如图建系，
过向圆作垂线垂足为，，设圆半径为，所以，
所以圆弧的长度为：，，
则，
同理，过向圆O作垂线垂足为，则，
所以.
故选：A.
8. 如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CD所成角的余弦值的最大值．
【详解】取BD中点O，连接AO，CO，，
则，且，于是是二面角的平面角，
显然平面，在平面内过点作，则，
直线两两垂直，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
，设二面角的大小为，，
因此，，，
于是，
显然，则当时，，
所以的最大值为.
故选：B
【点睛】关键点点睛：建立空间直角坐标系，求出动点的坐标，利用向量建立函数关系是解题的关键.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 两条不重合直线的方向向量分别是，，则
B. 直线l的方向向量，平面的法向是，则
C. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则
D. 直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面所成角的大小为
【答案】AC
【解析】
【分析】由可判断A；由可判断B；由可判断C；根据线面角的向量公式直接计算可判断D.
【详解】A选项：因为，且不重合，所以，A正确；
B选项：因为，所以
所以或，B错误；
C选项：因为，所以，C正确；
D选项：记直线l与平面所成角为，则，
因为，所以，D错误.
故选：AC
10. 小刘一周的总开支分布如图①所示，该周的食品开支如图②所示，则以下说法正确的是（ ）
A. 娱乐开支比通信开支多5元
B. 日常开支比食品中的肉类开支多100元
C. 娱乐开支金额为100元
D. 肉类开支占储蓄开支的
【答案】BCD
【解析】
【分析】先由图2计算出食品的开支，再由图1计算出总开支，从而对选项逐一分析即可得解.
【详解】对于C，由图2可知食品的开支为元，
由图1可知食品开支为，所以总开支为元，
则娱乐开支为元，故C正确；
对于A，通信开支为元，娱乐开支比通信开支多元，故A错误；
对于B，日常开支为元，肉类为元，
日常开支比肉类开支多元，故B正确；
对于D，储蓄开支为元，肉类开支占储蓄开支的，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知四面体的所有棱长都为分别是的中点，是该四面体内切球球面上的两点，是该四面体表面上的动点，则下列选项中正确的是（ ）
A. 的长为
B. 到平面的距离为
C. 当线段最长时，的最大值为
D. 直线与直线所成角的余弦值为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意，将四面体补形并建立空间直角坐标系，利用空间中两点距离公式判断A，利用空间向量法的点面距离公式判断B，利用空间向量数量积的运算律，结合内切球半径的求法判断C，利用空间向量法求异面直线所成角判断D，从而得解.
【详解】依题意，将四面体补形为正方体，并建立空间直角坐标系，如图，
因为四面体的所有棱长都为，则正方体的棱长为，
则，
又分别是的中点，则，
对于A，，故A错误；
对于B，，，
设平面法向量为，则，
令，则，故，
所以到平面的距离为，故B正确；
对于C，设是四面体内切球的球心，其半径为，则，
当线段最长时，为内切球的直径，是的中点，则，
所以，
因为该四面体的体积为，
表面积为，
所以，解得，则，
因为是该四面体表面上的动点，当为正四体的顶点时，最大，
其最大值为，
所以的最大值为，故C正确；
对于D，，
所以，故D错误.
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，将四面体补形为正方体，并建立空间直角坐标系，从而得解.
第II卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某校高一年级共有学生200人，其中1班60人，2班50人，3班50人，4班40人．该校要了解高一学生对食堂菜品的看法，准备从高一年级学生中随机抽取40人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，则应从高一2班抽取的人数是______．
【答案】10
【解析】
【分析】根据分层抽样原则直接计算即可
【详解】由题意，从高一年级200人中抽取40人访谈，按照年级分层，则高一2班应该抽人.
故答案为：10.
13. 已知，，若三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为___________.
【答案】5
【解析】
【分析】由空间向量基本定理求解，
【详解】若三向量不能构成空间向量的一组基底，则，
得，解得
故答案为：5
14. 在正方体中，点是上的动点，是平面内的一点，且满足，则平面与平面所成角余弦值的最大值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用线面垂直的判定定理证得平面，可知点的轨迹为线段，由二面角的定义得到平面与平面所成角为，进面求出的最小值和最大值，从而得解.
【详解】连接、、、，设，连接、，如下图所示：
因为且，则四边形为平行四边形，
因为四边形为正方形，则，
因为平面，平面，则，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为是平面内的一点，且满足，所以点的轨迹为线段，
设正方体的棱长为，则，
因为四边形为正方形，，则为的中点，且，
由勾股定理可得，则，
所以为平面与平面所成角（或补角），
由图可知，由图可知，当点与点重合时，最大，
，，
因为平面，平面，则，同理，
此时；
当与点重合时，最小，易得，
所以
，
又因为函数在上单调递减，
所以，则，
而平面与平面所成角为锐角，不妨设为，则，
所以平面与平面所成角的余弦值的最大值为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法：
（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：
①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；
（2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，，
（1）求的值；
（2）求；
（3）求的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据空间向量的减法运算法则和数量积运算公式直接计算；
（2）根据空间向量夹角公式直接计算即可；
（3）根据条件写出模的表达式，再直接求最小值即可.
【小问1详解】
因为，，
所以，
又因为，
所以.
【小问2详解】
因为，，
所以.
【小问3详解】
因为，，
所以，
所以，
当时，取得最小值，则最小值为.
16. 宿州市政府委托市电视台进行“创建文明城市”知识问答活动，市电视台随机对该市岁的人群抽取了n人，绘制出如图所示的频率分布直方图，回答问题的统计结果如表所示．
（1）分别求出的值；
（2）从第二、三、四、五组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取7人，则从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应各抽取多少人
【答案】（1），，，；（2）从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应分别抽取：2人，3人，1人，1人．
【解析】
【分析】（1）先根据直方图和第一组的频率计算出总人数为1000人，再根据公式依次计算的值．
（2）根据分层抽样规律可求从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应分别抽取的人数．
【详解】解：（1）依题和图表：由得：，
由得：，
由得：，
由得：，
由得：，
故，，，．
（2）由以上知：第二、三、四、五组回答正确的人数分别为：180人，270人，90人，90人用分层抽样抽取7人，
则：从第二组回答正确的人中应该抽取：人，
从第三组回答正确的人中应该抽取：人，
从第四组回答正确的人中应该抽取：人，
从第五组回答正确的人中应该抽取：人，
故从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应分别抽取：2人，3人，1人，1人．
17. 如图，在四棱锥中，是边长为2的正方形，平面平面，直线与平面所成的角为，.
（1）若，分别为，的中点，求证：直线平面；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）由平面平面得到平面，从而，根据，得到平面，得到，结合，得到平面；
（2）为原点，建立空间坐标系，得到平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，得到法向量之间的夹角余弦，从而得到二面角的正弦值.
【详解】（1）证明：∵平面平面，平面平面，
，平面，
∴平面，
则为直线与平面所成的角，为，
∴，
而平面，
∴
又，为的中点，
∴，
平面，
则平面，
而平面
∴，
又，分别为，的中点，
则，
正方形中，，∴，
又平面，，
∴直线平面；
（2）解：以坐标原点，分别以，所在直线为，轴，
过作的平行线为轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，即，
取，得；
设平面的法向量为，
则，即，
取，得.
∴.
∴二面角的正弦值为.
【点睛】本题考查面面垂直的性质，线面垂直的性质和判定，利用空间向量求二面角的正弦值，属于中档题.
18. 随着时代不断地进步，人们的生活条件也越来越好，越来越多的人注重自己的身材，其中体脂率是一个很重要的衡量标准根据一般的成人体准，女性体脂率的正常范围是至，男性的正常范围是至.这一范围适用于大多数成年人，可以帮助判断个体是否存在肥胖的风险.某市有关部门对全市万名成年女性的体脂率进行一次抽样调查统计，抽取了名成年女性的体脂率作为样本绘制频率分布直方图如图.
（1）求a；
（2）如果女性体脂率为至属“偏胖”，体脂率超过属“过胖”，那么全市女性“偏胖”，“过胖”各约有多少人？
（3）小王说：“我的体脂率是调查所得数据的中位数.”小张说：“我的体脂率是调查所得数据的平均数.”那么谁的体脂率更低？
【答案】（1）；
（2）全市女性“偏胖”的人数约为，“过胖”的人数约为；
（3）小张的体脂率更低.
【解析】
【分析】（1）由所有矩形条的面积和为，列方程可求；
（2）求出样本中女性“偏胖”，“过胖”的频率，由此估计全市女性“偏胖”，“过胖”的人数；
（3）求样本的中位数，平均数可得小王和小张的体脂率，由此可得结论.
【小问1详解】
由频率直方图可得，，
所以.
【小问2详解】
由频率分布直方图可得样本中女性“偏胖”频率为，
样本中女性“过胖”的频率为，
所以全市女性“偏胖”的人数约为，
全市女性 “过胖”的人数约为，
【小问3详解】
调查所得数据的平均数为，
设调查所得数据的中位数为，
因为，，
所以，
所以，
所以，
所以调查所得数据的中位数约为，
所以小王的体脂率约为，小张的体脂率为，
所以小张的体脂率更低.
19. 如图，四面体中，．
（1）求证：平面平面；
（2）若，
①若直线与平面所成角为30°，求的值；
②若平面为垂足，直线与平面的交点为．当三棱锥体积最大时，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）①；②
【解析】
【分析】（1）由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证明即可；
（2）①因为两两相互垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设，求出直线的方向向量和平面的法向量，由线面角公式求解即可得出答案；②由题意可知，在上，由此可得所以，表示出三棱锥体积，由二次函数的性质求出三棱锥体积的最大值，即可知分别为，的中点，再由空间共面定理可得出的值.
【小问1详解】
取的中点，连接，
因为，则，
所以，所以，所以，
又因为所以，
则，又因为，
所以，又因为，
平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
【小问2详解】
①因为两两相互垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，
设，因为，
所以由可得：，
所以，
，
设平面的法向量为n=x,y,z，则，
取，可得，所以，
因为直线与平面所成角为30°，
所以
则，化简可得：，
解得：或（舍去）.
②由（1）知，平面，又平面
所以，在上，
因为，所以，
，所以，
即，所以，
所以，
三棱锥体积为：
，
因为，当时，三棱锥体积最大为，
此时分别为，的中点，所以，
设，设，
因为，
所以，所以，
因为在平面上，所以设，
所以，
所以，解得：，
所以，所以
【点睛】关键点睛：本题第二问②的关键点在于且在上，由此可得所以，表示出三棱锥体积，由二次函数的性质求出三棱锥体积的最大值，即可知分别为，的中点，再由空间共面定理可得出的值.组号
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的频率
第一组
[15，25)
50
0.5
第二组
[25，35)
180
a
第三组
[35，45)
0.9
第四组
[45，55)
90
b
第五组
[55，65)
y
0.6
注意事项：
1．本试卷分第I卷和第II卷两部分；
2．本堂考试120分钟，满分150分；
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学号正确填写在答题卡上，并使用2B铅笔填涂；
4．考试结束后，将答题卡交回．
第I卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．
1. 现须完成下列2项抽样调查：①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查；②某生活小区共有540名居民，其中年龄不超过30岁的有180人，年龄在超过30岁不超过60岁的有270人，60岁以上的有90人，为了解居民对社区环境绿化方面的意见，拟抽取一个容量为30的样本.较为合理的抽样方法分别为（ ）
A. ①抽签法，②分层随机抽样B. ①随机数法，②分层随机抽样
C. ①随机数法，②抽签法D. ①抽签法，②随机数法
【答案】A
【解析】
【分析】根据抽签法以及分层抽样的使用条件，可得答案.
【详解】对于①，由于抽取的总体个数与样本个数都不大，则应用抽签法；
对于②，抽取的总体个数较多，且总体有明确的分层，抽取的样本个数较大，则采用分层随机抽样.
故选：A
2. 已知向量，，且，那么实数等于（ ）
A. 3B. -3C. 9D. -9
【答案】D
【解析】
【分析】运用空间向量共线列式计算即可.
【详解】∵，，且，
∴，
解得，，
∴．
故选：D．
3. 若是两条不相同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据线面关系，对A、B、D,都可能推出l，而C，由面面平行的性质定理直接判断即可.
【详解】对A、B、D,都可能推出l,所以不正确；
对C，根据两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，所以正确.
故选C.
【点睛】本题考查了线面、面面平行的判定定理与性质定理的应用，考查了空间线面的位置关系，属于基础题．
4. 如图，空间四边形中，，点为中点，点在侧棱上，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由图形中线段关系，应用向量加减、数乘的几何意义用表示出.
【详解】.
故选：C
5. 为了养成良好的运动习惯，某人记录了自己一周内每天的运动时长（单位：分钟），分别为53，57，45，61，79，49，x，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则（ ）
A. 58或64B. 59或64C. 58D. 59
【答案】A
【解析】
【分析】先对数据从小到大排序，分，，三种情况，舍去不合要求的情况，列出方程，求出答案,
【详解】将已知的6个数从小到大排序为45，49，53，57，61，79．
若，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57，他们的差为4，不符合条件；
若，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61，它们的差为18，不符合条件；
若，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x和61（或61和x），则，
解得或
故选：A
6. 已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，正数满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间向量共面定理的推论可得，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】由题意知，四点共面，又，
则，
所以，即，
因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
7. 现有一段底面周长为厘米和高为12厘米的圆柱形水管，是圆柱的母线，两只蜗牛分别在水管内壁爬行，一只从点沿上底部圆弧顺时针方向爬行厘米后再向下爬行3厘米到达点，另一只从沿下底部圆弧逆时针方向爬行厘米后再向上爬行3厘米爬行到达点，则此时线段长（单位：厘米）为（ ）
A. B. C. 6D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件建系结合弧长得出角及点的坐标，最后应用空间向量两点间距离计算.
【详解】应用圆柱的特征取上下底面的圆心为轴，再过作的垂线为轴，如图建系，
过向圆作垂线垂足为，，设圆半径为，所以，
所以圆弧的长度为：，，
则，
同理，过向圆O作垂线垂足为，则，
所以.
故选：A.
8. 如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CD所成角的余弦值的最大值．
【详解】取BD中点O，连接AO，CO，，
则，且，于是是二面角的平面角，
显然平面，在平面内过点作，则，
直线两两垂直，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
，设二面角的大小为，，
因此，，，
于是，
显然，则当时，，
所以的最大值为.
故选：B
【点睛】关键点点睛：建立空间直角坐标系，求出动点的坐标，利用向量建立函数关系是解题的关键.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 两条不重合直线的方向向量分别是，，则
B. 直线l的方向向量，平面的法向是，则
C. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则
D. 直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面所成角的大小为
【答案】AC
【解析】
【分析】由可判断A；由可判断B；由可判断C；根据线面角的向量公式直接计算可判断D.
【详解】A选项：因为，且不重合，所以，A正确；
B选项：因为，所以
所以或，B错误；
C选项：因为，所以，C正确；
D选项：记直线l与平面所成角为，则，
因为，所以，D错误.
故选：AC
10. 小刘一周的总开支分布如图①所示，该周的食品开支如图②所示，则以下说法正确的是（ ）
A. 娱乐开支比通信开支多5元
B. 日常开支比食品中的肉类开支多100元
C. 娱乐开支金额为100元
D. 肉类开支占储蓄开支的
【答案】BCD
【解析】
【分析】先由图2计算出食品的开支，再由图1计算出总开支，从而对选项逐一分析即可得解.
【详解】对于C，由图2可知食品的开支为元，
由图1可知食品开支为，所以总开支为元，
则娱乐开支为元，故C正确；
对于A，通信开支为元，娱乐开支比通信开支多元，故A错误；
对于B，日常开支为元，肉类为元，
日常开支比肉类开支多元，故B正确；
对于D，储蓄开支为元，肉类开支占储蓄开支的，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知四面体的所有棱长都为分别是的中点，是该四面体内切球球面上的两点，是该四面体表面上的动点，则下列选项中正确的是（ ）
A. 的长为
B. 到平面的距离为
C. 当线段最长时，的最大值为
D. 直线与直线所成角的余弦值为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意，将四面体补形并建立空间直角坐标系，利用空间中两点距离公式判断A，利用空间向量法的点面距离公式判断B，利用空间向量数量积的运算律，结合内切球半径的求法判断C，利用空间向量法求异面直线所成角判断D，从而得解.
【详解】依题意，将四面体补形为正方体，并建立空间直角坐标系，如图，
因为四面体的所有棱长都为，则正方体的棱长为，
则，
又分别是的中点，则，
对于A，，故A错误；
对于B，，，
设平面法向量为，则，
令，则，故，
所以到平面的距离为，故B正确；
对于C，设是四面体内切球的球心，其半径为，则，
当线段最长时，为内切球的直径，是的中点，则，
所以，
因为该四面体的体积为，
表面积为，
所以，解得，则，
因为是该四面体表面上的动点，当为正四体的顶点时，最大，
其最大值为，
所以的最大值为，故C正确；
对于D，，
所以，故D错误.
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，将四面体补形为正方体，并建立空间直角坐标系，从而得解.
第II卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某校高一年级共有学生200人，其中1班60人，2班50人，3班50人，4班40人．该校要了解高一学生对食堂菜品的看法，准备从高一年级学生中随机抽取40人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，则应从高一2班抽取的人数是______．
【答案】10
【解析】
【分析】根据分层抽样原则直接计算即可
【详解】由题意，从高一年级200人中抽取40人访谈，按照年级分层，则高一2班应该抽人.
故答案为：10.
13. 已知，，若三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为___________.
【答案】5
【解析】
【分析】由空间向量基本定理求解，
【详解】若三向量不能构成空间向量的一组基底，则，
得，解得
故答案为：5
14. 在正方体中，点是上的动点，是平面内的一点，且满足，则平面与平面所成角余弦值的最大值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用线面垂直的判定定理证得平面，可知点的轨迹为线段，由二面角的定义得到平面与平面所成角为，进面求出的最小值和最大值，从而得解.
【详解】连接、、、，设，连接、，如下图所示：
因为且，则四边形为平行四边形，
因为四边形为正方形，则，
因为平面，平面，则，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为是平面内的一点，且满足，所以点的轨迹为线段，
设正方体的棱长为，则，
因为四边形为正方形，，则为的中点，且，
由勾股定理可得，则，
所以为平面与平面所成角（或补角），
由图可知，由图可知，当点与点重合时，最大，
，，
因为平面，平面，则，同理，
此时；
当与点重合时，最小，易得，
所以
，
又因为函数在上单调递减，
所以，则，
而平面与平面所成角为锐角，不妨设为，则，
所以平面与平面所成角的余弦值的最大值为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法：
（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：
①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；
（2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，，
（1）求的值；
（2）求；
（3）求的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据空间向量的减法运算法则和数量积运算公式直接计算；
（2）根据空间向量夹角公式直接计算即可；
（3）根据条件写出模的表达式，再直接求最小值即可.
【小问1详解】
因为，，
所以，
又因为，
所以.
【小问2详解】
因为，，
所以.
【小问3详解】
因为，，
所以，
所以，
当时，取得最小值，则最小值为.
16. 宿州市政府委托市电视台进行“创建文明城市”知识问答活动，市电视台随机对该市岁的人群抽取了n人，绘制出如图所示的频率分布直方图，回答问题的统计结果如表所示．
（1）分别求出的值；
（2）从第二、三、四、五组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取7人，则从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应各抽取多少人
【答案】（1），，，；（2）从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应分别抽取：2人，3人，1人，1人．
【解析】
【分析】（1）先根据直方图和第一组的频率计算出总人数为1000人，再根据公式依次计算的值．
（2）根据分层抽样规律可求从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应分别抽取的人数．
【详解】解：（1）依题和图表：由得：，
由得：，
由得：，
由得：，
由得：，
故，，，．
（2）由以上知：第二、三、四、五组回答正确的人数分别为：180人，270人，90人，90人用分层抽样抽取7人，
则：从第二组回答正确的人中应该抽取：人，
从第三组回答正确的人中应该抽取：人，
从第四组回答正确的人中应该抽取：人，
从第五组回答正确的人中应该抽取：人，
故从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应分别抽取：2人，3人，1人，1人．
17. 如图，在四棱锥中，是边长为2的正方形，平面平面，直线与平面所成的角为，.
（1）若，分别为，的中点，求证：直线平面；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）由平面平面得到平面，从而，根据，得到平面，得到，结合，得到平面；
（2）为原点，建立空间坐标系，得到平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，得到法向量之间的夹角余弦，从而得到二面角的正弦值.
【详解】（1）证明：∵平面平面，平面平面，
，平面，
∴平面，
则为直线与平面所成的角，为，
∴，
而平面，
∴
又，为的中点，
∴，
平面，
则平面，
而平面
∴，
又，分别为，的中点，
则，
正方形中，，∴，
又平面，，
∴直线平面；
（2）解：以坐标原点，分别以，所在直线为，轴，
过作的平行线为轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，即，
取，得；
设平面的法向量为，
则，即，
取，得.
∴.
∴二面角的正弦值为.
【点睛】本题考查面面垂直的性质，线面垂直的性质和判定，利用空间向量求二面角的正弦值，属于中档题.
18. 随着时代不断地进步，人们的生活条件也越来越好，越来越多的人注重自己的身材，其中体脂率是一个很重要的衡量标准根据一般的成人体准，女性体脂率的正常范围是至，男性的正常范围是至.这一范围适用于大多数成年人，可以帮助判断个体是否存在肥胖的风险.某市有关部门对全市万名成年女性的体脂率进行一次抽样调查统计，抽取了名成年女性的体脂率作为样本绘制频率分布直方图如图.
（1）求a；
（2）如果女性体脂率为至属“偏胖”，体脂率超过属“过胖”，那么全市女性“偏胖”，“过胖”各约有多少人？
（3）小王说：“我的体脂率是调查所得数据的中位数.”小张说：“我的体脂率是调查所得数据的平均数.”那么谁的体脂率更低？
【答案】（1）；
（2）全市女性“偏胖”的人数约为，“过胖”的人数约为；
（3）小张的体脂率更低.
【解析】
【分析】（1）由所有矩形条的面积和为，列方程可求；
（2）求出样本中女性“偏胖”，“过胖”的频率，由此估计全市女性“偏胖”，“过胖”的人数；
（3）求样本的中位数，平均数可得小王和小张的体脂率，由此可得结论.
【小问1详解】
由频率直方图可得，，
所以.
【小问2详解】
由频率分布直方图可得样本中女性“偏胖”频率为，
样本中女性“过胖”的频率为，
所以全市女性“偏胖”的人数约为，
全市女性 “过胖”的人数约为，
【小问3详解】
调查所得数据的平均数为，
设调查所得数据的中位数为，
因为，，
所以，
所以，
所以，
所以调查所得数据的中位数约为，
所以小王的体脂率约为，小张的体脂率为，
所以小张的体脂率更低.
19. 如图，四面体中，．
（1）求证：平面平面；
（2）若，
①若直线与平面所成角为30°，求的值；
②若平面为垂足，直线与平面的交点为．当三棱锥体积最大时，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）①；②
【解析】
【分析】（1）由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证明即可；
（2）①因为两两相互垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设，求出直线的方向向量和平面的法向量，由线面角公式求解即可得出答案；②由题意可知，在上，由此可得所以，表示出三棱锥体积，由二次函数的性质求出三棱锥体积的最大值，即可知分别为，的中点，再由空间共面定理可得出的值.
【小问1详解】
取的中点，连接，
因为，则，
所以，所以，所以，
又因为所以，
则，又因为，
所以，又因为，
平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
【小问2详解】
①因为两两相互垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，
设，因为，
所以由可得：，
所以，
，
设平面的法向量为n=x,y,z，则，
取，可得，所以，
因为直线与平面所成角为30°，
所以
则，化简可得：，
解得：或（舍去）.
②由（1）知，平面，又平面
所以，在上，
因为，所以，
，所以，
即，所以，
所以，
三棱锥体积为：
，
因为，当时，三棱锥体积最大为，
此时分别为，的中点，所以，
设，设，
因为，
所以，所以，
因为在平面上，所以设，
所以，
所以，解得：，
所以，所以
【点睛】关键点睛：本题第二问②的关键点在于且在上，由此可得所以，表示出三棱锥体积，由二次函数的性质求出三棱锥体积的最大值，即可知分别为，的中点，再由空间共面定理可得出的值.组号
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的频率
第一组
[15，25)
50
0.5
第二组
[25，35)
180
a
第三组
[35，45)
0.9
第四组
[45，55)
90
b
第五组
[55，65)
y
0.6
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