重庆市第八中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷（Word版附解析）

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1. 已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6}，则集合A∩(∁UB)＝（ ）
A. {2，5}B. {3，6}C. {2，5，6}D. {2，3，5，6}
【答案】A
【解析】
分析】先求出∁UB，再求A∩(∁UB)即可.
【详解】解：由已知∁UB＝{2，5}，
所以A∩(∁UB) ＝{2，5}.
故选：A.
【点睛】本题考查集合的交集和补集的运算，是基础题.
2. 设，集合是偶数集，集合是奇数集.若命题，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题求解.
【详解】因为命题是全称量词命题，
所以其否定是.
故选：D.
【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
3. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同一函数的定义，结合定义域与对应法则，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；
对于B中，函数的定义域为，
函数的定义域为或，
两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；
对于C中，函数的定义域为，函数的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；
对于D中，函数的定义域为，
函数的定义域为，定义域和对应关系都相同，
以两个函数是同一函数.
故选：D.
4. 函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用换元法转化为二次函数求解值域即可．
【详解】根据题意知函数定义域为，令，
所以，
当时，，所以函数的值域为.
故选：C.
5. 已知函数为奇函数，则等于（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求函数的定义域，根据定义域化简函数，然后根据函数为奇函数，利用奇函数的定义求解.
【详解】已知函数，
所以，解得，所以函数的定义域为，
所以，
又因为为奇函数，所以，即，
即，解得，则，
所以.
故选：A.
【点睛】本题主要考查奇偶性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
6. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数单调性即可求出实数a的取值范围.
【详解】由题意，，
在中，函数单调递增，
∴，解得：，
故选：C.
7. 心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇偶性和最值排除错误答案即可.
【详解】A选项：，故A错误；
B选项：记，则，故为奇函数，
不符合题意，故B错误；
C选项：记，则，
故为偶函数，
当时，，
此函数在上单调递增，在上单调递减，
且，故C正确；
D选项：记，则，
故既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D错误.
故选：C.
8. 已知且，则的最小值为（ ）
A. 10B. 9C. 8D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】令，结合可得，由此即得，展开后利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意得，，
令，则，
由得，
故
，
当且仅当，结合，即时取等号，
也即，即时，等号成立，
故的最小值为9，
故选：B
二、选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知定义域为的函数，若存在正数，对任意，都有成立，则称函数是定义域上的有界函数.下列选项中是有界函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】分别求四个函数的值域，根据题干给出的“有界函数”的概念即可判断．
【详解】对于A，因为，所以，所以，故A符合题意；
对于B，因为，所以，，故B符合题意；
对于C，因为，显然函数无最大值，故C不符合题意；
对于D，因为，函数无最小值，故D不符合题意.
故选:AB.
10. 定义域为的奇函数，满足，下列叙述正确的是（ ）
A. 存在实数，使关于的方程有3个不同的解
B. 当时，恒有
C. 若当时，的最小值为1，则
D. 若关于的方程和的所有实数根之和为0，则或
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据奇函数，可得在对称区间上的函数解析式，然后结合函数的图象分析各选项的正误，即可确定答案.
【详解】对于A，因为是奇函数，所以f−x=−fx，
当，则，所以，所以，
当，则，
所以，所以，
如下图，画出的大致图象，结合图象，
当或时，函数与函数的图象有3个交点.
当，函数与函数的图象有2个交点，
当，或，函数与函数的图象有1个交点，
故A正确；
对于B，如图，当时，函数不是减函数，故B错误；
对于C，由解得，由解得，
如图所示，直线与函数图象相交于，
故当的最小值为1时，，故C正确；
对于D，若时，由解得，
由解得，，
所以，
若使与所有实根之和为0，
则当时，由，得，
则当时，由抛物线对称性可得与的
两个交点横坐标之和为，
所以与的交点的横坐标为，
此时，
综上所述，或，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键点在于利用奇偶性得到的解析式，并画出图象，而方程有解的问题就转化成两个函数的交点问题，通过数形结合逐个判断.
11. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，下列叙述正确的是（ ）
A. B. 关于对称C. 关于对称D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用奇偶性得到恒等式，再利用赋值思想即可判断选项.
【详解】因为为奇函数，所以则可推出关于对称，即故A正确，B错误；
因为为偶函数，所以则关于对称，故C正确；由令得，，
由令得，，
所以，所以，
又因为，则，所以，故D正确，
故选：ACD.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的单调递减区间为 __．
【答案】
【解析】
【分析】由根式内部的代数式大于等于0，求得原函数的定义域，再求出内层函数的减区间，即可得到原函数的减区间．
【详解】由，得或，
令，该函数在上单调递减，而y＝是定义域内的增函数，
∴函数的单调递减区间为．
故答案为：．
13. 已知不等式对于恒成立，则实数的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得不等式对于恒成立，令可得不等式对于恒成立，参变分离可得对于恒成立，再根据二次函数的性质求出的最大值，即可求出参数的取值范围.
【详解】不等式对于恒成立，
即不等式对于恒成立，
令，则，所以不等式对于恒成立，
所以对于恒成立，
令，则，函数在上单调递减，
所以，即，
所以，即实数的取值范围是.
故答案为：
14. 对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当的定义域是时，的值域是，则称是该函数的“倍值区间”.若函数存在“倍值区间”，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数新定义及的单调性质，存在，使得，应用换元法，问题化为二次函数在上有两个零点，进而求参数范围.
【详解】由函数单调递增，且函数存在“倍值区间”，
存在，使得，
设,则，且，所以，
因此二次函数在上有两个零点，且，
则，解得，
故答案为：.
四、解答题：共77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知
（1）求M，N
（2）求
【答案】（1）或，
（2），
【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式求出，解绝对值不等式求出；
（2）由并集，交集，补集的运算求出即可.
【小问1详解】
因为，解得或，
所以或
因为，解得，
所以，
【小问2详解】
由（1）可得，
因为，，
所以.
16. 不等式：的解集为.
（1）求集合；
（2）若不等式的解集为，且，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）分式不等式转化为整式不等式求得解集
（2）分类讨论，当时，不符合题意，当时，求得
利用得到；
【详解】（1）
，，，
且
，
（2）∵，∴
当时，，不符合题意，舍去；
当时，不等式可化为：，注意到，
∴，∴，∴
当时，不等式可化为：，注意到无论与大小关系，均包含趋于部分，一定不符合，舍去.
综上可知：
【点睛】解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．
17. 已知
（1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
（2）当，求的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）由二次函数性质：区间单调性及对称轴，即可求参数的取值范围；
（2）应用分类讨论的方法，讨论对称轴与区间的位置，求最值即可.
【详解】（1）由题意，在单调递减，且对称轴为，
∴，即，故.
（2）由题意得：开口向上且对称轴为，
①时，，
②时，，
③时，，
.
18. 已知定义在区间上的函数满足，且当时，.若.
（1）判断并证明的单调性;
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）在上为增函数，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意得，然后根据单调性的定义证明；
（2）利用单调性解不等式．
【小问1详解】
设，则
又当时，
在上为增函数.
【小问2详解】
在中，令，则.
，不等式，可转化为，即，
由函数在上为增函数，可得.
，原不等式解集为.
19. 对于在某个区间上有意义的函数，如果存在一次函数使得对于任意的，有恒成立，则称函数是函数在区间上的弱渐近函数．
（1）判断是否是函数在区间上弱渐近函数，并说明理由．
（2）若函数是函数在区间上的弱渐近函数，求实数m的取值范围；
（3）是否存在函数，使得是函数在区间上的弱渐近函数？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）首先代入与并化简整理成，然后判断函数的单调性，最后利用函数单调性即可得，进而得证结论；
（2）首先代入与，根据题意可得在区间上恒成立，解绝对值不等式得在区间上恒成立，根据解恒成立问题可得参数的取值范围；
（3）利用反证法，然后求出满足恒成立条件的参数的范围，通过是无解的导出矛盾，进而验证结论.
【小问1详解】
因为为恒正函数且在区间上单调递增，
所以在区间上单调递减，故当时取得最大值，最大值为
故，得证．
【小问2详解】
因为函数是函数在区间上的弱渐近函数，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
整理得：区间上恒成立，
因为在上的最小值为，
得．
【小问3详解】
不存在.
假设存在，则有
即，对任意成立，
等价于，对任意成立．
等价于，对任意成立
令，令，得，
当时，取得最大值，最大值为；
令，令，得，
易知
可得，不存在．
所以，假设不成立，不存在函数是函数在区间上的弱渐近函数．