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重庆市第八中学2024-2025学年高一上学期数学测试（三）试卷（Word版附答案）
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这是一份重庆市第八中学2024-2025学年高一上学期数学测试（三）试卷（Word版附答案），共8页。试卷主要包含了 若函数f同时满足， 已知函数f=|x-a|+1等内容，欢迎下载使用。
命题人：胡文琦 王丹
一. 选择题 (共4小题，每小题5分)
1. f(x)是定义在[-6, 6]上的偶函数, 且f(l) A. f(0)f(1)
C. f(2)f(0)
2. 已知y=f(x)是定义在R上的奇函数, 当x≥0时, fx=x²-2x,则在R上f(x)的表达式是
A. -x(x-2) B. x(|x|-2)
C. |x|(x-2) D. |x|(|x|-2)
3. 已知函数 fx=-x+3a,x≥0x2-ax+1,x<0在定义域R上是减函数，则实数a的取值可以为
A. 13 B. 12 C. 1 D. 2
4. 设函数 fx=x+1,x≤0x2,x>0,则满足f(x)+f(x-1)>1的x的取值范围是
A. [1,+∞) B. (1,+∞)
C.5-12,1] D.5-12+∞
第1页 (共7页)二。多选题(共2小题，每小题6分，部分选对的得部分分，选错不得分)
5. 若函数f(x)同时满足: ①对于定义域上的任意x, 恒有f(x)+f(-x)=0; ②对于定义域上的任意x₁，x₂，当. x₁≠x₂，时，恒有 fx1-fx2x1-x2<0,则称函数f(x)为“理想函数”. 下列四个函数中能被称为“理想函数”的是
A. f(x)=-x B.fx=x² C.fx=-x³ D. f(x)=1-x
6. 已知函数 fx=21+|x|-x2, 则下列选项成立的是
A. ∀x∈R, ∃M∈R, 使得f(x)≤M
B. 若f(x) C. 若 xfx-12>0, 则 x∈-∞32∪1232
D. 满足 fx=fx+3x+4的所有x之和为-8
三. 填空题 (共2小题，每小题5分)
7. 若 fx=x+2x+mx为奇函数，则实数m= .
8. ·已知函数 fx=x3x2+2+3在区间[-2023, 2023]上的最大值为M, 最小值为m,则M+m= .
第2页 (共7页)
四. 解答题 (共2小题, 9题13分, 10题15分)
9. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时， fx=-x²+2x.
(1) 求f(-1);
(2) 求函数f(x)在R上的解析式;
(3) 若函数f(x)在区间[--1, a-2]上单调递增, 求实数a的取值范围.
10. 已知函数f(x)=(x-2)|x-a|+1
(Ⅰ)当a=4时, 写出f(x)的单调区间;
(Ⅱ) 若存在x∈[3,5], 使得f(x)>5, 求实数a的取值范围.
第3页 (共7页)重庆八中高2027级数学测试 (三)
参考答案与试题解析
一. 选择题 (共4小题)
1.【解答】解: 根据题意, f(x)是定义在[--6, 6]上的偶函数, 则f(-3)=f(3). 又由f(1)f(l), B正确;又由不确定函数在[-6, 6]上的单调性,则A、 C、 D无法判断; 故选: B.
2. 【 解答 】 解: 设 x<0 , 则 -x>0 , ∵ 当 x≥0 时 , fx=x²-2x, ∴f-x=-x²-2-x=x²+2x,
又∵y=f(x)是定义在R上的奇函数， f(-x)=-f(x) , ∴-f(x)=x²+2x , ∴fx=-x²-2x,
故在R上f(x)的表达式是x(|x|--2), 故选: B.
3.【解答】解：根据题意，函数 fx=-x+3a,x≥0x2-ax+1,x<0在定义域R上是减函数，则有 a2≥0-0+3α≤02-α×0+1,解得 0≤a≤13,
分析选项: 选项中A正确, B、 C、 D错误, 故选: A.
4.【解答】解: 若x≤0, 则x-1<0, 则f(x)+f(x-1)>1等价为x+1+x-1+1>1,解得x>0, 此时x∈∅,
当01 等价为 x²+x-1+1>1, 解 得 5-12当x>1时, x-1>0, 则f(x)+f(x-1)>1等价为 x²+x-1²>1,解得x>1,综上 x>5-12,故选: D.
二. 多选题(共2小题)
5.【解答】解：根据题意，若函数f(x)同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f(x)+f(-x)=0, 则f(x)为奇函数,
若②对于定义域上的任意x₁, x₂, 当x₁≠x₂|时，恒有 fx1-fx2x1-x2<0,则f(x)在定义域上单调递减，
依次分析选项：
对于A, f(x)=-x满足要求, A正确;
对于B， f-x=-x²=x²=fx,故 fx=x²为偶函数，B错误；
对于C， fx=-x³满足要求，C正确；
对于D, f(-x)=1+x≠-f(x), 故f(x)=1-x不是奇函数, D错误.
第4页 (共7页)故选: AC.
6.【解答】解: 因为∀x∈R, f(-x)=f(x), 故函数f(x)为偶函数, 又当( 0 fx1-fx2=21+x1-x12-21+x2-x22=2x2-x11+x11+x2+x2-x1x2+x1>0,
所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减, 则在(-∞,0)上单调递增.
对于A，函数f(x)在R上的图象是连续不断的，
∵当x<--1或x>1时, f(x)<0; 当-10,
∴f(x)的最大值为f(0),
故存在M=f(x) max=f(0), 使得∀x∈R, 有f(x)≤M, 故选项A正确;
对于B, ∵f(x)为偶函数, 且当x>0时, 函数f(x)是减函数,
∴由f(x)|2x-1|, 平方得: 3x²-4x+1<0,所求x的取值范围是 131,故选项B正确；
对于C，不等式 xfx-12>0,f-1=f1=0,
当x=0时, 不等式. fx-12>0不成立，
当x>0时, 不等式. xfx-12>0等价为 fx-12>0,
此时 x>0-1当x<0时, 不等式. xfx-12>0等价为 fx-12<0,
即 x<0x-12<-1, 得 x<-12, 或 x<0x-12>1, 舍
综上 x<-12或 0即实数x的取值范围是 -∞-12∪032,故选项C错误；
对于D, ∵f(x)为偶函数, 且当x>0时f(x)是单调函数,
∴若 fx=fx+3x+4时，必有 x=x+3x+4或 -x=x+3x+4,
整理得 x²+3x-3=0或 x²+5x+3=0,
所以 x₁+x₂=-3或 x₃+x₄=-5,
第5页 (共7页)
∴满足 fx=fx+3x+4的所有x之和为-3+(--5)=-8,
故选项D正确. 故选: ABD.
三. 填空题 (共2小题)
7.【解答】解: ∵fx=x+2x+mx为奇函数，
∴f(-1)=-f(1), 即m-1=3(1+m)
∴m=-2
故答案为: --2
8.【解答】解: 设 gx=x3x2+2,
则g(x)的定义域为R，且连续不断，
由 gx+g-x=x3x2+2+-x3-x2+2=0, 可知g(x)为奇函数，
设g(x)在[-2023, 2023]上的最大值为g(x₀),
由奇函数的对称性可知g(x)在[--2023, 2023]上的最小值为 g-x₀=-gx₀,
则函数f(x)=g(x)+3在区间[-2023, 2023]上的最大值为 M=gx₀+3,最小值为 m=-gx₀+3,
所以. M+m=gx₀+3-gx₀+3=6.
故答案为：6.
四. 解答题 (共2小题)
9.【解答】解: (1)根据题意, 当x>0时, fx=-x²+2x.则f(1)=-1+2=1,又由f(x)为奇函数, 则f(-1)=-f(1)=-1; ---------4分
(2) 根据题意, f(x)是定义在R上的奇函数, 则有f(-x)=-f(x)且f(0)=0,当x<0时, -x>0, 则有. fx=-f-x=---x²-2x=x²+2x,又f(0)满足 fx=x²+2x,
则有 fx=-x2+2x,x>0x2+2x,x≤0;-9分
(3) 由(1) 可得f(x)图象如图所示:若f(x)在区间[-1, a-2]上单调递增,则有-110 . 【 解 答 】 解 : (1) 当 a=4 时 ,
fx=x-2|x-4|+1=x2-6x+9,x>4-x2+6x-7,x≤4
结合图象知f(x)的增区间是(-∞,3), (4,+∞); 减区间是(3,4)
(如果写成并集符号扣2分)--------7分
第6页 (共7页)(2)∵存在x∈[3, 5], 使得. fx>5,
∴等价于存在x∈[3, 5], 使( x-2|x-a|>4成立，即 |x-a|>4x-2,
∴x-a>4x-2或 x-a<-4x-2在 x∈35上有解，
即 ax+4x-2在 x∈35上有解，
∴ax+4x-2min,x∈35,
:y=x-4x-2在[3,5]上递增. ∴a<113,
:y=x-2+4x-2+2≥2x-24x-2+2=6,当且仅当. x=4时等号成立. ∴a>6,
综上所述： a<113或a>6. ---------15分
第7页 (共7页)
命题人：胡文琦 王丹
一. 选择题 (共4小题，每小题5分)
1. f(x)是定义在[-6, 6]上的偶函数, 且f(l)
C. f(2)
2. 已知y=f(x)是定义在R上的奇函数, 当x≥0时, fx=x²-2x,则在R上f(x)的表达式是
A. -x(x-2) B. x(|x|-2)
C. |x|(x-2) D. |x|(|x|-2)
3. 已知函数 fx=-x+3a,x≥0x2-ax+1,x<0在定义域R上是减函数，则实数a的取值可以为
A. 13 B. 12 C. 1 D. 2
4. 设函数 fx=x+1,x≤0x2,x>0,则满足f(x)+f(x-1)>1的x的取值范围是
A. [1,+∞) B. (1,+∞)
C.5-12,1] D.5-12+∞
第1页 (共7页)二。多选题(共2小题，每小题6分，部分选对的得部分分，选错不得分)
5. 若函数f(x)同时满足: ①对于定义域上的任意x, 恒有f(x)+f(-x)=0; ②对于定义域上的任意x₁，x₂，当. x₁≠x₂，时，恒有 fx1-fx2x1-x2<0,则称函数f(x)为“理想函数”. 下列四个函数中能被称为“理想函数”的是
A. f(x)=-x B.fx=x² C.fx=-x³ D. f(x)=1-x
6. 已知函数 fx=21+|x|-x2, 则下列选项成立的是
A. ∀x∈R, ∃M∈R, 使得f(x)≤M
B. 若f(x)
D. 满足 fx=fx+3x+4的所有x之和为-8
三. 填空题 (共2小题，每小题5分)
7. 若 fx=x+2x+mx为奇函数，则实数m= .
8. ·已知函数 fx=x3x2+2+3在区间[-2023, 2023]上的最大值为M, 最小值为m,则M+m= .
第2页 (共7页)
四. 解答题 (共2小题, 9题13分, 10题15分)
9. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时， fx=-x²+2x.
(1) 求f(-1);
(2) 求函数f(x)在R上的解析式;
(3) 若函数f(x)在区间[--1, a-2]上单调递增, 求实数a的取值范围.
10. 已知函数f(x)=(x-2)|x-a|+1
(Ⅰ)当a=4时, 写出f(x)的单调区间;
(Ⅱ) 若存在x∈[3,5], 使得f(x)>5, 求实数a的取值范围.
第3页 (共7页)重庆八中高2027级数学测试 (三)
参考答案与试题解析
一. 选择题 (共4小题)
1.【解答】解: 根据题意, f(x)是定义在[--6, 6]上的偶函数, 则f(-3)=f(3). 又由f(1)
2. 【 解答 】 解: 设 x<0 , 则 -x>0 , ∵ 当 x≥0 时 , fx=x²-2x, ∴f-x=-x²-2-x=x²+2x,
又∵y=f(x)是定义在R上的奇函数， f(-x)=-f(x) , ∴-f(x)=x²+2x , ∴fx=-x²-2x,
故在R上f(x)的表达式是x(|x|--2), 故选: B.
3.【解答】解：根据题意，函数 fx=-x+3a,x≥0x2-ax+1,x<0在定义域R上是减函数，则有 a2≥0-0+3α≤02-α×0+1,解得 0≤a≤13,
分析选项: 选项中A正确, B、 C、 D错误, 故选: A.
4.【解答】解: 若x≤0, 则x-1<0, 则f(x)+f(x-1)>1等价为x+1+x-1+1>1,解得x>0, 此时x∈∅,
当0
二. 多选题(共2小题)
5.【解答】解：根据题意，若函数f(x)同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f(x)+f(-x)=0, 则f(x)为奇函数,
若②对于定义域上的任意x₁, x₂, 当x₁≠x₂|时，恒有 fx1-fx2x1-x2<0,则f(x)在定义域上单调递减，
依次分析选项：
对于A, f(x)=-x满足要求, A正确;
对于B， f-x=-x²=x²=fx,故 fx=x²为偶函数，B错误；
对于C， fx=-x³满足要求，C正确；
对于D, f(-x)=1+x≠-f(x), 故f(x)=1-x不是奇函数, D错误.
第4页 (共7页)故选: AC.
6.【解答】解: 因为∀x∈R, f(-x)=f(x), 故函数f(x)为偶函数, 又当( 0
所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减, 则在(-∞,0)上单调递增.
对于A，函数f(x)在R上的图象是连续不断的，
∵当x<--1或x>1时, f(x)<0; 当-1
∴f(x)的最大值为f(0),
故存在M=f(x) max=f(0), 使得∀x∈R, 有f(x)≤M, 故选项A正确;
对于B, ∵f(x)为偶函数, 且当x>0时, 函数f(x)是减函数,
∴由f(x)
对于C，不等式 xfx-12>0,f-1=f1=0,
当x=0时, 不等式. fx-12>0不成立，
当x>0时, 不等式. xfx-12>0等价为 fx-12>0,
此时 x>0-1
即 x<0x-12<-1, 得 x<-12, 或 x<0x-12>1, 舍
综上 x<-12或 0
对于D, ∵f(x)为偶函数, 且当x>0时f(x)是单调函数,
∴若 fx=fx+3x+4时，必有 x=x+3x+4或 -x=x+3x+4,
整理得 x²+3x-3=0或 x²+5x+3=0,
所以 x₁+x₂=-3或 x₃+x₄=-5,
第5页 (共7页)
∴满足 fx=fx+3x+4的所有x之和为-3+(--5)=-8,
故选项D正确. 故选: ABD.
三. 填空题 (共2小题)
7.【解答】解: ∵fx=x+2x+mx为奇函数，
∴f(-1)=-f(1), 即m-1=3(1+m)
∴m=-2
故答案为: --2
8.【解答】解: 设 gx=x3x2+2,
则g(x)的定义域为R，且连续不断，
由 gx+g-x=x3x2+2+-x3-x2+2=0, 可知g(x)为奇函数，
设g(x)在[-2023, 2023]上的最大值为g(x₀),
由奇函数的对称性可知g(x)在[--2023, 2023]上的最小值为 g-x₀=-gx₀,
则函数f(x)=g(x)+3在区间[-2023, 2023]上的最大值为 M=gx₀+3,最小值为 m=-gx₀+3,
所以. M+m=gx₀+3-gx₀+3=6.
故答案为：6.
四. 解答题 (共2小题)
9.【解答】解: (1)根据题意, 当x>0时, fx=-x²+2x.则f(1)=-1+2=1,又由f(x)为奇函数, 则f(-1)=-f(1)=-1; ---------4分
(2) 根据题意, f(x)是定义在R上的奇函数, 则有f(-x)=-f(x)且f(0)=0,当x<0时, -x>0, 则有. fx=-f-x=---x²-2x=x²+2x,又f(0)满足 fx=x²+2x,
则有 fx=-x2+2x,x>0x2+2x,x≤0;-9分
(3) 由(1) 可得f(x)图象如图所示:若f(x)在区间[-1, a-2]上单调递增,则有-1
fx=x-2|x-4|+1=x2-6x+9,x>4-x2+6x-7,x≤4
结合图象知f(x)的增区间是(-∞,3), (4,+∞); 减区间是(3,4)
(如果写成并集符号扣2分)--------7分
第6页 (共7页)(2)∵存在x∈[3, 5], 使得. fx>5,
∴等价于存在x∈[3, 5], 使( x-2|x-a|>4成立，即 |x-a|>4x-2,
∴x-a>4x-2或 x-a<-4x-2在 x∈35上有解，
即 a
∴a
:y=x-4x-2在[3,5]上递增. ∴a<113,
:y=x-2+4x-2+2≥2x-24x-2+2=6,当且仅当. x=4时等号成立. ∴a>6,
综上所述： a<113或a>6. ---------15分
第7页 (共7页)
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