重庆市育才中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷（Word版附答案）

这是一份重庆市育才中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷（Word版附答案），共11页。试卷主要包含了关于曲线，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

（满分：150分；考试时间：120分钟）
注意事项：
1.答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号；
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题；
3.请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；
4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.经过两点，的直线的斜率为（ ）
A.B.C.D.2
2.经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长是（ ）
A.8B.9C.10D.20
3.圆与圆的位置关系为（ ）
A.相交B.内切C.外切D.外离
4.下列可使，，构成空间的一个基底的条件是（ ）
A.B.，，两两垂直
C.D.
5.已知圆锥的母线长为4，底面的半径，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的小圆锥底面的半径，则截得圆台的体积为（ ）
A.B.C.D.
6.在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面底面，为线段的中点.记异面直线与所成角为，则的值为（ ）
A.B.0C.D.
7.如图，已知正方体的棱长为2，、分别为线段、的中点，若点为正方体表面上一动点，且满足平面、则点的轨迹长度为（ ）
A.B.C.D.2
8.已知三棱锥中，是边长为2的正三角形、，，若三棱锥的外接球体积为，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.关于曲线，下列说法正确的是（ ）
A.若曲线表示两条直线，则，或，
B.若曲线表示圆，则
C.若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
D.若曲线表示椭圆，则
10.已知直线，直线，则下列说法正确的为（ ）
A.若，则
B.若两条平行直线与间的距离为，则
C.直线过定点
D.点到直线距离的最大值为
11.如图，在直棱柱中，底面为菱形，且，，为线段的中点，为线段的中点，点满足则下列说法正确的是（ ）
A.若时，三棱锥的体积为定值
B.若时，有且仅有一个点，使得
C.若，则的最小值为3
D.若，，则平面截该直棱柱所得截面周长为
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程是______.
13.若，，为空间中两两夹角都是的单位向量，则______.
14.已知，为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，圆心到，的距离分别为，，则______，四边形的面积的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知直线经过点，点.
（1）求直线的方程；
（2）若圆经过点，点，且圆心在直线上，求圆的方程.
16.如图，在三棱柱中，，，，，点是的中点，平面.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
17.如图，在三棱锥中，，且.
（1）证明：平面平面；
（2）若棱上存在不同于，的动点，满足，使二面角的余弦值为，求的值.
18.已知动点与两个定点，的距离的比为.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）过点且斜率为的直线与动点的轨迹交于，两点，若，求的值.
19.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，它是一种使用几何度量空间的几何用语，定义如下：在平面直角坐标中的任意两点，的曼哈顿距离为.已知在四边形中，，，，且平分，若将沿线段向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后点在新图形中对应点记为.
（折叠前）（折叠后）
（1）计算的大小；
（2）若所在平面为，设，且，记点的轨迹为曲线.
（i）判断是什么曲线，并求出对应的方程；
（ii）设为平面上过点且与直线垂直的直线，已知在直线上，在上，求的最小值.
重庆市育才中学校高2026届高二（上）十月月考
数学试题参考答案
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.
1-4：ADBB5-8：CCBD
8【解析】：如图所示，取中点为，由于，，则，
故是三棱锥的外接球的球心，易知，.
过点作平面，连接，易知过中点，连接.
因为，，，则直线与平面所成角，
由余弦定理可得，故选D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.ABCD 10.AC 11.ACD
11【解析】：对于选项A：当时，，故点在上运动，而平行于平面，
所以三棱锥的体积为定值.故A正确.
对于选项B：当时，取中点记为连接，易得点在上运动，当与点，，重合时，由勾股定理可得，所以，故B错误.
对于选项C：当时，取中点记为，取中点记为连接，则点在线段上运动，易得点关于直线的对称点为，连接，此时点、、三点共线，故点与点重合时取得最小值为3，故C正确.
对于选项D：当，时，为的中点，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，即可得到截面，易得周长为，故D正确.
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 13. 14.7；9
14【解析】：易知是以，为邻边的矩形的对角线，所以；
，，当且仅当时取得等号.
四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（1）过点，点的直线的两点式方程为：
整理得：
直线的方程为.
（2）设线段的中点为，则由，有，
且直线的斜率为，
因此线段的垂直平分线的方程为：，即，
由垂径定理可知，圆心也在线段的垂直平分线上，
则有圆的坐标是；
圆的半径，
圆的标准方程是.
16.（1）连接，设，连接，由三棱柱的性质可知，
侧面为平行四边形，为的中点，
又为中点，在中，，
又平面，平面，
平面.
（2）由题意可知，，两两垂直故以，，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，.
所以，，，
设平面的法向量为，
则令，得；
设与平面所成角为，则，
所以与平面所成角的正弦值为.
17.（1）由，，所以.
取的中点，连接，，
由题意，得，再由，可得，即.
由题易知，又，，面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）由（1）可知，，又，
故以，，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，.
所以，，，
令，所以.
所以.
设平面的法向量为，
则令，得；
设平面的法向量为，
，令，得；
则，
设，，则上式可化为，
即，所以（舍去），所以，解得.
18.解：（1）设动点坐标为，由，
即，
整理得.
（2）设直线的方程为，，两点的坐标分别为，
联立，整理得.
因为式的两根为，，所以，，
，即或.
则，
将，代入上式，化简解得.
而满足，故直线的方程为.
因为圆心在直线上，所以.
19.解：（1）在中，易得，，，
由余弦定理可得，从而.
提示：可建立空间坐标系利用向量求夹角的余弦值为，从而得出.
（2）（i）曲线是椭圆.
因为二面角为直二面角，且，所以，如图1，不妨取的中点为，以为轴，为轴，过点作的平行线为轴建立空间直角坐标系.
图1
则点，，
设，，，
由（1）可知，
从而，
化简可得：，即为的方程.
说明：不同的建系可能得到不同的方程，只要得出椭圆的方程即可得分.
（ii）将立体几何平面化，只需研究平面上几何关系.不防将（i）中椭圆所在坐标系逆时针旋转得到图2，在新坐标系下椭圆方程为，直线的方程为，
引理：点与直线上一动点的最小曼哈顿距离为.
证明：如图3，当，即时，由于，
当点在点处取得等号成立，即，
同理可以得出时的最小曼哈顿距离，综上得证.
设点.由引理可知：
，
所以的最小值为.
图2图3