九年级数学期中模拟卷（全解全析）（南京专用）

这是一份九年级数学期中模拟卷（全解全析）（南京专用），共21页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，测试范围，难度系数，刘徽等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：苏科版九年级上册第1章-第4章。
5．难度系数：0.8。
第Ⅰ卷
选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为（ ）
A．B．2C．3D．7
【答案】C
【详解】解：∵一元二次方程的的一个根为2，
∴，
∴．
故选：C
2．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】A
【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
3．九（3）班第三小组5名同学的跳绳成绩（次/分钟）为180，169，210，175，169．则该组数据的中位数和众数分别为（ ）
A．169，175B．175，169C．175，210D．169，169
【答案】B
【详解】解：将数据从小到大排列为：169，169，175，180，210，
这组数据的中位数为175，众数为169．
故选：B．
4．如图，和内接于，若，，则的度数为（ ）．

A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：，
，
，
，
故选：D．
5．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：每支球队都需要与其他球队赛场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为：．
故选：B．
6．刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，中，的长分别为．则可以用含的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：为直角三角形，
令．
选项A：，选项B：，选项C：，选项D：，
只有D选项结果跟其他选项结果不一致，
表达式错误的是D选项，
故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7．若的直径为3， ，则点P与的位置关系是：点P在 （填“内““外”或“上”）
【答案】外
【详解】解：∵的直径为3，
∴半径，
∵，
∴，
∴点P在外．
故答案为：外．
8．小华在解一元二次方程时，只得出一个根是，则被他漏掉的一个根是 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
解得：，，
∴被他漏掉的一个根是；
故答案为：
9．一个扇形的弧长是，半径是12，则这个扇形的面积为 ．
【答案】
【详解】解：，
故答案为：．
10．志愿服务是现代社会文明进步的重要标志，在国家政策支持下，全社会参与志愿服务的热情高涨．中国志愿系统显示2021年10月注册志愿者总人数达1.9亿，截止到2023年10月注册志愿者人数达到2.3亿，求平均每年的增长率．设平均每年的增长率为x，则可列方程 ．
【答案】
【详解】解：根据题意得，，
故答案为：．
11．如图，一个自由转动的转盘被分成两个扇形区域甲、乙，其中甲区域的扇形圆心角为转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，记为一次有效转动，若指针指在分界线上，则需要重新转动转盘，直到完成一次有效转动为止，乐乐完成一次有效转动后，指针指向扇形乙的概率为 ．
【答案】
【详解】解：乙所占的圆心角为，
∴乐乐完成一次有效转动后，指针指向扇形乙的概率为，
故答案为：．
12．关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为 ．
【答案】1
【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
，
解得，，
又，
的最小整数值为1，
故答案为：1．
13．已知是关于x的方程的两个实数根，且，则m的值等于 ．
【答案】
【详解】解∶∵是关于x的方程的两个实数根，
∴，，
∵，即，
∴，
∴，
故答案为∶．
14．如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于 ．
【答案】/度
【详解】解：，
，
四边形是的内接四边形，
，
．
故答案为：．
15．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为 ．
【答案】
【详解】如图，是正八边形的一条边，点O是正八边形的中心，过点A作，
在正八边形中，
∴
∵，，解得：
∴
∴正八边形为
∴
∴
∴的估计值为
故答案为：．
16．如图，是中的两条弦，相交于点，且，点为劣弧上一动点，为中点，若，连接，则最小值为 ．

【答案】
【详解】解：如图所示，连接，过点作，交于点，，交于点，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
如图所示，作的中点，连接，连接，

∵点是的中点，为中点，
∴，
∴点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，
连接交于点，过点作，
∴当点三点共线时，即点和点重合时，的值最小，
∵点是的中点，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
，
∴的最小值为 ，
故答案为：．
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（8分）解方程：
(1)；
(2)．
【详解】（1）解：
或
或；分
（2）
或
或．分
18．（9分）为了调查学生对防疫知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
．甲、乙两校名学生成绩的频数分布统计表如下
．甲校成绩在这一组的是：，，，，，，​​，，​，，​，，
c．甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)________，________；
(2)将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是_____度；
(3)本次测试成绩更整齐的是________校 （填“甲”或“乙”）；
(4)在此次测试中，某学生的成绩是分，在他所属学校排在前名，由表中数据可知该学生是________校的学生（填“甲”或“乙”）．
【详解】（1）解：，
由频数分布表可知，甲校名学生成绩排在中间的两个数是和，
；
故答案为：，；分
（2）乙校成绩在这一组的扇形的圆心角是，
故答案为：；分
（3）甲校成绩的方差乙校成绩的方差，
本次测试成绩更整齐的是乙校．
故答案为：乙；分
（4）在此次测试中，某学生的成绩是分，在他所属学校排在前名，由表中数据可知该学生是甲校的学生，理由：甲校的中位数是，乙校的中位数是；
故答案为：甲．分
19．（8分）早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其小吃精美、种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．张帆在广州旅游期间，决定在“A．虾饺，B．干蒸烧卖，C．艇仔粥，D．蜜汁叉烧包”四种茶点中选择喜欢的进行品尝．（选到每种茶点的可能性相同）
(1)如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是______________；
(2)如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的概率．
【详解】（1）解：∵共有四种茶点，
∴如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是：，
故答案为： 分
（2）解：画树状图如图所示：
由树状图知，共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相等，其中选到“虾饺”和“艇仔粥”的结果有2种，
∴P（张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”）. 分
20．（7分）某单位组织员工前往南京保利大剧院欣赏表演．表演前，主办方工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三边，设立一个面积为300平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．那么围成的这个长方形的边长是多少米呢？

【详解】解：如图：设长方形等候区的边为x米，则米，

由题意得：，
整理，得，
解得，，
当时，，不合题意，应舍去；当时，，符合题意．
答：长方形等候区的边为15米，为20米． 分
21．（8分）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F．
(1)求证：．
(2)若，，求直径的长．
【详解】（1）证明：∵，且过圆心O
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；分
（2）解：连接，设的半径是r，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴或（舍去），
∴的直径是．分
22．（8分）已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：，
当方程有实数根时，实数的取值范围为；分
（2）解：方程两实数根分别为，，
，．
，
，
，
整理，得：，
解得：，．
，
实数的值为1．分
23．（8分）如图，是的内接三角形，是的直径，，，弦于，点是延长线上一点，且，连接．
(1)填空： °；
(2)判断与的位置关系，并说明理由；
(3)取的中点，连接，求图中阴影部分的面积．
【详解】（1）解：弦于，是的直径，
，
，
故答案为：30；分
（2）解：与相切，
理由如下：
连接，如图所示：
弦于，是的直径，
，，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；分
（3）解：是的直径，，
，，
，
，
连接，如图所示：
点是的中点，
，
，
是的中位线，
，，
，
，
，
图中阴影部分的面积的面积扇形的面积的面积．分
24．（6分）利用无刻度直尺作图：经过格点A、B、C．(画图过程用虚线，画图结果用实线)
(1)在图1中先作圆心O，然后在上作点D，使；
(2)在图2中先作，点E为上一点，然后作弦．
【详解】（1）解：连接，作的垂直平分线交于，即为圆心O，利用为正方形的对角线的特征，得到点D的位置，如下图：
分
（2）解：由（1）可知为直径，取格点，连接延长交于点，为所作点，连接交于点，再连接延长交于点，连接，此时，如下图：
分
25．（8分）某网店为满足航空航天爱好者的需求，推出了“中国空间站”模型．己知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．
(1)若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？
(2)在每个模型盈利不少于25元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？
【详解】（1）解：（个）；即：若每个模型降价4元，平均每天可以售出28个模型．
可获利：元．
答：平均每天可以售出28个模型，此时每天获利1008元．
分
（2）解：设每个模型应降价x元，则每个模型可盈利元，平均每天可售出个，
根据题意得：，整理得：，
解得：，
又∵每个模型盈利不少于25元，
∴．
答：每个模型应降价10元．分
26．（8分）综合与实践
“转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题：
问题情境：
如图1，一只蚂蚁从点出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为．底面直径为．
问题解决：
（1）判断最短路线的依据是______；
（2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长（结果保留根号和）；
拓展迁移：
如图2，为圆锥的顶点，为底面圆周上一点，点是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点出发绕圆锥侧面爬行回到点时所经过的路径的痕迹．
（3）请求出蚂蚁爬行的最短距离．
【详解】解：（1）两点之间线段最短； 分
（2）剪开后，，，
最短路线的长为； 分
（3）圆锥的底面周长为，
设侧面展开图的圆心角度数为，
，解得，
如答图，该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，
线段的长为蚂蚁爬行的最短距离，
在中，
点为中点，
是的中位线，
蚂蚁爬行的最短距离为．
分
27．（10分）定义：我们将能完全覆盖某平面图形的圆称为该平面图形的覆盖面．其中，能完全覆盖平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．
例如：如图1，线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆；
【初步思考】
（1）边长为的正方形的最小覆盖圆的半径是______；
（2）如图2，边长为的两个正方形并列在一起，则其最小覆盖圆的半径是______；
【深入研究】
（1）请分别作出图3中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
（2）如图4，在正方形网格中建立的平面直角坐标系中，的顶点位于坐标原点，顶点、的坐标分别为、．则的最小覆盖圆的圆心坐标为______，半径长为______；如图5，钝角中，，，则的最小覆盖圆的半径为______．
【生活应用】
某地有四个村庄，，，（其位置如图6所示），现拟建一个5G网络信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），经过工程人员测量得到及图中相关各角度等数据，四边形区域最小覆盖圆的半径为______．
【详解】【初步思考】（）∵正方形的边长为，
∴由勾股定理，得正方形的对角线长为：，
∴最小覆盖圆的半径是，
故答案为：； 分
（）∵矩形的长为，宽为，由勾股定理，得矩形的对角线长为，
∴最小覆盖圆的半径是，
故答案为：；分
【深入探究】（）如图所示：分别作垂直平分线即可；
分
（）如图，
和垂直平分线的交点在，
由网格可知：，
如图，
将两点覆盖，到最小距离是点的位置，即，此时可以覆盖点，
∴的最小覆盖圆的半径是；
故答案为：，，；分
【生活应用】解：∵的最小覆盖圆可以将四边形覆盖，
∴四边形的最小覆盖圆是的外接圆，
作直径，连，如图，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
由勾股定理得：，
即，
∴，即，
∴
∴四边形的最小覆盖圆半径为．分成绩
学校
甲
乙
学校
平均数
众数
中位数
方差
甲
乙