福建省福州市2024-2025学年高一上学期期中模拟数学试卷

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数学试卷
1．已知全集，，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解：因为 ， 则 ，， ，，故A、C错误；
又因为 ， 则 或，故B错误， ，，故D正确；
故答案为：D.
【分析】根据题意结合集合间的运算分析判断.
2．不等式成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】A
【知识点】必要条件
【解析】【解答】不等式即，即 ，
对于A，因为，故是成立的一个必要不充分条件，A符合题意；
而不是集合，的真子集，故错误，
故答案为：A
【分析】不等式即，即 ，则结合必要不充分条件与集合的包含之间的关系进行判断各选项，可得答案．
3．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由或
得或，所以
故答案为：A
【分析】由一元二次不等式的解法求出集合B，由交集的定义求出答案.
4．当 时，在同一坐标系中，函数 与 的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】函数的图象与图象变化；函数图象的作法
【解析】【解答】∵ ，
∴函数 与函数 都为增函数．
结合选项可得B满足条件．
故答案为：B．
【分析】本题结合指数函数与对数函数的图象得出满足要求的函数图象。
5．下列各组函数与的图象相同的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】若函数与的图象相同则与表示同一个函数，则与的定义域和解析式相同.
A：的定义域为R，的定义域为，故排除A；
B：，与的定义域、解析式相同，B符合题意；
C：的定义域为R，的定义域为，故排除C；
D：与的解析式不相同，故排除D.
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合同一函数的判断方法，即定义域和对应关系相同，则两函数相同，从而找出各组函数与的图象相同的选项。
6．已知幂函数在上单调递减，则m的值为（ ）
A．0B．1C．0或1D．-1
【答案】A
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】由题意，幂函数，可得，解得或，
当时，可得，可得在上单调递减，符合题意；
当时，可得，可得在上无单调性，不符合题意，
综上可得，实数的值为0.
故答案为：A.
【分析】根据幂函数的定义，求得或，结合幂力函数的性质，即可求出实数的值。
7．已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】
当且仅当 ，取等号，即 ，结合 ，
可得 时，取得最小值5．
故答案为：A.
【分析】因为 ，利用基本不等式，注意等号成立的条件，即可求得答案.
8．已知函数f(x)的定义域为R，满足f(x)=2f(x+2)，且当x∈[ ，0) 时， ，若对任意的m∈[m，+∞)，都有 ，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数单调性的性质
【解析】【解答】 时， 在 上递增，在 上递减， ，满足 ，
当 时， ， ，满足满足 ，
按此规律， 时， 均满足 ，
当 时， ，由 ，
解得 或 ，当 时， ．
因此当 时，都有 ，
所以 ．
故答案为：D．
【分析】求出 时， 的值域，满足 ，根据函数的定义， 时，满足 ，同时可得 时均满足 ，然后求得 时的解析式，解不等式 得解集，分析后可得 的范围．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列结论正确的是（ ）
A．设，则的最小值是
B．当时，的最小值是
C．当时，
D．当时，的最大值是
【答案】C,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解： 对于A：因为不是定值，所以不是 的最小值 ，故A错误；
对于B：若x为正数，则 ，当且仅当，即时，等号成立，
但 ，等号取不到，所以2不是 的最小值，故B错误；
对于C： 当时，，
当且仅当，即时，等号成立，故C正确；
对于D：令，则 ，
可得 ，当且仅当，即时，等号成立，故D正确；
故答案为：CD.
【分析】根据题意结合基本不等式逐项分析判断，注意基本不等式的条件“一正，二定，三相等”.
10．下列四个命题中不正确的是（ ）
A．
B．是定义域上的减函数
C．和表示同一个函数
D．幂函数的图象都过点（1，1）
【答案】A,B,C
【知识点】空集；同一函数的判定；函数单调性的性质
【解析】【解答】A.不含任何元素，所以，A错误，符合题意；
B.的减区间是和，但不能说在定义域上是减函数，B错误，符合题意；
C. 的定义域为，而的定义域是，所以两个函数不是同一函数C错误，符合题意；
D.根据幂函数的性质可知，幂函数都过点，D正确，不符合题意.
故答案为：ABC
【分析】根据空集，函数的单调性，以及相等函数的定义，幂函数的性质，判断选项.
11．已知符号函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数是奇函数
B．函数是奇函数
C．函数的值域为
D．函数的值域为
【答案】A,C
【知识点】函数的值域；函数的奇偶性
【解析】【解答】对于A，由题意的图象关于原点对称，是奇函数，A符合题意，
对于B，因为，当时，，当时，，所以函数不是奇函数，B不符合题意；
对于C，D，因为当时，，时，，时，所以函数的值域为．C符合题意，D不符合题意。
故答案为：AC
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式画出分段函数的图象，再利用分段函数的图象结合奇函数的定义和函数的值域求解方法，进而找出说法正确的选项。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．函数 的定义域是 ；
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由函数解析式知：
，解得 且 ，
∴函数定义域为 ，
故答案为：
【分析】根据解析式中 、 的性质即可求定义域.
13．已知函数是R上的减函数，则a的取值范围为 .
【答案】
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】根据分段函数单调性可知，单调递减，所以，
单调递减，所以，并且在分界点处，满足，得，这三个条件需同时满足，所以的取值范围是.
故答案为：
【分析】根据分段函数的单调性，结合每段函数的单调性，以及分界点处的函数值的大小关系，列式求参数 a 的取值范围.
14．定义在R上的奇函数f（x）满足对任意的x1，x2，当x1+x2≠0时，都有，则不等式f（x+1）【答案】（-1，2）
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】因为是奇函数，所以.
设，则，
因为，
所以，
则，
即，
故在R上单调递减.
因为，
所以，
解得.
故不等式的解集为（-1，2）.
故答案为：（-1，2）
【分析】利用函数单调性的定义结合已知的不等式，确定函数f (x)的单调性，然后利用单调性去掉“f”，求解不等式即可得答案.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知集合，或.
（1）当时，求；
（2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）或，
（2）
【知识点】集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算；充分条件
16．计算：
（1）
（2）.
【答案】（1）解：.
（2）解：=.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合指数幂的运算法则，进而化简求值。
（2）利用已知条件结合对数的运算法则，进而化简求值。
17．已知函数 .
（1）若 为偶函数，求 的值；
（2）若函数 在 上有2个不同的零点，求 的取值范围.
【答案】（1）解：由题意，函数 为偶函数，则 ，即 .
整理得 ，所以
（2）解：因为函数 ，
令 ，可得 ，整理得 ，
即 ，
由函数 在 上有2个不同的零点，
所以 ， ，且 ， ，
解得 或 ，
所以 的取值范围为
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1)根据题意由偶函数的定义整理原式即可计算出a的值。
(2)首先由已知条件令整理即可得出方程，结合题意由函数 在 上有2个不同的零点 ，由对数函数的单调性即可求出a的取值范围。
18．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件(x＞0)，则平均仓储时间为 天，且每件产品每天的仓储费用为1元.设生产每批的总费用为y.（总费用指的是生产准备费用与仓储费用之和）
（1）求y关于x的关系式；
（2）每批应生产多少件产品时平均费用最小？并求出最小平均费用.
【答案】（1）解：由题意知，生产 件产品的仓储费用为 = ，
所以 ；
（2）解：由题意知，平均费用为 ，
因为 ，
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以当每批生产80件时，平均费用最小为21元.
【知识点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式
【解析】【分析】（1）由题可直接求出总费用；（2）利用基本不等式可求出.
19．对于函数 ，若 ，使 成立，则称 为 关于参数 的不动点.设函数
（1）当 时，求 关于参数1的不动点；
（2）若 ，函数 恒有关于参数1的两个不动点，求 的取值范围；
（3）当 时，函数 在 上存在两个关于参数 的不动点，试求参数 的取值范围.
【答案】（1）当 时，
令 ，可得 即
解得 或
当 时，求 关于参数1的不动点为 和4
（2）依题意得， ，关于 的方程 都有两个不等实数根
从而有 对 都成立
即关于 的不等式 对 都成立
故有
解得
（3）依题意，得方程 在 上恒有两个不等实数解
法一：即 在 上恒有两个不等实数根(*)
令 ，要使(*)成立
法二：即 在 上恒有两个不等实数根
令
则直线 与函数 的图象有两个不同交点
由于函数 在 上单调递减，在 上单调递增
且 ，结合函数 的图象可知 .
【知识点】函数单调性的性质；函数的图象；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1） 对于函数 ，若 ，使 成立，则称 为 关于参数 的不动点，再利用a，b的值求出函数f(x)的解析式，从而解一元二次方程求出函数 关于参数1的不动点。
（2） 依题意得， ，关于 的方程 都有两个不等实数根，从而有 对 都成立，即关于 的不等式 对 都成立，再利用判别式法求出实数a的取值范围。
（3） 依题意，得方程 在 上恒有两个不等实数解，再利用两种方法求解。法一：即 在 上恒有两个不等实数根(*)，令 ，要使(*)成立，从而结合特殊值法和二次函数的对称轴的位置判断以及判别式法，从而求出实数m的取值范围；法二：即 在 上恒有两个不等实数根，令 ，再利用方程的根与函数与直线的交点的横坐标的等价关系，则直线 与函数 的图象有两个不同交点，再利用单调函数的定义，得出函数 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，再结合函数 的图象，进而求出实数m的取值范围。