山西省三晋名校2024-2025学年高三上学期10月联合考试数学试卷

这是一份山西省三晋名校2024-2025学年高三上学期10月联合考试数学试卷，共12页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知圆M，已知函数，下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，则（ ）
A．B．C．5D．13
2．已知函数，则（ ）
A．9B．7C．5D．3
3．设等比数列的前n项和为，且，则（ ）
A．4B．6C．7D．9
4．现有一个正四棱台形水库，该水库的下底面边长为2km，上底面边长为4km，侧棱长为，则该水库的最大蓄水量为（ ）
A．B．C．D．
5．已知数列是等差数列，m，n都是正整数，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
6．若函数是偶函数，则曲线在处的切线斜率为（ ）
A．B．0C．D．
7．已知函数在上恰有2个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知圆M：与圆N：交于A，B两点，则（M为圆M的圆心）面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失，而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位．降雨量可以直观地反映一个地区某一时间段内降水的多少，它对农业生产、水利工程、城市排水等有着重要的影响．如图，这是A，B两地某年上半年每月降雨量的折线统计图．
下列结论正确的是（ ）
A．这年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大
B．这年上半年A地月降雨量的中位数比B地月降雨量的中位数大
C．这年上半年A地月降雨量的极差比B地月降雨量的极差大
D．这年上半年A地月降雨量的80%分位数比B地月平均降雨量的80%分位数大
10．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．若直线是图象的对称轴，则
C．在上的值域为
D．若，，，且，则
11．在长方体中，，，E，F分别是棱，的中点，G是的中点，直线与平面ABCD交于点P，则（ ）
A．异面直线EF与CD所成角的余弦值是
B．点C到平面DEF的距离是
C．三棱锥的体积为
D．四面体CDEF外接球的表面积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知单位向量，满足，则向量，的夹角是______．
13．对于非空数集A，B，定义，将称为“A与B的笛卡尔积”．记非空数集M的元素个数为，若A，B是两个非空数集，则的最小值是______．
14．已知满足，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知椭圆C：的离心率是，且点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C的左焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若的面积是，求直线l的方程．
16．（15分）
在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）证明：．
（2）若是锐角三角形，求的取值范围．
17．（15分）
如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，其中，，．
（1）证明：平面平面PBD．
（2）若，求二面角的余弦值．
18．（17分）
以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：若定义在上的函数满足条件①在闭区间上连续，②在开区间内可导，则，．而罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例：若，则．现已知函数．
（1）设可导函数，证明：，．
（2）若在上的最小值为－1，求a的取值范围．
19．（17分）
某项测试共有n道多项选择题，每道题的评分标准如下：全部选对得5分，部分选对得2分，有选错或不答得0分．记n道题的总得分为X，X的取值个数为．
（1）求，，的值；
（2）当时，若某人参加这项测试，每道题得5分、2分、0分的概率相等，且每道题答对与否相互独立，求的概率；
（3）求数列的前n项和．
2024—2025学年山西三晋名校联考十月联合考试
数学参考答案
1．B 因为，所以．
2．D 令，得，则．
3．C 设，则．由等比数列的性质可知，，成等比数列，则，从而，故，即．
4．A 由题意可知该水库的深度（即四棱台的高），则该水库的最大蓄水量为．
5．C 由等差数列的性质可知由，得；当（a为常数）时，由，推不出．故“”是“”的充分不必要条件．
6．B 由题意可得，则．因为是偶函数，所以，即，所以，所以，解得，则，故，即曲线在处的切线斜率为0．
7．A 由题意可得．由，得．因为在上恰有2个零点，所以，解得．
8．C 由题意可知圆M的半径，则的面积．因为圆N是半径为1的圆，所以．当时，最大，且是锐角，则，即面积的最大值为．
9．ACD 由图可得A地月平均降雨量为，月降雨量的中位数为，极差为，80%分位数为42；B地月平均降雨量为，月降雨量的中位数为，极差为，80%分位数为40．故A，C，D正确，B错误．
10．ACD ，其中，，则的最小正周期，故A正确．因为直线是图象的对称轴，所以，所以，，所以，则B错误．当时，，所以，即，所以在上的值域为，则C正确．因为，，，且，所以，即，所以，则D正确．
11．ACD 以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系（图略）．由图中数据可得，，，，则，，所以，所以异面直线EF与CD所成角的余弦值是，A正确．设平面DEF的法向量为，因为，所以令，得，则点C到平面DEF的距离是，B错误．设平面与平面ABCD的交线为l，因为平面ABCD，所以．由长方体的性质易证，则．因为与平面ABCD交于点P，所以，所以，则三棱锥的体积为，C正确．由题中数据可得，，，，．因为，所以，．设线段DF的中点为O，则，即四面体CDEF外接球的半径为，故四面体CDEF外接球的表面积是，D正确．
12． 因为，所以，所以，即，则，解得．
13．4 设，，则，当且仅当时，等号成立，即的最小值是4．
14．3 因为，所以．设函数，显然函数在上单调递增，则等价于，因为，所以，所以，所以，，所以．
15．解：（1）由题意可得解得，，
故椭圆C的标准方程为．
（2）由题意可知直线l的斜率不为0，．
设直线l：，，，
联立整理得，
则，，
故．
因为的面积是，所以，即，
整理得，即，解得，
则直线l的方程为或（或）．
16．（1）证明：因为，所以，
所以，
即，
所以．
因为，所以，所以．
因为，，所以，即．
（2）解：由正弦定理可得，则．
由（1）可知，则，
则．
因为是锐角三角形，所以解得，
所以，所以，
所以，即的取值范围是．
17．（1）证明：作，垂足为E，记．
因为ABCD为等腰梯形，，，所以，，
在中，，所以，所以．
易证，所以，所以，
所以，则．
因为平面ABCD，平面ABCD，所以．
因为BD，平面PBD，且，所以平面PBD．
因为平面PAC，所以平面平面PBD．
（2）解：易证DE，DC，DP两两垂直，故以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题中数据可得，，，，
则，，．
设平面PAC的法向量为，
则令，得．
设平面PAB的法向量为，
则令，得．
设二面角为，由图可知为锐角，
则．
18．（1）证明：因为，
且在上连续，在内可导，所以由罗尔中值定理得，，．
（2）解：设，则．
当，即时，．
由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，从而，故符合题意．
当时，即时，令，得或．
当，即时，由或，得，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减．
因为在上的最小值为－1，且，
所以，得．
当，即时，恒成立，
则在上单调递增，故不符合题意．
当，即时，
由或，得，由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
从而，故不符合题意．
综上，a的取值范围为．
19．解：（1）①当时，X的取值可能为0，2，5，共3个，故；
②当时，X的取值可能为0，2，4，5，7，10，共6个，故；
③当时，X的取值可能为0，2，4，5，6，7，9，10，12，15，共10个，故．
（2）当时，的情况有以下两种：
第一种是5道题都得2分，其概率；
第二种是有2道题得5分，其他3道题得0分，其概率．
故所求概率．
（3）（解法一）当时，根据规则，得分情况如下：
0
2 5
4 7 10
6 9 12 15
… … … … …
… … … … …
… … … … …
2n … … 5n
因为奇数列的得分为偶数，偶数列的得分为奇数，最后一行得分的前一个得分（第列最后一个数），与第列第一个得分，得分恰好相差2，所以刚好连接上来（之前的所有偶数或奇数没有缺）．
因为最后一行得分（第列最后一个数），与第n列第一个得分，得分恰好相差4，所以连接起来后恰好缺了得分，
则在中不能取到的值构成的集合为．
故．结合（1）可得
当时，；当时，；
当时，，
则．
当时，满足上式，则
（解法二）假设当时，．
①当时，，在中不能取到的值构成的集合为，假设成立．
②假设当时，成立，则在中不能取到的值构成的集合为．
当时，由当时，X在中能取到的值构成的集合为，当增加一道题时，这道题的得分可以是0，2，5．
当得分为0时，X能取到的值的集合为；
当得分为2时，X能取到的值的集合为；
当得分为5时，X能取到的值的集合为．
从而当时，X能取到的值的集合为，即在中，X不能取到的值的集合为，所以，假设成立．
故当时，，即
当时，；
当时，；
当时，，
则．
当时，满足上式，则