北京市北京师范大学第二附属中学2024-2025学年高三上学期10月 数学统练1（含解析）

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2025届高三（上）数学统练1
一、单选题：本题共10小题，共40分．
1．已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．若，则（ ）
A．B．C．1D．2
3．如果，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
4．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．“空气质量指数（）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（ ）
A．5小时B．6小时C．7小时D．8小时
6．已知等差数列的公差为d,前n项和为,则“d>0”是
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪，在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ）
A．0.8B．0.4C．0.2D．0.1
8．有个砝码，总质量为，它们的质量从大到小依次构成等差数列，且最重的个砝码质量之和是最轻的个砝码质量之和的倍．用这些砝码称一个质量为的物体，则需要的砝码个数至少为（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
10．设，数列中，， ,则
A．当B．当
C．当D．当
二、填空题：本题共5小题，每小题6分，共30分．
11．函数的定义域是 ．
12．在等差数列中，公差d不为0，，且成等比数列，则 ；当 时，数列的前n项和有最大值．
13．在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:
①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;
②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;
③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是 .
14．设函数，当时，的单调递增区间为 ，若且，使得成立，则实数的取值范围为 .
15．对于非空实数集合，记，设非空实数集合满足条件“若x<1，则”且，给出下列命题：
①若全集为实数集R，对于任意非空实数集合，必有；
②对于任意给定符合题设条件的集合，，必有；
③存在符合题设条件的集合，，使得；
④存在符合题设条件的集合，，使得．
其中所有正确命题的序号是 ．
三、解答题：本题共2小题，共30分．
16．“稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量．为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了名学生进行调查，得到了这名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求的值；
(2)为进一步了解这名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记周平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，用表示这名学生中恰有名学生周平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出的值．
17．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在区间上的最小值；
(3)证明函数只有一个零点．
1．B
【分析】由补集的运算即可求解.
【详解】解：，
，
故选：B．
2．D
【分析】利用复数的除法可求，从而可求.
【详解】由题设有，故，故，
故选：D
3．D
【分析】根据不等式的性质判断A、B，再根据指数函数的性质判断C，根据对数函数的性质判断D；
【详解】解：因为，所以，故A错误；
因为，所以，故B错误；
因为，且在定义域上单调递减，所以，故C错误；
因为，且在定义域上单调递增，所以，故D正确；
故选：D
4．C
【分析】方法一：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.
【详解】[方法一]：【最优解】无序
从6张卡片中无放回抽取2张，共有15种情况，其中数字之积为4的倍数的有6种情况，故概率为.
[方法二]：有序
从6张卡片中无放回抽取2张，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况，
其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率为.
故选：C.
【整体点评】方法一：将抽出的卡片看成一个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该题的最优解；
方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出；
5．C
【分析】当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动,即时适合开展户外活动,根据分段函数的解析式,分情况讨论求出不等式解集,再求出区间长度即可.
【详解】解:由题知,当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动,
即当小于等于200时,适宜开展户外活动,
即,
因为,
所以当时,
只需,
解得:,
当时,
只需,
解得:,
综上: 适宜开展户外活动的时间段为,
共计7个小时.
故选:C
6．C
【详解】由，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“d>0”是“S4 + S6>2S5”的充要条件，选C．
【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式，通过套入公式与简单运算，可知， 结合充分必要性的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，该题“”“”，故互为充要条件．
7．A
【分析】根据题意，设某人爱好滑冰为事件，某人爱好滑雪为事件，由古典概型公式求出和，进而由条件概率公式计算可得答案．
【详解】根据题意，在该地的中学生中随机调查一位同学，设选出的同学爱好滑冰为事件，选出的同学爱好滑雪为事件，
由于中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪，则,
而同时爱好两个项目的占，即，
则该同学爱好滑该同学也爱好滑冰的概率为．
故选：A．
8．C
【分析】设个砝码的质量从大到小构成的等差数列为an，公差为，d<0，，，由题意得到基本量的方程求解，然后由等差数列的前项和公式得到不等式求解即可.
【详解】设个砝码的质量从大到小构成的等差数列为an，
公差为，d<0，，，
由题意可得，
，
即，
，
解得，，
则，
令，
又，，
解得，，
故需要的砝码个数至少为．
故选：C
9．A
【分析】将不等式问题转化为函数图象问题，结合图象求得正确答案.
【详解】依题意，，
由解得或
画出的图象如下图所示，
由图可知，不等式的解集是.
故选：A
10．A
【解析】若数列{an}为常数列，，则只需使，选项的结论就会不成立.将每个选项的的取值代入方程，看其是否有小于等于10的解.选项B、C、D均有小于10的解，故选项B、C、D错误.而选项A对应的方程没有解，又根据不等式性质，以及基本不等式，可证得A选项正确.
【详解】若数列{an}为常数列，则，由，
可设方程
选项A：时，，，
，
故此时{an}不为常数列，
，
且，
，则，
故选项A正确；
选项B：时，，，
则该方程的解为，
即当时，数列{an}为常数列，，
则，故选项B错误；
选项C：时，，
该方程的解为或，
即当或时，数列{an}为常数列，或，
同样不满足，则选项C也错误；
选项D：时，，
该方程的解为，
同理可知，此时的常数列{an}也不能使，
则选项D错误.
故选：A.
【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论的可能取值，利用“排除法”求解.
11．且
【分析】根据题意得到求解即可.
【详解】由题知：且.
故答案为：且.
12．
【分析】根据等比数列得到，解得，再计算，，得到答案.
【详解】成等比数列，故，即，
解得或（舍）.
，,，，
故时，有最大值.
故答案为：；
13．②③
【解析】根据局部频率和整体频率的关系，依次判断每个选项得到答案.
【详解】不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；
因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确；
因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确.
故答案为：②③.
【点睛】本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力.
14．
【分析】当时，作出函数的图象，利用图象求出函数的递增区间；由得关于对称，结合二次函数的对称性及方程有解判断范围.
【详解】当时，，其图象如下图：
由图知，函数的单调递增区间为；
，其图象关于对称，显然当时，
由二次函数对称知且，使得成立，符合题意；
则时，当时，关于对称的曲线为，
联立，得或（舍去），
所以当时，满足，即，符合题意；
当时，曲线，与曲线无公共点，不符合题意；
综上，实数的取值范围为.
故答案为：；
15．②③④
【分析】根据新定义运算、补集、子集、交集和空集等知识对命题进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由于非空实数集，记，则中元素为不大于中所有值的数，
即不大于中最小元素的数组成的集合．
①当集合下边界趋向负无穷大时，如，故错误；
②由于，假设中最小值为，最小值为，那么
因此表示不大于所有数组成的集合，表示所有不大于的数组成的集合，则，故正确；
③令，则，故，故正确；
④令，则，故，故正确；
故答案为：②③④
【点睛】思路点睛：解新定义题型的步骤：
(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.
(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.
(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
16．(1)
(2)分布列见解析；数学期望
(3)
【分析】（1）根据频率和为，可构造方程求得的值；
（2）根据分层抽样原则可确定人中，周平均阅读时间在，，的人数，则可确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望公式可求得期望值；
（3）根据频率分布直方图可求得周平均阅读时间在内的概率，利用二项分布概率公式可表示出，由此可确定结果.
【详解】（1），.
（2）由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在，，三组的频率之比为，
人中，周平均阅读时间在的人数为人；在的人数为人；在的人数为人；
则所有可能的取值为，
；；；；
的分布列为：
数学期望.
（3）用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，周平均阅读时间在内的概率；
则，
若最大，则最大，当时，取得最大值.
17．(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）对求导，求出，由点斜式方程即可求出答案；
（2）令，，得出在的单调性，结合零点存在性定理可得在上单调递增，在上单调递减，再比较的大小，即可得出答案.
（3）利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理，讨论，和时，的正负，即可得出证明.
【详解】（1）的定义域为，
故，，
所以曲线在点处的切线方程为：，
化简得：
（2）令，，
当时，，
所以在上单调递减，且，
，
所以由零点存在定理可知，在区间存在唯一的，使
又当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为
所以函数在区间上的最小值为.
（3），，
若，，
所以在区间上单调递增，又，，
结合零点存在定理可知，在区间有且仅有一个零点，
若，则，则，
若，因为，所以，
综上，函数在有且仅有一个零点.
【点睛】利用导数研究函数的零点，一方面利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题，转化为函数图象的交点问题，利用数形结合判断.