北京市清华大学附属中学2024-2025学年高三上学期(月考模拟)国庆作业数学试题

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1. 已知集合A = {x∈ N |1 ≤ x ≤ 3} ，B = {2, 3, 4, 5}，则 AB = ( )
A. {2} B. {2, 3} C. {2,3, 4,5} D. {1, 2,3, 4,5}
2. 复数 的虚部是( )
A . − i B ． C ． i D .
3. 若 a ，b ，c∈ R 且a > b> c ，则下列不等式一定成立的是
A ．ac2 > bc2 B ．a2 > b2 > c2 C ．a + c > 2b D ．a − c > b − c
4. 设函数f (x) = ln(1+ x) − ln(1− x) ，则 f (x) 是( )
A.奇函数，且在(0,1) 上是增函数 B.奇函数，且在 (0,1) 上是减函数
C.偶函数，且在(0,1) 上是增函数 D.偶函数，且在 (0,1) 上是减函数
5. 设α, β 是两个不同的平面，m 是直线且m α . ℼ m∥β”是“α ∥ β ”的( )
A.充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6. 函数y = sin 2x 的图象向右平移φ(φ > 0) 个单位后，图象经过点 最小值 ( )
A. B. C. D.
π π π 5π
12 6 3 6
7. 对任意实数x，都有lga (ex + 3) ≥ 1 （ a > 0 且a ≠ 1），则实数a 的取值范围是( )
A. B. (1, 3] C. (1, 3) D. [3, +∞)
8. 在平行四边形 ABCD 中， 上 AB =2 ，AD = 1，若 M ， N 分别是边BC ， CD 上的 点，且满足 ，则 的最大值为
A. 2 B.4 C. 5 D.6
9. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，
某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若
AB = 25m, BC = AD = 10m ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD 的夹角的正切值均为 ，
则该五面体的所有棱长之和为( )
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A ．102m B ．112m
C ．117m D ．125m
10．在棱长为1的正方体ABCD − A1B1C1D1 中，E ，F ，G 分别为棱AA1 ，BC ，CC1 的中点，动点H 在平面EFG 内，
且DH = 1 .则下列说法正确的是( )
A ．存在点H ，使得直线DH与直线FG 相交
B ．存在点H ，使得直线DH 丄 平面EFG
C ．直线B1H 与平面EFG 所成角的大小为
33
D ．平面EFG 被正方体所截得的截面面积为
2
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
11. 角θ 的终边经过点 ，且sinθ = - ，则tanθ = , sin = .
12. 在 ΔABC 中，a = 3, b = , B = 60 , 则c = ; ΔABC 的面积为 .
13. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知 9 枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为 9 的数列{an } ，该数列的前 3 项成等差数列，后 7 项成等比数列， 且a1 = 1, a5 = 12, a9 = 192 ，则 a7 = ；数列{an } 所有项的和为 .
14. 设函数f (x) = ex + a e− x （ a 为常数）．若f (x) 为奇函数，则a = ；若 f (x) 是R 上的
增函数，则 a 的取值范围是 .
15. 已知函数 = x2 − 给出下列四个结论：
①函数f(x) 是奇函数； ②函数f(x) 在(−∞ , 0) 和(0, +∞) 上都单调；
③当x > 0 时，函数f (x) > 0 恒成立； ④当x < 0 时，函数f(x) 有一个零点. 其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分.
16. 已知函数 tan x + cs x .
( Ⅰ ) 求f (x) 的定义域及最小正周期； ( Ⅱ ) 若f (α)=1 ，且α ∈(−π,π) ，求 α 的值.
(1)求∠A；
(2)再从下列三个条件中选择一个作为已知，使 ABC 存在且唯一确定，求 BC 边上的高.
条件①：cs B = − 条件②：sin B =
条件③： ABC 的面积为
18. 如图，三棱柱ABC − A1B1C1 的侧面BCC1B1 是平行四边形，BC1 丄 C1C ，平面A1C1CA 丄 平面BCC1B1 ，且E, F
分别是BC, A1B1 的中点.
( Ⅰ ) 求证：EF// 平面A1C1CA ；
(Ⅱ) 当侧面 A1C1CA是正方形，且BC1 = C1C 时，
( ⅰ ) 求二面角F − BC1 − E 的大小；
B1
(ⅱ) 直线EF 与平面BC1E 所成角的正弦值.
A1
A
C1
F
B E
C
19. 已知函数f (x) = a (ex + a) − x .
(1)讨论f (x) 的单调性；
证明：当a > 0 时，f > 2lna + .
20.已知函数 = xex −
( Ⅰ )当 m = 0 时，求函数f (x) 的极小值；
(Ⅱ)当 m > 0 时，讨论f (x) 的单调性；
(Ⅲ) 若函数f (x) 在区间(−∞,1)上有且只有一个零点，求 m 的取值范围.
21. 已知Q: a1 , a2 , , ak 为有穷整数数列．给定正整数 m，若对任意的n∈{1, 2, , m}，在 Q 中存在
ai , ai+1 , ai+2 , , ai+j (j ≥ 0) ，使得 ai + ai+1 + ai+2 + + ai+j = n ，则称 Q 为m− 连续可表数列.
(1)判断Q : 2,1, 4 是否为5 − 连续可表数列？是否为6 − 连续可表数列？说明理由；
(2)若Q : a1 , a2 , , ak 为8 − 连续可表数列，求证：k 的最小值为 4；
(3)若Q : a1 , a2 , , ak 为20 − 连续可表数列，且a1 + a2 + + ak < 20 ，求证：k ≥ 7 .