北京市顺义牛栏山第一中学2024-2025学年高三上学期月考 数学试卷（含解析）

这是一份北京市顺义牛栏山第一中学2024-2025学年高三上学期月考 数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学
第一部分（选择题共40分）
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中只有一个符合题目要求.
1．已知集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
2．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
4．若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ）（精确到0.1，参考数据：）
A．0.3B．0.5C．0.7D．1.5
9．已知函数（且），若存在实数使得函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ）
A．存在，使得是偶函数
B．存在，使得在上单调递减
C．存在，使得在处取极大值
D．存在，使得的最小值是
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.
11．函数的定义域为 ．
12．已知，，且，则的最小值为 .
13．设是定义在上的奇函数，当时，，若，则的取值范围是 .
14．已知函数在区间上存在增区间，则的取值范围是 .
15．已知函数，给出下列四个结论：
①对任意实数，函数总存在零点；
②存在实数，使得函数恒大于0；
③对任意实数，函数一定存在最小值；
④存在实数，使得函数在上始终单调递减.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题：共6个小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．已知，且；，且.
(1)是否存在实数，使得，，若存在求出实数的值，若不存在，说明理由；
(2)若是的充分条件，求实数的取值范围.
17．对下列式子求值：
(1)
(2)
18．《中华人民共和国乡村振兴促进法》中指出：全面实施乡村振兴战略，开展促进乡村产业振兴、人才振兴、文化振兴、生态振兴、组织振兴，推进城乡融合发展，为深入践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕产业发展生态化，生态建设产业化”思路，某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量（单位：）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：其他总成本为（单位：元），已知这种农作物的市场售价为每5元/，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为（单位：元）
(1)求的函数关系式；
(2)当投入的肥料费用为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？
19．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若，设函数，在上的最大值为2，求的取值范围.
20．已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)已知直线是曲线在点处的切线，求证：当时，直线与曲线相交于点，其中.
21．给定正整数，集合.若存在集合，，，同时满足下列三个条件：
①，；
②集合中的元素都为奇数，集合中的元素都为偶数，所有能被3整除的数都在集合中（集合中还可以包含其它数）；
③集合，，中各元素之和分别为，，，有；
则称集合为可分集合.
(1)已知为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合，，；
(2)当时，是不是可分集合？判断并说明理由；
(3)已知为偶数，求证：“是整数”是“为可分集合”的必要不充分条件.
1．A
【分析】由集合交集运算即可求解
【详解】，
所以
故选：A
2．D
【分析】根据单调性与奇偶性的定义判断．
【详解】函数在上是减函数，没有奇偶性，是偶函数，
只有既是奇函数，又在上是增函数.
故选：D
3．B
【分析】对于ACD：举反例说明即可；对于B：根据不等式的性质分析判断.
【详解】对于选项A：例如，满足，
但，即，故选项A为假命题；
对于选项B：若，则，
所以，故选项B为真命题；
对于选项C：例如，满足，
但，故选项C为假命题；
对于选项A：例如，满足，
但，即，故选项D为假命题.
故选：B.
4．C
【分析】对选项ABC利用指数函数，对数函数，幂函数的单调性比较大小，对选项D：分析值的符号判断大小.
【详解】对A：因为，所以指数函数在R上为减函数，故，故A错误；
对B：因为，所以对数函数在0,+∞上为减函数，故，故B错误；
对C：因为，所以幂函数在0,+∞上为增函数，故，故C正确；
对C：因为，所以，故，故D错误.
故选：C
5．A
【分析】结合充分条件、必要条件的概念，利用基本不等式及特例法判断即可.
【详解】若，则，当且仅当时等号成立，
当时，满足，但是，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
6．D
【分析】利用导数判断出的单调性，由此求得不等式的解集.
【详解】函数的定义域是，
，
令解得，
所以在区间上单调递增，
在区间上单调递减，
而，
故要使，则需或.
综上所述，不等式的解集为.
故选：D
7．B
【分析】令，根据的单调性得，取满足条件的特殊值排除选项ACD，可证得选项B正确；
【详解】由得，
令，即
因为在R上为增函数，在R上为减函数，故在R上为增函数，所以.
对A：取，则，故A错误；
对B：由得，所以，故B正确；
对C：取，则，故C错误；
对D：取，则，故D错误；
故选：B
8．B
【分析】根据题意利用指数模型表达式可求得，代入数据计算可得至少还需要给氧时间为0.5小时.
【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时，
由题意可得，
两边同时取自然对数并整理，得，
；
则，
则给氧时间至少还需要0.5小时.
故选：B
9．A
【分析】先求得的一个零点为，然后对进行分类讨论，由此来求得的取值范围.
【详解】，
当时，单调递增，且零点为.
当时，令，得，
若，画出（x∈R）与的图象如下图所示，

则，
所以或，
这两个方程组无解，所以不符合题意.
若，画出（x∈R）与的图象如下图所示，

此时，由图可知与有两个交点.
综上所述，的取值范围是0,1.
故选：A
10．D
【分析】根据集合的定义对选项进行分析，利用排除法、举例法来确定正确答案.
【详解】依题意，.
A选项，若是偶函数，则，
则当，时，不满足，A选项错误.
B选项，若在上单调递减，则，与题意矛盾，B选项错误.
C选项，若在处取极大值，则存在，使得在区间上，单调递增，
与“”矛盾，所以C选项错误.
D选项，设，画出图象如下图所示，
由图可知，满足，且是的最小值，所以D选项正确.
故选：D
【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：
（1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.
（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.
（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
11．
【分析】由题意得到关于的不等式组，解不等式组可得函数的定义域．
【详解】由题意得，解得，
所以函数的定义域为．
故答案为：．
12．4
【分析】应用基本不等式即可得出最小值.
【详解】因为且,
所以,
当且仅当，即时取等最小值.
故答案为：
13．
【分析】根据函数解析式判断在上为减函数，利用函数奇偶性判断函数在R上的单调性，最后利用函数奇偶性和单调性化简待求不等式即得参数范围.
【详解】因时，，可得，在上为减函数，
又是定义在R上的奇函数，故在R上为减函数.
故由可得，，
即得：，解得.
故的取值范围是.
故答案为：
14．
【分析】由条件可得f'x>0在0,1上有解，分,a>0讨论，列出满足要求的不等式，由此可求的范围.
【详解】因为函数在区间0,1上存在增区间，
所以f'x>0在0,1上有解，
即不等式在0,1上有解，
当，时，由可得，不满足要求，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：.
15．①④
【分析】根据二次函数以及对数函数的性质即可求解零点，结合函数图象即可求解①，根据时，当时，，以及时，由于，即可判断②，根据，结合二次函数的性质即可求解③，根据时，对数函数的性质即可判断④.
【详解】令，则或，令，则，
且和的图象分别如下所示：
当时，的零点有和，
当时，的零点有，故①正确，
对于②,当时，当时，，不满足题意，
当时，由于，不满足恒大于0；故不存在实数，使得函数恒大于0，②错误，
对于③,当时，的图象如下所示：此时不存在最小值；故③错误
对于④，当，图象如下：函数在上始终单调递减.故④正确
故答案为：①④
16．(1)存在，
(2)
【分析】（1）化简集合，假设存在实数满足条件，由此可列不等式求；
（2）结合充分条件定义可得，根据集合包含关系列不等式求的取值范围.
【详解】（1）解不等式，得或，
故或
假设存在，使得，，
则有且，
解得，
所以，当时满足题意；
（2）若是的充分条件，则，
则，或
解得，或，
所以的取值范围为.
17．(1)4
(2)7
【分析】（1）利用指数幂的运算性质及对数的概念化简求值即可.
（2）利用对数的运算性质化简求值即可.
【详解】（1）原式.
（2）原式.
18．(1)
(2)当投入的肥料费用为6元时，该农作物单株获得的利润最大，为42元
【分析】（1）代入售价和成本即可得到利润结果.
（2）由函数图像的性质即可得到最大值点和最大值.
【详解】（1）解：由题意可得，
所以函数的关系式为
（2）当时，的图象为开口向上的抛物线，
对称轴为，
所以当时，；
当时，，
当且仅当，即时等号成立，此时.
综上：当投入的肥料费用为6元时，该农作物单株获得的利润最大，为42元.
19．(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，结合切点即可求得；
（2）将函数求导后，根据参数的范围分别讨论导函数的正负，即得函数的单调性；
（3）利用（2）的函数单调性结论，结合给定区间，将参数分类讨论，分别判断函数在0,1上的最大值情况，得到不等式，求解即得.
【详解】（1），，
，又，
故曲线y=fx在点处的切线方程为；
（2）函数的定义域为R，
令，解得，
①当时，，在上单调递增，（或单增区间为）；
②当时，由f'x>0可得，，或，由f'x<0可得，，
此时，单调递增区间为，；单调递减区间是.
③当时，由f'x>0可得，，或，由f'x<0可得，，
此时单调递增区间为，0,+∞；单调递减区间是.
综上可得：当时，，在上单调递增；
当时，单调递增区间为，；单调递减区间是；
当时，单调递增区间为，0,+∞；单调递减区间是
（3）由（2）可知：若，单调递增区间为，；单调递减区间是.
①当时，即，此时在-1,0上单调递增，在0,1上单调递减，
因，则，
因在0,1上的最大值为2，则有，解得，故有；
②当时，即，此时在-1,0上递增，在上递减，在上递增，
因，则，
因，，，
，，，且，
则只需使，，解得，故有.
综上可得,的取值范围是.
20．(1)极大值为1，没有极小值
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性和极值；
（2）根据题意可得恒成立，构建，分类讨论的符号，利用导数求最值，结合恒成立问题分析求解；
（3）根据导数的几何意义可得当时，方程有小于的解，构建，其中，，利用导数研究函数零点分析证明.
【详解】（1）由题意可知：的定义域为R，且，
令时，，
则，f'x，的关系为
所以，当时，取到极大值为1，没有极小值.
（2）若，即恒成立，
设，则，
①当时，则恒成立，符合题意；
②当时，则，可知在0,+∞上单调递增，
因为，所以不恒成立；
③当时，，，的关系为
可知的最小值为，则，
因为，则，解得；
综上所述：实数的取值范围是.
（3）因为，，则，
即切点坐标为，切线斜率为，
可得的方程为，即，
联立方程，可得，
由题可知：当时，方程有小于的解，
设，其中，且，则，
设，则，
因为，，，Fx的关系为
可知Fx的最小值，且，
可知，使，
当时，，即h'x>0；
当时，，即h'x<0；
可知hx在内单调递增；在内单调递减，
可知hx的最大值，且，
可知hx存在小于的零点，
所以当时，直线与曲线y=fx相交于点，其中，得证.
【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题
（1）分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
（2）函数思想法
第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
21．(1)，，(答案不唯一)
(2)不是，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）取，按照定义列举即可；
（2）方法一：用反证法即可得结论；
方法二：由题意可得所有元素和为，中元素是偶数，从而得是12的倍数，又因为时，不是12的倍数，即得矛盾；
（3）按照必要不充分条件的定义证明即可
【详解】（1）解：依照题意，取时，
，
又，，
则，
所以可以取，，；
（2）解：当时，不是可分集合，理由如下：
方法一：
假设存在是3的倍数且是可分集合，设，则依照题意，
故，
而这个数的和为，
故，矛盾，
所以是3的倍数时，一定不是可分集合；
方法二：
注意到所有元素和为，又中元素是偶数，
所以（为正整数），
所以，即是12的倍数.
容易验证，当时，不是12的倍数，矛盾！
所以当时，不是可分集合；
（3）证明：因为所有元素和为，又中元素是偶数，
所以（为正整数），
所以，因为，为连续整数，
故这两个数一个为奇数，另一个为偶数，
由（2）知道，不是3的倍数，所以一定有是3的倍数.
当为偶数时，为奇数，而，
所以一定有是3的倍数，是4的倍数，
所以既是3的倍数又是4的倍数，
从而可分的一个必要条件是：是12的倍数.
从而“是整数”是“为可分集合”必要条件.
另一方面，当时，不是可分集合，从而“是整数”不是“为可分集合”充分条件
（可以验证：当，56，时，不可分，其余满足是正整数情形，都可分）
综上可知，“是整数”是“为可分集合”的必要不充分条件.
【点睛】关键点睛：对于新定义题目，理解和利用定义进行解答是关键.
0
0,+∞
f'x
0
单调递增
极大值
单调递减
0
单调递减
极小值
单调递增
1
0
Fx
单调递减
，
单调递增