2025年广东省小高考数学模拟卷

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一、选择题
1．设集合A＝{x|－1 x 2}，集合B＝{x|1 x 3}，则A∪B＝（ ）
A．{x|－1 x 3}B．{x|－1 x 1}
C．{x|1 x 2}D．{x|2 x 3}
2．已知正数 满足 ，则 有（ ）
A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值
3．若函数 为奇函数，则 （ ）
A．B．C．D．
4．在下列四组函数中，f(x)与g(x)表示同一函数的是（ ）
A．f(x)＝ ，g(x)＝
B．f(x)＝|x＋1|，g(x)＝ x+1，x≥−1−x−1，x<−1
C．f(x)＝x＋2，x∈R，g(x)＝x＋2，x∈Z
D．f(x)＝x2，g(x)＝x|x|
5．已知 ， ， ，则（ ）
A．B．C．D．
6．2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID-19(新冠肺炎)新冠肺炎患者症状是发热､干咳､浑身乏力等外部表征.“某人表现为发热､干咳､浑身乏力”是“新冠肺炎患者”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．如果先将函数 的图象向左平移 个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，那么最后所得图象对应的函数解析式为（ ）
A．B．
C．D．
8． ，若 ，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．复数 满足 ，则 的虚部是（ ）
A．B．C．D．-1
10．和直线 都平行的直线 的位置关系是（ ）
A．相交B．异面
C．平行D．平行、相交或异面
11．“某彩票的中奖概率为”意味着（ ）
A．买1000张彩票就一定能中奖B．买1000张彩票中一次奖
C．买1000张彩票一次奖也不中D．购买彩票中奖的可能性是
12．如图所示的四组数据，标准差最小的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．若 是一次函数， 且，则 .
14．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用的开水泡制，再等茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感若茶水原来的温度是，经过一定时间后的温度，则可由公式求得，其中表示室温，是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数，现有一杯的绿茶放在室温为的房间中，已知茶温降到需要那么在室温下，用的开水刚泡好的茶水大约需要放置时间 ，才能达到最佳饮用口感．
15．已知 ，则 .
16．已知甲的三分球投篮命中率为0.4，则他投两个三分球，两个都投中的概率 .
17．某圆锥母线长为4，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥高为 .
18．在△ABC中，AB＝2，AC＝1，D为BC的中点，则 ＝ .
三、解答题
19．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则与分别为2万元和8.2万元．记两项费用之和为．
（1）求关于的解析式；
（2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值．
20．的内角的对边分别为，已知
（1）求C；
（2）若，求的面积．
有关部门要了解甲型 流感预防知识在学校的普及情况，特制了一份有10道题的问卷到各学校进行问卷调查.某中学A，B两个班各被随机抽取了5名学生接受问卷调查.A班5名学生得分为：60，80，70，90，70；B班5名学生得分为：80，60，70，80，75(单位：分).
请计算A班得分的第80百分位数是多少；
（2）请你计算A，B两个班中哪个班的平均分高，哪个班问卷得分要稳定一些.
22．如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】由题意知 ，
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合并集的运算法则，从而求出集合A和集合B的并集。
2．【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由基本不等式知： 当且仅当 时等号成立，即 有最大值 .
故答案为：D
【分析】利用基本不等式即可求 的最值.
3．【答案】B
【知识点】奇函数
【解析】【解答】因为函数 为奇函数，
所以
即
整理得 ，
因为 ，
所以 .
故答案为：B.
【分析】根据奇函数的性质， ，整理化简后，得到 的值.
4．【答案】B
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，两函数定义域不同，故排除A；
根据绝对值的性质，函数 f(x)=|x+1|=x+1，x≥−1−x−1，x<−1 与函数 完全相同，B符合题意；
函数 与函数 的定义域和值域均不同，故排除C；
函数 值域为 ，函数 g(x)=x|x|=−x2，x<0x2 ，x≥0 值域R，两函数解析式和值域均不同，故排除D；
故答案为：B
【分析】根据同一函数的条件，判断函数的三要素，其中有一个不同即可排除，逐一检验即可.
5．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】∵ ， ， ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出结果.
6．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】表现为发热､干咳､浑身乏力者不一定是感染新型冠状病毒，或者只是普通感冒等，
故“某人表现为发热､干咳､浑身乏力”是“新冠肺炎患者”的不充分条件；
而新型冠状病毒感染者早期症状表现为发热､干咳浑身乏力等外部表征，
故“某人表现为发热､干咳､浑身乏力”是“新冠肺炎患者”的必要条件；
因而“某人表现为发热､干咳､浑身乏力”是“该人患得新型冠状病毒”的必要不充分条件.
故答案为：A
【分析】结合题意即可得出现为发热､干咳､浑身乏力者不一定是感染新型冠状病毒，或者只是普通感冒由充分必要条件的定义即可得出答案。
7．【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】先将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到 ，再将所得图象向上平移 个单位长度得到 .
故答案为：B
【分析】利用三角函数图象的平移变换分析解答即得解.
8．【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ，
解得 ，
故答案为：B
【分析】根据平面向量平行的坐标关系解答即可。
9．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由已知得 ，所以 的虚部为-1.
故答案为：D.
【分析】由 可得，然后化简判断 的虚部 。
10．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】由平行公理，可知平行与同一直线的两直线是平行的，所以和直线 都平行的直线 的位置关系是平行，
故答案为：C．
【分析】根据题意由空间中直线与直线的位置关系，对选项逐一判断即可得出答案。
11．【答案】D
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】由概率的意义可知，“某彩票的中奖概率为”意味着“购买彩票中奖的可能性是”.
故答案为：D.
【分析】根据概率的意义可得出结论.
12．【答案】A
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】对A， ，
，
对B， ，
，
对C， ，
，
对D， ，
，
所以标准差最小的是A.
故答案为：A.
【分析】根据题意由频率直方图中的数据结合平均数公式以及方程公式代入数值计算出结果由此对选项逐一判断即可得出答案。
13．【答案】 或-2x+1
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】由题意可设 ，
，
又 ，
，解得 或 ，
或 ，故答案为 或 .
【分析】可设 ，代入可得 ，可得关于 与 的方程，解方程可得到结论.
14．【答案】20
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：一杯的绿茶放在室温为的房间中，已知茶温降到需要10， ，求得
一杯的茶水放在室温为室内，茶温降到需要，求得，
在室温下，用的开水刚泡好的茶水大约需要放置时间20，才能达到最佳饮用口感.
故答案为：20.
【分析】将 代入求出，再将代入求出时间即可.
15．【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】由 ，可得 ，
所以 ，
故答案为： .
【分析】利用同角三角函数基本关系式即可求出。
16．【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：因为投球命中是否相互独立，所以两个都投中的概率为.
故答案为：.
【分析】根据独立事件的乘法公式求两个都投中的概率即可.
17．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：设圆锥底面半径为 ，则 ，所以 ，
则圆锥高 ，
故答案为： 。
【分析】利用圆锥母线长为4，其侧面展开图为半圆面，再结合圆的周长等于侧面扇形的弧长，从而求出底面圆的半径，再利用勾股定理的逆定理，从而求出该圆锥高。
18．【答案】
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】
【分析】 利用向量的三角形法则、数量积运算性质即可得出．
19．【答案】（1）解：∵每月土地占地费y1（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，
∴可设，
∵每月库存货物费y2（单位：万元）与（4x+1）成正比，
∴可设y2＝（4x+1）k2，
又∵在距离车站10km处建仓库，则y1与y2分别为2万元和8.2万元，
∴k1＝2×10＝20，，
∴，y2＝（4x+1）×0.2＝0.8x+0.2，
∴w＝y1+y2＝ （x＞0）．
（2）解：∵≥，当且仅当，即x＝5时等号成立，
∴这家公司应该把仓库建在距离车站5千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为8.2万元．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件，整理化简即可得出函数的解析式。
(2)由已知条件即可得出满足题意的函数的解析式，再由基本不等式即可求出函数的最值。
20．【答案】（1）解：由正弦定理得：
即
（2）解：由余弦定理得
得即
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合正弦定理和三角形内角和为180度的性质，再结合三角形中角的取值范围，进而得出角C的余弦值，再结合三角形中角C的取值范围，进而求出角C的值。
（2）利用已知条件结合余弦定理得出ab的值，再结合三角形的面积公式得出三角形 的面积。
【答案】（1）5×80%=4，把A班的得分按照从小到大排列为：60,70,70,80,90；则A班得分的第80百分位数为80+902 = 85
（2）解 ， ，
， ，
，
∴ 班的平均成绩较好， 班的问卷得分要稳定一些.
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）利用百分位数的定义计算（2）利用平均数，方差公式分别求得A，B两个班成绩的平均值和方差，并比较大小即可知哪个班的平均分高，那个班问卷得分要稳定。
22．【答案】（1）证明： ，并且 平面ABC，
∴PA 平面ABC，又BD 平面ABC，
（2）解：当PA 平面BDE时，∵平面PAC∩平面BDE=DE，PA 平面PAC，∴PA DE.又因为D为线段AC的中点，所以DE为 的中位线， ，且DE 平面ABC．
，
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】根据题意由三棱锥的几何性质即可得出线线垂直，再由线面垂直的判定定理和性质定理即可得证出结论。
(2)由线面平行的性质定理结合三角形的几何性质，整理即可得出线线垂直，然后由线面垂直的判定定理即可得出线面垂直，由此得出平面的垂线，再把数值代入到三棱锥的体积公式计算出结果即可。