广东省肇庆市德庆县香山中学2024-2025学年高三上学期8月月考 数学试题（含解析）

这是一份广东省肇庆市德庆县香山中学2024-2025学年高三上学期8月月考 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了设集合，集合，则等于，设，，，则三者的大小顺序是，设,则是的，已知函数，若，则，函数中的图像可能是，若，则下列不等式中正确的有，设正实数m，n满足，则等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，集合，则等于（ ）
A．B．
C．D．
2．设，，，则三者的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
3．设,则是的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．函数中的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
6．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A．60B．63C．66D．69
8．已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若，则下列不等式中正确的有（ ）
A．B．C．D．
10．设正实数m，n满足，则（ ）
A．的最小值为B．的最小值为
C．的最大值为1D．的最小值为
11．已知定义在上的函数满足为偶函数，的图象关于原点对称，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．
C．当时，
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有 种．（用数字填写答案）
13．已知集合，若，则的最小值为 ．
14．已知函数.若存在，使，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．某市销售商为了解A、B两款手机的款式与购买者性别之间是否有关系，对一些购买者做了问卷调查，得到列联表如表所示：
(1)根据小概率之值的独立检验，能否认为购买手机款式与性别有关？
(2)用购买每款手机的频率估计一个顾客购买该款手机的概率，从所有购买两款手机的人中，选出3人作为幸运顾客，记3人中购买款手机的人数为，求的分布列与数学期望.
参考公式：（其中）.临界值表：
16．已知函数．
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）设是函数的导函数，求零点之间距离最小时a的值．
17．设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，．
(1)求证：是周期函数；
(2)当时，求的解析式；
(3)计算．
18．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
19．已知定义在上的函数的表达式为，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列（）.
(1)求函数在区间上的值域；
(2)求证：函数在区间（）上有且仅有一个零点；
(3)求证：.
购买A款
购买B款
总计
女
25
20
45
男
15
40
55
总计
40
60
100
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
1．A
【分析】解不等式求得集合,根据并集定义运算得解.
【详解】,
,
∴=，
故选：A.
2．B
【分析】分别比较和的大小关系，进而得出结论.
【详解】因为，，，
所以，
故选：B.
3．B
【详解】试题分析：,，所以是必要不充分条件，故选B.
考点：1.指、对数函数的性质；2.充分条件与必要条件.
4．C
【分析】根据，利用可构造方程求得结果.
【详解】，，解得：.
故选：C.
5．D
【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据函数在上函数值的正负情况，利用排除法判断即可.
【详解】解：因为定义域为，
又，
所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B，
又时，，所以，
所以，故排除C；
故选：D
6．D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
7．C
【分析】将代入函数结合求得即可得解.
【详解】，所以，则，
所以，，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.
8．B
【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【详解】因为当时，所以，
又因为，
则，
，
，
，
，则依次下去可知，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.
9．AB
【分析】根据作差法，判断A;根据指数函数的单调性，判断B;举反例可说明C的正误；同样据反例，判断D.
【详解】对于A选项，因为，所以，故A正确；
对于B选项，因为函数在R上单调递增，所以，故B正确；
对于C选项，当时，不成立，故C不正确；
对于D选项，当，时，，故D不正确,
故选:AB.
10．AD
【分析】运用基本不等式逐一运算判断即可.
【详解】对于A，因为正实数m，n满足m＋n＝1，
所以，
当且仅当且，即时取等号，A正确；
对于B，，
当且仅当时取等号，所以≤， 即最大值为，B错误；
对于C，，
当且仅当时取等号，此时取最大值，C不正确；
对于D，由，
因此，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
即的最小值为，D正确．
故选：AD
11．BC
【分析】由为偶函数，的图象关于原点对称，可得函数周期为4，且可知当时，，从而可逐项判断.
【详解】为偶函数，
∴fx的图象关于直线对称，故A错误；
的图象关于原点对称，，
当时，，
，故C正确；
由的图象关于直线对称，且关于原点对称，
所以，
则，即函数周期为4，
，，
，由选项C可知函数在上单调递增，
所以，，故B正确；
由前可知，，
，故D错误.
故选：BC.
12．
【分析】方法一：反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从人中任选人的选法种数减去没有女生的选法种数，即可解出.
【详解】［方法一］：反面考虑
没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，
故至少有位女生入选，则不同的选法共有种．
故答案为：.
［方法二］：正面考虑
若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有种；
若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有种，则不同的选法共有种．
故答案为：.
【整体点评】方法一：根据“正难则反”，先考虑“至少有位女生入选”的反面种数，再利用没有限制的选法种数减去反面种数即可求出，对于正面分类较多的问题是不错的方法；
方法二：正面分类较少，直接根据女生的人数分类讨论求出．
13．
【分析】由可得，解出集合后结合集合的关系计算即可得.
【详解】由，故，
由，得，
故有，即，即，
即的最小值为.
故答案为：.
14．
【分析】作出函数的图象，根据二次函数的对称性，运用数形结合思想进行求解即可.
【详解】作出的大致图象如图，设，
函数与直线交点横坐标为，自左向右依次排列，
二次函数的对称轴为，
由图可知，关于直线轴对称，即，，
又，所以，
由图象知，当时，，
所以．
故答案为：0,1
【点睛】关键点点睛：本题的关键是运用数形结合进行求解.
15．(1)购买手机款式与性别有关
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据表格计算卡方值，并依据小概率值进行独立性检验即可.
（2）先求出购买款手机的概率，然后利用二项分布的概率求解分布列和数学期望即可.
【详解】（1）零假设：假设购买手机款式与性别无关..
由.
根据小概率值的独立检验，我们推断不成立，即认为购买手机款式与性别有关.
（2）由题设，从所有购买两款手机的人中，选出1人购买款手机的概率为，
所以，选出3人作为幸运顾客，其中购买款手机的人数，
故，，
，.
分布列如下：
所以.
16．（1）；（2）
【解析】（1）当时，，求出切点，求导得，，点斜式即可写出切线方程；
（2），有两个零点，分别设为，
利用根与系数的关系可得，，代入
即可求解.
【详解】（1）当时，，可得，所以切点为，
因为，所以，
所以在处的切线方程为：，
即，
（2），
因为，
所以函数有两个零点，分别设为，
则，，
所以，
所以当时，函数零点之间距离最小为.
【点睛】方法点睛：求曲线切线方程的一般步骤是：
（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.
17．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）把看成一个整体证明即可；
（2）当时，可得出，再由可求得函数在上的解析式；
（3）计算出、、、的值，再利用函数的周期性可求得的值.
【详解】（1）证明：因为是定义在上的奇函数，且对任意实数，，
则，所以函数是周期为的周期函数.
（2）解：当时，，
此时，.
（3）解：因为当时，；当时，，
所以，，，，，
因为，
所以，
.
18．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；
（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可.
方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证.
【详解】（1）因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）方法一：
由（1）得，，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
方法二：
令，则，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
又，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，则，当且仅当时，等号成立，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以要证，即证，即证，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
19．(1)0,π
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求得的导数，判断的单调性，可得所求值域；
（2）讨论为奇数，或偶数时，的单调性，结合函数零点存在定理，可得证明；
（3）由（2）可知函数在（）上且仅有一个零点，再由零点存在定理、以及正切函数的性质和不等式的性质，可得证明.
【详解】（1）由，
当时，，即函数在区间上是严格增函数，
且，，
所以在区间上的值域为.
（2）当时，
①当是偶数时，，
函数在区间上是严格增函数；
②当是奇数时，，
函数在区间上是严格减函数；
且，故，
所以由零点存在定理可知，
函数在区间上有且仅有一个零点.
（3）由（2）可知函数在上有且仅有一个零点，
且满足，即（几何意义：是与交点的横坐标）
又因为，故，
所以由零点存在性定理可知，
函数在上有且仅有一个零点，
于是，
①因为，得
所以，即；
（或者
）
② 因为
由（1）可知，当时，有
故，所以；
由①②可知.
【点睛】关键点点睛：本题第三问，借助在（）上且仅有一个零点，利用正切函数的性质和不等式的性质求解.
0
1
2
3