广东省中山市华侨中学2025届高三上学期9月第一次模拟考试 数学试题（含解析）

这是一份广东省中山市华侨中学2025届高三上学期9月第一次模拟考试 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了函数在区间上的零点个数为，已知，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
本卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校､姓名､班级､座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔或涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知函数是定义域为的偶函数，在区间上单调递增，且对任意，均有成立，则下列函数中符合条件的是（ ）
A. B.
C. D.
4.某市共10000人参加一次物理测试，满分100分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在的学生人数大约为（ ）
（若，则）
A.1359 B.2718 C.3414 D.4773
5.的展开式中，各项的二项式系数只有第4项最大，则常数项为（ ）
A.160 B.20 C. D.
6.2023年第19届亚运会在杭州举行，亚运会的吉祥物琮琮､莲莲､宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如表所示：若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ）
A.由题中数据可知，变量y与x负相关
B.当时，残差为0.2
C.可以预测当时销量约为2.1万只
D.线性回归方程中
7.函数在区间上的零点个数为（ ）
A.1个 B.4个 C.2个 D.0个
8.已知定义在上的函数的导函数为，对于任意的实数都有，且时，.若，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知，则下列结论正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则的最小值为9
D.若，则的最大值为
10.已知定义在上的函数满足，当时，，则（ ）
A.
B.为奇函数
C.在上单调递减
D.当时，
11.已知函数，则下列结论中正确的有（ ）
A.必有唯一极值点
B.若，则在上单调递增
C.若，对有恒成立，则
D.若存在，使得成立，则
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数为奇函数，则的值为__________.
13.某药厂用甲､乙两地收购而来的药材加工生产出一种中成药，这两个地区的供货量分别占，且用这两地的药材能生产出优等品的概率分别为，现从该厂产品中任意取出一件产品，则此产品是优等品的概率为__________.
14.已知函数，则不等式的解集为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）计算：
（1）；
（2）.
16.（15分）推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择.为调查居民对垃圾处理情况，某社区居委会随机抽取400名社区居民参与问卷调查并全部收回.经统计，有60%的居民对垃圾分类处理，其中女性占；有40%的居民对垃圾不分类处理，其中男性女性各占.
（1）请根据以上信息完成2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为垃圾处理与性别有关？
（2）为了提高社区居民对垃圾分类的处理能力，该社区成立了垃圾分类宣传小组，利用周末的时间在社区进行垃圾分类宣传活动，并在每周宣传活动结束后，重新统计对垃圾不分类处理的居民人数，统计数据如下：
请根据所给的数据，建立对垃圾不分类处理的人数与周次之间的经验回归方程，并预测该社区第10周对垃圾不分类处理的人数.
附：，其中.
参考公式：，.
17.（15分）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为.将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）.
（1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围；
（2）设备占地面积为多少时，的值最小？
18.（17分）某社区服务中心为了提高员工技能水平，准备举行技能大赛活动.现有4名男员工，2名女员工报名，随机选取2人参加.
（1）求在有女员工参加技能大赛的条件下，恰有一名女员工参加活动的概率；
（2）记参加活动的女员工人数为，求的分布列及期望；
（3）若本次活动有负重短跑､安全常识识记､消防操作三个可选项目，每名女员工至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男员工至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“社区明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为，求的期望.
19.（17分）已知函数.
（1）当时，直线（为常数）与曲线相切，求的值；
（2）若恒成立，求的取值范围；
（3）若有两个零点，求证：.
中山市华侨中学2025届高三第一次模拟考试
高三数学
参考答案
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】C
【解析】
【分析】先解集合中的不等式，解出的范围，再求得即可.
【详解】由，解得，即，因为，
.
故选：C.
2.【答案】B
3.【答案】D
【解析】
【分析】由指数､对数运算性质结合函数单调性､奇偶性定义逐一判断每个选项即可求解.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故不是偶函数，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，
又定义域为全体实数，它关于原点对称，且，即函数是定义域为的偶函数，
当时，单调递增，满足题意.
故选：D.
4.【答案】A
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性求，再计算人数即可.
【详解】因为，即，
所以，
所以，
所以抽测成绩在的学生人数大约为人.
故选：A.
5.【答案】C
【解析】
【分析】依题意，根据二项式系数性质，可知，从而可得展开式通项，令即可求得常数项的值.
【详解】解：因为二项展开式中的各项的二项式系数只有第4项最大，所以，
则展开式的通项为，
令，解得，
所以，即展开式中常数项为.
故选：C.
6.【答案】B
【解析】
【分析】对于选项A，利用表中数据变化情况或看回归方程的正负均可求解；对于选项B，利用样本中心点求出线性回归方程，再利用回归方程即可求出预测值，进而可求出残差；对于选项C，利用回归方程即可求出预测值；对于选项D，利用回归方程一定过样本中心点即可求解.
【详解】对于选项A，从数据看，随的增大而减小，所以变量与负相关，故A正确；
对于选项B，由表中数据知，，
所以样本中心点为，将样本中心点代入中得，
所以线性回归方程为，所以，残差，故B错误；
对于选项C，当时销量约为（万只），故C正确.
对于选项D，由B选项可知，故D正确.
故选：B.
7.【答案】D
【解析】
【分析】根据函数零点意义变形，构造函数并探讨函数的最值即可得解.
【详解】当时，由，即，得，
当时，恒成立，而恒成立，因此不成立，
所以函数在区间上的零点个数为0.
故选：D
8.【答案】C
【解析】
【分析】构造函数，由奇偶性定义判断为偶函数，再由导数结合得出其单调性，最后由单调性以及奇偶性比较大小即可.
【详解】解：令，
对于任意的实数都有，即为偶函数；
当时，，
当时，为增函数；
又
，即.
故选：C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.【答案】BD
10.【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，赋值法得到；B选项，先赋值得到，
令得，故B正确；C选项，令，且，当时，，
故，从而在上单调递增；D选项，先变形得到，又，故，由函数单调性得到D正确.
【详解】A选项，中，令得，，
又，故，
令中，令得，
令得，即，A正确；
B选项，中，令得，解得，
中，令得，
故为奇函数，B正确；
C选项，中，令，且，
故，即，
当时，，故，
即，故在上单调递增，C错误；
D选项，，
又，故，
又在上单调递增，所以，D正确.
故选：ABD
11.【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，求函数的导数，判断当时，，即此时无极值点，判断A；对于B，求出函数的导数，判断其正负即可；对于C，构造函数，将有恒成立，转化为求函数的最值问题判断即可；对于D，将问题转化为在时，，然后构造函数，求该函数的最值即可.
【详解】由题意得，当时，，
此时单调递增，无极值点，故A错误；
当时，，故当时，，
则在上单调递增，故B正确；
当时，对有恒成立，
当时，恒成立，
当时，即对恒成立，
令，
当时，递减，当时，递增，
故，故，故C错误；
若存在，使得成立，即在时，，
令，当时，，
故，故，故D正确，
故选：BD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】
13.【答案】0.74##
【解析】
【分析】根据全概率公式计算可得.
【详解】记产品是优等品为事件A，来自甲地为事件B，来自乙地为事件C，
则，
所以，
故从该厂产品中任意取出一件产品，则此产品是优等品的概率为0.74.
故答案为：0.74
14.【答案】
【解析】
【分析】利用导数判断单调性，再判断奇偶性，即可求解不等式.
【详解】由可得：，
所以函数是上的增函数，
又由可得：函数是奇函数，
则，
即
解得.
故答案：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.【答案】（1）；（2）3
【分析】（1）根据指数幂的运算求解；
（2）根据对数的定义及运算求解.
【详解】（1）由题意可得：
.
（2）由题意可得：
.
16.【答案】
（1）列联表见解析，认为对垃圾处理与性别有关，犯错误的概率不大于0.005.
（2）；37.
【解析】
【分析】（1）由题意计算完成联列表，再计算由独立性检验的方法判断即可求解；
（2）由最小二乘法求回归直线方程即可
【小问1详解】
由题意，
则联列表为：
零假设为：对垃圾处理与性别无关.
根据列联表中的数据，经计算得到
.
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即能认为对垃圾处理与性别有关，犯错误的概率不大于0.005.
【小问2详解】
，，
，，
，
所以，
即所求的经验回归方程为；
令，得，
所以预测该社区第10周对垃圾不分类处理的人数为37.
17.
【答案】（1）；（2）设备占地面积为时，y的值最小.
【解析】（1）由题意得.
要满足题意，则
即，解得：.
即设备占地面积的取值范围为.
（2），
当且仅当时等号成立.
所以设备占地面积为时，的值最小.
18.【解】（1）设“有女员工参加活动”为事件A，“恰有一名女员工参加活动”为事件B，
则.
所以.
（2）依题意知X服从超几何分布，且
，
所以X的分布列为：
（3）设一名女员工参加活动可获得分数为，一名男员工参加活动可获得分数为，则
的所有可能取值为的所有可能取值为6，9，
，
有X名女员工参加活动，则男员工有名参加活动，，所以
即两个员工得分之和的期望为13分.
19.（1）当时，.
设切点，则
消得，解得，代入得.
（2）方法一：因为，所以，
当时，设，则，
所以当时，单调递减；当时，单调递增.
所以.
又，故恒成立，所以成立.
当时，，所以当时，单调递减；当时，单调递增.
故，解得，又，所以，
综上所述，的取值范围为.
方法二：因为恒成立，
又，所以上式等价于恒成立.
记，则，
设，则.
当时，在上单调递减；当时，在上单调递增.所以.
所以当时，在上单调递减；当时，在上单调递增.所以.
故的取值范围为.
方法三：因为恒成立，
又，所以上式等价于恒成立.
记，则，
所以当时，在上单调递减；当时，在上单调递增.所以.
令，则，则恒成立.
记，则，
所以在上单调递增，所以，所以.
故的取值范围为.
（3）方法一：因为有两个零点，不妨设，
则，
即，即，
令，则，
所以当时，单调递减；当时，单调递增.
所以.
令，则单调递增，
又，所以，即.
由的单调性可知.
思路一：构造函数.
则，
故在上单调递减，
又，所以，则，即，
又，所以，
又在上单调递增，所以.
故.
思路二：要证，即证，即证.
令，即证.
构造函数.
则，
故在内单调递减，则，即.
故.
思路三：因为，即，
令，则
即
要证，即证，
即证，即证，
下同思路一，略.
方法二：因为有两个零点，不妨设，
则，
即.
令，则，
所以当时，单调递减；当时，单调递增.
所以.
令，则单调递增，
又，所以，即
由的单调性可知.
思路一：构造函数.
则
，
令，则，
所以当时，单调递减，
所以当时，，则，所以，
故在上单调递减，又，所以，则，即，
又，所以，
又在上单调递增，所以.
故.
思路二：因为，所以，
即，
令，要证，即证，
即证.
构造函数.
则，
故在上单调递减，则.
故.
注：要证明，即证，构造函数.
则，
故在上单调递减，则.故.
思路三：令，则即.
要证，即证，即证.
下同思路二，略.
思路四：对两边取对数，得，下面同方法一.时间x
1
2
3
4
5
销售量y/万只
5
4.5
4
3.5
2.5
性别
垃圾处理
合计
不分类
分类
男性
女性
合计
周次
1
2
3
4
5
对垃圾不分类处理的人数
120
105
100
95
80
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
垃圾处理
合计
不分类
分类
男性
80
80
160
女性
80
160
240
合计
160
240
400
0
1
2