广西南宁市第十四中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷

这是一份广西南宁市第十四中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷，共12页。试卷主要包含了已知向量，若，则，直线的倾斜角等于，与向量共线的单位向量可以为，已知，且，则在上的投影向量为，下列命题是真命题的有等内容，欢迎下载使用。
班级：__________姓名：__________学号：__________
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分､在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量，若，则（ ）
A. B.4 C. D.
2.直线的倾斜角等于（ ）
A. B. C. D.
3.与向量共线的单位向量可以为（ ）
A. B. C. D.
4.如图，在平行六面体中，点分别为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
5.已知，且，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，二面角等于是棱上两点，分别在半平面内，，且，则的长等于（ ）
A. B. C.4 D.2
8.如图，在直三棱柱中，，已知与分别为和的中点，与分别为线和上的动点（不包括端点），若､则线段长度的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若向量与的夹角为锐角，则实数的值可能为（ ）.
A.4 B.5 C.6 D.7
10.下列命题是真命题的有（ ）
A.直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直
B.直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C.平面的法向量分别为，则
D.平面经过三点，向量是平面的法向量，则
11.如图，棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为线段上的动点则（ ）
A.三棱锥的体积为定值
B.存在点，使得平面
C.为中点时，直线与所成角最小
D.点到直线距离的最小值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量，则向量与的夹角为__________.
13.已知空间向量，若，则__________.
14.如图，棱长为2的正方体中，为的中点，点在底面上（包括边界）移动，且满足，则点在底面上运动形成的轨迹长度为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知三角形的顶点坐标为.
（1）求过点且与边平行的直线；
（2）求边上的高所在的直线方程.
16.（15分）在中，角的对边分别为，且.
（1）求：
（2）若，求的面积.
17.（15分）在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.
（1）求点到直线的距离；
（2）求证：面.
18.（17分）如图，平面，点分别为的中点.
（1）求证：平面：
（2）求平面与平面夹角的正弦值：
（3）若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求到平面的距离.
19.（17分）如图，在四棱锥中，平面平面，.
（1）求证：平面.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
（3）在棱上是否存在点，使得平面若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
高二上9月月考数学卷答案
12. 13. 14.
8.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
则，设点坐标为，
故，因为，
故可得，则，由可得，
又，故，
故当时，取得最小值；又当时，，但无法取到，则无法取到1；
综上，线段长度的取值范围为.故选：A
11.【详解】
如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系.
则，
.
对于A项，在正方体中，平面平面平面，
由面面平行的性质可得，平面，由点在线段上，
则到平面的距离，即点到平面的距离等于.
因为，所以则是个定值，故A项正确：
对于项，假设存在点，使得平面.设.
，
则.所以，
，所以，满足条件.
此时有平面平面，
所以，存在点，使得平面，故B项正确；
对于C项，设直线与所成角为.因为.
所以，
所以.因为，
所以当时，有最小值，显然有，则有最大值，
根据余弦函数的单调性可知，当时，有最小值，故C项错误；
对于D项，因为，
所以，在方向上投影向是的长度为，
由知，当时，有最小值，则有最大值为，又，所以点到直线距离的最小值为，故D项错误.故选：AB.
14.【详解】由正方体棱长为2，以为坐标原点，分别以为轴建立如下图所示的空间直角坐标系；设且，
易知，可得，
由可知，即，
即.
当时，，即图中的中点；当时，，即图中点；
即可得点在底面上运动形成的轨迹为线段，易知.故答案为：
15.【详解】（1）因为，由直线的点斜式方程可得，化简可得.
（2）由（1）可知，，则边上的高所在的直线斜率为，
由直线的点斜式方程可得，化简可得.
16.【详解】（1）因为，所以.
因为，所以.因为，所以，所以由，得.
因为，所以.
（2）由余弦定理知.
因为，所以，所以，故的面积.
17.【详解】（1）
如图，以为原点，以分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，
正四棱柱为中点，
则点到直线的距离为：.
（2）由（1）可得，则，
由可得，又由可得，
又，故上面.
18.【详解】（1）连接，因为，所以，又因为，所以为平行四边形.
由点和分别为和的中点，可得且，
因为为的中点，所以且；
可得且，即四边形为平行四边形，
所以，又平面平面，所以平面.
（2）因为平面，可以建立以为原点，
分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系.依题意可得，
.
，
设为平面的法向量，
则，即，不妨设，可得，
设为平面的法向里，则，即，不妨设，可得，.
，于是.所以，二面角的正弦值为.
（3）设，即，则.
从而.由（2）知平面的法向量为，
由题意，，即，
整理得，解得或，因为所以，所以则到平面的距离为.
19.【详解】（1）平面平面，且平面平面，
且平面平面平面，
又，且平面平面；
（2）取中点为，连接，又.则，，则，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，
则，
设为平面的一个法向量，
则由，得，令，则.
设与平面的夹角为，则；
（3）假设在棱上存在点点，使得平面.
设，由（2）知，，则，
，
由（2）知平面的一个法向量.若平面，则，
解得，又平面，故在棱上存在点点，使得平面，此时.题号
1
2
3
4
6
6
7
8
9
10
11
答案
A
D
D
A
C
D
C
A
CD
AD
AB