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河北省邯郸市部分校2024-2025学年高三上学期月考（二）数学试卷（解析版）
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这是一份河北省邯郸市部分校2024-2025学年高三上学期月考（二）数学试卷（解析版），共20页。
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上．
3．请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，若，则实数（ ）
A. B. C. 2D. 3或或
【答案】D
【解析】
【分析】根据得出，然后利用子集关系，分类讨论，即可求出的值.
因为，所以，所以或．
当时，解得，则，，满足题意；
当时，解得或．
当时，，满足题意；
时，，满足题意；
综上，或或，
故选：D．
2. 已知复数(其中i是虚数单位)，则z在复平面内对应的点的坐标是（ ）
A. (1，1)B. (1，-1)C. (-1，1)D. (-1，-1)
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的除法求得复数，然后利用几何意义求得z在复平面内对应的点的坐标.
复数，
则z在复平面内对应的点的坐标是(1，-1)，
故选：B.
3. 已知n个数据的平均数为a，中位数为b，方差为c．若将这n个数据均增加2得到一组新数据，则下列关于这组新数据与原来的数据不变的是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 第80百分位数D. 方差
【答案】D
【解析】
【分析】分别应用平均数及中位数，百分位数方差定义判断各个选项即可.
设这n个数据为．
若将这n个数据均增加2得到一组新数据，
则由于平均数为所有数据之和除以n，故平均数变为，A错误；
中位数为这组数据从小到大排列后中间的那个数或中间两个数的算术平均数，
由于每个数都增加2，所以中位数也增加2，即，B错误；
设原来n个数据的第80百分位数为d，则这组新数据的第80百分位数为，C错误；
方差描述的是一组数据的波动幅度，因为原来数据的方差为c，
所以新数据的方差为c，D正确．
故选:D．
4. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角终边上有一点，为锐角，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由三角函数定义结合两角差正切公式即可求解.
因为角终边上有一点，所以．
又因为为锐角，且，所以，
所以，
故选：C
5. 记，设，为平面内的非零向量，则下列选项正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量加法减法的几何意义和向量数量积运算，结合排除法解题.
若，则，故A错误；
根据平面向量数量积可知：不能保证恒成立，
又，
所以它们的较大者一定大于等于，故B正确，D错误；
若，
则，故C错误．
故选：B.
6. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，垂直l于点Q，直线与C相交于M、N两点．若M为靠近点F的的三等分点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点M作于点H，设准线l与x轴的交点为K，结合抛物线定义可得，可得为等边三角形，即，求出直线的方程与抛物线C的方程联立，求得点N的横坐标为，可得垂直x轴，在中，利用运算得解.
如图，过点M作于点H，设准线l与x轴的交点为K，
因为M为靠近点F的的三等分点，所以，
因为，所以，由抛物线定义知，，
所以，在中，因为，
所以，因为，所以，
由抛物线定义知，，所以为等边三角形，
所以，可得点P的横坐标为，
设与x轴的交点为G，由及，
因为直线的斜率为，点，
所以直线的方程为，
联立，消去y化简并整理得，，
解得或，则点N横坐标为，又点P的横坐标为，
可得垂直x轴，且垂足为G，在中，由，
所以．
故选：D．
7. 如图，在直四棱柱中，底面为矩形，，点在线段上，且，则当三棱锥的体积最小时，线段的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用线面垂直证明线线垂直，再证明线面垂直，结合基本不等式即可求解.
设，则．
因为平面，平面，所以．
又，平面，
所以平面，
由题意知，．
在中，，
即，化简得．
所以，
当且仅当时取等号，此时．
故选：C
8. 如图，在所在平面内，分别以为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形．记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，的面积，，则（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理和余弦定理推得 ① 和 ② 式，根据题中条件化简整理求得，利用即可求得.
由和正弦定理得：①，
在中，由余弦定理， ②，
因都是等腰直角三角形，故 ③，
将① ，③ 两式代入②式，可得
（*），
又，所以，
代入（*），解得，即．
故选：A.
【点睛】思路点睛：对于含三角形边角的方程，一般考虑利用定理边角互化，结合题设条件，找到彼此的切入点和联系，有时还需基本不等式或三角恒等变换等内容才能解决.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9. 已知是定义在R上的奇函数，，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A. 是以4为周期的周期函数
B.
C. 函数的图象与函数的图象有两个交点
D. 当时，
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，根据已知条件得即可判断；对于B，由周期性即可验算；对于C，作出函数与函数的图象即可判断；对于D，根据周期性和奇函数即可求解.
由已知条件可得，．
所以函数是以4为周期的周期函数，A正确；
，则，B正确；
作出函数与函数的图象，如图所示．
当时，．
结合图象可知，x∈R时，．
当时，，即函数与函数在上的图象无交点．
由图可知，函数与函数的图象有1个交点，C错误；
当时，，则，
所以，D正确．
故选：ABD．
10. 已知函数在上单调递增，且的图象关于直线对称，则下列选项正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B
C. 将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数
D. 函数在上没有零点
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用函数的单调性求出的取值范围，再由余弦型函数的对称性求出的值，利用余弦型函数的周期公式可判断A选项；代值计算可判断B选项；利用三角函数图象变换结合余弦型函数的奇偶性可判断C选项；求出函数再上的值域，可判断D选项.
对于A，因为函数在上单调递增，
由得，
所以，解得.
显然，解得，因为，所以，，.
因为的图象关于直线对称，
且，所以，，则，
所以，则的最小正周期为，A正确；
对于B，因为，，
所以，B错误：
对于C，将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为
为偶函数，C正确；
对于D，因为，
令，得，
令，由，得，则，
且，则函数与直线没有公共点，D正确.
故选：ACD.
11. 已知数列满足，则下列选项正确的是（ ）
A. ，…是公差为2的等差数列
B. ，…是常数数列
C.
D. 若数列满足，则数列的前101项和为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据递推关系得出，利用等差数列的定义可判定A，B；利用等差数列的通项公式可判定C；利用分组求和计算可判定D.
由，得，两式相减得．
当时，，两式相加得，
则是公差为4的等差数列，A错误；
上面两式相减得，
则为常数数列，B正确；
因为，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，
即，C错误；
数列的前101项和
，
由B可知，数列是常数数列，，
所以，D正确．
故选：BD．
【点睛】思路点睛：结合选项可利用条件给出的递推关系去判定数列的性质，结合等差数列的通项公式、分组求和法判定几个选项即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过点的直线交椭圆于A、B两点，若，则该椭圆的离心率为________．
【答案】##
【解析】
【分析】设，利用椭圆定义和题设条件推得，再借助于，利用勾股定理计算即可求得离心率.
如图，设，因为，所以．
由椭圆定义可知，，
由，可得，所以．
在中，由，可得，
即得，故得．
故答案为：.
13. 在三棱锥中，，平面经过点，并且与垂直，当截此三棱锥所得的截面面积最大时，此时三棱锥的外接球的表面积为_________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据截面面积最大，确定平面平面，再确定外接球球心的位置，求出外接球半径，可求球的表面积.
如图：
如图所示，取中点，连接．由，可知．
同理可知，．又，平面，
所以平面，所以平面即为平面．
又易知，所以截此三棱锥所得的截面面积为．
当时，取得最大值．
设为外接球球心，，分别为、外接圆圆心．
球心满足平面，平面，
所以四边形为正方形，且，
三棱锥外接球的半径，
所以.
故答案为：
14. 已知实数x、y满足，则y____x．（在“>”、“<”中选一个填在横线处）
【答案】<
【解析】
【分析】根据条件可得，构造函数利用导数证明，由此可得，即得，令，利用导数判断的单调性，得解.
由，可得，
令，则，
当时，，所以函数在上单调递增，，
即，一定有，所以，
则，可得．
又因为，所以，令，
则，
当时，，，则，
所以，所以函数在上单调递增．
因为，所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是构造函数，证明，将条件式转化为，再由单调性得解.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 已知函数．
（1）若曲线在处的切线过点，求实数的值；
（2）若在内有两个不同极值点，求实数取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，得出在x0,fx0处的切线方程，过可得，根据函数求导判断单调性以及，即可得出；
（2）对函数求导，由在内有两个不同极值点x1、x2，转化为有两个不同的解，即函数的图象与函数的图象有两个不同的交点，通过分析二次函数在给定区间的值域，即可得到结果.
【小问1】
由题意得，，且定义域为．
则在x0,fx0处的切线方程为．
则，即．
设，则．
当时，单调递减；
当时，单调递增．
所以，
又，且在上单调递减，所以.
【小问2】
由（1）知，.
令，得有两个不同的解．
令，所以，
即函数的图象与函数的图象有两个不同的交点．
因为时，最小，且为，
且时， ，
所以．
16. 某地元宵节举行了灯展活动，为了解观众对该活动的观感情况（“一般”或“激动”），现从该活动现场的观众中随机抽取100名，得到下表：
（1）补全上面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为观众对该活动的观感程度与性别有关？
（2）该活动现场还举行了有奖促销活动，凡当天消费每满100元，可抽奖一次．抽奖方案是：从装有3个红球、3个白球和4个黑球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则可获得100元现金的返现；若摸出1个红球，则可获得50元现金的返现；若没摸出红球，则不能获得任何现金返现．若某观众当天消费200元，记该观众参加抽奖获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望．
附：，其中．
【答案】（1）列联表见解析，观众对该活动的观感程度与性别无关
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）由题意补全2×2列联表，计算的值，并与临界值比较，得出结论；
（2）写出的所有可能取值及对应取值的概率，写出的分布列并计算其数学期望.
【小问1】
补全的列联表如下：
零假设为:观众对该活动的观感程度与性别没有关系．
根据表中数据，计算得到．
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立．
因此我们可以认为成立，即认为观众对该活动的观感程度与性别无关．
【小问2】
设一次摸球摸出2个红球的事件为，摸出1个红球的事件为，没摸出红球的事件为，
则．
由题意，可取200，150，100，50，0．
，
，
．
所以的分布列为：
．
17. 如图，三棱柱中，平面，，．过侧棱的平面交线段于点（不与端点重合），交线段于点．
（1）求证：;
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面、面面平行的性质定理，先证四边形是平行四边形，即可得结论.
（2）建立科技直角坐标系，利用空间向量求直线与平面所成角的正弦值.
【小问1】
在三棱柱中，平面平面，
所以平面．
又平面平面平面，所以．
而平面平面，平面平面，平面平面，
所以．
所以四边形为平行四边形．所以．
【小问2】
在平面内过点作，
因为平面，平面，所以，．
以点为坐标原点，AB，所在直线分别为轴、轴，
建立如图所示空间直角坐标系．
因为，
所以，
．
因为，
所以，
．
设平面的一个法向量为，
则，
令，得，，
所以为平面的一个法向量．
而，设直线与平面所成角为，
于是得，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18. 已知双曲线左、右顶点分别为，离心率为.过点的直线l与C的右支交于M、N两点，设直线的斜率分别为．
（1）若，求：；
（2）证明：为定值．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）依题意，求得双曲线，设出直线的方程，联立方程组，由韦达定理可解；
（2）利用两点斜率公式，结合双曲线方程求得，再结合（1）中结论即可得证.
【小问1】
设双曲线的焦距为，由题意得，，所以．
因为，所以，所以C的标准方程为．
直线，由消去y化简并整理得，
解得或（舍），所以．
又直线过点，所以直线的方程为，所以．
【小问2】
设Mx1,y1，则．
因为，所以．
设直线，由消去x化简并整理得．
设Nx2,y2，则，
故
．
所以为定值．
19. 规定：对于任意实数A，若存在数列和实数，使，则称A可以表示成x进制形式，简记为：；如：，表示A是一个2进制形式的数，且．
（1）已知，试将m表示成x进制的简记形式；
（2）若常数t满足且，，求；
（3）若数列满足，求证：．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先将拆开，再根据新定义可得到结果；
（2）根据新定义得到，求比值即可；
（3）先根据an的条件得到各个项的数，再根据新定义得到，最后化简即可.
【小问1】
由题意，，
则．
【小问2】
因为，
．
【小问3】
证明：由题意，可求得．
，知是周期为3的数列．
则
．
即．
一般
激动
合计
男性
45
60
女性
12
合计
100
α
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
一般
激动
合计
男性
15
45
60
女性
12
28
40
合计
27
73
100
200
150
100
50
0
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上．
3．请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，若，则实数（ ）
A. B. C. 2D. 3或或
【答案】D
【解析】
【分析】根据得出，然后利用子集关系，分类讨论，即可求出的值.
因为，所以，所以或．
当时，解得，则，，满足题意；
当时，解得或．
当时，，满足题意；
时，，满足题意；
综上，或或，
故选：D．
2. 已知复数(其中i是虚数单位)，则z在复平面内对应的点的坐标是（ ）
A. (1，1)B. (1，-1)C. (-1，1)D. (-1，-1)
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的除法求得复数，然后利用几何意义求得z在复平面内对应的点的坐标.
复数，
则z在复平面内对应的点的坐标是(1，-1)，
故选：B.
3. 已知n个数据的平均数为a，中位数为b，方差为c．若将这n个数据均增加2得到一组新数据，则下列关于这组新数据与原来的数据不变的是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 第80百分位数D. 方差
【答案】D
【解析】
【分析】分别应用平均数及中位数，百分位数方差定义判断各个选项即可.
设这n个数据为．
若将这n个数据均增加2得到一组新数据，
则由于平均数为所有数据之和除以n，故平均数变为，A错误；
中位数为这组数据从小到大排列后中间的那个数或中间两个数的算术平均数，
由于每个数都增加2，所以中位数也增加2，即，B错误；
设原来n个数据的第80百分位数为d，则这组新数据的第80百分位数为，C错误；
方差描述的是一组数据的波动幅度，因为原来数据的方差为c，
所以新数据的方差为c，D正确．
故选:D．
4. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角终边上有一点，为锐角，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由三角函数定义结合两角差正切公式即可求解.
因为角终边上有一点，所以．
又因为为锐角，且，所以，
所以，
故选：C
5. 记，设，为平面内的非零向量，则下列选项正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量加法减法的几何意义和向量数量积运算，结合排除法解题.
若，则，故A错误；
根据平面向量数量积可知：不能保证恒成立，
又，
所以它们的较大者一定大于等于，故B正确，D错误；
若，
则，故C错误．
故选：B.
6. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，垂直l于点Q，直线与C相交于M、N两点．若M为靠近点F的的三等分点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点M作于点H，设准线l与x轴的交点为K，结合抛物线定义可得，可得为等边三角形，即，求出直线的方程与抛物线C的方程联立，求得点N的横坐标为，可得垂直x轴，在中，利用运算得解.
如图，过点M作于点H，设准线l与x轴的交点为K，
因为M为靠近点F的的三等分点，所以，
因为，所以，由抛物线定义知，，
所以，在中，因为，
所以，因为，所以，
由抛物线定义知，，所以为等边三角形，
所以，可得点P的横坐标为，
设与x轴的交点为G，由及，
因为直线的斜率为，点，
所以直线的方程为，
联立，消去y化简并整理得，，
解得或，则点N横坐标为，又点P的横坐标为，
可得垂直x轴，且垂足为G，在中，由，
所以．
故选：D．
7. 如图，在直四棱柱中，底面为矩形，，点在线段上，且，则当三棱锥的体积最小时，线段的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用线面垂直证明线线垂直，再证明线面垂直，结合基本不等式即可求解.
设，则．
因为平面，平面，所以．
又，平面，
所以平面，
由题意知，．
在中，，
即，化简得．
所以，
当且仅当时取等号，此时．
故选：C
8. 如图，在所在平面内，分别以为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形．记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，的面积，，则（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理和余弦定理推得 ① 和 ② 式，根据题中条件化简整理求得，利用即可求得.
由和正弦定理得：①，
在中，由余弦定理， ②，
因都是等腰直角三角形，故 ③，
将① ，③ 两式代入②式，可得
（*），
又，所以，
代入（*），解得，即．
故选：A.
【点睛】思路点睛：对于含三角形边角的方程，一般考虑利用定理边角互化，结合题设条件，找到彼此的切入点和联系，有时还需基本不等式或三角恒等变换等内容才能解决.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9. 已知是定义在R上的奇函数，，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A. 是以4为周期的周期函数
B.
C. 函数的图象与函数的图象有两个交点
D. 当时，
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，根据已知条件得即可判断；对于B，由周期性即可验算；对于C，作出函数与函数的图象即可判断；对于D，根据周期性和奇函数即可求解.
由已知条件可得，．
所以函数是以4为周期的周期函数，A正确；
，则，B正确；
作出函数与函数的图象，如图所示．
当时，．
结合图象可知，x∈R时，．
当时，，即函数与函数在上的图象无交点．
由图可知，函数与函数的图象有1个交点，C错误；
当时，，则，
所以，D正确．
故选：ABD．
10. 已知函数在上单调递增，且的图象关于直线对称，则下列选项正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B
C. 将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数
D. 函数在上没有零点
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用函数的单调性求出的取值范围，再由余弦型函数的对称性求出的值，利用余弦型函数的周期公式可判断A选项；代值计算可判断B选项；利用三角函数图象变换结合余弦型函数的奇偶性可判断C选项；求出函数再上的值域，可判断D选项.
对于A，因为函数在上单调递增，
由得，
所以，解得.
显然，解得，因为，所以，，.
因为的图象关于直线对称，
且，所以，，则，
所以，则的最小正周期为，A正确；
对于B，因为，，
所以，B错误：
对于C，将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为
为偶函数，C正确；
对于D，因为，
令，得，
令，由，得，则，
且，则函数与直线没有公共点，D正确.
故选：ACD.
11. 已知数列满足，则下列选项正确的是（ ）
A. ，…是公差为2的等差数列
B. ，…是常数数列
C.
D. 若数列满足，则数列的前101项和为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据递推关系得出，利用等差数列的定义可判定A，B；利用等差数列的通项公式可判定C；利用分组求和计算可判定D.
由，得，两式相减得．
当时，，两式相加得，
则是公差为4的等差数列，A错误；
上面两式相减得，
则为常数数列，B正确；
因为，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，
即，C错误；
数列的前101项和
，
由B可知，数列是常数数列，，
所以，D正确．
故选：BD．
【点睛】思路点睛：结合选项可利用条件给出的递推关系去判定数列的性质，结合等差数列的通项公式、分组求和法判定几个选项即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过点的直线交椭圆于A、B两点，若，则该椭圆的离心率为________．
【答案】##
【解析】
【分析】设，利用椭圆定义和题设条件推得，再借助于，利用勾股定理计算即可求得离心率.
如图，设，因为，所以．
由椭圆定义可知，，
由，可得，所以．
在中，由，可得，
即得，故得．
故答案为：.
13. 在三棱锥中，，平面经过点，并且与垂直，当截此三棱锥所得的截面面积最大时，此时三棱锥的外接球的表面积为_________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据截面面积最大，确定平面平面，再确定外接球球心的位置，求出外接球半径，可求球的表面积.
如图：
如图所示，取中点，连接．由，可知．
同理可知，．又，平面，
所以平面，所以平面即为平面．
又易知，所以截此三棱锥所得的截面面积为．
当时，取得最大值．
设为外接球球心，，分别为、外接圆圆心．
球心满足平面，平面，
所以四边形为正方形，且，
三棱锥外接球的半径，
所以.
故答案为：
14. 已知实数x、y满足，则y____x．（在“>”、“<”中选一个填在横线处）
【答案】<
【解析】
【分析】根据条件可得，构造函数利用导数证明，由此可得，即得，令，利用导数判断的单调性，得解.
由，可得，
令，则，
当时，，所以函数在上单调递增，，
即，一定有，所以，
则，可得．
又因为，所以，令，
则，
当时，，，则，
所以，所以函数在上单调递增．
因为，所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是构造函数，证明，将条件式转化为，再由单调性得解.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 已知函数．
（1）若曲线在处的切线过点，求实数的值；
（2）若在内有两个不同极值点，求实数取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，得出在x0,fx0处的切线方程，过可得，根据函数求导判断单调性以及，即可得出；
（2）对函数求导，由在内有两个不同极值点x1、x2，转化为有两个不同的解，即函数的图象与函数的图象有两个不同的交点，通过分析二次函数在给定区间的值域，即可得到结果.
【小问1】
由题意得，，且定义域为．
则在x0,fx0处的切线方程为．
则，即．
设，则．
当时，单调递减；
当时，单调递增．
所以，
又，且在上单调递减，所以.
【小问2】
由（1）知，.
令，得有两个不同的解．
令，所以，
即函数的图象与函数的图象有两个不同的交点．
因为时，最小，且为，
且时， ，
所以．
16. 某地元宵节举行了灯展活动，为了解观众对该活动的观感情况（“一般”或“激动”），现从该活动现场的观众中随机抽取100名，得到下表：
（1）补全上面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为观众对该活动的观感程度与性别有关？
（2）该活动现场还举行了有奖促销活动，凡当天消费每满100元，可抽奖一次．抽奖方案是：从装有3个红球、3个白球和4个黑球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则可获得100元现金的返现；若摸出1个红球，则可获得50元现金的返现；若没摸出红球，则不能获得任何现金返现．若某观众当天消费200元，记该观众参加抽奖获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望．
附：，其中．
【答案】（1）列联表见解析，观众对该活动的观感程度与性别无关
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）由题意补全2×2列联表，计算的值，并与临界值比较，得出结论；
（2）写出的所有可能取值及对应取值的概率，写出的分布列并计算其数学期望.
【小问1】
补全的列联表如下：
零假设为:观众对该活动的观感程度与性别没有关系．
根据表中数据，计算得到．
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立．
因此我们可以认为成立，即认为观众对该活动的观感程度与性别无关．
【小问2】
设一次摸球摸出2个红球的事件为，摸出1个红球的事件为，没摸出红球的事件为，
则．
由题意，可取200，150，100，50，0．
，
，
．
所以的分布列为：
．
17. 如图，三棱柱中，平面，，．过侧棱的平面交线段于点（不与端点重合），交线段于点．
（1）求证：;
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面、面面平行的性质定理，先证四边形是平行四边形，即可得结论.
（2）建立科技直角坐标系，利用空间向量求直线与平面所成角的正弦值.
【小问1】
在三棱柱中，平面平面，
所以平面．
又平面平面平面，所以．
而平面平面，平面平面，平面平面，
所以．
所以四边形为平行四边形．所以．
【小问2】
在平面内过点作，
因为平面，平面，所以，．
以点为坐标原点，AB，所在直线分别为轴、轴，
建立如图所示空间直角坐标系．
因为，
所以，
．
因为，
所以，
．
设平面的一个法向量为，
则，
令，得，，
所以为平面的一个法向量．
而，设直线与平面所成角为，
于是得，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18. 已知双曲线左、右顶点分别为，离心率为.过点的直线l与C的右支交于M、N两点，设直线的斜率分别为．
（1）若，求：；
（2）证明：为定值．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）依题意，求得双曲线，设出直线的方程，联立方程组，由韦达定理可解；
（2）利用两点斜率公式，结合双曲线方程求得，再结合（1）中结论即可得证.
【小问1】
设双曲线的焦距为，由题意得，，所以．
因为，所以，所以C的标准方程为．
直线，由消去y化简并整理得，
解得或（舍），所以．
又直线过点，所以直线的方程为，所以．
【小问2】
设Mx1,y1，则．
因为，所以．
设直线，由消去x化简并整理得．
设Nx2,y2，则，
故
．
所以为定值．
19. 规定：对于任意实数A，若存在数列和实数，使，则称A可以表示成x进制形式，简记为：；如：，表示A是一个2进制形式的数，且．
（1）已知，试将m表示成x进制的简记形式；
（2）若常数t满足且，，求；
（3）若数列满足，求证：．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先将拆开，再根据新定义可得到结果；
（2）根据新定义得到，求比值即可；
（3）先根据an的条件得到各个项的数，再根据新定义得到，最后化简即可.
【小问1】
由题意，，
则．
【小问2】
因为，
．
【小问3】
证明：由题意，可求得．
，知是周期为3的数列．
则
．
即．
一般
激动
合计
男性
45
60
女性
12
合计
100
α
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
一般
激动
合计
男性
15
45
60
女性
12
28
40
合计
27
73
100
200
150
100
50
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