2025年初升高衔接数学专题讲义-1.1数与式的运算（含答案）

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1.１.1．绝对值
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离．
例1 解不等式：＞4．
解法一：由，得；由，得；
①若，不等式可变为，
即＞4，解得x＜0，
又x＜1，
∴x＜0；
②若，不等式可变为，
即1＞4，
∴不存在满足条件的x；
③若，不等式可变为，
即＞4， 解得x＞4．
又x≥3，\点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．
所以，不等式
‘
由|AB|＝2，可知
点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧．
x＜0，或x＞4．
练 习
1．填空：
（1）若，则x=_________；若，则x=_________.
（2）如果，且，则b＝________；若，则c＝________.
2．选择题：
下列叙述正确的是 （ ）
（A）若，则 （B）若，则
（C）若，则 （D）若，则
3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．
乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式 ；
（2）完全平方公式 ．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式 ；
（2）立方差公式 ；
（3）三数和平方公式 ；
（4）两数和立方公式 ；
（5）两数差立方公式 ．
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
例1 计算：．
解法一：原式=
=
=．
解法二：原式=
=
=．
例2 已知，，求的值．
解： ．
练 习
1．填空：
（1）（ ）；
（2） ；
（3） ．
2．选择题：
（1）若是一个完全平方式，则等于 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）不论，为何实数，的值 （ ）
（A）总是正数 （B）总是负数
（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数

1.1.3．二次根式
一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 ，等是无理式，而，，等是有理式．
1．分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等． 一般地，与，与，与互为有理化因式．
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．
2．二次根式的意义
将下列式子化为最简二次根式：
（1）； （2）； （3）．
解： （1）；
（2）；
（3）．
例2 计算：．
解法一： ＝
＝
＝
＝
＝．
解法二： ＝
＝
＝
＝
＝．
例3 试比较下列各组数的大小：
（1）和； （2）和.
解： （1）∵，
，
又，
∴＜．
（2）∵
又 4＞2 eq \r(2)，
∴ eq \r(6)＋4＞ eq \r(6)＋2 eq \r(2)，
∴＜.
例4 化简：．
解：
＝
＝
＝ ＝．
例 5 化简：（1）； （2）．
解：（1）原式

．
（2）原式=，
∵，
∴，
所以，原式＝．
例 6 已知，求的值 ．
解： ∵，
，
∴．
练 习
1．填空：
（1）＝__ ___；
（2）若，则的取值范围是_ _ ___；
（3）__ ___；
（4）若，则______ __．
2．选择题：
等式成立的条件是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
3．若，求的值．
4．比较大小：2－ eq \r(3) eq \r(5)－ eq \r(4)（填“＞”，或“＜”）．
1.1.４．分式
1．分式的意义
形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：
；
．
上述性质被称为分式的基本性质．
2．繁分式
像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
例1 若，求常数的值．
解： ∵，
∴
解得 ．
例2 （1）试证：（其中n是正整数）；
（2）计算：；
（3）证明：对任意大于1的正整数n， 有．
（1）证明：∵，
∴（其中n是正整数）成立．
（2）解：由（1）可知


＝．
（3）证明：∵
＝
＝，
又n≥2，且n是正整数，
∴ eq \f(1,n＋1) 一定为正数，
∴＜ eq \f(1,2) ．
例3 设，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．
解：在2c2－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得
2e2－5e＋2＝0，
∴(2e－1)(e－2)＝0，
∴e＝ eq \f(1,2) ＜1，舍去；或e＝2．
∴e＝2．
练 习
1．填空题：
对任意的正整数n， ()；
2．选择题：
若，则＝ （ ）
（A）１ （B） （C） （D）
3．正数满足，求的值．
4．计算．
习题1．1
A 组
1．解不等式：
(1) ； (2) ；
(3) ．
２．已知，求的值．
3．填空：
（1）＝________；
（2）若，则的取值范围是________；
（3）________．
B 组
1．填空：
（1），，则____ ____；
（2）若，则__ __；
2．已知：，求的值．
C 组
1．选择题：
（1）若，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）计算等于 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2．解方程．
3．计算：．
4．试证：对任意的正整数n，有＜ eq \f(1,4) ．
参考答案
1.1.1．绝对值
1．（1）； （2）；或 2．D 3．3x－18
1.1.2．乘法公式
1．（1） （2） （3）
2．（1）D （2）A
1.1.3．二次根式
1． （1） （2） （3） （4）．
2．C 3．1 4．＞
1.1.4．分式
1． eq \f(1,2) 2．B 3． 4．
习题1．1
A组
1．（1）或 （2）－4＜x＜3 （3）x＜－3，或x＞3
2．1 3．（1） （2） （3）
B组
1．（1） （2），或－ eq \f(1,5) 2．4．
C组
1．（1）C （2）C 2． 3．
4．提示：