河北省保定市部分高中2023_2024学年高二数学上学期10月月考试题

这是一份河北省保定市部分高中2023_2024学年高二数学上学期10月月考试题，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知直线与直线平行，则等于（ ）
A．3或 —2B．—2C．3D．2
2．已知双曲线的实轴长为4，其焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
3．已知等差数列中，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
5．实数满足,则的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
6．在空间四边形中，分别是的中点，为线段上一点，且，设，，，则下列等式不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
8．已知过椭圆左焦点F且与长轴垂直的弦长为，过点且斜率为-1的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到的距离的最大值为（ ）
A．6B．C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为120°
B．经过点，且在轴上截距互为相反数的直线方程为
C．直线恒过定点
D．直线，，则或0
10．已知双曲线的焦点分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．渐近线方程为
B．双曲线与椭圆的离心率互为倒数
C．若双曲线上一点满足，则的周长为28
D．若从双曲线的左､右支上任取一点，则这两点的最短距离为6
11．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC，CC1的中点，则以下四个结论正确的是（ ）
A． B．
C．直线B1Q与AD1所成角的余弦值为
D．Q到平面AB1P的距离为
12．已知F是抛物线的焦点，P是抛物线上一动点，Q是上一动点，则下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为1B．的最小值为
C．的最小值为4D．的最小值为
三、填空题
13．圆心在直线上，且过两圆和的交点的圆的方程为.
14．在棱长为4的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G为棱上的一点，且，则点G到平面的距离为．
15．已知抛物的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若，则P到准线l的距离为.
16．已知是椭圆的左，右焦点，上两点满足，则的离心率为．
四、解答题
17．已知两圆和．
求(1)取何值时两圆外切？
(2)当时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
18．记为数列的前n项和，已知.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设k为实数，且对任意，总有，求k的最小值.
19．四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线AC与BD相交于点O，底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点．
(1)求异面直线DE与PA所成角的余弦值；
(2)证明：平面PAD，并求点E到平面PAD的距离．
20．如图，在四棱锥中，面．，四边形满足，，，点为中点，点为边上的动点
（Ⅰ）求证：平面．
（Ⅱ）是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由．
21．已知椭圆的上顶点与左､右焦点连线的斜率之积为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)已知椭圆的左､右顶点分别为，且，点是上任意一点（与不重合），直线分别与直线交于点为坐标原点，求.
22．已知双曲线：的离心率为，且焦点到渐近线的距离为1.
(1)求双曲线的方程；
(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.
数学答案
1C 2B 3A 4A 5A 6C 7C 8D 9AC 10CD 11 ABD 12AC
13．14．15.516．
17. (1）由已知化简两圆的方程为标准方程分别为：
，
则圆心分别为，半径分别为和，
当两圆外切时，满足；
（2）当时，有，则，所以两圆相交，
则两圆的公共弦所在直线的方程为：，即，
圆心到直线的距离，
所以公共弦长．
18．(1)（1）数列的前n项和，则，
于是，
即，因此，而，解得，
所以数列是首项，公差为1的等差数列.
（2）由（1）知，即，于是，
因此，而恒有成立，
所以不等式恒成立时，，即的最小值为2.
19. (1）由题意，两两互相垂直，以O为坐标原点，射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，

菱形中，，所以,
在中，
因为底面ABCD ，所以PB与底面ABCD所成的角为，所以，
则点A、B、D、P的坐标分别是，
E是PB的中点，则，于是，.
设的夹角为θ，则有.∴异面直线DE与PA所成角的余弦值为；
（2）连接，分别是的中点，，平面PAD，平面PAD，平面PAD.
因为，,设平面PAD的法向量，
则，令，则，所以，又，
则点E到平面PAD的距离.
20．（Ⅰ）因为平面，所以，，又，所以，，两两垂直．以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示．
则，，，
点为中点，故
故，
又，
所以
所以，，为共面向量，平面，
所以平面．
（Ⅱ）设，
依题意可知平面的法向量为，，
设平面的法向量为，则，
令，则．
因为二面角的余弦值为，
所以，
即，解得或．
所以存在点符合题意，
当或时，二面角的余弦值为．
21．（1）根据题意可得椭圆的上顶点的坐标为，左､右焦点的坐标分别为，
由题意可知，即，
又，所以，即，
可得椭圆的离心率.
（2）由，得，即，
所以椭圆的方程为.
如图所示：

设，则，即，
又，则直线的方程为，
直线的方程为；
因为直线分别与直线交于点，
可得，
所以.
即.
22．（1）设双曲线的一个焦点为，一条渐近线的方程为，
所以焦点到渐近线的距离为.
因为，所以，，
所以双曲线的方程为.
（2）证明：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，又渐近线方程为：，
此时，.
当直线的斜率存在时，不妨设直线：，且斜率，
联立方程组得，
由，得，
联立方程组得.
不妨设直线与的交点为，则.
同理可求，所以.
因为原点到直线的距离，