江西省南昌市等5地2023_2024学年高一数学上学期10月月考试题含解析

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1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册第一章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2. “”是“”的（）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（）
A. 第4秒B. 第5秒C. 第3.5秒D. 第3秒
4. 已知集合，，若，则的所有可能取值组成的集合为（）
A. B. C. D.
5. 定义行列式，若，则的取值集合为（）
A. B.
C. 或D.
6若集合，则（）
A. B. C. D.
7. 某校校园文化节开展“笔墨飘香书汉字，文化传承展风采”书法大赛，高一（1）班共有32名同学提交了作品进行参赛，有20人提交了楷书作品，有12人提交了隶书作品，有8人提交了行书作品，同时提交楷书作品和隶书作品的有4人，同时提交楷书作品和行书作品的有2人.没有人同时提交三种作品，则同时提交隶书作品和行书作品的有（）
A. 4人B. 3人C. 2人D. 1人
8. 若，，且，则的最小值是（）
A. 43B. 49C. 39D. 36
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 命题：，使，命题：，有，则（）
A. 是假命题B. 是真命题
C. 是存在量词命题D. 是全称量词命题
10. 设一元二次方程的两个实根为，，则（）
A.
B. 当时，的最小值为
C. 为定值
D. 当时，
11. 已知集合，，，且，，，则（）
AB.
C. D.
12. 已知表示不超过x的最大整数，则（）
A. 当时，B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13. 英文单词necessary的所有字母组成的集合共有________个元素.
14. 将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象，则________.
15. 若集合，则的取值范围为________.
16. 已知，则的最大值为________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．
17. 命题：，有；命题：存在一个偶数能被3整除.
（1）写出否定；
（2）写出的否定.
18. （1）设，，比较，的大小；
（2）若，根据性质“如果，，那么”，证明：.
19. 已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围.
20. 已知集合的子集个数为.
（1）求的值；
（2）若三边长为，证明：为等边三角形的充要条件是.
21. 已知集合.
（1）若，求取值范围.
（2）若的子集个数为4，试问是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.
22. 如图，正方形的边长为1，，分别是和边上的点.沿折叠使与线段上的点重合（不在端点处），折叠后与交于点.
（1）证明：的周长为定值.
（2）求的面积的最大值.
高一数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册第一章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据交集定义运算即可.
【详解】因为，，所以.
故选：A
2. “”是“”的（）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由充分必要条件的概念，判断“”与“”是否相互推出即可.
【详解】由，得，因为，
所以由 “”可以推出“”，
但由 “”不能推出“”，
即“”是“”的充分不必要条件.
故选：C.
3. 你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（）
A. 第4秒B. 第5秒C. 第3.5秒D. 第3秒
【答案】A
【解析】
【分析】利用配方法，求二次函数最大值及相应值即可.
【详解】由题意，，
则当时，即烟花达到最高点，爆裂的时刻是第秒.
故选：A.
4. 已知集合，，若，则的所有可能取值组成的集合为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出集合，可知，再由，可得集合是集合的子集，根据子集的性质求解便可.
【详解】依题意得： ，所以，
又因为，所以或，解得：或6，
故的所有可能取值组成的集合为：.
故选：A.
5. 定义行列式，若，则的取值集合为（）
A. B.
C. 或D.
【答案】D
【解析】
【分析】应用定义得不等式，求解可得.
【详解】由定义得，，，
由题意得，即，
所以，解得，
故的取值集合为.
故选：D.
6若集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过对描述法表示的集合的理解，将集合中元素设为，根据题意解出关系即可.
【详解】由已知，
令，解得，
又，则，化简得.
故选：B.
7. 某校校园文化节开展“笔墨飘香书汉字，文化传承展风采”书法大赛，高一（1）班共有32名同学提交了作品进行参赛，有20人提交了楷书作品，有12人提交了隶书作品，有8人提交了行书作品，同时提交楷书作品和隶书作品的有4人，同时提交楷书作品和行书作品的有2人.没有人同时提交三种作品，则同时提交隶书作品和行书作品的有（）
A. 4人B. 3人C. 2人D. 1人
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，画出韦恩图，设同时提交隶书作品和行书作品的有人，列出方程，即可求解.
【详解】根据题意，画出韦恩图，如图所示，
设同时提交隶书作品和行书作品的有人，则，解得，
即同时提交隶书作品和行书作品的有人.
故选：C
8. 若，，且，则的最小值是（）
A. 43B. 49C. 39D. 36
【答案】B
【解析】
【分析】通过已知条件等式，结合“1”的代换，利用基本不等式求解最值.
【详解】因为，所以， 已知，
由，得，
则
，
当且仅当，则由，解得，
即当且仅当时，等号成立.
所以的最小值为.
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 命题：，使，命题：，有，则（）
A. 是假命题B. 是真命题
C. 是存在量词命题D. 是全称量词命题
【答案】ACD
【解析】
【分析】选项A，方程无解；选项B，举反例可知；选项CD，由存在量词命题与全称量词命题的概念可知.
【详解】选项A，由，得，
方程组无解，即不存在，使，
则是假命题，故A正确；
选项B，当时，，则，
即，使，所以全称量词命题是假命题，故B错误；
是存在量词命题，是全称量词命题，故CD都正确.
故选：ACD.
10. 设一元二次方程的两个实根为，，则（）
A.
B. 当时，的最小值为
C. 为定值
D. 当时，
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意，结合二次函数的性质，得到，求得的取值范围，且，，结合选项，利用韦达定理和基本不等式，逐项判定，即可求解.
【详解】因为方程的两个实根为，
所以，解得，
由，，所以，所以A错误；
则
，当时，等号成立，
所以最小值为，所以B正确；
由，所以C正确；
当时，，得，所以D错误．
故选：BC.
11. 已知集合，，，且，，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由描述法得各集合中元素的共同特征，由，，，分别设出的特征表达式，通过运算及变形整理找到新元素的特征归属即可.
【详解】因为，可设，，，
选项A，，
则，故A正确；
所以，
则，故B正确；
所以，其中，
则，故C错误；
所以，其中，
则，故D正确.
故选：ABD.
12. 已知表示不超过x的最大整数，则（）
A. 当时，B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由表示不超过的最大整数，得，故A，B项可判断；C项，由同向不等式可加性得到；D项，先作差比较与的大小，再由，利用不等式的传递性可得.
【详解】当时，，A错误；
因为，所以恒成立，B正确；
因为，，所以，．则，C正确；
由题意可得．则，
所以，D正确．
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13. 英文单词necessary的所有字母组成的集合共有________个元素.
【答案】7
【解析】
【分析】根据英文单词necessary不同的字母和集合定义可得答案.
【详解】英文单词necessary不同的字母有n、e、c、s、a、r、y7个，
组成的集合为，共有7个元素.
故答案为：7.
14. 将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象，则________.
【答案】
【解析】
【分析】由图象平移方法，可得二次函数的解析式，进而求得系数和.
【详解】由题意可得，
所以，则.
故答案为：.
15. 若集合，则的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意得恒成立，当时，满足题意；当时，则需.结合上面两种情况即可求解.
【详解】因为，
所以恒成立，
当，即时，原不等式可化为恒成立，符合题意；
当时，由恒成立，
可得即解得，
综上所述，的取值范围为.
故答案为：
16. 已知，则的最大值为________.
【答案】##
【解析】
【分析】分式上下同除以变形，再将分母配凑为三项的完全平方式与的形式，最后利用基本不等式与平方的非负特点求最值，注意等号成立条件.
【详解】由，则.
因为
.
当且仅当，即时，等号成立.
所以，
即的最大值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．
17. 命题：，有；命题：存在一个偶数能被3整除.
（1）写出的否定；
（2）写出的否定.
【答案】（1），.
（2）每个偶数都不能被整除.
【解析】
【分析】命题为全称量词命题，命题的否定为存在量词命题；命题为存在量词命题，命题的否定为全称量词命题.
【小问1详解】
的否定：，.
【小问2详解】
否定：每个偶数都不能被整除.
18. （1）设，，比较，的大小；
（2）若，根据性质“如果，，那么”，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用作差法求解即可.
（2）利用不等式的性质证明即可.
【详解】（1），
所以.
（2）因为，，所以，
所以，即.
又因为，所以.
19. 已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据集合的交并补运算即可求解，
（2）分类讨论即可求解.
【小问1详解】
当时，，
.
因为或，所以.
【小问2详解】
当时，，解得.
当时，或
解得，
即的取值范围是或.
20. 已知集合的子集个数为.
（1）求的值；
（2）若的三边长为，证明：为等边三角形的充要条件是.
【答案】（1）2 （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）解方程组可得答案；
（2）①先证充分性：由①得，代入化简可得答案；②再证必要性：根据为等边三角形，可得，代入可得答案；或第（2）问中充分性方法一：利用基本不等式得，可得答案；方法二：由得，可得答案.
小问1详解】
由方程组，解得，
所以，
则只有1个元素，所以有2个子集，即；
【小问2详解】
①充分性：由①得，
所以可化为，
即，所以，
则，
所以，即为等边三角形，
充分性得证.
②必要性：因为为等边三角形，所以，
由（1）得，所以，
则，
所以，必要性得证.
故为等边三角形的充要条件是.
第（2）问中充分性的证明，
方法一：因为，所以，
所以，即，
所以，
当且仅当时，等号成立，即为等边三角形，
充分性得证.
方法二：因为，所以，
则，
所以，即为等边三角形，充分性得证.
所以为等边三角形的充要条件是.
21. 已知集合.
（1）若，求的取值范围.
（2）若的子集个数为4，试问是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在最大值为2
【解析】
【分析】（1）因为，将代入求解即可.
（2）对进行因式分解，可得和是方程的两根，由题意知集合中只有2个元素，进而得到，求出的范围，进而求即可.
【小问1详解】
因为，，
所以不满足，所以，解得.
【小问2详解】
因式分解可得，
则和是方程的两根，
因为的子集个数为4，所以集合中只有2个元素，
所以，解得或，
所以或，
所以存在最大值为2.
22. 如图，正方形的边长为1，，分别是和边上的点.沿折叠使与线段上的点重合（不在端点处），折叠后与交于点.
（1）证明：的周长为定值.
（2）求的面积的最大值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）设，利用对称性，找到之间的关系，再由相似三角形的性质，利用周长比等于相似比建立关系，得到的周长表达式，化简证明即可；
（2）由面积比等于相似比的平方建立关系，得到面积的表达式，消元后利用基本不等式求解最值.
【小问1详解】
设，，则，
由勾股定理可得，
即，由题意，，
即，可知∽，
设的周长分别为，则.
又因为，
所以，
的周长为定值，且定值为.
【小问2详解】
设的面积为，则，
因为，所以，.
因为，则，
因为，所以，
当且仅当，即 时，等号成立，满足.
故的面积的最大值为.