湖北省荆州市沙市中学2024-2025学年高一上学期10月期中考试数学试卷（Word版附解析）

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考试时间：2024年10月25日
一、单选题
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简集合，再求交集即可.
【详解】，或，.
故选：C
【点睛】本题考查不等式的解法和集合的运算，属于基础题.
2. 下列选项中，表示的是同一函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用同一函数的定义对每一选项的函数分析得解.
【详解】A. 函数定义域为R，函数的定义域为,两个函数的定义域不同，所以它们不是同一函数；
B. 两函数的定义域相同，但是对应关系不同，所以它们不是同一函数；
C. 函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以它们不是同一函数；
D. 两函数的定义域都是R,函数，所以两函数的对应关系相同，所以两函数是同一函数.
故选D
【点睛】本题主要考查同一函数的定义及判断，考查函数定义域的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
3. 已知函数的值域是，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的图像和性质可求得答案
【详解】解：由于， 所以当时，取得最大值，
由，解得或，
所以当时，函数的值域为，且，
因为二次函数的图像开口向下，
所以要使函数在上的值域为，只需，
故选：C
4. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：”数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在[﹣2，2]上的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据奇偶性定义判定函数是偶函数，从而排除选项CD；再根据的值排除选项A即可作出判断选择B．
【详解】定义域为R，
，
则偶函数，其图象关于y轴轴对称，排除选项CD；
又因为，则排除选项A，选B.
故选：B．
5. 函数，若对任意、（），都有成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得出函数在上单调递减，再利用分段函数的单调性列不等式组即可得出结果.
【详解】由对任意、（），都有成立，可知在上单调递减，
所以，解得，即实数a的取值范围为.
故选：C.
6. 若对任意满足的正数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D. −∞,0∪1,+∞
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意知利用基本不等式求出，解不等式即可求解.
【详解】若对任意满足的正数，都有成立，
则，
当且仅当即时等号成立，所以，
所以，即，即，解得或，
所以实数的取值范围是，
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由不等式恒成立转化为， 再由再利用基本不等式可以求出最值，变形很关键，最后解分式不等式需要先移项，注意分母不为，避免出错.
7. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据“函数”的定义确定的值域为，结合每段上的函数的取值范围列出相应不等式，即可求得答案.
【详解】由题意可知的定义域为，
又因为函数是“函数”，故其值域为；
而，则值域为；
当时，，
当时，，此时函数在上单调递增，则，
故由函数是“函数”可得，
解得，即实数的取值范围是，
故选：C
8. 已知函数满足，且当时，，若存在，使得，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，探讨函数的单调性，再结合赋值法求出，并由单调性脱去法则，转化为二次方程在上有解即得.
【详解】任取，且，则，而当时，，于是，
又，因此，
则函数是增函数，而，
于是，令，得，令，得，
令，得，令，得，
令，得，即有，因此，
原问题即在有解，令，
则在时有解，从而，，
所以a的取值范围是.
故选：D
【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值，再不断变换求解即可.
二、多选题
9. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由不等式的性质可判断，，，作差可判断.
【详解】对于，因为，，所以，故正确；
对于，因为，所以，故正确；
对于，因为，
又，所以，即，故不正确；
对于，因为，所以，
又，所以，故正确.
故选：.
10. 若定义在上函数满足，则下列说法成立的是（ ）
A. 无理数，，
B. 对任意有理数m，有
C. ，
D. ，
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数的解析式逐项判断可得答案.
【详解】对于A，若x为有理数，则为无理数，所以，，A错误；
对于B，对任意有理数m，则，x同为有理数或无理数，所以成立，B正确；
对于C，若x为有理数，则，若x为无理数，
则，C正确；
对于D，比如，，则，D正确．
故选：BCD.
11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如.设函数，则下列说法错误的是（ ）
A. 的图象关于轴对称B. 的最大值为1，没有最小值
C. D. 在上是增函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据的定义，结合的解析式，作出函数图象，即可结合选项逐一进行判断即可．
【详解】因为，
画出的图象如下：
A选项，可以看出此函数不是偶函数，不关于轴对称，A错误；
B选项，无最大值，有最小值0，B错误；
C选项，因为，
故，
，
因为，
所以，故，C正确；
D选项，由图象可知在R上不是增函数，D错误.
故选：ABD
三、填空题
12. 函数的定义域为_______.
【答案】
【解析】
【分析】函数的定义域满足，解得答案.
【详解】函数的定义域满足，解得且.
故答案为：.
13. 若“”为假命题，则实数a的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】由原命题为假，其否定为真得到在上恒成立，结合对应函数的单调性求右侧的最大值，即可得参数范围.
【详解】由题设命题为假，则为真，
所以，即在上恒成立，
又在上递增，故，
所以.
故答案为：
14. 已知函数，若非空集合，，满足，则实数的取值范围是__________
【答案】
【解析】
【分析】通过直接代入，然后解一元二次不等式，通过分别判断两一元二次不等式的方程的，从而进行求解即可.
【详解】由，可得，
即，
由，可得在上恒成立，
即，解得，
又集合A是非空集合，所以在上有解，
则，解得或，
综合可得：．
故答案为：
四、解答题
15. 已知全集，集合，集合，集合．
（1）求，
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）或，
（2）或
【解析】
【分析】（1）先解不等式得出集合、，再由集合的运算可得结果；
（2）因为，所以，分和两种情况求解即可.
【小问1详解】
根据题意：集合，
集合或
或，
【小问2详解】
因为，所以，
若，则
若，则，得时，可得，
实数的取值范围为或 .
16. 随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
（1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；
（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元.
【解析】
【分析】（1）每台售价200万，销售收入是，减去对应的成本，以及固定成本300万，即为利润；
（2）观察利润的函数解析式，发现对应的函数解析式为开口向下的二次函数，可利用二次函数的特点求最大利润值，对应的函数解析式中含有基本不等式的部分，可考虑利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润.
【小问1详解】
当时，；
当时，，
【小问2详解】
若，，当时，万元；
若，，
当且仅当时，即时，万元．
则该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元.
17. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．
例如，已知，求证：．
证明：原式．
波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多式子满足以上特征．
请根据上述材料解答下列问题：
（1）已知，求的值；
（2）若，解方程；
（3）若正数满足，求的最小值．
【答案】（1）1 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意把代入式中可求值；
（2）将代入方程可求解；
（3）由已知条件可得，利用基本不等式求出的最小值即可．
【小问1详解】
．
【小问2详解】
原方程可化为：
即：
，即，解得：．
【小问3详解】
，当且仅当，即时，等号成立，
有最小值，此时有最大值，
从而有最小值，即有最小值．
18. 定义：若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点.已知函数.
（1）当，时，求函数的不动点；
（2）若对任意的实数b，函数恒有两个不动点，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若图象上两个点A、B的横坐标是函数的不动点，且线段AB的中点C在函数的图象上，求实数b的最小值.
【答案】（1）和3
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）按照不动点的定义计算即可；
（2）方程有两个不等实根，，得到关于的二次函数，再利用判别式求解即可；
（3）求出点C坐标，代入，结合，得到，借助二次函数求出最小值即可.
【小问1详解】
当，时，由，解得或，
故所求的不动点为和3.
【小问2详解】
令，则①
由题意，方程①恒有两个不等实根，所以，
即对任意的恒成立，
则，∴.
【小问3详解】
依题意设，，则AB中点C坐标为，
又AB的中点在直线上，
∴，∴，
又，是方程①的两个根，∴，即，
∴，
∵，∴.所以时，b的最小值为.
19. 已知是定义在上的奇函数，其中，且.
（1）求的值；
（2）判断在上的单调性，并用单调性的定义证明；
（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求非负实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）在上单调递减，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的性质，结合，求得到的值，检验即可；
（2）利用函数单调性的定义判断并证明即可；
（3）记在区间内的值域为，在区间内的值域为，将问题转化为时求非负实数的取值范围，利用单调性求出的值域，分，，和四种情况讨论，结合单调性求出的值域，即可得到答案．
【小问1详解】
因为是定义在上的奇函数，所以，解得，
又因为，所以，解得，
所以，，则为奇函数，
所以，.
【小问2详解】
在上单调递减.
证明如下：
设，则，
因为，则，所以，
所以在上单调递减.
【小问3详解】
由（2）可知在上单调递减，所以，
记在区间内的值域为.
当时，在上单调递减，
则，得在区间内的值域为.
因为，所以对任意的，总存在，使得成立.
当时，在上单调递减，
则，得在区间内的值域为，
因为，所以对任意的，总存在，使得成立.
当时，在上单调递减，在上单调递增，
则，得在区间内的值域为，所以无解，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
则，得在区间内的值域为，不符合题意.
综上，非负实数的取值范围为.