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    湖北省问津教育联合体2024-2025学年高一上学期10月联考数学试卷(Word版附解析)

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    湖北省问津教育联合体2024-2025学年高一上学期10月联考数学试卷(Word版附解析)

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    这是一份湖北省问津教育联合体2024-2025学年高一上学期10月联考数学试卷(Word版附解析),共13页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    1.已知集合A={x|x2−9<0},集合B={−1,0,1,2,3,4},则A∩B=( )
    A. {3,4}B. {0,1,2,3}C. {−1,0,1,2}D. {−1,0,1}
    2.若a,b,c∈R,且a>b,则( )
    A. −a+c<−b+cB. a2>b2
    C. 1a<1bD. 若a>b>c>0,则ab3.函数f(x)= 4−x2x−1的定义域是( )
    A. [−2,2]B. (−2,2)C. (−2,1)∪(1,2)D. [−2,1)∪(1,2]
    4.满足在R上定义运算“⊙”:a⊙b=ab+2a+b,则x⊙(x−2)<0的实数x的取值范围是( )
    A. (0,2)B. (−∞,−2)∪(1,+∞)
    C. (−2,1)D. (−1,2)
    5.已知函数f(x)=x−3,x≥10f[f(x+5)],x<10,其中x∈N,则f(9)=( )
    A. 5B. 6C. 7D. 8
    6.已知不等式ax2+bx−1>0的解集为(2,3),则不等式x2−bx−a≥0的解集为( )
    A. [−12,−13]B. (−∞,13]∪[12,+∞)
    C. (−∞,−12]∪[−13,+∞)D. [13,12]
    7.已知命题P:∃x∈R,ax2+2x+3≤0为假命题,则实数a的取值范围是( )
    A. {a|a>13}B. {a|08.若关于x的不等式x2−(m+2)x+2m<0的解集中恰有3个正整数,则实数 m的取值范围为( )
    A. [5,6]B. (5,6]C. [5,6)D. (5,6)
    二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
    9.下列各组函数中,f(x)与g(x)表示同一个函数的是( )
    A. f(x)=x−1与g(x)=x2x−1B. f(x)=x与g(x)=3x3
    C. f(x)=x2与g(x)=( x)4D. f(x)=x2+1与g(x)=3x6+1
    10.已知命题p:x−4x+1≥2,则命题p成立的一个充分不必要条件是( )
    A. −611.下列命题是真命题的是( )
    A. 命题“∃x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R,都有x2+x+1≥0”
    B. 函数y= x2+4+1 x2+4的最小值为2
    C. 已知f(x)=ax3+bx+3,f(4)=5,则f(−4)=1
    D. 若关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤−1或x≥4},且x2+bx+c<0解集中仅有两个整数,则a的取值范围是(17,25]
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
    12.设全集U={1,2,3,4,5},A={3,5},则图中阴影部分表示的集合的真子集个数的最小值为__________;最大值与最小值的差为__________.
    13.已知函数f(x)=x−4 x+2m,当x∈[0,6]时,f(x)≥1恒成立,则实数 m的取值范围为__________.
    14.记maxa,b为a,b两数的最大值,当正数x,y(x>y)变化时,t=maxx2,2y(x−y)的最小值为__________.
    四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    15.(本小题12分)
    设全集U=R,集合P={x|−2(1)若a=−1,求集合P∩(∁UQ);
    (2)若P∩Q=⌀,求实数a的取值范围.
    16.(本小题12分)
    已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(x+1)−f(x)=4x,且f(0)=1.
    (1)求函数f(x)的解析式;
    (2)解关于x的不等式f(x)≤−(2t+6)x−4t+1.
    17.(本小题12分)
    在“①充分不必要;②必要不充分;③充要”这三个条件中任选一个,补充到下面的横线中,并求解下列问题:
    已知集合A={x|2−a≤x≤1+2a,a≥13},B={y|y= 6x+1,0≤x≤4}.
    (1)若3∈A且5∉A,求实数a的取值范围;
    (2)是否存在实数a,使得x∈A是x∈B的__________条件.若存在,求实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.
    18.(本小题12分)
    新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展必然.某汽车企业为了响应国家号召,2023年积极引进新能源汽车生产设备,通过分析,全年需要投入固定成本4000万元.每生产x(百辆)新能源汽车,需另投入成本C(x)万元,且C(x)=10x2+100x,(0(1)求出2023年的利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式;(利润=销售量×售价-成本)
    (2)2023年产量为多少百辆时,企业所获利润最大?并求出最大利润.
    19.(本小题12分)
    (1)已知x>−1,求函数y=x2+4x+7x+1的最小值,并求出取最小值时x的值;
    (2)问题:已知正数a,b满足a+b=1,求1a+2b的最小值.其中的一种解法是:1a+2b=(1a+2b)(a+b)=1+ba+2ab+2≥3+2 2,当且仅当ba=2ab且a+b=1时,即a= 2−1且b=2− 2时取等号.学习上述解法并解决下列问题:若实数a,b,x,y满足x2a2−y2b2=1,试比较a2−b2和(x−y)2的大小,并指出等号成立的条件;
    (3)利用(2)的结论,求M= 3m−2− m−1的最小值,并求出M取得最小值时m的值.
    答案和解析
    1.【答案】C
    【解析】【分析】
    本题考查交集的求法,考查运算求解能力,是基础题.
    求出集合A,由此能求出A∩B.
    【解答】
    解:∵集合A={x|x2−9<0}={x|−3集合B={−1,0,1,2,3,4},
    ∴A∩B={−1,0,1,2}.
    故选:C.
    2.【答案】A
    【解析】【分析】
    本题主要考查利用不等式的基本性质判断不等关系,属于基础题.
    结合不等式性质判断选项A,举出反例排除选项BCD.
    【解答】
    解:对于A,因为a>b,所以−a<−b,所以−a+c<−b+c,故A正确;
    对于B,若a=1,b=−2,则a2对于C,若a=1,b=−2,则1a=1>1b=−12,故C错误;
    对于D,若a=5,b=2,c=1,则ab=52>a+cb+c=63=2,故D错误.
    故选:A.
    3.【答案】D
    【解析】【分析】
    本题主要考查函数的定义域,属于基础题.
    要使函数y= 4−x2x−1有意义则4−x2≥0x−1≠0,求解不等式组即可得出答案.
    【解答】
    解:要使函数y= 4−x2x−1有意义,
    则4−x2≥0x−1≠0,
    ∴−2≤x≤2x≠1,
    ∴−2≤x<1或1即函数定义域为[−2,1)∪(1,2] .
    故选D
    4.【答案】C
    【解析】【分析】
    本题考查了创新问题专题和一元二次不等式的解法,属于基础题.
    利用题目所给定义,结合一元二次不等式的解法计算得结论.
    【解答】
    解:因为a⊙b=ab+2a+b,
    所以满足x⊙(x−2)<0的不等式为x(x−2)+2x+x−2<0,
    即x2+x−2<0,解得−2所以所求的实数x的取值范围为(−2,1)
    故选C.
    5.【答案】D
    【解析】【分析】
    本题考查求分段函数的函数值,属于基础题.
    由已知条件,利用分段函数的表达式得f(9)=f[f(14)]=f(11)=8.
    【解答】解:∵f(x)=x−3,x≥10f[f(x+5)],x<10,其中x∈N,
    ∴f(9)=f[f(14)]=f(11)=8.
    故选:D.
    6.【答案】B
    【解析】【分析】
    本题考查了一元二次不等式的解法,属于基础题.
    由 ax2+bx−1>0的解集的(2,3),得a<0,且a=−16,b=−5a=56,代入x2−bx−a≥0得6x2−5x+1≥0解出即可.
    【解答】解:因为 ax2+bx−1>0的解集的(2,3),
    所以方程ax2+bx−1=0的根为x1=2, x2=3,且a<0,
    故x1+x2=−ba=5,x1x2=−1a=6,
    所以a=−16,b=−5a=56
    则x2−bx−a≥0即x2−56x+16≥0,
    所以有 6x2−5x+1≥0,
    解得(−∞,13]∪[12,+∞)
    故不等式x2−bx−a≥0的解集为(−∞,13]∪[12,+∞).
    7.【答案】A
    【解析】【分析】
    本题考查不等式恒成立问题,属于基础题.
    由已知“∀x∈R,ax2+2x+3>0”为真命题,然后求实数a的取值范围得答案.
    【解答】解:∵命题P:∃x∈R,ax2+2x+3≤0为假命题,∴“∀x∈R,ax2+2x+3>0”为真命题
    若a=0,则不等式等价为2x+3>0,对于∀x∈R不恒成立,
    若a≠0,则a>0Δ=4−12a<0,解得:a>13,
    ∴实数a的取值范围为{a|a>13},
    故选A
    8.【答案】B
    【解析】【分析】
    本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题,是基础题.
    根据题意写出不等式x2−(m+2)x+2m<0的解集,根据解集中恰有3个正整数求出m的取值范围.
    【解答】
    解:关于x的不等式x2−(m+2)x+2m<0可化为
    (x−m)(x−2)<0,
    该不等式的解集中恰有3个正整数,
    ∴不等式的解集为{x|2即实数m的取值范围是(5,6].
    故选B.
    9.【答案】BD
    【解析】【分析】本题考查了判断两函数是否为同一函数的问题,是基础题.
    判断两函数的定义域与对应关系是否相同即可.
    【解答】解:对于A,f(x)=x−1的定义域为R,函数g(x)=x2x−1=x−1的定义域为{x|x≠0},
    两函数的定义域不同,不是同一函数;
    对于B,f(x)=x的定义域为R,g(x)= x3=x的定义域为R,
    两函数的定义域相同,对应关系也相同,是同一函数;
    对于C,f(x)=x2的定义域为R,函数g(x)=( x)4=x2的定义域为[0,+∞),
    两函数的定义域不同,不是同一函数;
    对于D,f(x)=x2+1的定义域为R,g(x)=3x6+1的定义域为R,
    两函数的定义域相同,对应关系也相同,是同一函数.
    故选:BD.
    10.【答案】AC
    【解析】【分析】
    本题考查分式不等式、充分、必要、充要条件与集合的关系,属于基础题.
    解不等式得命题p的等价条件,然后根据充分、必要、充要条件与集合的关系判断.
    【解答】
    解:x−4x+1≥2⇔x+6x+1≤0⇔x+6x+1≤0x+1≠0,
    解得−6≤x<−1,
    所以p:−6≤x<−1,
    所以p的一个充分不必要条件必须为集合{x|−6≤x<−1}的真子集,
    选项AC符合题意.
    故选AC.
    11.【答案】ACD
    【解析】【分析】
    本题考查全称量词命题与存在量词命题的否定、由基本不等式求最值或取值范围、利用函数的奇偶性求函数值、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系,属于中档题.
    利用特称命题的否定可判定A;利用基本不等式可排除B;利用奇偶性可判定C;由题意得出−1和4是方程ax2+bx+c=0的两根,且a>0,利用根与系数的关系,得出b=−3a,c=−4a,代入x2+bx+c<0,结合二次函数的性质即可判定.
    【解答】
    解:A选项,因为存在量词命题的否定为全称量词命题,
    所以命题“∃x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R,都有x2+x+1≥0”,故A正确;
    B选项,易知 x2+4≥2,
    由基本不等式知y= x2+4+1 x2+4≥2 x2+4⋅1 x2+4=2,
    当且仅当 x2+4=1 x2+4,
    即 x2+4=1时能取得等号,显然不成立,故B错误;
    C选项,易知f(x)−3=ax3+bx,
    令g(x)=ax3+bx,
    易知g(−x)+g(x)=−ax3−bx+ax3+bx=0,
    即g(x)为奇函数,
    所以g(4)+g(−4)=f(4)−3+f(−4)−3=0,
    则f(−4)=1,故C正确;
    D选项,关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤−1或x≥4},
    所以−1和4是方程ax2+bx+c=0的两根,且a>0,
    由根与系数的关系知,−1+4=−ba−1×4=ca,
    所以b=−3a,c=−4a,
    所以关于x的不等式x2+bx+c<0可化为x2−3ax−4a<0,
    令f(x)=x2−3ax−4a,对称轴x=3a2>0,f(0)=−4a<0,
    因为不等式的解集中仅有两个整数,
    所以这两个整数是0,1或0,−1,
    当这两个整数是0和1时,则f(1)=1−7a<0f(2)=4−10a≥0f(−1)=1−a≥0,解得17当整数是0和−1时,由于对称轴x=3a2>0时,根据对称性可知,此时显然不符合题意,
    综上,a的取值范围是(17,25],故D正确.
    故选ACD.
    12.【答案】7 ; 24
    【解析】【分析】本题考查了集合交集、并集和补集的定义及运算,真子集个数的计算公式,是基础题.根据阴影部分进行分类讨论,由此求得正确答案.
    【解答】解:阴影部分表示∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB)={1,2,4}∪(∁UB),
    若{1,2,4}∪(∁UB)={1,2,4},真子集有23−1=7个.
    若{1,2,4}∪(∁UB)={1,2,3,4,5},真子集有25−1=31个.
    所以真子集个数的最大值与最小值的差为31−7=24.
    13.【答案】m≥52
    【解析】【分析】
    本题主要考查恒成立问题,一般转化为函数的最值问题,求参数范围的,一般先分离参数,再求对应函数的最值,属于中档题先令t= x∈[0, 6],则问题转化为y=t2−4t+2m≥1,t∈[0, 6]时恒成立,采用分离参数法,求出函数y=−t2+4t+1,t∈[0, 6]的最大值即可.
    【解答】
    解:令t= x∈[0, 6],则问题转化为y=t2−4t+2m≥1,t∈[0, 6]时恒成立,
    即2m≥−t2+4t+1,t∈[0, 6]恒成立,
    而函数y=−t2+4t+1=−(t−2)2+5,当t=2∈[0, 6]时,ymax=5
    ∴2m≥5即m≥52为所求.
    故答案为:m≥52.
    14.【答案】2 2
    【解析】【分析】
    本题主要考查利用基本不等式求最值,属于中档题.
    利用基本不等式求得2y(x−y)≥8x2,根据t=maxx2,2y(x−y),可得t≥x2,t≥2yx−y≥2y+x−y22=8x2,由此可求得2t≥x2+8x2≥2 x2⋅8x2=4 2,即得解t的范围.
    【解答】解:
    ∵x,y为正数,且x>y,
    ∴2y(x−y)≥2y+x−y22=8x2,
    当且仅当y=x−y,即x=2y时取等号,
    ∵t=max{x2,2y(x−y)},
    ∴t≥x2,t≥2yx−y≥2y+x−y22=8x2,
    ∴2t≥x2+8x2≥2 x2⋅8x2=4 2,
    当且仅当x2=8x2,即x=48是取等号,
    ∴t≥2 2.
    故答案为2 2.
    15.【答案】解:(1)当a=−1时,Q={x|3aCUQ={x|x≤−3或x>0},所以P∩(CUQ)={x|0(2)由题意,需分为Q=⌀和Q≠⌀两种情形进行讨论:
    当Q=⌀时,即3a≥a+1,解得a≥12,满足题意;
    当Q≠⌀时,因为P∩Q=⌀,
    所以a+1≤−23a综上所述, a的取值范围为(−∞,−3]∪[12,+∞).
    【解析】本题考查交、并、补集的混合运算,以及子集的定义的应用,注意端点的取值.
    (1)把a的值代入求出集合Q,再由交集、并集、补集的运算求出P∩(∁UQ);
    (2)分Q=⌀和Q≠⌀两种情况求解即可.
    16.【答案】解:(1)因为f(0)=1,c=1,所以f(x)=ax2+bx+1,
    又因为f(x+1)−f(x)=4x,所以[a(x+1)2+b(x+1)+1]−(ax2+bx+1)=4x,
    所以2ax+a+b=4x,所以2a=4a+b=0,
    所以a=2b=−2,即f(x)=2x2−2x+1.
    (2)由f(x)≤−(2t+6)x−4t+1,可得不等式2x2+(2t+4)x+4t≤0,
    即x2+(t+2)x+2t≤0,所以(x+2)(x+t)≤0,
    当−t=−2,即t=2时,不等式的解集为{x|x=−2},
    当−t<−2,即t>2时,不等式的解集为{x|−t≤x≤−2},
    当−t>−2,即t<2时,不等式的解集为{x|−2≤x≤−t},
    综上所述,当t=2时,不等式的解集为{x|x=−2},
    当t>2时,不等式的解集为{x|−t≤x≤−2},
    当t<2时,不等式的解集为{x|−2≤x≤−t}.
    【解析】本题主要考查函数的解析式,考查不等式的解集,属于中档题.
    (1)由f0=1,得c=1,再根据f(x+1)−f(x)=2ax+a+b=4x,求出a和b即可得解;
    (2)由(1)知,(x+t)(x+2)≤0,分情况讨论a的范围即可得解.
    17.【答案】解:(1)∵A={x|2−a≤x≤1+2a,a≥13},3∈A且5∉A,
    ∴{2−a⩽3⩽1+2a5<2−a或5>1+2aa⩾13所以{a⩾1a<−3或a⩾13a⩾1故1≤a<2,
    所以实数a的取值范围为[1,2) ,
    (2)若选①,即x∈A是x∈B成立的充分不必要条件,集合A是集合B的真子集,
    因为B=1,5,集合A={x|2−a≤x≤1+2a,a≥13},
    所以2−a≥11+2a≤5a≥13且等号不能同时成立,所以13≤a≤1,
    所以实数 a的取值范围是13 , 1 ;
    若选②,即x∈A是x∈B成立的必要不充分条件,集合B是集合A的真子集,
    因为B=1,5,集合A={x|2−a≤x≤1+2a,a≥13},
    所以2−a≤11+2a≥5a≥13且等号不能同时成立,所以a≥2 ,
    所以实数 a的取值范围[2,+∞) ;
    若选③,即x∈A是x∈B成立的充要条件,集合A等于集合B,
    因为B=1,5,集合A={x|2−a≤x≤1+2a,a≥13},
    所以2−a=11+2a=5a≥13,方程组无解,
    所以满足题意的a不存在.
    【解析】【分析】本题考查了充分不必要条件,必要不充分条件,充分必要条件的判定及其应用,集合关系中参数的取值问题,属于中档题.
    (1)由于3∈A且5∉A,
    可得{2−a⩽3⩽1+2a5<2−a或5>1+2aa⩾13,求解即可得到答案.
    (2)利用(1)中的集合A,B对①②③中的三个条件分别进行判断即可得.
    18.【答案】解:(1)每辆车售价8万元,年产量x(百辆)时销售收入为800x万元,
    总成本为4000+C(x)=10x2+100x+4000(0L(x)=800x−(10x2+100x+4000)(0(2)由(1)当0所以x=35(百辆)时,L(x)max=8250(万元);
    当x≥40时,L(x)=−(4x+8100x)+9000≤−2 4x⋅8100x+9000=8640,
    当且仅当4x=8100x即x=45(百辆)时,L(x)max=8640(万元),
    因为8640万元>8250万元,
    所以年产量45百辆时利润最大,最大利润为8640万元.
    【解析】【分析】【分析】本题考查了分段函数应用题,二次函数的最值,基本不等式求最值,属于一般题.
    (1)根据利润=销售量×售价-成本,即可写出利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式;
    (2)当019.【答案】解:(1)∵x>−1,∴x+1>0,又y=x2+4x+7x+1=(x+1)2+2(x+1)+4x+1=x+1+4x+1+2
    ≥2 (x+1)⋅4x+1+2,
    ∴y≥6,当且仅当x+1=4x+1,即x=1时取“=”,故当x=1时,函数y=x2+4x+7x+1的最小值为6;
    (2)a2−b2=a2−b2×1=a2−b2x2a2−y2b2=x2+y2−b2x2a2+a2y2b2,
    又b2x2a2+a2y2b2≥2 b2x2a2⋅a2y2b2=2xy,当且仅当b2x2a2=a2y2b2时等号成立,
    所以x2+y2−b2x2a2+a2y2b2≤x2+y2−2xy≤x2+y2−2xy=x−y2,
    所以a2−b2≤x−y2,当且仅当b2x2a2=a2y2b2且x,y同号时等号成立.
    此时x,y满足x2a2−y2b2=1;
    (3)令x= 3m−2,y= m−1,构造x2a2−y2b2=1,x2−3y2=1,即x21−y213=1,可得a2=1,b2=13,
    因为M= 3m−2− m−1,所以m≥1,3m−2=m−1+2m−1>m−1,M>0,
    所以M=x−y≥ a2−b2= 1−13= 63,当且仅当x=3y>0时取等号,
    且x= 62y= 66,即 3m−2= 62,m=76,
    故M的最小值为 63,此时m=76.

    【解析】本题考查了基本不等式求解最值,属于较难题.
    (1)直接利用关系式的变换和基本不等式的应用求出结果;
    (2)直接利用关系式的变换和基本不等式的应用求出结果;
    (3)利用换元法和关系式的恒等变换的应用求出结果.

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