甘肃省天水市第一中学2024-2025学年高一上学期第一学段考试（10月）数学试题

这是一份甘肃省天水市第一中学2024-2025学年高一上学期第一学段考试（10月）数学试题，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“”的否定是( )
A. B.
C. D.
3.已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为( )
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
4.分式不等式的解集为( )
A. B.
C. 或D. 或
5.设，则“”是“”成立的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
6.为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润单位：万元与生产线运转时间单位：年满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为年.
A. 7B. 8C. 9D. 10
7.已知实数x，y满足，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.关于x的方程至少有一个负根的充要条件是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列四个命题的否定为真命题的是( )
A. p：所有四边形的内角和都是
B. q：，
C. r：是无理数，是无理数
D. s：对所有实数a，都有
10.已知，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
11.已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是( )
A.
B. 不等式的解集为
C. 不等式的解集为
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，若，则实数______.
13.东莞市东华高级中学某班有21名学生参加数学竞赛，17名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人.现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订火车票__________张.
14.若存在，有成立，则实数a的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
已知全集，集合，求，，
16.本小题15分
已知集合，集合
若，求实数m的取值范围；
若，求实数m的取值范围．
17.本小题15分
若正数x，y满足，解答下列各题：
求xy的最小值.
求的最小值.
18.本小题17分
已知函数
恒成立，求实数a的取值范围；
当时，求不等式的解集．
19.本小题17分
已知关于x的方程的两根为，，试问：是否存在实数m，使得，不等式都成立？若存在，求实数m的取值范围，若不存在，说明理由
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合，，
故
故选：
先求出集合N，再结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题的否定，属于基础题.
根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可.
【解答】
解：命题“”为全称量词命题，其否定为：
故选：
3.【答案】B
【解析】解：由图可知：阴影部分表示的集合为
因为集合，，
则，
阴影部分表示的集合的子集个数为
故选：
先求出图中阴影部分表示的集合；最后利用集合的子集个数公式即可求解．
本题考查交集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】【分析】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．
根据分式不等式和一元二次不等式的解法，准确运算，即可求解．
【解答】
解：由分式不等式可转化为且，解得或，
所以不等式的解集为或
故选：
5.【答案】A
【解析】解：当时，即或，可得或，可以推出，充分性成立；
反之，当时，可能，不能推出，必要要性不成立．
因此，“”是“”成立的充分不必要条件．
故选：
根据充分必要条件的定义，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．
本题主要考查了不等式的性质、充要条件的判断及其应用等知识，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：平均利润为，
当且仅当，即时取最大值．
故选：
表示出平均利润，然后利用基本不等式求最值以及最值的成立条件．
本题考查函数的实际应用，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了不等式性质，属于中档题.
设，则，所以，由，不等式相加即可得出结果.
【解答】
解：设，
则，解得，
所以，
，，
，
不等式相加得，即的取值范围是，
故选
8.【答案】D
【解析】解：当时，方程为，解得，符合题意，
当时，
当方程有一个负根，一个正根时，
则，解得，
当方程有两个负根时，
则，解得，
当关于x的方程至少有一个负根时，
则，
所以关于x的方程至少有一个负根的充要条件是
故选：
根据已知条件，结合韦达定理，二次函数的判别式分类讨论，并分类讨论，求出a的范围，即可求解．
本题主要考查韦达定理的应用，属于基础题．
9.【答案】BD
【解析】解：对于A，：有的四边形的内角和不是，是假命题；
对于B，：，，是真命题，
因为恒成立；
对于C，：是无理数，不是无理数，是假命题，如时；
对于D，：存在实数a，使，是真命题，如时．
故选：
根据题意，分别写出选项中命题的否定命题，再判断命题的真假性．
本题考查了命题与它的否定命题应用问题，命题的真假性判断问题，是基础题．
10.【答案】CD
【解析】解：由，则，A错；
当，，时，，B错；
，即，C对；
，即，D对．
故选：
由不等式性质判断A；特殊值法，，判断B，作差法判断C、
本题考查不等式的性质，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查含参一元二次不等式的解法，属于中档题.
根据不等式的解集判断对应二次函数的开口判断A，再根据 是方程 的根，利用根与系数的关系可得 ，从而可解BC选项中的不等式，再根据1不在解集内得不等式判断
【解答】
解：关于x的不等式 的解集为 或 ，
所以二次函数 的开口方向向上，即 ，故选项A正确；
因为 是方程 的根，所以 ，解得 ，
所以 也即 ，解得 ，故选项B正确；
不等式 等价于 ，也即 ，
解得 或 ，故选项C错误；
因为 或 ，所以 ，故选项D正确.
故选：
12.【答案】0
【解析】解：因为，，
所以或，
①当时，，此时，不满足互异性，不符合题意；
②当时，不符合题意，舍去，此时，符合题意．
综上所述，实数a的值为
故答案为：
根据题意，利用元素与集合的关系得到关于a的方程，结合元素的互异性算出答案．
本题主要考查集合与元素的关系、集合中元素的互异性等知识，属于基础题．
13.【答案】27
【解析】【分析】
本题考查利用数学知识解决实际问题，考查集合知识，考查分析解决问题的能力，属于基础题.
由题意，参加数理，没有参加化学的有10人，参加理化，没有参加数学的有3人，参加数化，没有参加物理的有4人，即可得出只参加数学、物理、化学单科竞赛的学生人数；求出参加竞赛学生的人数，即可得出需要预订多少张火车票．
【解答】
解：由题意，参加数理，没有参加化学的有10人，
参加理化，没有参加数学的有3人，
参加数化，没有参加物理的有4人，
所以只参加数学的有5人，只参加物理的有2人，只参加化学的有1人；
共有人.
故答案为
14.【答案】
【解析】解：将原不等式参数分离可得，设，
已知存在，有成立，则，
令，则，，
由对勾函数知在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以，即
故答案为：
参数分离可得，设，将存在问题转化为，求出函数的最大值，即可得到实数a的取值范围．
本题考查了转化思想、对勾函数的性质，属于中档题．
15.【答案】解：由题意，或，
，
或，

【解析】根据交集，并集，补集的定义求解即可．
本题考查集合的运算，属于基础题．
16.【答案】解：由知：，
得，即实数m的取值范围为；
由，得：
①若即时，，符合题意；
②若即时，需或，
得或，即，
综上知
即实数m的取值范围为
【解析】本题主要考查集合的包含关系判断及应用，交集及其运算．解答题时要分类讨论，以防错解或漏解．
本题的关键是根据集合，集合且，理清集合A、B的关系，求实数m的取值范围；
若，分两种情况进行讨论求解即可．
17.【答案】解：由题意可得，，且，
则由基本不等式可得，当且仅当且时取等号，
即当且仅当时取等号，此时，
则，所以，
故xy的最小值为36；
由题意可得，，且，
所以，
则，
所以，当且仅当，即，时取等号，
所以取得最小值
【解析】由已知利用基本不等式即可直接求解；
利用乘1法，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于中档题．
18.【答案】解：由题意得对恒成立，即对恒成立，
若，则不等式恒成立，所以满足；
若，则解得，
综上，实数a的取值范围为
当时，不等式可化为，不等式的解为，
当时，不等式可化为，
所以，
所以，
①当，即时，不等式解为或，
②当，即时，不等式解为R，
③当，即时，不等式解为或，
当时，不等式解集为
当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为
【解析】对恒成立转化为对恒成立，讨论a，并结合二次函数的图象与性质可得解；
对a分情况讨论，再解不等式可得答案．
本题考查不等式的恒成立问题以及含参不等式的解法，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：关于x的方程的两根为，，，
，
，，不等式都成立，
的在上的最小值，大于或等于的最大值．
的最大值为，
的在上的最小值，大于或等于
当时，对于一次函数，当时，最小值为，
故有，求得
当时，对于一次函数，
当时，的最小值为，
故有，求得
综上可得，存在 或，满足题中条件．
【解析】由题意可得的在上的最小值大于或等于的最大值．分类讨论m的符号，分别求出的最大值和的在上的最小值，从而求出m的范围．
本题主要考查韦达定理，求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．