黑龙江省哈尔滨市黑龙江省实验中学2025届高三上学期第一次月考 数学试题（含解析）

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数学试题
考试时间：120分钟 总分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，.则（ ）
A．B．C．D．
2．函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
3．“”是“函数在区间上存在零点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．若 ， 则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数为偶函数，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
6．定义在上的奇函数，满足，当时，，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．若函数与在处有相同的切线，则（ ）
A．B．0C．1D．2
8．已知函数，对任意，存在，使，则的最小值为（ ）．
A．1B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．设，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知关于x的不等式（，）的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的最大值为
C．的最小值为4D．的最小值为
11．已知，，下列说法正确的是（ ）
A．若方程有两个不等的实数根，则
B．
C．若仅有一个极值点，则实数
D．当时，恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知，则 .
13．已知是定义域为的偶函数，且，当时，，则使得成立的的取值范围是 .
14．已知函数，若函数，当恰有3个零点时，求的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15．在平面直角坐标系中，以轴为始边的锐角和钝角的终边分别交单位圆于，两点.已知点的横坐标为，点的纵坐标为.
(1)求；
(2)求的值.
16．已知函数.
(1)当时，求的最大值；
(2)讨论函数在区间上零点的个数.
17．（1）求的值.
（2）已知函数.若，，求的值.
18．已知y=fx是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)若对任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围.
19．已知函数，
(1)求函数的单调区间
(2)若函数的两个极值点分别为，，证明：．
1．B
【分析】由集合中元素的特征，求出集合，再由交集的定义求.
【详解】集合，则，
又，所以.
故选：B
2．B
【分析】求出函数的定义域，分、、时、讨论的值域，再结合，的函数值的大小肯定答案.
【详解】函数的定义域为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
且，，
因为，
所以，所以只有B符合.
故选：B.
3．A
【分析】根据零点存在性定理，列出不等式求解的范围，再根据充分必要条件的知识判断即可.
【详解】因为在区间上存在两个零点，
所以,
解得或,
因为集合是集合或的真子集，
所以“”是“函数在上存在零点”的充分不必要条件.
故选：A.
4．D
【分析】根据两角和的正切公式化简可得，再由二倍角的正弦公式及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】由 ，得，
所以，即，
所以．
故选：D．
5．A
【分析】先由偶函数定义待定，再将自变量取值由对称性转化至0,+∞，然后由指对函数性质比较自变量取值的大小，借助函数单调性可比较大小.
【详解】因为函数为偶函数，
则f-x=fx即，
即对于x∈R恒成立，所以，即．
当时，.
而，
因为在R内单调递增，则，
又在定义域内单调递增，则，
在0,+∞上单调递增，又，
，即．
故选：A．
6．C
【分析】由定义在上奇函数的性质求得，进而求得，再结合函数的奇偶性及对称性得出周期，进而求得，结合列出方程求解即可．
【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，，
所以，解得，
所以，
由及得，，
所以，即周期为4，
所以，，
因为，
所以，解得，
所以，
故选：C．
7．D
【分析】对，求导，根据题意得到，再解方程组即可得到答案.
【详解】因为，，则，，
可得，，，，
因为，在处有相同的切线，即切点为，切线斜率，
所以，解得，所以.
故选：D.
8．D
【分析】令，将都用表示，从而可将构造出关于的函数，再利用导数求出函数的最小值即可.
【详解】解：由题意，令，则，，
所以，，，
令，所以，
令，得，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，有最小值，
即的最小值为.
故选：D．
9．BD
【分析】化简条件得，对于A，利用诱导公式化简判断；对于B，利用诱导公式化成同角，再逆用二倍角公式即得；对于C,先逆用二倍角公式，再用诱导公式即得；对于D，将化成后，必须通过同角的三角基本关系式化成正弦和余弦,代值即得.
【详解】由，得，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：BD.
10．ABD
【分析】利用二次不等式的解集得方程的两根为和，结合韦达定理得，从而判断A，再利用基本不等式计算判断BCD.
【详解】由题意，不等式的解集为，
可得，且方程的两根为和，
所以，所以，，
所以，所以A正确；
因为，，所以，可得，
当且仅当时取等号，所以的最大值为，所以B正确；
由，
当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为，所以C错误；
由，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为，所以D正确.
故选：ABD
11．BD
【分析】将A中问题转化为与有两个交点的问题，利用数形结合的方式可得A错误；
分别求得，采用作商法可比较出大小，知B正确；
当时，利用导数可确定仅有一个极值点，满足题意，可知C错误；
将D中问题转化为证明，利用导数可求得，由此可得D正确.
【详解】对于A，，当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；
当时，；当时，，
则图象如下图所示：
若方程有两个不等的实数根，则与有两个交点，
由图象可知：，A错误；
对于B，由知：，，，
则，故；，故；
，正确；
对于C．，
若仅有一个极值点，则仅有一个变号零点，
；
当没有变号根时，则与至多一个交点，
，在上单调递减，在上单调递增，
，，
当是方程的一根时，则不是的极值点，且，
取，则在0,+∞单调递增，
又，，
故，使，即，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
，又，
在上有一变号零点，即仅有一个极值点，符合题意；
，C错误；
对于D，要证，只需证，即证，
取，则．
在上单调递减，在上单调递增，，
即，D正确．
故选：BD.
【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到方程根的个数的求解、根据极值点个数求参数范围、不等式的证明等知识；求解方程根的个数的基本思路是将问题转化为两个函数交点个数的求解，从而利用数形结合的方式来判断；证明不等式的基本思路是将问题转化为函数最值的求解，从而利用导数求得函数最值，进而证得结论.
12．
【分析】利用二倍角公式结合诱导公式求解即可.
【详解】因为，所以，
故，解得，而，
故答案为：
13．
【分析】构造函数，求导可得函数的单调性，由奇偶性的定义可得为奇函数，进而根据不等式的性质即可求解.
【详解】记，则，
故当，，所以，因此在上单调递增，
又当时，，
因此为奇函数，故在上单调递增，
又，因此当和时，，
当和时，，
因此，即可得和，
故成立的的取值范围是，
故答案为：
14．
【分析】作出函数的图象，由题意，由图得或，即或，从而转化为与及的交点个数问题，从而依次讨论即可求解.
【详解】如图，作出函数的图象，
令，即，
由图可知，或，
则或，
当，函数无解；
当或，函数只有一个解；
当或，函数有两个解；
当，函数有三个解；
当恰有3个零点时，
或或
或或或
或或或或，
解得.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件求得，，再根据同角三角函数基本关系式，以及两角和的正弦公式，即可求解；
（2）首先利用角的变换求，即可求解.
【详解】（1）由题意可知，，，，，
所以，，
；
（2），
，
，
由，得，，则，
所以.
16．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求函数的定义域及导函数，求时方程的解，分区间确定函数的单调性， 单调性求最值；
（2）函数的零点，即方程的解，设，利用导数研究函数的性质，讨论，结合图象确定函数的零点个数.
【详解】（1）的定义域是0,+∞，
，，
当时，，得.
当x∈0,1时，f'x>0，函数单调递增，
当x∈1,+∞时，f'x<0，函数单调递减
当时，函数取最大值，最大值为；
（2）由，得，
令，则，
由得，
由，得，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，，，
作函数的图象如下：
综上：当或时，在上有一个零点，
当时，在上有2个零点，
当或时，在上没有零点.
17．（1）；（2）
【分析】（1）利用同角间三角函数关系，诱导公式，两角差的正弦公式，二倍角公式化简可得；
（2）利用诱导公式，二倍角公式、两角差的正弦公式化简函数式，求得，再由两角和的正弦公式计算．
【详解】（1）
；
（2），
，，
又，则，∴，
∴．
18．(1)；
(2)
【分析】（1）根据函数的奇偶性计算即可；
（2）根据（1）的结论结合复合函数的单调性确定的单调性去函数符号得对任意的恒成立，分类讨论分参结合基本不等式计算即可.
【详解】（1）依题可知，
设，则，所以，
又是R上的奇函数，，
则，则，
当时，，
综上所述，；
（2）当时，，
易知在定义域上为增函数，在定义域上为减函数，
∴fx在上单调递减，
又是R上的奇函数，∴fx在0,+∞上单调递减，
从而在R上单调递减，
由，
可得，
又在R上单调递减，
，
即对任意的恒成立，
当时，恒成立；
当时，
令
当且仅当即时等号成立，
，即实数的取值范围为.
19．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导得，设，分类讨论的根的情况，可得的单调区间；
（2）求导根据题意可得方程在上有两个不同的实数解，可得解得，要证，需证，进而换元可证结论；
【详解】（1）函数的定义域为，，
令方程，则．
当，即时，，此时函数的单调增区间为，无单调减区间．
当时，，故当时函数的单调增区间为，无单调减区间．
当时，令f'(x)=0，得，，
当时，，
当时，，
故当时，函数的单调增区间为和，
单调减区间为
综上所述，当时，函数的单调增区间为，无单调减区间
当时，函数的单调增区间为和，
单调减区间为；
（2）因为函数的两个极值点分别为，，由得，，
所以，要证，
即证，
不妨设，则只需要证，
设只需证．
令，其中，
则，
所以在上单调递增，所以，得证．
【点睛】方法点睛：求含参数的函数的单调区间，求导后能转化为一元二次方程的问题，常利用判别式进行分类讨论求解；函数有两个极值点即为导函数有两个零点，在此基础上证不等式恒成立问题，常转化为构造函数，通过求最大值与最小值证明；