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湖北省武汉市第二中学2025届高三上学期10月第三次检测 数学试题（含解析）
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这是一份湖北省武汉市第二中学2025届高三上学期10月第三次检测 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知角的终边经过点，且，则的值是（ ）
A．B．C．D．
4．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
6．函数在上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．定义在上的函数是的导函数，且成立，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，不等式对任意的实数都成立，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列各式中，计算结果为的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数的最小值为0，e是自然对数的底数，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
11．设，若关于x的不等式在上恒成立，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
12．若，则 ．
13．若，，且，则的最大值为 ．
14．设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是 .
四、解答题
15．已知，；
(1)求的值；
(2)求
16．通过两角和的正、余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式．例如：．
(1)根据上述过程，推导出关于的表达式；
(2)求的值；
(3)求的值．
17．已知函数，
(1)若的值域为，求满足条件的整数的值；
(2)若非常数函数是定义域为的奇函数，且，，，求的取值范围.
18．已知函数.（，，e是自然对数的底数）
（1）若，当时，，求实数a的取值范围；
（2）若，f(x)存在两个极值点，，求证：.
19．已知函数，其中．
（Ⅰ）若存在唯一极值点，且极值为0，求的值；
（Ⅱ）讨论在区间上的零点个数．
1．B
【分析】根据已知条件求得的值，由此求得所求表达式的值.
【详解】由于，所以.所以
.
故选：B
【点睛】本小题主要考查利用诱导公式化简求值，属于基础题.
2．D
【分析】根据同角三角函数关系，三角函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定，即可求解.
【详解】由，可得或，
当时，此时，即充分性不成立；
反之当时，，其中可为，此时，即必要性不成立，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
3．A
【分析】由终边上的点及正切值求参数m，再根据正弦函数的定义求.
【详解】由题设，，可得，
所以.
故选：A
4．B
【分析】根据函数奇偶性即可排除CD，由特殊点的函数值即可排除A.
【详解】，则的定义域为R，
又，
所以为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD，
当时，，故排除A.
故选：B.
5．B
【分析】直接求出，，然后由切点和斜率确定切线方程.
【详解】根据，有.
所以，.
从而所求切线经过，且斜率为，从而方程为，即.
故选：B.
6．C
【分析】函数定义域为，由函数在上不单调，则在上有零点，即方程在上有根，所以，进而求解.
【详解】函数定义域为，
由题意，函数在上不单调，
所以在上有零点，
即方程在上有根，
即方程在上有根，
所以，即，
所以实数的取值范围为.
故选：C.
7．B
【分析】由条件可得，考虑构造函数，结合导数运算公式和导数与函数的单调性的关系由条件证明函数在上的单调递减，再根据函数的单调性比较函数值的大小即可.
【详解】因为时，，
所以可化为，即，设，
则，
所以当时，，
所以函数在上的单调递减，因为，所以
所以，即，
所以，
故选：B.
8．B
【分析】把不等式变形为，设，则不等式对任意的实数恒成立，转化为对任意恒成立，根据函数的单调性，得出对任意恒成立，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解.
【详解】由题意，不等式变形为 ，即，
设，则不等式对任意的实数恒成立，
等价于对任意恒成立，
又由，则在上单调递增，所以，
即对任意恒成立，
所以恒成立，即，
令，则，
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，所以，即，
所以的最小值是.
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
9．ACD
【分析】根据三角恒等变换，化简求值.
【详解】A.
，故A正确；
B. ，故B错误；
C. ，故C正确；
D.
，故D正确.
故选：ACD
10．AD
【分析】由已知得当时，，对于AC，当时，为上的减函数，则，代入解不等式得解；对于BD，当时，由对勾函数在上单调递减，在上单调递增，判断的单调性，求出最小值即可判断.
【详解】由函数的最小值为0，
当时，，即，
故当时，的值域为的子集，即
对于AC，当时，为上的减函数，
又，则，即，故A正确，C错误；
当时，对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
对于B，当时，对勾函数在上单调递增，
则函数在上单调递减，由A知，，故B错误；
对于D，当时，对勾函数在上单调递减，
则函数在上单调递增，又，则，即，故D正确；
故选：AD
【点睛】思路点睛：本题考查已知函数的最值求参数，解题时需先求出由函数在时的值域为，进而将问题转化为当时，函数的值域为的子集，即，分类讨论研究函数的单调性求出最值，考查学生的分析转化能力，属于难题.
11．BCD
【分析】根据给定条件，构造函数，分类讨论并求出的最大值，再构造函数求出的最小值作答.
【详解】不等式在上恒成立，等价于在上恒成立，
令函数，，求导得，显然，
当时，，函数在上单调递增，
而函数在上单调递增，它们的取值集合分别是
因此包含于函数的值域，即函数无最大值，即不等式在上不恒成立，
于是，由得，由得，即函数在上递增，在上递减，
，依题意，，则，
令，求导得，当时，当时，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，，
于是，所以的值可以是，A错误，BCD正确.
故选：BCD
【点睛】方法点睛：解决不等式恒成立问题，可以利用分离参数法，即将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.
12．
【分析】结合诱导公式、二倍角公式求得正确答案.
【详解】∵，
故答案为：
13．
【分析】利用基本不等式的性质，求解和的最小值.
【详解】，，由基本不等式，，即，当且仅当时等号成立.
，
即，解得，当，即，时，有最大值.
故答案为：
14．
【分析】求导得有两个零点等价于函数有一个不等于1的零点，分离参数得，令，，利用的单调性可得：在取得最小值，作的图象，并作的图象，注意到，，对分类讨论即可得出．
【详解】解：求导得有两个零点等价于函数有一个不等于1的零点，分离参数得，
令，，
在递减，在递增，显然在取得最小值，
作的图象，并作的图象，注意到，，
（原定义域，这里为方便讨论，考虑，
当时，直线与只有一个交点即只有一个零点（该零点值大于；
当时在两侧附近同号，不是极值点；
当时函数有两个不同零点（其中一个零点等于，但此时在两侧附近同号，使得不是极值点不合．
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用三角函数的基本关系式，得到，即可求解；
（2）根据三角恒等变换的公式，诱导公式和基本关系式，化简原式，代入即可求解.
【详解】（1）解：因为，可得，
又因为，可得，
整理得，解得或，
因为，所以.
（2）由
.
16．(1)
(2)
(3)．
【分析】（1）仿照已知结合同角三角函数的平方关系，化简，可得答案；
（2）利用二倍角公式以及三倍角余弦公式，即可求得答案；
（3）由（1）可得，再结合诱导公式化简求值，即得答案.
【详解】（1）
．
（2）因为，所以，
即，可得，
因为，所以，可得，
整理得，
因为，所以．
（3）由（1）得，
所以
．
17．(1)；
(2).
【分析】（1）根据函数的值域为，可得函数的值域包含，再分，和三种情况讨论，结合二次函数的性质即可得解；
（2）根据函数的奇偶性求出函数的解析式，再根据，则只要即可，求出函数的最小值，再从分情况讨论，结合二次函数的性质求出的最小值即可．
【详解】（1）因为函数的值域为，所以函数的值域包含，
，
当时，，其值域为，不满足条件，
当时，令，则函数的对称轴为，
当时，，即的值域为，
所以，解得，
当时，，则函数的值域为，即函数的值域为，不满足条件，
综上所述，，所以满足条件的整数的值为；
（2）因为函数是定义域为的奇函数，
所以，即，解得或，
由函数不是常数函数，所以，
经检验，符合题意，即，
由，，，
得，，，
只要即可，
当x∈1,2时，，
所以函数，则，
，
令，因为，所以，
函数，
当时，，则时，恒成立，符合题意；
当时，函数的对称轴为，
当时，则时，恒成立，符合题意；
当，即时，则时，，所以，不等式组无解；
当，即时，则时，恒成立，符合题意；
当，即时，则时，，所以，解得，
综上所述，的取值范围为.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
18．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）将代入，得，再按及讨论即可得解；
（2）将代入，得，由题意可得，不妨设，则，运用导数并结合第一小问的结论即可得证．
【详解】（1）当，则，
当时，，在，上单调递增，；
当时，在上单调递减，在上单调递增，则，不成立，
实数的取值范围为．
（2）证明：当时，，
函数存在两个极值点，
，即，
由题意知，，为方程的两根，故，
不妨设，则，
，
由（1）知，当，即（当且仅当时取等号），
当时，恒有，
，
又，
令，则，
函数在上单调递增，（1），从而，
综上可得：．
【点睛】本题考查导数的综合运用，考查恒成立问题及不等式的证明问题，涉及了分类讨思想、转化思想及放缩思维，属于难题．
19．（Ⅰ）或；（Ⅱ）答案见解析.
【分析】（Ⅰ）求出，分、两种情况讨论的单调性，然后可得答案；
（Ⅱ）分、、三种情况讨论在区间上的单调性，每种情况下结合的函数值的符号判断其零点个数.
【详解】（Ⅰ）由已知，可得．
①若，则当x∈0,+∞时，恒成立，
∴在0,+∞上单调递增，与存在极值点矛盾；
②若，则由得．
∴当时，；当时，．
∴在上单调递减，在上单调递增．
∴存在唯一极小值点．
∴．
∴或．
（Ⅱ）①当时，在上恒成立，∴在上单调递增．
∵，，
（ⅰ）当时，；
（ⅱ）当时，．
∴．
∴由零点存在性定理，知在上有1个零点；
②当时，
∵当时，；当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增．
∴．
（ⅰ）当时，，此时在上有1个零点；
（ⅱ）当时，，此时在上无零点；
（ⅲ）当时，，．
（a）当，即时，在上有1个零点；
（b）当，即时，在上有2个零点；
③当时，在上恒成立，在上单调递减．
∵，，
∴在上有1个零点，
综上，当时，在上无零点；
当或或时，在上有1个零点；
当时，在上有2个零点．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是要掌握分类讨论的思想，利用函数的单调性和函数值的符号讨论函数的零点个数.
一、单选题
1．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知角的终边经过点，且，则的值是（ ）
A．B．C．D．
4．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
6．函数在上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．定义在上的函数是的导函数，且成立，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，不等式对任意的实数都成立，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列各式中，计算结果为的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数的最小值为0，e是自然对数的底数，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
11．设，若关于x的不等式在上恒成立，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
12．若，则 ．
13．若，，且，则的最大值为 ．
14．设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是 .
四、解答题
15．已知，；
(1)求的值；
(2)求
16．通过两角和的正、余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式．例如：．
(1)根据上述过程，推导出关于的表达式；
(2)求的值；
(3)求的值．
17．已知函数，
(1)若的值域为，求满足条件的整数的值；
(2)若非常数函数是定义域为的奇函数，且，，，求的取值范围.
18．已知函数.（，，e是自然对数的底数）
（1）若，当时，，求实数a的取值范围；
（2）若，f(x)存在两个极值点，，求证：.
19．已知函数，其中．
（Ⅰ）若存在唯一极值点，且极值为0，求的值；
（Ⅱ）讨论在区间上的零点个数．
1．B
【分析】根据已知条件求得的值，由此求得所求表达式的值.
【详解】由于，所以.所以
.
故选：B
【点睛】本小题主要考查利用诱导公式化简求值，属于基础题.
2．D
【分析】根据同角三角函数关系，三角函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定，即可求解.
【详解】由，可得或，
当时，此时，即充分性不成立；
反之当时，，其中可为，此时，即必要性不成立，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
3．A
【分析】由终边上的点及正切值求参数m，再根据正弦函数的定义求.
【详解】由题设，，可得，
所以.
故选：A
4．B
【分析】根据函数奇偶性即可排除CD，由特殊点的函数值即可排除A.
【详解】，则的定义域为R，
又，
所以为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD，
当时，，故排除A.
故选：B.
5．B
【分析】直接求出，，然后由切点和斜率确定切线方程.
【详解】根据，有.
所以，.
从而所求切线经过，且斜率为，从而方程为，即.
故选：B.
6．C
【分析】函数定义域为，由函数在上不单调，则在上有零点，即方程在上有根，所以，进而求解.
【详解】函数定义域为，
由题意，函数在上不单调，
所以在上有零点，
即方程在上有根，
即方程在上有根，
所以，即，
所以实数的取值范围为.
故选：C.
7．B
【分析】由条件可得，考虑构造函数，结合导数运算公式和导数与函数的单调性的关系由条件证明函数在上的单调递减，再根据函数的单调性比较函数值的大小即可.
【详解】因为时，，
所以可化为，即，设，
则，
所以当时，，
所以函数在上的单调递减，因为，所以
所以，即，
所以，
故选：B.
8．B
【分析】把不等式变形为，设，则不等式对任意的实数恒成立，转化为对任意恒成立，根据函数的单调性，得出对任意恒成立，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解.
【详解】由题意，不等式变形为 ，即，
设，则不等式对任意的实数恒成立，
等价于对任意恒成立，
又由，则在上单调递增，所以，
即对任意恒成立，
所以恒成立，即，
令，则，
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，所以，即，
所以的最小值是.
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
9．ACD
【分析】根据三角恒等变换，化简求值.
【详解】A.
，故A正确；
B. ，故B错误；
C. ，故C正确；
D.
，故D正确.
故选：ACD
10．AD
【分析】由已知得当时，，对于AC，当时，为上的减函数，则，代入解不等式得解；对于BD，当时，由对勾函数在上单调递减，在上单调递增，判断的单调性，求出最小值即可判断.
【详解】由函数的最小值为0，
当时，，即，
故当时，的值域为的子集，即
对于AC，当时，为上的减函数，
又，则，即，故A正确，C错误；
当时，对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
对于B，当时，对勾函数在上单调递增，
则函数在上单调递减，由A知，，故B错误；
对于D，当时，对勾函数在上单调递减，
则函数在上单调递增，又，则，即，故D正确；
故选：AD
【点睛】思路点睛：本题考查已知函数的最值求参数，解题时需先求出由函数在时的值域为，进而将问题转化为当时，函数的值域为的子集，即，分类讨论研究函数的单调性求出最值，考查学生的分析转化能力，属于难题.
11．BCD
【分析】根据给定条件，构造函数，分类讨论并求出的最大值，再构造函数求出的最小值作答.
【详解】不等式在上恒成立，等价于在上恒成立，
令函数，，求导得，显然，
当时，，函数在上单调递增，
而函数在上单调递增，它们的取值集合分别是
因此包含于函数的值域，即函数无最大值，即不等式在上不恒成立，
于是，由得，由得，即函数在上递增，在上递减，
，依题意，，则，
令，求导得，当时，当时，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，，
于是，所以的值可以是，A错误，BCD正确.
故选：BCD
【点睛】方法点睛：解决不等式恒成立问题，可以利用分离参数法，即将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.
12．
【分析】结合诱导公式、二倍角公式求得正确答案.
【详解】∵，
故答案为：
13．
【分析】利用基本不等式的性质，求解和的最小值.
【详解】，，由基本不等式，，即，当且仅当时等号成立.
，
即，解得，当，即，时，有最大值.
故答案为：
14．
【分析】求导得有两个零点等价于函数有一个不等于1的零点，分离参数得，令，，利用的单调性可得：在取得最小值，作的图象，并作的图象，注意到，，对分类讨论即可得出．
【详解】解：求导得有两个零点等价于函数有一个不等于1的零点，分离参数得，
令，，
在递减，在递增，显然在取得最小值，
作的图象，并作的图象，注意到，，
（原定义域，这里为方便讨论，考虑，
当时，直线与只有一个交点即只有一个零点（该零点值大于；
当时在两侧附近同号，不是极值点；
当时函数有两个不同零点（其中一个零点等于，但此时在两侧附近同号，使得不是极值点不合．
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用三角函数的基本关系式，得到，即可求解；
（2）根据三角恒等变换的公式，诱导公式和基本关系式，化简原式，代入即可求解.
【详解】（1）解：因为，可得，
又因为，可得，
整理得，解得或，
因为，所以.
（2）由
.
16．(1)
(2)
(3)．
【分析】（1）仿照已知结合同角三角函数的平方关系，化简，可得答案；
（2）利用二倍角公式以及三倍角余弦公式，即可求得答案；
（3）由（1）可得，再结合诱导公式化简求值，即得答案.
【详解】（1）
．
（2）因为，所以，
即，可得，
因为，所以，可得，
整理得，
因为，所以．
（3）由（1）得，
所以
．
17．(1)；
(2).
【分析】（1）根据函数的值域为，可得函数的值域包含，再分，和三种情况讨论，结合二次函数的性质即可得解；
（2）根据函数的奇偶性求出函数的解析式，再根据，则只要即可，求出函数的最小值，再从分情况讨论，结合二次函数的性质求出的最小值即可．
【详解】（1）因为函数的值域为，所以函数的值域包含，
，
当时，，其值域为，不满足条件，
当时，令，则函数的对称轴为，
当时，，即的值域为，
所以，解得，
当时，，则函数的值域为，即函数的值域为，不满足条件，
综上所述，，所以满足条件的整数的值为；
（2）因为函数是定义域为的奇函数，
所以，即，解得或，
由函数不是常数函数，所以，
经检验，符合题意，即，
由，，，
得，，，
只要即可，
当x∈1,2时，，
所以函数，则，
，
令，因为，所以，
函数，
当时，，则时，恒成立，符合题意；
当时，函数的对称轴为，
当时，则时，恒成立，符合题意；
当，即时，则时，，所以，不等式组无解；
当，即时，则时，恒成立，符合题意；
当，即时，则时，，所以，解得，
综上所述，的取值范围为.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
18．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）将代入，得，再按及讨论即可得解；
（2）将代入，得，由题意可得，不妨设，则，运用导数并结合第一小问的结论即可得证．
【详解】（1）当，则，
当时，，在，上单调递增，；
当时，在上单调递减，在上单调递增，则，不成立，
实数的取值范围为．
（2）证明：当时，，
函数存在两个极值点，
，即，
由题意知，，为方程的两根，故，
不妨设，则，
，
由（1）知，当，即（当且仅当时取等号），
当时，恒有，
，
又，
令，则，
函数在上单调递增，（1），从而，
综上可得：．
【点睛】本题考查导数的综合运用，考查恒成立问题及不等式的证明问题，涉及了分类讨思想、转化思想及放缩思维，属于难题．
19．（Ⅰ）或；（Ⅱ）答案见解析.
【分析】（Ⅰ）求出，分、两种情况讨论的单调性，然后可得答案；
（Ⅱ）分、、三种情况讨论在区间上的单调性，每种情况下结合的函数值的符号判断其零点个数.
【详解】（Ⅰ）由已知，可得．
①若，则当x∈0,+∞时，恒成立，
∴在0,+∞上单调递增，与存在极值点矛盾；
②若，则由得．
∴当时，；当时，．
∴在上单调递减，在上单调递增．
∴存在唯一极小值点．
∴．
∴或．
（Ⅱ）①当时，在上恒成立，∴在上单调递增．
∵，，
（ⅰ）当时，；
（ⅱ）当时，．
∴．
∴由零点存在性定理，知在上有1个零点；
②当时，
∵当时，；当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增．
∴．
（ⅰ）当时，，此时在上有1个零点；
（ⅱ）当时，，此时在上无零点；
（ⅲ）当时，，．
（a）当，即时，在上有1个零点；
（b）当，即时，在上有2个零点；
③当时，在上恒成立，在上单调递减．
∵，，
∴在上有1个零点，
综上，当时，在上无零点；
当或或时，在上有1个零点；
当时，在上有2个零点．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是要掌握分类讨论的思想，利用函数的单调性和函数值的符号讨论函数的零点个数.
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