甘肃省兰州市第五十一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

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第 I 卷（58 分）
一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确 的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1 ．设全集A = {x∈ N∣x < 3}, B = {0,1, 2,3}，则 AB = ( )
A ．{0,1} B ．{1, 2} C ．{0,1, 2} D ．{0,1, 2,3}
2 ．“ x = 4 ”是“ x ≥ 3 ”成立的（ ）条件.
A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要 D ．既不充分又不必要
3 ．函数y = 的定义域是 ( )
A ．[−1, +∞ ) B ．(−1, +∞ ) C ．[−1, 4) (4, +∞ ) D ．(−1, 4) U (4, +∞)
4 ．命题“ 彐x0 ∈ R ，x + x0 +1 < 0 ”的否定是 ( )
A ．彐x0 ∈ R ，x + x0 +1> 0 B ．彐x0 ∈ R ，x + x0 +1≥ 0
C ．丫x∈ R，x2 + x+1> 0 D ．丫x∈ R，x2 + x+1≥ 0
5 ．不等式 的解为 ( )
A ．0 < x ≤ 1 B ．x < 0 或x ≥ 1
C ．0 ≤ x ≤ 1 D ．x ≤ 0 或x ≥ 1
6 ．已知函数 3 ，且f = 2 ，则x0 = ( )
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．6
7 ．已知函数f (x) 是定义在[0, +∞) 上的增函数，则满足 的 x 的取值范围是 ( )
A ． B ． C ． D .
8 ．函数y = x+ 的值域为( )
A ．(−∞, 2] B ．[2, +∞) D .
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9 ．下列说法中正确的是( )
A ．若c > 0 ， ac > bc，则 a > b
B ．若 −2 < a < 4 ，1 < b < 3 ，则 −8 < a− 2b < 2
m m
C ．若a > b > 0 ，m < 0 ，则 <
a b
D ．若 −2 < a+ b < 4 ，1 < b− 2a < 3，则 −9 < a− 2b < 3
10 ．下列命题正确的是 ( )
A ．若a，b∈R，且 ab > 0 ， a+ b ≥ 2ab
1 4 9
B ．已知正数x 、y 满足x+ y = 1，则 + 的最小值为
x 1+ y 2
C ．若x > 0 ，则2 − 3x − 的最大值是2 − 4
D ．若x = (x − 2)y ，x > 0 ，y > 0 ，则 x+ 2y 的最小值是9
11 ．定义在 R 上的函数f (x)满足f (x)+ f (y) = f (x + y) ，当 x < 0 时，f (x) > 0 ，则下列说法正确 的是( )
A ．f (0) = 0
B ．f (x)为奇函数
C ．f (x)在区间[m, n]上有最大值f (n)
D ．f (2x −1)+ f (x2 − 2) > 0 的解集为{x −3 < x < 1}
第 II 卷（92 分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12 ．已知A = {x| −2 < x < 4 ，x∈ Z}，则Z+ A的真子集的个数是 个.
13 ．已知f (x +1) = x2 − 3x + 2 ，则 f (x) = .
14 ．若当x > 1 时，不等式x + ≥ 2m−1恒成立，则实数m 的取值范围是 .
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 ．已知集合A = {x| x > 2 或x <−1} ，关于x 的不等式x2 − (2a +1)x + a2 + a > 0 的解集为 B.
（1）求集合 B；
（2）若 AB = B ，求实数a 的取值范围.
16 ．若正实数 a ，b 满足：a+ b = 2 .
(1)求 ab的最大值；
求 的最小值；
1 1
(3)求 2 + 2 的最小值.
a b
〔x + 2 x ≤ −1
17 ．已知函数f (x) 的解析式为
(1)画出这个函数的图象，并写出f (x)的最大值；
(2)解不等式f (x) < 2 ；
(3)若直线y = k （k 为常数）与函数f (x)的图象有两个公共点，直接写出k 的范围.
18 ．已知函数f (x) 是R 上的偶函数，当x ≤ 0 ，f (x) = −x2 + 4x− 3 ，
(1)求函数f (x) 的解析式；
(2)若f (2m−1) < f (m+1) ，求实数m 的取值范围.
19．对于函数f (x)，若f (x) = x ，则称实数x 为f (x) 的“不动点”，若f (f (x)) = x ，则称实数x 为f (x) 的“稳定点”，函数f (x)的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为A 和 B，即 A = {x f (x) = x}，
B = {x f (f (x)) = x}.
(1)对于函数f (x) = 2x −1 ，分别求出集合 A 和B；
(2)设f (x) = x2 + ax+ b ，若 A = {−1, 3}，求集合B .