河北省盐山中学2024-2025学年高三上学期高考单科模拟综合卷（五）（10月月考）数学试题

这是一份河北省盐山中学2024-2025学年高三上学期高考单科模拟综合卷（五）（10月月考）数学试题，共11页。试卷主要包含了在关于x的展开式中，的系数是，下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
3．请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知i为虚数单位，复数，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，则（ ）
A．AB．BC．D．
3．双曲线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，向量，且，，则向量的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．已知定义在上的函数满足，且当时，，则（ ）
A．B．1C．0D．
6．在关于x的展开式中，的系数是（ ）
A．30B．25C．20D．15
7．已知是第四象限角，终边与单位圆O交于点，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．设正项等差数列满足，其前n项和为，若数列为等差数列，则的最小值是（ ）
A．14B．15C．16D．17
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的有（ ）
A．若随机变量，，则
B．若随机变量，则方差
C．在含有3件次品的10件产品中任取2件，X表示取出的次品数，则
D．已知随机变量的分布列为（，2，3），则实数
10．已知抛物线的焦点为F，M、N是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点F的坐标为
B．若直线的倾斜角为，且过点F，则
C．若，则线段的中点到x轴的距离为
D．以线段为直径的圆与x轴相切
11．如图，在三棱柱中，是边长为2的正三角形，，，P、D分别为棱、的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．平面
B．
C．三棱柱的侧面积为
D．三棱锥的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．过点，且与直线相切于点的圆的方程为______．
13．中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的欣赏和收藏价值．现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷厂生产，其中甲、乙、丙瓷厂分别生产300件、300件、400件，而且甲、乙、丙瓷厂的次品率依次为4%、3%、3%．现从这批瓷器中任取一件，若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为______．（结果保留两位小数）
14．已知函数的最小值为1，则实数a的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
2024年2月初某地骤降大雪，给开车回家过年的人们带来很大麻烦，地面积雪会影响汽车的行驶安全，车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损．某实验室通过试验测得行驶里程与轮胎凹槽深度成负相关，且相关性较强的数据如下：
附：经验回归方程中：，．
（1）求轮胎凹槽深度y与行驶里程x的经验回归方程（、计算结果精确到0.01）；
（2）若轮胎凹槽的深度小于2.5mm时，需要换轮胎，则预测汽车行驶多少里程就需要换轮胎（计算结果精确到0.01）？
16．（15分）
在中，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，是1和的等差中项．
（1）求角B；
（2）若，求b的最小值．
17．（15分）
如图，在四棱锥中，，与均是边长为2的正三角形，四边形是平行四边形，二面角的平面角为．
（1）求证：；
（2）若M为侧棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
18．（17分）
已知动点W到点的距离是到直线的距离的．
（1）设动点W的轨迹为C，求该轨迹方程；
（2）在（1）的条件下，过点F的直线交C于M、N两点，O为坐标原点．求的取值范围．
19．（17分）
已知函数，，取点，过其作曲线切线交y轴于点，取点，过其作曲线作切线交y轴于，若，则停止操作，以此类推，得到数列．
（1）若正整数，证明：；
（2）若正整数，试比较与大小；
（3）若正整数，是否存在k使得，，…，依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由．
2025新高考单科模拟综合卷（五）
数学•参考答案
1．A ，．故选A．
2．B 根据题意，解得集合，，所以．故选B．
3．B 由知，，，且焦点在y轴上，所以，所以．所以焦点坐标为和．故选B．
4．D 设，则．又，解得或．因为，所以．故选D．
5．C 由题意，函数的周期为4．．故选C．
6．A 由题意得展开式的通项为，，1，2，…，6，所以展开式中项为，所以展开式中的系数是30．故选A．
7．C 根据三角函数定义知，由，得，所以，所以或．又是第四象限角，所以，所以，即．故选C．
8．D 因为等差数列满足，．设公差为d，则，其前n项和为，所以，，，．因为数列也为等差数列，所以，所以，解得．故，，所以，当且仅当，即时，等号成立．故选D．
9．AD 由题意可得，，A正确；，，B错误；在含有3件次品的10件产品中，任取2件，X表示取出的次品数，则，C错误；，解得，D正确．故选AD．
10．ACD 由抛物线，则其焦点在y轴上，焦点为，A正确；依题意，直线的方程为，由，消去x化简并整理得．设、，则，，B错误；由抛物线，则其准线方程为．分别设M、N到准线的距离为、，则，则线段的中点到x轴的距离为，C正确；设，结合选项C可得，以线段为直径的圆的半径为．又，则以线段为直径的圆的圆心为，所以圆心到x轴的距离为，则以线段为直径的圆与x轴相切，D正确．故选ACD．
11．BD 记中点为Q，连接．记、交点为E，连接，，、Q、D、四点共面．因为P、Q分别为、的中点，所以E为的重心，即E为的三等分点．又D为中点，所以、不平行．因为平面，平面平面，所以由线面平行性质定理可知，与平面不平行，A错误；连接、、．因为，，，所以．因为D为中点，所以，．又，、平面，所以平面．又平面，所以，B正确；又，所以，所以四边形为矩形，面积为8．又因为，所以三棱柱的侧面积为，C错误；记的中点为H，连接、、．因为，平面，平面，所以平面，所以点P、A到平面的距离相等，A、、H、D四点共面．又，D为中点，所以．因为平面，所以是三棱锥的高．因为，，所以．所以，所以．所以，D正确．故选BD．
12． 设圆的标准方程为，因为圆与直线相切于点，可得过点与直线垂直的直线方程为．又由、，可得线段的垂直平分线的方程，联立方程组，解得，，即圆心坐标为．又由，即圆的半径为，所以圆的方程为．
13．0.36 设B表示事件：取得次品．表示事件：该产品由第i家工厂生产（，2，3）．第i家工厂（，2，3）分别表示甲、乙、丙瓷厂．，，．，，，．
故取到的是次品，则其来自甲厂的概率为．
14． ，令，则，易得．即，，有解，即与图象有交点．由，令，解得．当，，y递增；当，，y递减．所以当时，．当，，所以取值范围为，所以，即．
15．解：（1）由题意得，，
，
所以经验回归方程为．
（2）由题意，，解得，所以当汽车行驶5.84万km时，需要更换轮胎．
16．解：（1）由已知得，
在中，由正弦定理得，
化简得．
因为，所以．又，所以．
因为．所以．
（2）由余弦定理可得，，
当时，b取最小值，且最小值为．
17.（1）证明：因为是正三角形，所以，所以，．
因为四边形是平行四边形，所以，．
连接．因为是边长为2的正三角形，所以，．
故二面角的平面角为，且大小为．
所以在中，．
在中，由余弦定理得，
，
解得．
在中，因为，所以．
（2）解：以点O为坐标原点，分别以、的方向为x、y轴的正方向，建立空间直角坐标系．
所以，，，，，
则，．
因为M为侧棱的中点，所以，则．
设平面的一个法向量为，则．
取，可得．
设直线与平面所成的角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
18．解：（1）设动点，由题意得，，
将上式两边平方，并化简得，，
两边同除12得，此即为动点W的轨迹C的标准方程．
（2）当斜率为0时，、，．
当斜率不为0时，设直线的方程为，、．
联立消去x化简并整理得．
，．
．
，
综上，的取值范围为．
19．（1）证明：由题意得，，
故点处的切线方程为：，
令，则．
（2）解：由（1）知，
要比较与大小，只需比较和的大小．
设，，令，解得，
易知在上为严格减函数，在上为严格增函数，
所以有，所以，所以，当且仅当时成立．
故，即．
（3）解：假设存在，，…，依次成等差数列，则必有，
因为，解得，又，
综上，变形，现在考虑是否存在使该式成立，
设函数，求导，
因为，，所以有，说明严格单调递增，且，，
根据零点存在性定理可以知道，有唯一解使得方程成立，故时成立．
下面证明不成立：
利用零点唯一性得出矛盾，当时，由上面证明可知，
另一方面由（2）可知，数列为严格递减数列，矛盾，所以只有．
综上，满足题意的只有．
行驶里程x/万km
0.00
0.64
1.29
1.93
2.57
3.22
3.86
4.51
5.15
轮胎凹槽深度y/mm
10.02
8.37
7.39
6.48
5.82
5.20
4.55
4.16
3.82
2.57
6.20
115.10
29.46
25.0