初中数学北师大版（2024）九年级上册1 反比例函数课后练习题

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册1 反比例函数课后练习题，共12页。试卷主要包含了反比例函数的概念，反比例函数解析式的确定，反比例函数的图象和性质等内容，欢迎下载使用。
02 知识速记
一、反比例函数的概念
一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.
要点：在中，自变量的取值范围是， ()可以写成()的形式，也可以写成的形式.
二、反比例函数解析式的确定
反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.
三、反比例函数的图象和性质
1.反比例函数的图象
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．
要点：
观察反比例函数的图象可得：和的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．
①的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线；
②的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；
③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于轴对称，也关于轴对称.
注：正比例函数与反比例函数，
当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.

2.反比例函数的性质
（1）图象位置与反比例函数性质
当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大.
（2）若点()在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.
（3）正比例函数与反比例函数的性质比较
（4）反比例函数y＝中的意义
①过双曲线(≠0) 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.
②过双曲线(≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.
四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点
1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.
2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.
03 题型归纳
题型一 反比例函数的概念及应用
例题
1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
巩固训练
2．下列问题中的两个变量是成反比例的是（ ）
A．被除数（不为零）一定，除数与商B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量
C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长D．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间
3．下列函数表达式中，表示是的反比例函数的有（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．下列各点在反比例函数图象上的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知关于x的反比例函数，则m的值为 ．
6．如果是反比例函数，那么的值是 ．
题型二 反比例函数的图像与性质
例题
7．关于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．函数图像分别位于第一、三象限B．函数图像经过点
C．函数图像过，则D．函数图像关于原点成中心对称
巩固训练
8．如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
9．关于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图像经过点B．函数图像位于第一、三象限
C．函数值随着的增大而增大D．当时，
10．若点，，是反比例函数图像上的三个点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
题型三 根据图像或性质求参数范围
例题
11．反比例函数的图象上有一点，当，则的取值范围是 ．
巩固训练
12．若反比例函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是 ．
13．在平面直角坐标系中，对于每一象限内的反比例函数图像，的值都随值的增大而增大，则的取值范围是 ．
14．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值（ ）
A．B．或C．或D．
题型四 参数范围、图像与性质的相互判断
例题
15．在同一坐标系中，函数和的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
巩固训练
16．一次函数y=kx−1与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
17．已知反比例函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数图像分布在第二、四象限B．随的增大而减小
C．如果两点，都在图像上，则D．图像关于原点中心对称
18．在函数(m为常数)的图象上有三个点，，，则函数值的大小关系是( )．
A． B． C． D．
题型五 反比例函数与方程、不等式
例题
19．如图，一次函数（、为常数，且）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于、两点．则关于的方程的解为 ．
巩固训练
20．如图，已知一次函数y=mx+n与反比例函数．的图象交于两点．观察图象可知，不等式 的解集是 ．
21．已知一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象没有交点，则的取值范围为 ．
题型六 k的几何意义
例题
22．如图，过双曲线上任意一点分别作轴，轴的垂线，，交轴、轴于点、，所得矩形的面积为8，则的值是（ ）

A．4B．C．8D．
巩固训练
23．如图，反比例函数的图像上有一点P，轴于点A，点B在y轴上，则的面积为（ ）
A．1B．2C．4D．8
24．如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，点C在第一象限内，点B为的中点，反比例函数的图象经过B，C两点．若的面积是6，则k的值为 ．

25．函数与的图象如图所示，点C是y轴上的任意一点．直线平行于y轴，分别与两个函数图象交于点A、B，连接．当从左向右平移时，的面积是 ．

26．如图，点是反比例函数图像上的点，点分别在x轴，y轴正半轴上．若四边形为菱形，轴，，则k的值（ ）

A．3B．6C．12D．24
题型七 反比例函数的代数应用
例题
27．已知点与点在反比例函数的图象上，( )
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
巩固训练
28．已知点，，在反比例函数的图象上，，则下列结论一定成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
题型八 反比例函数的实际应用
例题
29．验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（ ）度．
A．150B．200C．250D．300
巩固训练
30．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ．
31．为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强（）是气体体积（）的反比例函数，其图像如图所示．则下列说法中错误的是（ ）

A．这一函数的表达式为
B．当气体体积为40时，气体的压强值为150
C．当温度不变时，注射器里气体的压强随着气体体积增大而减小
D．若注射器内气体的压强不能超过400，则其体积不能超过15
题型九 最值问题、其他问题
例题
32．已知函数，，当时，函数的最大值为，函数的最小值为，则的值为 ．
巩固训练
33．反比例函数，当（b，a为常数，且）时，的最小值为m，的最大值为n，则的值为（ ）
A．B．C．或D．
34．在同一坐标系中，若正比例函数与反比例函数的图象没有交点，则与的关系，下面四种表述：①；②；③；④或．正确的有( )
A．4个B．3个C．2个D．1个
题型十 解答综合题
例题
35．已知与成反比例，且当时，，求：
(1)与之间的函数关系式；
(2)当时，的值．
巩固训练
36．如图，函数与的图象交于点，直线与函数的图象分别交于B，C两点．

(1)求a和b的值；
(2)求的长度；
(3)根据图象写出时x的取值范围（不需说明理由）．
37．某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强与气体的体积成反比例．当气体的体积时，气球内气体的压强．
(1)当气体的体积为时，它的压强是多少？
(2)当气球内气体的压强大于时，气球就会爆炸．问：气球内气体的体积应不小于多少气球才不会爆炸？
38．如图，已知，是反比例函数的图象和一次函数的图象的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)根据图象直接写出不等式的解集．
39．已知一次函数与反比例函数 的图象交于两点．
(1)①求一次函数和反比例函数的表达式；
②求的面积．
(2)在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
40．已知：如图，直线与函数的图像交于A，B两点，且与x，y轴分别交于C，D两点．
(1)若直线与直线平行，且面积为2，求m的值；
(2)若的面积是的面积的倍，过A作轴于E，过B作轴于F，与交于H点．
①求的值；
②求k与m之间的函数关系式．
(3)若点P坐标为2,0，在（2）的条件下，是否存在k，m，使得为直角三角形，且，若存在，求出k，m的值；若不存在，请说明理由．

正比例函数
反比例函数
解析式
图 像
直线
有两个分支组成的曲线（双曲线）
位 置
，一、三象限；
，二、四象限
，一、三象限
，二、四象限
增减性
，随的增大而增大
，随的增大而减小
，在每个象限，随的增大而减小
，在每个象限，随的增大而增大