还剩13页未读，
继续阅读
高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.2 椭圆的几何性质课时训练
展开
这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.2 椭圆的几何性质课时训练，共16页。
知识点01 椭圆的几何性质
【即学即练1】（23-24高二上·云南昆明·期末）焦点在y轴上，且长轴长与短轴长之比为4:1，焦距为215的椭圆方程为（ ）
A．x264+y24=1B．x24+y264=1
C．x216+y2=1D．x2+y216=1
【即学即练2】（23-24高二上·四川德阳·阶段练习）已知焦点在x轴上的椭圆x2m+y28=1的焦距是2，则该椭圆的长轴长为 .
知识点02椭圆的离心率
1.定义：e＝eq \f(c,a).
2.离心率的范围为：(0,1).
3.公式拓展：e＝eq \f(c,a)=1-b2a2
4.e越大，椭圆越扁平；e越小，椭圆越接近于圆.
【即学即练3】（21-22高二上·陕西铜川·期末）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，焦距为23，则该椭圆的离心率为（ ）
A．12B．23C．32D．63
【即学即练4】（24-25高二上·湖南衡阳·阶段练习）若椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)满足a=2b，则该椭圆的离心率e=（ ）
A．12B．32C．33D．54
难点：数形结合的运用
示例1：（24-25高二上·浙江温州·阶段练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F1的直线与椭圆C交于M,N两点，若2S△MNF2=5S△MF1F2且∠F2F1N=∠F2NF1，则椭圆C的离心率为（ ）
A．35B．22C．13D．32
【题型1：椭圆的几何性质】
例1．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（ ）
A．x29+y216=1B．x225+y216=1
C．x225+y216=1或x216+y225=1D．x216+y225=1
变式1．（21-22高二上·广东湛江·期中）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两个焦点分别为F1-3,0,F23,0，上的顶点为P，且∠F1PF2=60°，则此椭圆长轴为（ ）
A．43B．23C．6D．12
变式2．（2024·江西·模拟预测）椭圆C:x280+y235=1的长轴长与焦距之差等于（ ）
A．5B．25C．26D．36
变式3．（23-24高二下·广东广州·期中）已知椭圆C:x2a2+y2a2-6=1的离心率为32，则椭圆C的长轴长为（ ）
A．23B．42C．43D．62
变式4．（23-24高二上·福建南平·期末）已知椭圆C:x2m+y2m+6=1的离心率为22，则椭圆C的长轴长为（ ）
A．23B．42C．43D．62
变式5．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知椭圆x2t+12+y2t=1的离心率为63，则椭圆的长轴长为（ ）
A．122B．62C．32D．6
变式6．（多选）（23-24高二下·四川雅安·开学考试）已知椭圆C:x28+y228=1，则（ ）
A．椭圆C的长轴长为47B．椭圆C的焦距为12
C．椭圆C的短半轴长为42D．椭圆C的离心率为357
变式7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C:x216+y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，上顶点为A，若AF1⊥AF2，则C的短轴长为 .
变式8.（24-25高二上·上海·课堂例题）若方程x225-m+y216+m=1表示长轴长为10的椭圆，则实数m的值为 ．
【题型2：点与椭圆的位置关系】
例2．（24-25高二上·全国·课堂例题）已知直线mx+ny-5=0与圆x2+y2=5没有公共点，则点Pm,n与椭圆x27+y25=1的位置关系是（ ）
A．在椭圆内B．在椭圆外
C．在椭圆上D．不确定
变式1．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）点1,1与椭圆x225+y29=1的位置关系为（ ）
A．点在椭圆上B．点在椭圆内
C．点在椭圆外D．不确定
变式2．（19-20高二·全国·课后作业）若点Pa,1在椭圆x22+y23=1的外部，则a的取值范围为（ ）
A．-233,233 B．233,+∞∪-∞,-233
C．43,+∞ D．-∞,-43
变式3．（19-20高二·全国·课后作业）点A(a,1)在椭圆x24+y22=1的内部，则a的取值范围是（ ）
A．-∞,-2∪2,+∞B．-2,2C．-2,2D．-2,2
变式4．(多选)（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知直线l:mx+ny=4与圆O:x2+y2=4相切，椭圆C:x29+y25=1，则（ ）
A．点P(m,n)在圆O内B．点P(m,n)在圆O上
C．点P(m,n)在椭圆C内D．点P(m,n)在椭圆C上
变式5．（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）点Aa,1在椭圆x24+y22=1的内部，则a的值可以是（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
变式6．（23-24高二上·广东佛山·期末）设F1、F2分别是椭圆C:x24+y22=1的左、右焦点，在椭圆C上满足∠F1PF2=90∘的点P的个数为 ．
变式7．（20-21高二·全国·课后作业）若点A(m,1)在椭圆x24+y22=1的内部，则实数m的取值范围是 ．
变式8．（20-21高二上·全国·课后作业）已知点(3，2)在椭圆x2m+y2n=1(m>0, n>0)上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是 .
【方法技巧与总结】
点P(x0，y0)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1；
点P在椭圆内部⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)<1；
点P在椭圆外部⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)>1.
【题型3：离心率取值问题】
例3．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知点F，A，B分别是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点、右顶点和上顶点，AB的中点为M，若FM=33a2-b22，则椭圆的离心率等于（ ）
A．15B．13C．265D．223
变式1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,P,Q为C在第一象限的两个动点，且PF1=λQF2,∠PF1F2=π6，若PF1=3QF2，则C的离心率为（ ）
A．33B．12C．52D．104
变式2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知F1,F2分别为椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的两个焦点，P是椭圆E上的点，PF1⊥PF2，且PF1=2PF2，则椭圆E的离心率为（ ）
A．102B．104C．53D．56
变式3．（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）设椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点为F1，F2，右顶点为A，已知点P在椭圆E上，若∠F1PF2=90∘，∠PAF2=45∘，则椭圆的离心率为（ ）
A．57B．63C．2-1D．3-1
变式4．（24-25高二上·全国·课后作业）设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，点M,N在C上（M位于第一象限），且点M,N关于原点O对称，若MF1⋅MF2=0,15MF2=NF2，则C的离心率为（ ）
A．154B．157C．215-27D．15-24
变式5.（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F，上、下顶点分别为A，B，点P在以OF为直径的圆上，若PA⊥PB，sin∠PFO=33，则E的离心率为（ ）
A．22B．32C．12D．14
变式6．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(0变式7．（24-25高二上·陕西宝鸡·阶段练习）如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1,F2在x轴上，A,B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2//AB，则此椭圆的离心率是 ．
变式8．（2024高二上·全国·专题练习）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别为F1，F2，点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥F1B，F2B=-32F2A，则椭圆C的离心率为 ．
【方法技巧与总结】
1．椭圆的离心率的求法：
(1)直接求a，c后求e，或利用e＝eq \r(1－\f(b2,a2))，求出eq \f(b,a)后求e.
(2)将条件转化为关于a，b，c的关系式，利用b2＝a2－c2消去b.等式两边同除以a2或a4构造关于eq \f(c,a)(e)的方程求e.
2．求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0,1)取交集．
【题型4：离心率取值范围问题】
例4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，且F1F2=2c，点P为直线x=a2c上一点，若点F2在线段PF1的垂直平分线上，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．0,22B．0,33C．22,1D．33,1
变式1．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈π6,π4，则该椭圆离心率e的取值范围为（ ）
A．22,3-1B．22,1C．22,32D．33,63
变式2．（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆x2a2+y2b2=1，P为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为A､B,kAP⋅kBP≤-23，则离心率e的范围为（ ）
A．33,1B．0,33C．63,1D．33,63
变式3．（23-24高二下·浙江·开学考试）已知点A是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左顶点，过点A且斜率为12的直线l与椭圆C交于另一点P（点P在第一象限）．以原点O为圆心，OP为半径的圆在点P处的切线与x轴交于点Q．若PA≥PQ，则椭圆C离心率的取值范围是（ ）
A．0,12B．0,22C．12,1D．22,1
变式4．（23-24高二下·河北保定·开学考试）已知F1,F2分别是椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆M上，且PF1-PF2=4b，则M的离心率的取值范围为（ ）
A．0,255B．255,1C．0,32D．32,1
变式5．（23-24高二上·浙江丽水·期末）设椭圆C1:x2m+y22=1与椭圆C2:x28+y2m=1的离心率分别为e1, e2，若m∈(2,8)，则（ ）
A．e1e2的最小值为14B．e1e2的最小值为12
C．e1e2的最大值为14D．e1e2的最大值为12
变式6．（23-24高二上·安徽·期末）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长大于43，当m变化时直线x-my+2-2m=0与C都恒过同一个点，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．0,22B．22,1C．0,12D．12,1
变式7．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为Fc,0，上顶点为A0,b，直线上l:x=a2c上存在一点P满足FP+FA⋅AP=0，则椭圆的离心率的取值范围为 ．
变式8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2，点P是C上的一点，直线l的方程为x=a2+b2a，且PQ⊥l于Q．若四边形PQF2F1为平行四边形，求C的离心率的取值范围．
【方法技巧与总结】
椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式e=ca；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2=a2-c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
【题型5：直线与椭圆的位置关系】
例5．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）直线l：3x+y-3=0与椭圆C：x216+y24=1的一个交点坐标为（ ）
A．2,3B．213,11313C．-2,33D．-213,15313
变式1．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知直线l:y=x+m与椭圆C:x24+y23=1有公共点，则m的取值范围是（ ）
A．-7,7B．-6,7
C．-6,6D．-22,22
变式2．（23-24高二上·全国·课后作业）直线y=3x-1与椭圆x24+y28=1的公共点的个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．无数个
变式3．（21-22高二上·全国·课后作业）直线x=1与椭圆x2+y22=1的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
变式4．（21-22高二上·全国·课前预习）直线y=x+1与椭圆x2+y22=1的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
变式5．（23-24高二上·上海宝山·期中）若直线y=kx-1与椭圆x25+y2m=1恒有公共点，则实数m的取值范围是 ．
变式6．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆M：y2a2+x2b2=1a>b>0的焦距为4，且经过点1,3.
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)若直线l1与椭圆M相切，且直线l1与直线l：x-y-32=0平行，求直线l1的斜截式方程.
变式7．（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线l:y=mx-2与椭圆C:x24+y23=1相交于不同两点，求实数m的取值范围．
【方法技巧与总结】
直线y＝kx＋m与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法：
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程．
当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；
当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．
【题型6：弦长问题】
例6．（23-24高二上·天津和平·期中）直线x=-1被椭圆x24+y23=1截得的弦长为（ ）
A．32B．32C．3D．3
变式1．（23-24高二上·全国·单元测试）过椭圆x24+y2=1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A,B两点，则AB等于（ ）
A．4B．23
C．1D．43
变式2．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线y=2x+m与椭圆C：x25+y2=1相交于A、B两点，O为坐标原点．当△AOB的面积取得最大值时，AB= ．
变式3．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知直线x-2y+1=0与椭圆x24+y2=1交于A,B两点，则AB= .
变式4．（22-23高二·全国·课后作业）直线x-2y+2=0与椭圆x2+4y2=4相交于A、B两点，则AB= ．
变式5．（22-23高二上·北京丰台·期末）过椭圆x24+y23=1的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得线段的长度为 ．
变式6．（21-22高二·全国·课后作业）已知经过椭圆C：x26+y22=1的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，求△OMN的面积．
变式7．（23-24高二上·福建三明·期末）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F1,0，且经过点Q2,62
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)经过椭圆C的右焦点作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于M，N两点，求线段MN的长．
变式8．（23-24高二上·北京西城·期末）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为5,0，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆(x-1)2+y2=25的圆心为M,P为此圆上一点.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)记线段MP与椭圆C的交点为Q，求PQ的取值范围.
【方法技巧与总结】
1.定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
2.求弦长的方法
①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
②根与系数的关系法：
如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：
|AB|＝eq \r(1＋k2)（x1+x2）2-4x1∙x2＝ eq \r(1＋\f(1,k2))（y1+y2）2-4y1∙y2.·
【题型7：中点弦问题】
例7．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）已知M4,2是直线l被椭圆x2+4y2=36所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（ ）
A．2x+y-8=0B．x+2y-8=0
C．x-2y-8=0D．2x-y-6=0
变式1．（23-24高二上·天津·阶段练习）已知M4,2是直线l被椭圆x2+4y2=36所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（ ）
A．2x+y-8=0B．x+2y-8=0C．x-2y-8=0D．2x-y-8=0
变式2．（11-12高二上·浙江衢州·期末）斜率为1的直线与椭圆x24+y23=1相交于A、B两点，AB的中点为Mm,1，则m= ．
变式3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）过椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F2(1,0)的直线交该椭圆于A、B两点，线段AB的中点为M(12,13)，则椭圆E的离心率为 ．
变式4．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线3x+4y-7=0与椭圆x24+y2m=1和交于A，B两点，且点1,1平分弦AB，则m的值为 ．
变式5．（23-24高二上·福建福州·期末）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，离心率为32，过点F的直线l交椭圆于A,B两点，若AB的中点为1,1，则直线l的斜率为 ．
变式6．（24-25高二上·上海·课堂例题）在直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的焦距为23，长轴长是短轴长的2倍，斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于A、B．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P为线段AB的中点，设OP的斜率为k'，求证：k⋅k'为定值．
变式7．（23-24高二下·北京·开学考试）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=32，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4.若直线l过点-1,0，且与椭圆相交于不同的两点A,B.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若线段AB中点的纵坐标14，求直线l的方程.
【方法技巧与总结】
解决椭圆中点弦问题的两种方法：
（1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和
【题型8：解答题汇总】
例8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0经过点M1,32，F1、F2是椭圆C的左、右两个焦点，F1F2=23，P是椭圆C上的一个动点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点P在第一象限，且PF1⋅PF2≤14，求点P的横坐标的取值范围．
变式1．（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）已知A-2,0，B1,32在椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0上，F1，F2分别为C的左、右焦点．
(1)求a，b的值及C的离心率；
(2)若动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧，求四边形PF1QF2的面积的取值范围．
变式2．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）给定椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0，称圆心在原点O，半径是a2+b2的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F2,0，其短轴的一个端点到点F的距离为3．
(1)求椭圆C和其“准圆”的方程；
(2)若点A，B是椭圆C的“准圆”与x轴的两交点，P是椭圆C上的一个动点，求AP⋅BP的取值范围．
变式3．（23-24高二上·浙江嘉兴·阶段练习）已知椭圆M:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为63，焦距为22，斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若直线l过椭圆上顶点，且k=1，求AB的值.
变式4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，离心率为32，长轴长与短轴长之和为6.
(1)求C的方程；
(2)设P为C上一点，M1,0.若存在实数λ使得PF1+PF2=λPM，求λ的取值范围.
变式5．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B，且3|OA|=2|OB|.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，点C为直线x=4上一点，以C为圆心的圆同时与x轴和直线l相切，且OC//AP，求椭圆的标准方程.
一、单选题
1．（24-25高二上·全国·课后作业）若椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点b2,0分成5:3的两段，则此椭圆的离心率为（ ）
A．1617B．41717C．45D．255
2．（23-24高二上·云南曲靖·阶段练习）椭圆x29+y27=1的焦距为（ ）
A．22B．4C．8D．16
3．（2024·广东·模拟预测）已知椭圆C:x2m+y2m+1=1(m>0)的离心率为33，则m=（ ）
A．3B．13C．2D．12
4．（23-24高二上·广东潮州·期末）已知椭圆的方程为x24+y23=1，则该椭圆的（ ）
A．长轴长为2B．短轴长为3C．焦距为1D．离心率为12
5．（24-25高二上·江西赣州·阶段练习）在△ABC中，sinB+sinC=2sinA，已知点B-3,0 ，C3,0，设点C到直线AB的最大距离为d1，点A到直线BC的最大距离为d2，则 d1d2=（ ）
A．34B．433C．32D．233
6．（22-23高二上·河北保定·期末）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的面积为6π，两个焦点分别为F1，F2，直线y=kx与椭圆C交于A，B两点，若四边形AF1BF2的周长为12，则椭圆C的短半轴长为（ ）
A．4B．3C．2D．6
7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知P是椭圆x25+y24=1在第一象限上的点，且以点P及焦点F1,F2为顶点的三角形面积等于1，则点P的坐标为（ ）
A．534,12B．152,1
C．152,12D．354,32
8．（24-25高二上·全国·课后作业）椭圆x2m+y24=1的焦距是2，则m的值是（ ）
A．3B．5C．3或5D．不存在
二、多选题
9．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）关于方程mx2+ny2=1，下列说法正确的是（ ）
A．若m>n>0，则该方程表示椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则该方程表示圆，其半径为n
C．若n>m>0，则该方程表示椭圆，其焦点在x轴上
D．若m=0,n>0，则该方程表示两条直线
10．（24-25高二上·全国·课后作业）阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为62π，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为（ ）
A．x28+y29=1B．x218+y216=1
C．x212+y26=1D．x29+y28=1
11．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知椭圆x29+y2b2=1(0A．椭圆的短轴长为6
B．AF2+BF2的最大值为8
C．离心率为32
D．椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2=90∘
三、填空题
12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2，若直线y=kx与C交于P,Q两点，且PF1+QF1=PF1⋅QF1=8,PF1⊥QF1，则C的方程为 ．
13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点P在椭圆C:x225+y29=1上，点Q在直线l:4x-5y+30=0上，则PQ的最小值为 .
14．（24-25高二·上海·随堂练习）如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为左焦点、长轴长为40万公里、短轴长为4万公里的椭圆轨道T1绕月飞行，之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为左焦点、长轴长为20万公里的椭圆轨道T2绕月飞行，则椭圆轨道T2的短轴长为 万公里．（近似到0.1）
四、解答题
15．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1)已知椭圆的离心率为e=23，短轴长为85；
(2)椭圆C与x22+y2=1有相同的焦点，且经过点M1,32，求椭圆C的标准方程.
16．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0，若椭圆的焦距为4且经过点-2,2，过点T-6,0的直线交椭圆于P，Q两点．
(1)求椭圆方程；
(2)若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在点Ss,0使得∠PST=∠QST恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由．
17．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆C:(x-1)2+y2=r2r>0在椭圆E:x24+y2=1里.过椭圆E上顶点P作圆C的两条切线，切点为A,B，切线PA与椭圆E的另一个交点为N，切线PB与椭圆E的另一个交点为M.
(1)求r的取值范围；
(2)是否存在圆C，使得直线MN与之相切，若存在求出圆C的方程，若不存在，说明理由.
18．（24-25高三上·山东泰安·开学考试）设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为F1，F2，点P1,22在C上，且PF2⊥x轴．
(1)求C的方程．
(2)过左焦点F1作倾斜角为60°的直线l．直线l与C相交于A，B两点，求△ABF2的周长和面积．
19．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）如图，A,B都是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的顶点，从C上一点P向x轴作垂线，垂足为焦点F，且AB//OP．
(1)求C的离心率；
(2)若△PAB的面积比△POA的面积大12，求C的方程．
课程标准
学习目标
1.掌握椭圆的几何性质
2.了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影响.
3.掌握直线与椭圆的位置关系及其应用
1.重点:椭圆的几何性质
2.难点:椭圆的几何性质的理解和应用.
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
长轴长＝eq \a\vs4\al(2a)，短轴长＝eq \a\vs4\al(2b)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝eq \a\vs4\al(2c)
对称性
对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)
离心率
e＝eq \f(c,a)(0
知识点01 椭圆的几何性质
【即学即练1】（23-24高二上·云南昆明·期末）焦点在y轴上，且长轴长与短轴长之比为4:1，焦距为215的椭圆方程为（ ）
A．x264+y24=1B．x24+y264=1
C．x216+y2=1D．x2+y216=1
【即学即练2】（23-24高二上·四川德阳·阶段练习）已知焦点在x轴上的椭圆x2m+y28=1的焦距是2，则该椭圆的长轴长为 .
知识点02椭圆的离心率
1.定义：e＝eq \f(c,a).
2.离心率的范围为：(0,1).
3.公式拓展：e＝eq \f(c,a)=1-b2a2
4.e越大，椭圆越扁平；e越小，椭圆越接近于圆.
【即学即练3】（21-22高二上·陕西铜川·期末）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，焦距为23，则该椭圆的离心率为（ ）
A．12B．23C．32D．63
【即学即练4】（24-25高二上·湖南衡阳·阶段练习）若椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)满足a=2b，则该椭圆的离心率e=（ ）
A．12B．32C．33D．54
难点：数形结合的运用
示例1：（24-25高二上·浙江温州·阶段练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F1的直线与椭圆C交于M,N两点，若2S△MNF2=5S△MF1F2且∠F2F1N=∠F2NF1，则椭圆C的离心率为（ ）
A．35B．22C．13D．32
【题型1：椭圆的几何性质】
例1．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（ ）
A．x29+y216=1B．x225+y216=1
C．x225+y216=1或x216+y225=1D．x216+y225=1
变式1．（21-22高二上·广东湛江·期中）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两个焦点分别为F1-3,0,F23,0，上的顶点为P，且∠F1PF2=60°，则此椭圆长轴为（ ）
A．43B．23C．6D．12
变式2．（2024·江西·模拟预测）椭圆C:x280+y235=1的长轴长与焦距之差等于（ ）
A．5B．25C．26D．36
变式3．（23-24高二下·广东广州·期中）已知椭圆C:x2a2+y2a2-6=1的离心率为32，则椭圆C的长轴长为（ ）
A．23B．42C．43D．62
变式4．（23-24高二上·福建南平·期末）已知椭圆C:x2m+y2m+6=1的离心率为22，则椭圆C的长轴长为（ ）
A．23B．42C．43D．62
变式5．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知椭圆x2t+12+y2t=1的离心率为63，则椭圆的长轴长为（ ）
A．122B．62C．32D．6
变式6．（多选）（23-24高二下·四川雅安·开学考试）已知椭圆C:x28+y228=1，则（ ）
A．椭圆C的长轴长为47B．椭圆C的焦距为12
C．椭圆C的短半轴长为42D．椭圆C的离心率为357
变式7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C:x216+y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，上顶点为A，若AF1⊥AF2，则C的短轴长为 .
变式8.（24-25高二上·上海·课堂例题）若方程x225-m+y216+m=1表示长轴长为10的椭圆，则实数m的值为 ．
【题型2：点与椭圆的位置关系】
例2．（24-25高二上·全国·课堂例题）已知直线mx+ny-5=0与圆x2+y2=5没有公共点，则点Pm,n与椭圆x27+y25=1的位置关系是（ ）
A．在椭圆内B．在椭圆外
C．在椭圆上D．不确定
变式1．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）点1,1与椭圆x225+y29=1的位置关系为（ ）
A．点在椭圆上B．点在椭圆内
C．点在椭圆外D．不确定
变式2．（19-20高二·全国·课后作业）若点Pa,1在椭圆x22+y23=1的外部，则a的取值范围为（ ）
A．-233,233 B．233,+∞∪-∞,-233
C．43,+∞ D．-∞,-43
变式3．（19-20高二·全国·课后作业）点A(a,1)在椭圆x24+y22=1的内部，则a的取值范围是（ ）
A．-∞,-2∪2,+∞B．-2,2C．-2,2D．-2,2
变式4．(多选)（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知直线l:mx+ny=4与圆O:x2+y2=4相切，椭圆C:x29+y25=1，则（ ）
A．点P(m,n)在圆O内B．点P(m,n)在圆O上
C．点P(m,n)在椭圆C内D．点P(m,n)在椭圆C上
变式5．（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）点Aa,1在椭圆x24+y22=1的内部，则a的值可以是（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
变式6．（23-24高二上·广东佛山·期末）设F1、F2分别是椭圆C:x24+y22=1的左、右焦点，在椭圆C上满足∠F1PF2=90∘的点P的个数为 ．
变式7．（20-21高二·全国·课后作业）若点A(m,1)在椭圆x24+y22=1的内部，则实数m的取值范围是 ．
变式8．（20-21高二上·全国·课后作业）已知点(3，2)在椭圆x2m+y2n=1(m>0, n>0)上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是 .
【方法技巧与总结】
点P(x0，y0)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1；
点P在椭圆内部⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)<1；
点P在椭圆外部⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)>1.
【题型3：离心率取值问题】
例3．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知点F，A，B分别是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点、右顶点和上顶点，AB的中点为M，若FM=33a2-b22，则椭圆的离心率等于（ ）
A．15B．13C．265D．223
变式1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,P,Q为C在第一象限的两个动点，且PF1=λQF2,∠PF1F2=π6，若PF1=3QF2，则C的离心率为（ ）
A．33B．12C．52D．104
变式2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知F1,F2分别为椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的两个焦点，P是椭圆E上的点，PF1⊥PF2，且PF1=2PF2，则椭圆E的离心率为（ ）
A．102B．104C．53D．56
变式3．（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）设椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点为F1，F2，右顶点为A，已知点P在椭圆E上，若∠F1PF2=90∘，∠PAF2=45∘，则椭圆的离心率为（ ）
A．57B．63C．2-1D．3-1
变式4．（24-25高二上·全国·课后作业）设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，点M,N在C上（M位于第一象限），且点M,N关于原点O对称，若MF1⋅MF2=0,15MF2=NF2，则C的离心率为（ ）
A．154B．157C．215-27D．15-24
变式5.（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F，上、下顶点分别为A，B，点P在以OF为直径的圆上，若PA⊥PB，sin∠PFO=33，则E的离心率为（ ）
A．22B．32C．12D．14
变式6．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(0
变式8．（2024高二上·全国·专题练习）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别为F1，F2，点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥F1B，F2B=-32F2A，则椭圆C的离心率为 ．
【方法技巧与总结】
1．椭圆的离心率的求法：
(1)直接求a，c后求e，或利用e＝eq \r(1－\f(b2,a2))，求出eq \f(b,a)后求e.
(2)将条件转化为关于a，b，c的关系式，利用b2＝a2－c2消去b.等式两边同除以a2或a4构造关于eq \f(c,a)(e)的方程求e.
2．求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0,1)取交集．
【题型4：离心率取值范围问题】
例4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，且F1F2=2c，点P为直线x=a2c上一点，若点F2在线段PF1的垂直平分线上，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．0,22B．0,33C．22,1D．33,1
变式1．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈π6,π4，则该椭圆离心率e的取值范围为（ ）
A．22,3-1B．22,1C．22,32D．33,63
变式2．（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆x2a2+y2b2=1，P为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为A､B,kAP⋅kBP≤-23，则离心率e的范围为（ ）
A．33,1B．0,33C．63,1D．33,63
变式3．（23-24高二下·浙江·开学考试）已知点A是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左顶点，过点A且斜率为12的直线l与椭圆C交于另一点P（点P在第一象限）．以原点O为圆心，OP为半径的圆在点P处的切线与x轴交于点Q．若PA≥PQ，则椭圆C离心率的取值范围是（ ）
A．0,12B．0,22C．12,1D．22,1
变式4．（23-24高二下·河北保定·开学考试）已知F1,F2分别是椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆M上，且PF1-PF2=4b，则M的离心率的取值范围为（ ）
A．0,255B．255,1C．0,32D．32,1
变式5．（23-24高二上·浙江丽水·期末）设椭圆C1:x2m+y22=1与椭圆C2:x28+y2m=1的离心率分别为e1, e2，若m∈(2,8)，则（ ）
A．e1e2的最小值为14B．e1e2的最小值为12
C．e1e2的最大值为14D．e1e2的最大值为12
变式6．（23-24高二上·安徽·期末）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长大于43，当m变化时直线x-my+2-2m=0与C都恒过同一个点，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．0,22B．22,1C．0,12D．12,1
变式7．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为Fc,0，上顶点为A0,b，直线上l:x=a2c上存在一点P满足FP+FA⋅AP=0，则椭圆的离心率的取值范围为 ．
变式8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2，点P是C上的一点，直线l的方程为x=a2+b2a，且PQ⊥l于Q．若四边形PQF2F1为平行四边形，求C的离心率的取值范围．
【方法技巧与总结】
椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式e=ca；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2=a2-c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
【题型5：直线与椭圆的位置关系】
例5．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）直线l：3x+y-3=0与椭圆C：x216+y24=1的一个交点坐标为（ ）
A．2,3B．213,11313C．-2,33D．-213,15313
变式1．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知直线l:y=x+m与椭圆C:x24+y23=1有公共点，则m的取值范围是（ ）
A．-7,7B．-6,7
C．-6,6D．-22,22
变式2．（23-24高二上·全国·课后作业）直线y=3x-1与椭圆x24+y28=1的公共点的个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．无数个
变式3．（21-22高二上·全国·课后作业）直线x=1与椭圆x2+y22=1的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
变式4．（21-22高二上·全国·课前预习）直线y=x+1与椭圆x2+y22=1的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
变式5．（23-24高二上·上海宝山·期中）若直线y=kx-1与椭圆x25+y2m=1恒有公共点，则实数m的取值范围是 ．
变式6．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆M：y2a2+x2b2=1a>b>0的焦距为4，且经过点1,3.
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)若直线l1与椭圆M相切，且直线l1与直线l：x-y-32=0平行，求直线l1的斜截式方程.
变式7．（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线l:y=mx-2与椭圆C:x24+y23=1相交于不同两点，求实数m的取值范围．
【方法技巧与总结】
直线y＝kx＋m与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法：
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程．
当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；
当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．
【题型6：弦长问题】
例6．（23-24高二上·天津和平·期中）直线x=-1被椭圆x24+y23=1截得的弦长为（ ）
A．32B．32C．3D．3
变式1．（23-24高二上·全国·单元测试）过椭圆x24+y2=1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A,B两点，则AB等于（ ）
A．4B．23
C．1D．43
变式2．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线y=2x+m与椭圆C：x25+y2=1相交于A、B两点，O为坐标原点．当△AOB的面积取得最大值时，AB= ．
变式3．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知直线x-2y+1=0与椭圆x24+y2=1交于A,B两点，则AB= .
变式4．（22-23高二·全国·课后作业）直线x-2y+2=0与椭圆x2+4y2=4相交于A、B两点，则AB= ．
变式5．（22-23高二上·北京丰台·期末）过椭圆x24+y23=1的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得线段的长度为 ．
变式6．（21-22高二·全国·课后作业）已知经过椭圆C：x26+y22=1的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，求△OMN的面积．
变式7．（23-24高二上·福建三明·期末）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F1,0，且经过点Q2,62
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)经过椭圆C的右焦点作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于M，N两点，求线段MN的长．
变式8．（23-24高二上·北京西城·期末）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为5,0，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆(x-1)2+y2=25的圆心为M,P为此圆上一点.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)记线段MP与椭圆C的交点为Q，求PQ的取值范围.
【方法技巧与总结】
1.定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
2.求弦长的方法
①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
②根与系数的关系法：
如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：
|AB|＝eq \r(1＋k2)（x1+x2）2-4x1∙x2＝ eq \r(1＋\f(1,k2))（y1+y2）2-4y1∙y2.·
【题型7：中点弦问题】
例7．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）已知M4,2是直线l被椭圆x2+4y2=36所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（ ）
A．2x+y-8=0B．x+2y-8=0
C．x-2y-8=0D．2x-y-6=0
变式1．（23-24高二上·天津·阶段练习）已知M4,2是直线l被椭圆x2+4y2=36所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（ ）
A．2x+y-8=0B．x+2y-8=0C．x-2y-8=0D．2x-y-8=0
变式2．（11-12高二上·浙江衢州·期末）斜率为1的直线与椭圆x24+y23=1相交于A、B两点，AB的中点为Mm,1，则m= ．
变式3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）过椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F2(1,0)的直线交该椭圆于A、B两点，线段AB的中点为M(12,13)，则椭圆E的离心率为 ．
变式4．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线3x+4y-7=0与椭圆x24+y2m=1和交于A，B两点，且点1,1平分弦AB，则m的值为 ．
变式5．（23-24高二上·福建福州·期末）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，离心率为32，过点F的直线l交椭圆于A,B两点，若AB的中点为1,1，则直线l的斜率为 ．
变式6．（24-25高二上·上海·课堂例题）在直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的焦距为23，长轴长是短轴长的2倍，斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于A、B．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P为线段AB的中点，设OP的斜率为k'，求证：k⋅k'为定值．
变式7．（23-24高二下·北京·开学考试）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=32，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4.若直线l过点-1,0，且与椭圆相交于不同的两点A,B.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若线段AB中点的纵坐标14，求直线l的方程.
【方法技巧与总结】
解决椭圆中点弦问题的两种方法：
（1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和
【题型8：解答题汇总】
例8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0经过点M1,32，F1、F2是椭圆C的左、右两个焦点，F1F2=23，P是椭圆C上的一个动点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点P在第一象限，且PF1⋅PF2≤14，求点P的横坐标的取值范围．
变式1．（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）已知A-2,0，B1,32在椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0上，F1，F2分别为C的左、右焦点．
(1)求a，b的值及C的离心率；
(2)若动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧，求四边形PF1QF2的面积的取值范围．
变式2．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）给定椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0，称圆心在原点O，半径是a2+b2的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F2,0，其短轴的一个端点到点F的距离为3．
(1)求椭圆C和其“准圆”的方程；
(2)若点A，B是椭圆C的“准圆”与x轴的两交点，P是椭圆C上的一个动点，求AP⋅BP的取值范围．
变式3．（23-24高二上·浙江嘉兴·阶段练习）已知椭圆M:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为63，焦距为22，斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若直线l过椭圆上顶点，且k=1，求AB的值.
变式4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，离心率为32，长轴长与短轴长之和为6.
(1)求C的方程；
(2)设P为C上一点，M1,0.若存在实数λ使得PF1+PF2=λPM，求λ的取值范围.
变式5．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B，且3|OA|=2|OB|.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，点C为直线x=4上一点，以C为圆心的圆同时与x轴和直线l相切，且OC//AP，求椭圆的标准方程.
一、单选题
1．（24-25高二上·全国·课后作业）若椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点b2,0分成5:3的两段，则此椭圆的离心率为（ ）
A．1617B．41717C．45D．255
2．（23-24高二上·云南曲靖·阶段练习）椭圆x29+y27=1的焦距为（ ）
A．22B．4C．8D．16
3．（2024·广东·模拟预测）已知椭圆C:x2m+y2m+1=1(m>0)的离心率为33，则m=（ ）
A．3B．13C．2D．12
4．（23-24高二上·广东潮州·期末）已知椭圆的方程为x24+y23=1，则该椭圆的（ ）
A．长轴长为2B．短轴长为3C．焦距为1D．离心率为12
5．（24-25高二上·江西赣州·阶段练习）在△ABC中，sinB+sinC=2sinA，已知点B-3,0 ，C3,0，设点C到直线AB的最大距离为d1，点A到直线BC的最大距离为d2，则 d1d2=（ ）
A．34B．433C．32D．233
6．（22-23高二上·河北保定·期末）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的面积为6π，两个焦点分别为F1，F2，直线y=kx与椭圆C交于A，B两点，若四边形AF1BF2的周长为12，则椭圆C的短半轴长为（ ）
A．4B．3C．2D．6
7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知P是椭圆x25+y24=1在第一象限上的点，且以点P及焦点F1,F2为顶点的三角形面积等于1，则点P的坐标为（ ）
A．534,12B．152,1
C．152,12D．354,32
8．（24-25高二上·全国·课后作业）椭圆x2m+y24=1的焦距是2，则m的值是（ ）
A．3B．5C．3或5D．不存在
二、多选题
9．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）关于方程mx2+ny2=1，下列说法正确的是（ ）
A．若m>n>0，则该方程表示椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则该方程表示圆，其半径为n
C．若n>m>0，则该方程表示椭圆，其焦点在x轴上
D．若m=0,n>0，则该方程表示两条直线
10．（24-25高二上·全国·课后作业）阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为62π，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为（ ）
A．x28+y29=1B．x218+y216=1
C．x212+y26=1D．x29+y28=1
11．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知椭圆x29+y2b2=1(0
B．AF2+BF2的最大值为8
C．离心率为32
D．椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2=90∘
三、填空题
12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2，若直线y=kx与C交于P,Q两点，且PF1+QF1=PF1⋅QF1=8,PF1⊥QF1，则C的方程为 ．
13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点P在椭圆C:x225+y29=1上，点Q在直线l:4x-5y+30=0上，则PQ的最小值为 .
14．（24-25高二·上海·随堂练习）如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为左焦点、长轴长为40万公里、短轴长为4万公里的椭圆轨道T1绕月飞行，之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为左焦点、长轴长为20万公里的椭圆轨道T2绕月飞行，则椭圆轨道T2的短轴长为 万公里．（近似到0.1）
四、解答题
15．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1)已知椭圆的离心率为e=23，短轴长为85；
(2)椭圆C与x22+y2=1有相同的焦点，且经过点M1,32，求椭圆C的标准方程.
16．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0，若椭圆的焦距为4且经过点-2,2，过点T-6,0的直线交椭圆于P，Q两点．
(1)求椭圆方程；
(2)若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在点Ss,0使得∠PST=∠QST恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由．
17．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆C:(x-1)2+y2=r2r>0在椭圆E:x24+y2=1里.过椭圆E上顶点P作圆C的两条切线，切点为A,B，切线PA与椭圆E的另一个交点为N，切线PB与椭圆E的另一个交点为M.
(1)求r的取值范围；
(2)是否存在圆C，使得直线MN与之相切，若存在求出圆C的方程，若不存在，说明理由.
18．（24-25高三上·山东泰安·开学考试）设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为F1，F2，点P1,22在C上，且PF2⊥x轴．
(1)求C的方程．
(2)过左焦点F1作倾斜角为60°的直线l．直线l与C相交于A，B两点，求△ABF2的周长和面积．
19．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）如图，A,B都是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的顶点，从C上一点P向x轴作垂线，垂足为焦点F，且AB//OP．
(1)求C的离心率；
(2)若△PAB的面积比△POA的面积大12，求C的方程．
课程标准
学习目标
1.掌握椭圆的几何性质
2.了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影响.
3.掌握直线与椭圆的位置关系及其应用
1.重点:椭圆的几何性质
2.难点:椭圆的几何性质的理解和应用.
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
长轴长＝eq \a\vs4\al(2a)，短轴长＝eq \a\vs4\al(2b)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝eq \a\vs4\al(2c)
对称性
对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)
离心率
e＝eq \f(c,a)(0
相关试卷
数学选择性必修 第一册2.1 坐标法复习练习题： 这是一份数学选择性必修 第一册<a href="/sx/tb_c4002057_t7/?tag_id=28" target="_blank">2.1 坐标法复习练习题</a>，共5页。
人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.4 点到直线的距离同步达标检测题： 这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册<a href="/sx/tb_c4002062_t7/?tag_id=28" target="_blank">2.2.4 点到直线的距离同步达标检测题</a>，共15页。
高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.2 椭圆的几何性质练习： 这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册<a href="/sx/tb_c4002073_t7/?tag_id=28" target="_blank">2.5.2 椭圆的几何性质练习</a>，共57页。
