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人教B版 (2019)第二章 平面解析几何2.2 直线及其方程2.2.3 两条直线的位置关系课堂检测
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这是一份人教B版 (2019)第二章 平面解析几何2.2 直线及其方程2.2.3 两条直线的位置关系课堂检测，共11页。试卷主要包含了若直线l1，设直线l1等内容，欢迎下载使用。
知识点01 两条直线的相交、平行与重合
1.若直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,则两条直线的位置关系，可以用方程组y=k1k+b1y=k2k+b2的解的情况进行判断，得出结论： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①l1与l2相交：k1≠k2; = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②l1与l2平行：k1=k2且b1≠b2; = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③l1与l2重合：k1=k2且b1=b2
2.设直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0,则两条直线的位置关系可以用法向量来处理.
因为v1=(A1,B1)是直线l1的一个法向量，v2=(A2,B2)是直线l2的一个法向量，则：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①l1与l2相交（只有一个交点）的充要条件是v1与v2不共线，即A1B2≠A2B1
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2共线，即A1B2=A2B1，其中l1与l2重合的充要条件是，存在实数
A1=λA2，B1=λB2，C1=λC2。
直线Ax+By+C1=0与直线Ax+By+C2=0平行的充要条件是C1≠C2，重合的充要条件C1=C2
【即学即练1】（23-24高二上·新疆·期末）直线y=2x-1与y=ax+1平行，则a=（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【即学即练2】（24-25高二上·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．
(1)l1经过点A2,1，B-3,5，l2经过点C3,-3，D8,-7；
(2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M3,23，N-2,-33．
知识点02两条直线的垂直
一般地，若已知平面直角坐标系中的直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,（k1，k2存在且不为0）可得l1⊥l2，则k1k2=-1.
设直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0,因为v1=(A1,B1)是l1直线的一个法向量，v2=(A2,B2)是l2直线的一个法向量，所以l1⊥l2，则v1⊥v2，则A1A2+B1B2=0.
【即学即练3】（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知两条直线y=ax-2和3x-y+1=0互相垂直，则a＝ .
【即学即练4】（24-25高二上·上海·课后作业）经过直线l1：5x+2y-3=0和l2：3x-5y-8=0的交点，且与直线x+4y-7=0垂直的直线方程为 ．
难点：分类讨论思想的运用
示例1：（22-23高二上·四川雅安·阶段练习）已知点A-4,0,B4,0,C2,2,D-2,2，直线y=ax+b(a>0)将四边形ABCD分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是 ．
【题型1：平行垂直关系的判定】
例1．（22-23高二上·全国·课后作业）下列说法中正确的有（ ）
A．若两直线平行，则两直线的斜率相等
B．若两直线的斜率相等，则两直线平行
C．若两直线的斜率乘积等于-1，则两直线垂直
D．若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于-1
变式1．（2023高二·上海·专题练习）已知直线m:y=xcsα和n:3x+y=c，则（ ）
A．m和n可能重合
B．m和n不可能垂直
C．存在直线m上一点P，以P为中心旋转后与n重合
D．以上都不对
变式2．(多选)（23-24高二上·江西九江·期末）设α∈R，对于直线l：xsinα+y+2=0，下列说法中正确的是（ ）
A．l的斜率为sinαB．l在y轴上的截距为-2
C．l不可能平行于x轴D．l与直线x-ysinα-1=0垂直
变式3．（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）下列各直线中，与直线2x-y-3=0平行的是（ ）
A．2ax-ay+6=0a≠0,a≠-2B．y=2x
C．2x-y+5=0D．2x+y-3=0
变式4．（23-24高二下·全国·课前预习）直线l1:y=3x+2,l2:y=3x-1，那么l1与l2 .
变式5．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知a2-3a+2=0，则直线l1：ax+3-ay-a=0和直线l2：6-2ax+3a-5y-4+a=0的位置关系为 ．
变式6．（24-25高二上·全国·课前预习）判断下列两条直线是否垂直．
(1)直线l1的斜率为-10，直线l2经过点A10,2，B20,3；
(2)直线l1经过点A3,4，B3,7，直线l2经过点P-2,4，Q2,4；
(3)直线l1的法向量为1,2，直线l2的法向量为2,-1．
【方法技巧与总结】
判断两条直线是否平行的步骤：
看斜率：
1.斜率都不存在⟹看横截距： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①横截距相等时：两条直线重合 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②横截距不相等时：两条直线平行
2.斜率存在⟹看斜率是否相等： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①斜率相等时⟹看纵截距： = 1 \* Arabic \* MERGEFORMAT 1）纵截距相等：两条直线重合，2）纵截距不相等时：两条直线平行.
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②斜率不相等时，两条直线不平行.
【题型2：由平行关系求参数】
例2．（24-25高三上·湖北·开学考试）已知两条直线l1:ax+4y-1=0,l2:x+ay+2=0，则“a=2”是“l1//l2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
变式1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点Am,3，B2m,m+4，Cm+1,2，D1,0，且直线AB与直线CD平行，则m的值为（ ）
A．-1或0B．0或1C．1D．2
变式2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知A1,-1，B2,2，C3,0三点，且有一点D满足CD⊥AB，CB∥AD，则点D的坐标为（ ）
A．-1,0B．0,-1C．1,0D．0,1
变式3．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）“a=16”是“直线x+2ay-1=0与直线3a-1x-ay+1=0平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
变式4．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）已知直线2x-3y-3=0与直线ax+by-4=0平行，则ab=（ ）
A．-32B．-23C．23D．32
变式5．（23-24高三下·上海浦东新·期中）“a=1”是“直线ax-2y-2=0与直线x-a+1y+1=0平行”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
变式6．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知平行四边形ABCD中，一组对边AB、CD所在直线的方程分别为ax+4y=a+2，x+ay=a，求实数a的值 .
变式7．（23-24高二下·上海·期中）已知直线l1:x+my+6=0，l2:(m-2)x+3y+2m=0，根据下列条件分别求实数m的取值范围．
(1)l1与l2相交；
(2)l1与l2重合．
【方法技巧与总结】
设直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,则有
1.l1与l2的斜率都存在，分别为，k1，k2则l1//l2⇔k1=k2,b1≠b2
2.设直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0，l1//l2⇔A1B2=A2B1,且直线不重合
【题型3：由垂直关系求参数】
例3．（24-25高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知a>0，b>0，直线(a-1)x+y-1=0和x+2by+1=0垂直，则2a+1b的最小值为（ ）
A．16B．8C．4D．2
变式1．（23-24高二上·福建莆田·期中）若直线x+ay-2=0与直线a2x+y+1=0垂直.则a=（ ）
A．1B．-1C．0D．0或-1
变式2．（2024·河南·三模）已知直线Ax+By+C=0与直线y=2x-3垂直，则（ ）
A．A=-2B≠0B．A=2B≠0
C．B=-2A≠0D．B=2A≠0
变式3．（多选）（23-24高二下·浙江·期中）已知直线l1:A1x+B1y+C1=0和直线l2:A2x+B2y+C2=0，则下列说法正确的是（ ）
A．若A2=0，则l2表示与x轴平行或重合的直线
B．直线l1可以表示任意一条直线
C．若A1B2-A2B1=0，则l1 ∥ l2
D．若A1A2+B1B2=0，则l1⊥l2
变式4．（23-24高二下·上海·期中）若直线Ax+4y-2=0和直线2x-5y+C=0垂直，则A= ．
变式5．（24-25高二上·广西·开学考试）已知直线l1:ax-a-4y+2=0，直线l2:2x+ay-1=0.
(1)若l1 // l2，求实数a的值；
(2)若l1⊥l2，求实数a的值.
变式6．（23-24高二下·上海·期中）已知点A1,0，B-1,2．
(1)设m∈R，若直线AB与直线x-my+1=0垂直，求m的值；
(2)求过点B且与直线2x-y+1=0夹角的余弦值为255的直线方程．
变式7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l1的斜率为1，若直线l2⊥l1，则直线l2的倾斜角为 ．
【方法技巧与总结】
1.设直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,则有
设直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0，l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0
【题型4：由平行关系求直线方程】
例4．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）与直线2x+3y+1=0平行且过点0,1的直线方程是（ ）
A．2x+3y-3=0
B．3x+2y-2=0
C．2x-3y+3=0
D．3x-2y+2=0
变式1．（2024高二上·全国·专题练习）过点(5,0)且与x+2y-2=0平行的直线方程是（ ）
A．2x+y+5=0B．2x+y-5=0
C．x+2y-5=0D．x+2y+5=0
变式2．（23-24高二上·青海西宁·期末）经过点A3,2，且与直线4x+y-2=0平行的直线方程是（ ）
A．4x-y-10=0B．x+4y-11=0
C．4x+y-14=0D．x-4y+5=0
变式3．（20-21高二上·天津北辰·期末）过点0,1且与直线2x-y-1=0平行的直线方程是（ ）
A．2x-y+1=0B．2x-y-2=0
C．2x+y-1=0D．2x+y-2=0
变式4．（23-24高二上·北京西城·期末）过点A2,-3且与直线x+y+3=0平行的直线方程为 .
变式5．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）求过两条直线y=2x+3与3x-y+2=0的交点，且分别满足下列条件的直线方程.
(1)过点P2,3；
(2)平行于直线3x+y-1=0.
【方法技巧与总结】
当所求直线与已知直线Ax＋By＋C＝0平行时，可设所求直线为Ax＋By＋λ＝0(λ为参数，且λ≠C)，再结合其他条件求出λ，即得所求直线方程．
【题型5：由垂直关系求直线方程】
例5．（23-24高二上·吉林延边·期中）过两条直线l1:x+2y-4=0，l2:2x-y-3=0的交点，且与直线x+3y+1=0垂直的直线的方程为（ ）
A．3x-y-5=0B．6x-2y-3=0
C．x-3y+3=0D．3x+y-7=0
变式1．（多选）（23-24高二上·四川成都·期末）已知△ABC的顶点A5,1，边AB上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0，边AC上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0，则下列说法正确的有（ ）
A．过点A且平行于CM的直线的方程为2x-y-9=0
B．直线AC的方程为2x+y-11=0
C．点C的坐标为4,3
D．边AC的垂直平分线的方程为x-2y-1=0
变式2．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）直线l过点(-2,2)且与直线x+2y=0垂直，则直线l与坐标轴围成的三角形面积为
变式3．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）过直线x-2y+1=0与3x-y-2=0的交点，且垂直于直线x-y+1=0的直线方程是 ．
变式4．（23-24高二上·北京·期中）经过点M1,2且与直线2x-y+8=0垂直的直线方程为 .
变式5．（23-24高二上·四川成都·期中）已知△ABC的两顶点坐标为A1,-1，C3,0，B1(0,1)是边AB的中点，AD是BC边上的高．
(1)求BC所在直线的方程；
(2)求高AD所在直线的方程.
变式6．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知直线l经过点-2,2，求分别满足下列条件直线l的方程：
(1)垂直于直线3x-2y+4=0；
(2)平行于直线4x-3y-7=0.
变式7．（23-24高二下·全国·课后作业）已知点A3,3和直线l： y=34x-52，求：
(1)过点A且与直线l平行的直线的点斜式方程；
(2)过点A且与直线l垂直的直线的点斜式方程.
变式8．（23-24高二上·甘肃白银·期中）已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-3,0)，B(2,1)，C(-2,3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边的垂直平分线所在直线的方程．
变式9．（23-24高二上·广东珠海·期末）已知△ABC的三个顶点是A4,0，B6,7，C0,4．
(1)求BC边上的中线的直线方程；
(2)求BC边上的高的直线方程
(3)求AC边的垂直平分线
【方法技巧与总结】
当所求直线与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直时，可设所求直线为Bx－Ay＋λ＝0(λ为参数)，再结合其他条件求出λ，即得所求直线方程．
一、单选题
1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l：a-1x+b+2y+c=0，若l//y轴，则下列结论正确的是（ ）
A．a≠1，b≠2，c≠0B．a≠1，b=-2，c≠0
C．a=1，b≠-2，c≠0D．a=1，b≠-2，c≠0
2．（24-25高二上·全国·课后作业）过点A2,5和点B-4,5的直线与直线y=3的位置关系是（ ）
A．相交但不垂直B．平行C．重合D．垂直
3．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知Px0,y0是直线l：Ax+By+C=0外一点，则方程Ax+By+C+Ax0+By0+C=0与l的倾斜角（ ）
A．相等B．互余C．互补D．不相等
4．（23-24高二下·上海杨浦·期末）“m=-1”是“直线l1:x+my-2=0与直线l2:(m-2)x+3my+2m=0互相垂直”的（ ）．
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件
5．（23-24高二下·江西·开学考试）过点1,-3且与直线x-2y+1=0平行的直线方程是（ ）
A．x-2y-7=0B．x+2y+5=0
C．2x+y+1=0D．2x-y-5=0
6．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知直线l1的倾斜角为π3，直线l2过点(-1,3)，若l1//l2，则l2在y轴上的截距为（ ）
A．-23B．-2C．2D．23
7．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知直线x+2y-3=0和2x+my+2=0互相平行，则m的值是（ ）
A．-4B．-1C．1D．4
8．（23-24高二上·浙江金华·期末）过点P-1,2且与直线x+2y+3=0垂直的直线方程是（ ）
A．x-2y+5=0B．x+2y-3=0C．2x-y+4=0D．2x-y=0
二、多选题
9．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）若三条直线l1:2x-y+1=0,l2:x+y-1=0,l3:2x+ay+a-2=0可以围成一个三角形，则实数a的值可以为（ ）
A．-1B．0C．1D．3
10．（19-20高二·全国·课后作业）设平面内四点P-4,2，Q6,-4，R12,6，S2,12，则下面四个结论正确的是（ ）
A．PQ∥SRB．PQ⊥PSC．PS∥QSD．PR⊥QS
11．（22-23高二上·安徽·阶段练习）已知△PMN的顶点坐标分别为P(1,3),M(-1,-3),N(4,0)，则（ ）
A．△PMN为直角三角形
B．过点P斜率范围是-33,3的直线与线段MN有公共点
C．x+3y=0是△PMN的一条中位线所在直线方程
D．x-3y+2=0是△PMN的一条高线所在直线的方程
三、填空题
12．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）过点M(2,-3)且与直线x+2y-9=0垂直的直线方程是 .
13．（23-24高二上·江苏淮安·期末）直线l过点-2,2且与直线x+2y=0平行，则直线l与x，y轴围成的三角形面积为 .
14．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l1的倾斜角为30°，直线l1//l2，则直线l2的斜率为 ．
四、解答题
15．（23-24高二下·全国·课堂例题）判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标：
(1)l1:y=2x+3，l2:2x-y+5=0；
(2)l1:y=2x+1，l2:x-2y=0；
(3)l1:x=3，l2:x=10；
(4)l1:y=2x+1，l2:2x-y+1=0．
16．（23-24高二上·山东·期中）已知直线l过点(1,2)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)设O为坐标原点，若l与x轴正半轴交于点A,l与y轴正半轴交于点B，求△OAB面积的最小值．
17．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）菱形ABCD的顶点A､C的坐标分别为A-1,-1､C9,-13,BC边所在直线过点P4,-3.
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求对角线BD所在直线的方程.
18．（23-24高二上·福建厦门·期中）如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A-1,4，B-2,-1，C2,3.
(1)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标；
(2)在△ACD中，求CD边上的高线所在直线方程.
19．（22-23高二上·浙江温州·期中）已知直线l： kx-y+2-k=0（k∈R）交x轴正半轴于A，交y轴正半轴于B．
(1)O为坐标原点，求△AOB的面积最小时直线l的方程；
(2)设点P是直线l经过的定点，求PA·PB的值最小时直线l的方程．
课程标准
学习目标
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直
2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标:
3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离
1.掌握两条直线平行的条件:
2.能应用两条直线平行的条件解题.
对应关系
l1与l2的斜率都存在，分别为，k1，k2则l1⊥l2⇔k1k2=-1
l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为0，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2
图示
知识点01 两条直线的相交、平行与重合
1.若直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,则两条直线的位置关系，可以用方程组y=k1k+b1y=k2k+b2的解的情况进行判断，得出结论： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①l1与l2相交：k1≠k2; = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②l1与l2平行：k1=k2且b1≠b2; = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③l1与l2重合：k1=k2且b1=b2
2.设直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0,则两条直线的位置关系可以用法向量来处理.
因为v1=(A1,B1)是直线l1的一个法向量，v2=(A2,B2)是直线l2的一个法向量，则：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①l1与l2相交（只有一个交点）的充要条件是v1与v2不共线，即A1B2≠A2B1
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2共线，即A1B2=A2B1，其中l1与l2重合的充要条件是，存在实数
A1=λA2，B1=λB2，C1=λC2。
直线Ax+By+C1=0与直线Ax+By+C2=0平行的充要条件是C1≠C2，重合的充要条件C1=C2
【即学即练1】（23-24高二上·新疆·期末）直线y=2x-1与y=ax+1平行，则a=（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【即学即练2】（24-25高二上·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．
(1)l1经过点A2,1，B-3,5，l2经过点C3,-3，D8,-7；
(2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M3,23，N-2,-33．
知识点02两条直线的垂直
一般地，若已知平面直角坐标系中的直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,（k1，k2存在且不为0）可得l1⊥l2，则k1k2=-1.
设直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0,因为v1=(A1,B1)是l1直线的一个法向量，v2=(A2,B2)是l2直线的一个法向量，所以l1⊥l2，则v1⊥v2，则A1A2+B1B2=0.
【即学即练3】（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知两条直线y=ax-2和3x-y+1=0互相垂直，则a＝ .
【即学即练4】（24-25高二上·上海·课后作业）经过直线l1：5x+2y-3=0和l2：3x-5y-8=0的交点，且与直线x+4y-7=0垂直的直线方程为 ．
难点：分类讨论思想的运用
示例1：（22-23高二上·四川雅安·阶段练习）已知点A-4,0,B4,0,C2,2,D-2,2，直线y=ax+b(a>0)将四边形ABCD分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是 ．
【题型1：平行垂直关系的判定】
例1．（22-23高二上·全国·课后作业）下列说法中正确的有（ ）
A．若两直线平行，则两直线的斜率相等
B．若两直线的斜率相等，则两直线平行
C．若两直线的斜率乘积等于-1，则两直线垂直
D．若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于-1
变式1．（2023高二·上海·专题练习）已知直线m:y=xcsα和n:3x+y=c，则（ ）
A．m和n可能重合
B．m和n不可能垂直
C．存在直线m上一点P，以P为中心旋转后与n重合
D．以上都不对
变式2．(多选)（23-24高二上·江西九江·期末）设α∈R，对于直线l：xsinα+y+2=0，下列说法中正确的是（ ）
A．l的斜率为sinαB．l在y轴上的截距为-2
C．l不可能平行于x轴D．l与直线x-ysinα-1=0垂直
变式3．（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）下列各直线中，与直线2x-y-3=0平行的是（ ）
A．2ax-ay+6=0a≠0,a≠-2B．y=2x
C．2x-y+5=0D．2x+y-3=0
变式4．（23-24高二下·全国·课前预习）直线l1:y=3x+2,l2:y=3x-1，那么l1与l2 .
变式5．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知a2-3a+2=0，则直线l1：ax+3-ay-a=0和直线l2：6-2ax+3a-5y-4+a=0的位置关系为 ．
变式6．（24-25高二上·全国·课前预习）判断下列两条直线是否垂直．
(1)直线l1的斜率为-10，直线l2经过点A10,2，B20,3；
(2)直线l1经过点A3,4，B3,7，直线l2经过点P-2,4，Q2,4；
(3)直线l1的法向量为1,2，直线l2的法向量为2,-1．
【方法技巧与总结】
判断两条直线是否平行的步骤：
看斜率：
1.斜率都不存在⟹看横截距： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①横截距相等时：两条直线重合 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②横截距不相等时：两条直线平行
2.斜率存在⟹看斜率是否相等： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①斜率相等时⟹看纵截距： = 1 \* Arabic \* MERGEFORMAT 1）纵截距相等：两条直线重合，2）纵截距不相等时：两条直线平行.
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②斜率不相等时，两条直线不平行.
【题型2：由平行关系求参数】
例2．（24-25高三上·湖北·开学考试）已知两条直线l1:ax+4y-1=0,l2:x+ay+2=0，则“a=2”是“l1//l2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
变式1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点Am,3，B2m,m+4，Cm+1,2，D1,0，且直线AB与直线CD平行，则m的值为（ ）
A．-1或0B．0或1C．1D．2
变式2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知A1,-1，B2,2，C3,0三点，且有一点D满足CD⊥AB，CB∥AD，则点D的坐标为（ ）
A．-1,0B．0,-1C．1,0D．0,1
变式3．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）“a=16”是“直线x+2ay-1=0与直线3a-1x-ay+1=0平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
变式4．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）已知直线2x-3y-3=0与直线ax+by-4=0平行，则ab=（ ）
A．-32B．-23C．23D．32
变式5．（23-24高三下·上海浦东新·期中）“a=1”是“直线ax-2y-2=0与直线x-a+1y+1=0平行”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
变式6．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知平行四边形ABCD中，一组对边AB、CD所在直线的方程分别为ax+4y=a+2，x+ay=a，求实数a的值 .
变式7．（23-24高二下·上海·期中）已知直线l1:x+my+6=0，l2:(m-2)x+3y+2m=0，根据下列条件分别求实数m的取值范围．
(1)l1与l2相交；
(2)l1与l2重合．
【方法技巧与总结】
设直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,则有
1.l1与l2的斜率都存在，分别为，k1，k2则l1//l2⇔k1=k2,b1≠b2
2.设直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0，l1//l2⇔A1B2=A2B1,且直线不重合
【题型3：由垂直关系求参数】
例3．（24-25高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知a>0，b>0，直线(a-1)x+y-1=0和x+2by+1=0垂直，则2a+1b的最小值为（ ）
A．16B．8C．4D．2
变式1．（23-24高二上·福建莆田·期中）若直线x+ay-2=0与直线a2x+y+1=0垂直.则a=（ ）
A．1B．-1C．0D．0或-1
变式2．（2024·河南·三模）已知直线Ax+By+C=0与直线y=2x-3垂直，则（ ）
A．A=-2B≠0B．A=2B≠0
C．B=-2A≠0D．B=2A≠0
变式3．（多选）（23-24高二下·浙江·期中）已知直线l1:A1x+B1y+C1=0和直线l2:A2x+B2y+C2=0，则下列说法正确的是（ ）
A．若A2=0，则l2表示与x轴平行或重合的直线
B．直线l1可以表示任意一条直线
C．若A1B2-A2B1=0，则l1 ∥ l2
D．若A1A2+B1B2=0，则l1⊥l2
变式4．（23-24高二下·上海·期中）若直线Ax+4y-2=0和直线2x-5y+C=0垂直，则A= ．
变式5．（24-25高二上·广西·开学考试）已知直线l1:ax-a-4y+2=0，直线l2:2x+ay-1=0.
(1)若l1 // l2，求实数a的值；
(2)若l1⊥l2，求实数a的值.
变式6．（23-24高二下·上海·期中）已知点A1,0，B-1,2．
(1)设m∈R，若直线AB与直线x-my+1=0垂直，求m的值；
(2)求过点B且与直线2x-y+1=0夹角的余弦值为255的直线方程．
变式7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l1的斜率为1，若直线l2⊥l1，则直线l2的倾斜角为 ．
【方法技巧与总结】
1.设直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,则有
设直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0，l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0
【题型4：由平行关系求直线方程】
例4．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）与直线2x+3y+1=0平行且过点0,1的直线方程是（ ）
A．2x+3y-3=0
B．3x+2y-2=0
C．2x-3y+3=0
D．3x-2y+2=0
变式1．（2024高二上·全国·专题练习）过点(5,0)且与x+2y-2=0平行的直线方程是（ ）
A．2x+y+5=0B．2x+y-5=0
C．x+2y-5=0D．x+2y+5=0
变式2．（23-24高二上·青海西宁·期末）经过点A3,2，且与直线4x+y-2=0平行的直线方程是（ ）
A．4x-y-10=0B．x+4y-11=0
C．4x+y-14=0D．x-4y+5=0
变式3．（20-21高二上·天津北辰·期末）过点0,1且与直线2x-y-1=0平行的直线方程是（ ）
A．2x-y+1=0B．2x-y-2=0
C．2x+y-1=0D．2x+y-2=0
变式4．（23-24高二上·北京西城·期末）过点A2,-3且与直线x+y+3=0平行的直线方程为 .
变式5．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）求过两条直线y=2x+3与3x-y+2=0的交点，且分别满足下列条件的直线方程.
(1)过点P2,3；
(2)平行于直线3x+y-1=0.
【方法技巧与总结】
当所求直线与已知直线Ax＋By＋C＝0平行时，可设所求直线为Ax＋By＋λ＝0(λ为参数，且λ≠C)，再结合其他条件求出λ，即得所求直线方程．
【题型5：由垂直关系求直线方程】
例5．（23-24高二上·吉林延边·期中）过两条直线l1:x+2y-4=0，l2:2x-y-3=0的交点，且与直线x+3y+1=0垂直的直线的方程为（ ）
A．3x-y-5=0B．6x-2y-3=0
C．x-3y+3=0D．3x+y-7=0
变式1．（多选）（23-24高二上·四川成都·期末）已知△ABC的顶点A5,1，边AB上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0，边AC上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0，则下列说法正确的有（ ）
A．过点A且平行于CM的直线的方程为2x-y-9=0
B．直线AC的方程为2x+y-11=0
C．点C的坐标为4,3
D．边AC的垂直平分线的方程为x-2y-1=0
变式2．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）直线l过点(-2,2)且与直线x+2y=0垂直，则直线l与坐标轴围成的三角形面积为
变式3．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）过直线x-2y+1=0与3x-y-2=0的交点，且垂直于直线x-y+1=0的直线方程是 ．
变式4．（23-24高二上·北京·期中）经过点M1,2且与直线2x-y+8=0垂直的直线方程为 .
变式5．（23-24高二上·四川成都·期中）已知△ABC的两顶点坐标为A1,-1，C3,0，B1(0,1)是边AB的中点，AD是BC边上的高．
(1)求BC所在直线的方程；
(2)求高AD所在直线的方程.
变式6．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知直线l经过点-2,2，求分别满足下列条件直线l的方程：
(1)垂直于直线3x-2y+4=0；
(2)平行于直线4x-3y-7=0.
变式7．（23-24高二下·全国·课后作业）已知点A3,3和直线l： y=34x-52，求：
(1)过点A且与直线l平行的直线的点斜式方程；
(2)过点A且与直线l垂直的直线的点斜式方程.
变式8．（23-24高二上·甘肃白银·期中）已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-3,0)，B(2,1)，C(-2,3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边的垂直平分线所在直线的方程．
变式9．（23-24高二上·广东珠海·期末）已知△ABC的三个顶点是A4,0，B6,7，C0,4．
(1)求BC边上的中线的直线方程；
(2)求BC边上的高的直线方程
(3)求AC边的垂直平分线
【方法技巧与总结】
当所求直线与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直时，可设所求直线为Bx－Ay＋λ＝0(λ为参数)，再结合其他条件求出λ，即得所求直线方程．
一、单选题
1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l：a-1x+b+2y+c=0，若l//y轴，则下列结论正确的是（ ）
A．a≠1，b≠2，c≠0B．a≠1，b=-2，c≠0
C．a=1，b≠-2，c≠0D．a=1，b≠-2，c≠0
2．（24-25高二上·全国·课后作业）过点A2,5和点B-4,5的直线与直线y=3的位置关系是（ ）
A．相交但不垂直B．平行C．重合D．垂直
3．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知Px0,y0是直线l：Ax+By+C=0外一点，则方程Ax+By+C+Ax0+By0+C=0与l的倾斜角（ ）
A．相等B．互余C．互补D．不相等
4．（23-24高二下·上海杨浦·期末）“m=-1”是“直线l1:x+my-2=0与直线l2:(m-2)x+3my+2m=0互相垂直”的（ ）．
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件
5．（23-24高二下·江西·开学考试）过点1,-3且与直线x-2y+1=0平行的直线方程是（ ）
A．x-2y-7=0B．x+2y+5=0
C．2x+y+1=0D．2x-y-5=0
6．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知直线l1的倾斜角为π3，直线l2过点(-1,3)，若l1//l2，则l2在y轴上的截距为（ ）
A．-23B．-2C．2D．23
7．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知直线x+2y-3=0和2x+my+2=0互相平行，则m的值是（ ）
A．-4B．-1C．1D．4
8．（23-24高二上·浙江金华·期末）过点P-1,2且与直线x+2y+3=0垂直的直线方程是（ ）
A．x-2y+5=0B．x+2y-3=0C．2x-y+4=0D．2x-y=0
二、多选题
9．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）若三条直线l1:2x-y+1=0,l2:x+y-1=0,l3:2x+ay+a-2=0可以围成一个三角形，则实数a的值可以为（ ）
A．-1B．0C．1D．3
10．（19-20高二·全国·课后作业）设平面内四点P-4,2，Q6,-4，R12,6，S2,12，则下面四个结论正确的是（ ）
A．PQ∥SRB．PQ⊥PSC．PS∥QSD．PR⊥QS
11．（22-23高二上·安徽·阶段练习）已知△PMN的顶点坐标分别为P(1,3),M(-1,-3),N(4,0)，则（ ）
A．△PMN为直角三角形
B．过点P斜率范围是-33,3的直线与线段MN有公共点
C．x+3y=0是△PMN的一条中位线所在直线方程
D．x-3y+2=0是△PMN的一条高线所在直线的方程
三、填空题
12．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）过点M(2,-3)且与直线x+2y-9=0垂直的直线方程是 .
13．（23-24高二上·江苏淮安·期末）直线l过点-2,2且与直线x+2y=0平行，则直线l与x，y轴围成的三角形面积为 .
14．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l1的倾斜角为30°，直线l1//l2，则直线l2的斜率为 ．
四、解答题
15．（23-24高二下·全国·课堂例题）判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标：
(1)l1:y=2x+3，l2:2x-y+5=0；
(2)l1:y=2x+1，l2:x-2y=0；
(3)l1:x=3，l2:x=10；
(4)l1:y=2x+1，l2:2x-y+1=0．
16．（23-24高二上·山东·期中）已知直线l过点(1,2)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)设O为坐标原点，若l与x轴正半轴交于点A,l与y轴正半轴交于点B，求△OAB面积的最小值．
17．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）菱形ABCD的顶点A､C的坐标分别为A-1,-1､C9,-13,BC边所在直线过点P4,-3.
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求对角线BD所在直线的方程.
18．（23-24高二上·福建厦门·期中）如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A-1,4，B-2,-1，C2,3.
(1)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标；
(2)在△ACD中，求CD边上的高线所在直线方程.
19．（22-23高二上·浙江温州·期中）已知直线l： kx-y+2-k=0（k∈R）交x轴正半轴于A，交y轴正半轴于B．
(1)O为坐标原点，求△AOB的面积最小时直线l的方程；
(2)设点P是直线l经过的定点，求PA·PB的值最小时直线l的方程．
课程标准
学习目标
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直
2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标:
3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离
1.掌握两条直线平行的条件:
2.能应用两条直线平行的条件解题.
对应关系
l1与l2的斜率都存在，分别为，k1，k2则l1⊥l2⇔k1k2=-1
l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为0，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2
图示
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