山东省枣庄市山亭区2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含答案)

这是一份山东省枣庄市山亭区2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在实数：(-5)0，- 5，-15，|-5|中，最小的数是( )
A. (-5)0B. - 5C. -15D. |-5|
2.星载原子钟是卫星导航系统的“心脏”，对系统定位和授时精度具有决定性作用.“北斗”三号卫星导航系统装载国产高精度星载原子钟，保证“北斗”优于20纳秒的授时精度.1纳秒=1×10-9秒，那么20纳秒用科学记数法表示为( )
A. 2×10-8秒B. 2×10-9秒C. 20×10-9秒D. 2×10-10秒
3.箱匣盒是古代人民日常生活使用的物品．如图是一个清代黄花梨凹面枕头箱(箱匣盒的一种)，既可当枕头又可存放银钱、文件等物品，它的俯视图是( )
A. B.
C. D.
4.如图，已知正方形ABCD的边长为3，点P是对角线BD上的一点，PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，连接PC，当PE：PF=1：2时，则PC=( )
A. 3
B. 2
C. 5
D. 52
5.若m、n是一元二次方程x2+3x-9=0的两个根，则m2+4m+n的值是( )
A. 4B. 5C. 6D. 12
6.柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋是同一双的概率为( )
A. 13B. 14C. 15D. 16
7.将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，使两个直角三角尺的斜边AB/​/DF，含30°角的直角三角尺的直角顶点E在含45°角的直角三角尺的斜边AB上，且点F在CB的延长线上，已知∠A=45°，则∠1的度数是( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°
8.如图所示，在△ABC中，BC=3，AC=4，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于12AD的长为半径画弧，两弧交于点E、F，作直线EF，分别交AC、AB于点P、Q，则PQ的长度为( )
A. 12
B. 34
C. 45
D. 310
9.如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为( )
A. 52π-74
B. 52π-72
C. 54π-74
D. 54π-72
10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=-12，且与x轴的一个交点坐标为(-2,0).下列结论：①abc>0；②a=b；③2a+c=0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c-1=0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是( )
A. ①③
B. ②④
C. ③④
D. ②③
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：x2y-9y=______．
12.不等式组8-4x<0,2x-15-1≥0的解集为______．
13.汽车刹车后行驶的距离s(单位：m)关于行驶的时间t(单位：s)的函数解析式是s=15t-6t2，汽车刹车后到停下来，所需的时间为______.(单位：s)
14.定义：若x，y满足x2=4y+t，y2=4x+t且x≠y(t为常数)，则称点M(x,y)为“和谐点”.若P(3,m)是“和谐点”，则m= ______．
15.如图，AB是⊙O的直径，AB=2，点C在⊙O上，∠CAB=30°，D为BC的中点，P是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为______．
三、解答题：本题共7小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算：(-1)2023+(12)-2+3tan30°-(3-π)0+| 3-2|；
(2)先化简，再求值：(x2-3x+5x-1+3-x)÷x2+4x+41-x，其中x= 3-2．
17.(本小题8分)
风电项目对于调整能结构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机，如图1.某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图.已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°，求该风力发电机塔杆PD的高度.(参考数据：sin18°≈0.309，cs18°≈0.951，tan18°≈0.325)
18.(本小题10分)
探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、12倍、k倍？
(1)若该矩形是边长为2的正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都是它的2倍？______(填“存在”或“不存在”)．
(2)继续探究，若该矩形长为3，宽为2，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为该矩形的2倍？
小明同学有以下思路：
设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y=10，xy=12，联立x+y=10xy=12得x2-10x+12=0，再探究根的情况：
小慧同学认为：也可用反比例函数与一次函数图象证明，如图：l1：y=-x+10，l2：y=12x.则是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？请你结合小明和小慧的思路做出判断并说明理由．
(3)根据此方法，请你探究是否存在一个新矩形，使其周长和面积都为这个长为3，宽为2的矩形的12倍？若存在，用图象表达；
(4)是否存在一个新矩形，使其周长和面积为长为3，宽为2的矩形的k倍？请写出当结论成立时k的取值范围．
19.(本小题8分)
为拓展学生视野，某校组织师生开展研学活动，原计划租用甲种客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的乙种客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满.现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如表所示：
(1)参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
(2)若该校计划租用甲、乙两种客车，共12辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？请你帮助计算本次研学应该怎样租车才最合算，最少租金是多少？
20.(本小题8分)
筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹筒，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线AD方向泻至水渠DE，水渠DE所在直线与水面PQ平行．设筒车为⊙O，⊙O与直线PQ交于P，Q两点，与直线DE交于B，C两点，恰有AD2=BD⋅CD，连接AB，AC．
(1)求证：AD为⊙O的切线；
(2)筒车的半径为3m，AC=BC，∠C=30°.当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，求筒车在水面下的最大深度(精确到0.1m，参考值： 2≈1.4， 3≈1.7)．
21.(本小题10分)
如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．

(1)求证：EF=EG；
(2)如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立.请说明理由；
(3)如图3，将(2)中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=2，BC=4，求EFEG的值．
22.(本小题10分)
已知抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A(-4,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点D是线段OC上的一动点，连接AD，BD，将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB'D，当点B'恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；
(3)如图2，动点P在直线AC下方的抛物线上，过点P作直线AC的垂线，分别交直线AC，线段BC于点E，F，过点F作FG⊥x轴，垂足为G，求FG+ 2FP的最大值．
答案和解析
1.B
2.A
3.B
4.C
5.C
6.A
7.C
8.B
9.D
10.D
11.y(x+3)(x-3)
12.x≥3

14.-7
15. 2
16.解：(1)原式=-1+4+3× 33-1+2- 3
=-1+4+ 3-1+2- 3
=4；
(2)原式=(x2-3x+5x-1+-x2+4x-3x-1)÷(x+2)21-x
=x+2x-1⋅-(x-1)(x+2)2
=-1x+2，
当x= 3-2时，
原式=-1 3-2+2
=-1 3
=- 33．
17.解：延长PD交AC于点F，延长DP交BE于点G，

由题意得：PF⊥AF，DG⊥BE，AB=FG=53米，AF=BG，
设AF=BG=x米，
在Rt△CDF中，∠DCF=30°，CD=16米，
∴DF=12CD=8(米)，
在Rt△PAF中，∠PAF=45°，
∴PF=AF⋅tan45°=x(米)，
在Rt△BPG中，∠GBP=18°，
∴GP=BG⋅tan18°≈0.325x(米)，
∴FG=PF+PG=x+0.325x=1.325x(米)，
∴1.325x=53，
解得：x=40，
∴PF=40米，
∴PD=PF-DF=40-8=32(米)，
∴该风力发电机塔杆PD的高度约为32米．
18.不存在
解：(1)由题意得，给定正方形的周长为8，面积为4，
若存在新正方形满足条件，则新正方形的周长为16，面积为8，
对应的边长为：4和2 2，不符合题意，
∴不存在新正方形的周长和面积是边长为2的正方形的2倍．
故答案为：不存在．
(2)从图象看来，函数y=-x+10和函数y=12x图象在第一象限有两个交点，
∴存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的2倍．
(3)设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y=2.5，xy=3，
联立x+y=2.5xy=3，得：2x2-5x+6=0，
∴Δ=(-5)2-4×2×6=-23<0，
∴此方程无解，
∴不存在新矩形使得其周长和面积为原矩形的12倍．
(4)设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y=5k，xy=6k，
联立x+y=5kxy=6k，得：x2-5kx+6k=0，
∴Δ=(-5k)2-4×1×6k=25k2-24k，
设方程的两根为x1，x2，
当Δ≥0即25k2-24k≥0时，x1+x2=5k>0，x1x2=6k>0，
解得：k≥2425或k≤0(舍)，
∴当k≥2425时，存在新矩形的周长和面积均为原矩形的k倍．
19.解：(1)设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆甲型客车．
根据题意，得45y+15=x60(y-3)=x，
解：x=600y=13，
答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆甲型客车；
(2)设甲型客车a辆，则乙型客车(12-a)辆，
由题意可得：45a+60(12-a)≥600，
∴a≤8，
∵a为非负整数，
∴a=0，1，2，3，4，5，6，7，8，
即共有九种方案，
当甲型客车0辆，则乙型客车12辆，
当甲型客车1辆，则乙型客车11辆，
当甲型客车2辆，则乙型客车10辆，
当甲型客车3辆，则乙型客车9辆，
当甲型客车4辆，则乙型客车8辆，
当甲型客车5辆，则乙型客车7辆，
当甲型客车6辆，则乙型客车6辆，
当甲型客车7辆，则乙型客车5辆，
当甲型客车8辆，则乙型客车4辆，
∵租金=250a+300(12-a)=3600-50a，
∴当a=8时，租金的最小值为3200元，
答：共有九种方案，分别为当甲型客车0辆，则乙型客车12辆，当甲型客车1辆，则乙型客车11辆，当甲型客车2辆，则乙型客车10辆，当甲型客车3辆，则乙型客车9辆，当甲型客车4辆，则乙型客车8辆，当甲型客车5辆，则乙型客车7辆，当甲型客车6辆，则乙型客车6辆，当甲型客车7辆，则乙型客车5辆，当甲型客车8辆，则乙型客车4辆，租金的最小值为3200元．
20.(1)证明：如图，连接AO并延长，交⊙O于点G，连接BG．
∴∠ACB=∠AGB，
∵AG是直径，
∴∠ABG=90°，
∴∠BAG+∠AGB=90°，
∵AD2=BD⋅CD，
∴ADCD=BDAD，
∵∠ADB=∠CDA，
∴△DAB∽△DCA，
∴∠DAB=∠DCA=∠ACB，
∴∠DAB=∠AGB，
∴∠DAB+∠BAG=90°，
∴AD⊥OA，
∵OA是半径，
∴AD为⊙O的切线；
(2)解：如图，当水面上升到GH时，作OM⊥GH于点M，
∵AC=BC，∠C=30°，
∴∠ABC=180°-30°2=75°，∠AGB=∠C=30°，
∵AG是直径，
∴∠ABG=90°，
∴∠CBG=∠ABG-∠ABC=90°-75°=15°，
∵BC//GH，
∴∠BGH=∠CBG=15°，
∴∠OGM=∠BGH+∠AGB=15°+30°=45°，
∴OM=OG·sin∠OGM=3sin45°=3× 22=3 22(m)，
∴筒车在水面下的最大深度为3-3 22≈0.9(m)．
21.(1)证明：∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，
∴∠DEF=∠GEB，
在△FED和△GEB中，
∠DEF=∠GEBED=EB∠D=∠EBG，
∴△FED≌△GEB(ASA)，
∴EF=EG；
(2)解：(1)中的结论仍然成立．
证明：如图2，过点E作EH⊥BC于H，过点E作EP⊥CD于P，

∵四边形ABCD为正方形，
∴CE平分∠BCD，
又∵EH⊥BC，EP⊥CD，
∴EH=EP，
∴四边形EHCP是正方形，
∴∠HEP=90°，
∵∠GEH+∠HEF=90°，∠PEF+∠HEF=90°，
∴∠PEF=∠GEH，
在Rt△FEP与Rt△GEH中，
∠PEF=∠GEH∠EPF=∠EHGEP=EH，
∴△FEP≌△GEH(AAS)，
∴EF=EG；
(3)解：如图3，过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N，垂足分别为M、N，

则∠MEN=90°，
∴EM/​/AB，EN/​/AD．
∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，
∴NEAD=CECA，EMAB=CECA，
∴NEAD=EMAB，即ENEM=ADAB=CBAB=42=2．
∵∠NEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°，
∴∠GEM=∠FEN，
∵∠GME=∠FNE=90°，
∴△GME∽△FNE，
∴EFEG=ENEM，
∴EFEG=2．
22.解：(1)设抛物线的表达式为：y=a(x-x1)(x-x2)，
则y=a(x+4)(x-1)=a(x2+3x-4)=ax2+bx-4，
则a=1，
故抛物线的表达式为：y=x2+3x-4；
(2)由题意知，AB=AB'=5，

设抛物线的对称轴交x轴于点H，由抛物线的表达式知，其对称轴为x=-52，
则AH=52=12AB'，则∠AB'H=30°，则∠BAB'=60°，
则∠BAD=∠DAB'=12∠BAB'=30°，
则OD=AO⋅tanBAD=4× 33=4 33，
则点D(0,-4 33)；
(3)设点P的坐标为：(m,m2+3m-4)，
由点A、C的坐标得，直线AC和x轴的坐标轴的夹角为45°，而AC⊥PE，则直线PE和x轴负半轴的夹角为45°，
则直线PE的表达式为：y=(x-m)+m2+3m-4，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y=4x-4，
联立上述两个表达式得：4x-4=(x-m)+m2+3m-4，
解得：x=13(m2+2m)，
则点F的坐标为：(m2+2m3,4m2+8m3-4)，
由PE的表达式知，直线PE和x轴负半轴的夹角为45°，
则 2PF=2(xF-xP)，
则FG+ 2PF=4-4m2+8m3+2(m2+2m3-m)=-23(m+52)2+496≤496，
故FG+ 2PF的最大值为：496．
甲型客车
乙型客车
载客量(人/辆)
45
60
租金(元/辆)
250
300