人教B版（2019）高中数学必修第四册 第九章 解三角形 章末综合检测卷（原卷+解析卷）

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第九章：解三角形章末综合检测卷（新结构）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（23-24高一下·河南·阶段练习）在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，若a=2,b=5,B=π6，则sinA=（    ）A．1010 B．105 C．510 D．55【答案】A【分析】利用正弦定理计算即得.【详解】由正弦定理可得asinA=bsinB，所以sinA=asinBb=225=1010.故选：A.2．（23-24高一下·甘肃武威·阶段练习）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a:b:c=1:2:7，则其最大角为（    ）A．π3 B．π2 C．2π3 D．5π6【答案】C【分析】根据三角形大边对大角原则和余弦定理直接求解即可.【详解】设a=k，则b=2k，c=7k，∵c>b>a，∴∠C最大，∵cosC=a2+b2−c22ab=k2+4k2−7k24k2=−12，C∈0,π，∴C=2π3.故选：C.3．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）我国辽代著名的前卫斜塔（又名瑞州古塔）位于葫芦岛市绥中县.现存塔身已经倾斜且与地面夹角60°，若将塔身看做直线，从塔的第三层地面到第三层顶可看做线段，且在地面的射影为1m，则该塔第三层地面到第三层顶的距离是（    ）A．32m B．2m C．3m D．2m【答案】D【分析】应用特殊三角函数值及已知、线段间的关系求该塔第三层地面到第三层顶的距离.【详解】由题设，如下图中该塔第三层地面到第三层顶的距离l=AB=1cos60°=2m.  故选：D4．（22-23高一下·宁夏石嘴山·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=3，且cosA=13，bc=94，求b+c的值（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】由余弦定理变形得到cosA=b+c2−2bc−a22bc，代入求解即可.【详解】cosA=b2+c2−a22bc=b+c2−2bc−a22bc，即b+c2−2×94−32×94=13，解得b+c=3，负值舍去.故选：A5．（23-24高一下·浙江·阶段练习）在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ）A．a=4，b=5，c=6 B．a=3，b=2，A=45∘C．a=10，A=45∘，B=70∘ D．a=3，b=2，A=60∘【答案】B【分析】由余弦定理可判定选项A，利用正弦定理和大边对大角可判断选项B，C，D.【详解】对于A，已知三角形三边，且任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，从而可由余弦定理求内角，只有一解，A错误；对于B，根据正弦定理asinA=bsinB得，sinB=2sin45∘3=63，又b>a，∴B>A=45∘，B有两解，故B符合题意；对于C，由正弦定理：asinA=bsinB得：b=10sin70∘sin45∘=102sin70∘，C只有一解，故C不符合题意.对于D，根据正弦定理asinA=bsinB得，sinB=2sin60∘3=33，又b0，所以cosC=0，又C∈0,π，所以C=π2，即△ABC为直角三角形.故选：A8．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）已知△ABC外接圆半径为233，c=2，C为锐角，则下列正确的是（  ）A．bcosA+acosBsinC=233B．△ABC周长的最小值为6C．cosBcosA的取值范围为−12,+∞D．AB⋅AC的最大值为2+433【答案】D【分析】选项A，由余弦定理化简得bcosA+acosBsinC=2R，代入已知可得；选项B，由正弦定理化边为角转化为三角函数型值域求解；选项C，由B=23π−A，由两角和余弦公式展开化简为−12+32tanA,A∈0,2π3，由正切函数图象求值域即可；选项D，由正弦定理化边为角，结合三角恒等变换求函数值域.【详解】对于A，已知外接圆半径R=233,c=2,由余弦定理得，bcosA+acosB=b(b2+c2−a2)2bc+a(a2+c2−b2)2ac=2c22c=c，则bcosA+acosBsinC=csinC=2R=433，故A错误；对于B，由正弦定理csinC=2R得433=2sinC，解得sinC=32，又C为锐角，所以C=π3，则△ABC周长为a+b+c=2RsinA+sin2π3−A+2=433sinA+32cosA+12sinA+2=43332sinA+32cosA+2=4sinA+π6+2因为0C，则sinA>sinCB．若△ABC为锐角三角形，则sinAC，可得a>c，由正弦定理得2RsinA>2RsinC，所以sinA>sinC，所以A正确；对于B中，因为△ABC为锐角三角形，可得A+C>π2，可得A>π2−C，因为A,C∈(0,π2)，可得π2−C∈(0,π2)，所以sinA>sin(π2−C)=cosC，所以B错误；对于C中，在△ABC中，可知A，B，C，均不为直角，且A+B=π−C，可得tan(A+B)=tan(π−C)=−tanC，即tanA+tanB1−tanAtanB=−tanC，即tanA+tanB=−tanC+tanAtanBtanC，所以tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，所以C正确；对于D中，由asinA=bcosB=ccosC，可得acosB=bsinA，且bcosC=ccosB，由正弦定理得sinAcosB−sinBsinA=0，且sinBcosC−sinCcosB=0，因为A∈(0,π)，可得sinA>0，所以cosB=sinB且sin(B−C)=0，可得B=π4且B=C，即B=C=π4，则A=π2，所以△ABC为等腰直角三角形，所以D正确.故选：ACD.11．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）如图所示，在直角三角形ACB中，∠C=90°，D是BC上一点，∠DAB=30°，BD=2，AC=3+1，则下列说法中正确的有（   ）A．sin∠CDA=2+64 B．sin∠ABC=32C．AD=22 D．三角形ACD的面积S△ACD=1【答案】ACD【分析】对于A，设∠CDA=α表示出AD=3+1sinα，利用∠DBA=α−30°，在三角形ABD中，正弦定理ADsin∠DBA=BDsin∠DAB求出α的值，进而判断A；对于B，根据∠ABC=α−30°，即可判断B；由BDsin∠DAB=ADsin∠ABC，判断C；利用S△ACD=12×AC×AD×sin∠CAD，判断D.【详解】设∠CDA=α，则在直角三角形ACD中，AD=3+1sinα，在三角形ABD中，∠DAB=30°,∠DBA=α−30°，根据正弦定理可得ADsin∠DBA=BDsin∠DAB，即3+1sinαsinα−30°=2sin30°，得3+1=4sinα⋅sinα−30°=23sin2α−sin2α=31−cos2α−sin2α=3−2sin2α+60°，所以sin2α+60°=−12，因为0°<α<90°，即60°<2α+60°<240°，所以2α+60°=210°，即α=75°，所以∠CDA=75°，对于A选项，sin∠CDA=sin75°=sin45°+30°=22×32+22×12=2+64，故A正确；对于B选项，因为∠DAB=30°，所以∠ABC=α−30°=45°，所以sin∠ABC=sin45°=22，故B错误；对于C选项，因为∠DAB=30°，BD=2，∠ABC=α−30°=45°，所以由正弦定理得BDsin∠DAB=ADsin∠ABC，所以AD=BD⋅sin∠ABCsin∠DAB=2×2212=22，故C正确；对于D选项，因为∠C=90°,∠CDA=75°，所以∠CAD=15°，所以sin∠CAD=sin15°=sin45°−30°=22×32−22×12=6−24，S△ACD=12×AC×AD×sin∠CAD=12×3+1×22×6−24=1，故D正确，故选：ACD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（23-24高一下·安徽滁州·阶段练习）相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度AB，一研究小组选取了与该楼底部B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD=30°,∠CDB=45°，BD=13m，在C点处测得该楼顶端A的仰角为60°，则该楼的高度AB为 m.【答案】136【分析】根据给定条件，利用正弦定理及直角三角形边角关系计算即得.【详解】在△BCD中，由正弦定理BCsin∠CDB=BDsin∠BCD，得BC=13sin45∘sin30∘=132，在Rt△ABC中，AB=BCtan∠ACB=132×tan60∘=136（m）.故答案为：13613．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）△ABC的内角A,B,C所对应边为a,b,c，若a=2,A=π4，则b+csinB+sinC= .【答案】22【分析】由正弦定理边角互化后代入所求算式即可.【详解】由正弦定理可得asinA=bsinB=csinC，所以b=asinBsinA=222sinB=22sinB，c=asinCsinA=222sinC=22sinC，所以b+csinB+sinC=22sinB+22sinCsinB+sinC=22，故答案为：22.14．（23-24高一下·浙江嘉兴·阶段练习）当n∈N∗时，将n,n+1,n+2⋅⋅⋅⋅⋅⋅称为一组连续正整数.若存在某个三角形，其三边为一组连续正整数，且最大角是最小角的两倍，其最短边长为 .【答案】4【分析】设三边长为n−1、n、n+1（n为大于1的正整数），对角分别为A、B、C，则C>B>A，利用余弦定理表示出cosC、cosA，再由二倍角公式得到方程，求出n，即可得解.【详解】设三边长为n−1、n、n+1（n为大于1的正整数），对角分别为A、B、C，则C>B>A，若C=2A，由余弦定理可得cosC=n2+n−12−n+122n⋅n−1=n−42n−1 ，cosA=n2+n+12−n−122n⋅n+1=n+42n+1，因为C=2A，所以cosC=cos2A=2cos2A−1，∴n−42n−1=2n+42n+12−1，解得n=5或n=−2（舍去）或n=12（舍去），所以存在三边为连续自然数4，5，6的三角形，使得最大角是最小角的两倍.故答案为：4四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2bcosC=2a+c．(1)求角B的大小；(2)若b=23，D为AC边上的一点，BD=1，且______，求△ABC的面积．请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．①BD是∠ABC的平分线；②D为线段AC的中点．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）【答案】(1)2π3(2)选择①②，答案均为3【分析】（1）由正弦定理和sinA=sinB+C得到cosB=−12，求出B=2π3；（2）选①，根据面积公式得到ac=a+c，结合余弦定理得到ac=4，求出面积；选②，根据数量积公式得到a2+c2−ac=4，结合余弦定理得到a2+c2+ac=12，求出ac=4，得到面积.【详解】（1）由正弦定理知，2sinBcosC=2sinA+sinC，∵sinA=sinB+C=sinBcosC+cosBsinC，代入上式得2cosBsinC+sinC=0，∵C∈0,π，∴sinC>0，cosB=−12，∵B∈0,π，∴B=2π3．（2）若选①：由BD平分∠ABC得，S△ABC=S△ABD+S△BCD，∴12acsin2π3=12×1×csinπ3+12×1×asinπ3，即ac=a+c．在△ABC中，由余弦定理得b2=a2+c2−2accos2π3，又b=23，∴a2+c2+ac=12，联立ac=a+ca2+c2+ac=12得ac2−ac−12=0，解得ac=4，ac=−3（舍去），∴S△ABC=12acsin2π3=12×4×32=3．若选②：因为BD=12BA+BC，所以BD2=14BA+BC2=14BA2+2BA⋅BC+BC2，即1=14c2+2accos2π3+a2，得a2+c2−ac=4，在△ABC中，由余弦定理得b2=a2+c2−2accos2π3，即a2+c2+ac=12，联立a2+c2−ac=4a2+c2+ac=12，可得ac=4，∴S△ABC=12acsin2π3=12×4×32=3．16．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）在△ABC中，已知∠BAC=120∘，D为BC上一点，CD=7,BD=47，且∠BAD=90∘.(1)求ABAC的值；(2)求△ACD的面积.【答案】(1)2；(2)532.【分析】（1）△ACD中，由正弦定理得AC=27sin∠ADC=27sin∠ADB，在Rt△ABD中，AB=47sin∠ADB，可求ABAC的值；（2）△ABC中，由余弦定理解得AC,AB，勾股定理求出AD，由12AC⋅ADsin∠CAD求△ACD的面积.【详解】（1）∠BAC=120∘，∠BAD=90∘，则∠CAD=30∘，在△ACD中，ACsin∠ADC=CDsin∠CAD，所以AC=27sin∠ADC=27sin∠ADB.在△ABD中，∠BAD=90∘，sin∠ADB=ABBD，所以AB=47sin∠ADB.故ABAC=47sin∠ADB27sin∠ADB=2.（2）在△ABC中，由余弦定理可得BC2=AC2+AB2−2AC⋅ABcos∠BAC，即572=AC2+2AC2−4AC2cos120∘，解得AC=5，AB=10，则AD=BD2−AB2=23.故△ACD的面积为12AC⋅ADsin∠CAD=532.17．（23-24高一下·山东济南·阶段练习）已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边a=3,b−c=2,B=120∘.(1)求b,c的值；(2)求sinB+C的值.【答案】(1)b=7,c=5；(2)3314【分析】（1）利用余弦定理计算即可；（2）利用正弦定理结合（1）的结论计算即可.【详解】（1）由余弦定理及已知可得：cosB=a2+c2−b22ac⇒9+c2−b26c=−12，即c2−b2+3c+9=c−bc+b+3c+9=c−2b+9=0，联立b−c=2c−2b+9=0⇒b=7,c=5；（2）因为△ABC中有A+B+C=π，则sinB+C=sinA，由正弦定理可知：sinA=asinBb=37×sin120∘=3314，即sinB+C=3314.18．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数f(x)=3sin(2π3−2x)−sin(5π6+2x)．(1)若方程fx=m在x∈[−π4,π4]上有2个不同的实数根，求实数m的取值范围；(2)在△ABC中，若fB=−2，内角A的角平分线AD=3，AB=2，求AC的长度．【答案】(1)3≤m<2；(2)6.【分析】（1）利用诱导公式、辅助角公式化简函数f(x)，再探讨y=f(x)在[−π4,π4]上的性质，画出图象，数形结合求解作答.（2）由（1）求出B，由正弦定理求出∠ADB，进而求出∠BAC，再利用等腰三角形性质求解作答.【详解】（1）依题意，f(x)=3sin[π2−(2x−π6)]−sin[π+(2x−π6)]=3cos(2x−π6)+sin(2x−π6)=2sin[(2x−π6)+π3]=2sin(2x+π6)，当x∈[−π4,π4]时，2x+π6∈[−π3,2π3]，则当x∈[−π4,π6]时，y=f(x)单调递增，函数值从−3增大到2，当x∈[π6,π4]时，y=f(x)单调递减，函数值从2减小到3，方程fx=m在x∈[−π4,π4]上有2个不同的实数根，即直线y=m与函数y=f(x)在[−π4,π4]的图象有两个公共点，在同一坐标系内作出直线y=m与函数y=f(x)在[−π4,π4]的图象，如图，  观察图象，当3≤m<2时，直线y=m与函数y=f(x)在[−π4,π4]的图象有两个公共点，所以实数m的取值范围是3≤m<2.（2）由（1）知，f(B)=2sin(2B+π6)=−2，即sin(2B+π6)=−1，在△ABC中，0