2024-2025学年上海市闵行区华东师大二附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市闵行区华东师大二附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列图形，一定相似的是
A．两个直角三角形B．两个等腰三角形
C．两个等边三角形D．两个菱形
2．（4分）下列关于的函数中，当时，函数值随的值增大而减小的是
A．B．C．D．
3．（4分）在中，，如果，，那么的长是
A．B．C．D．
4．（4分）一个测量技术队员在一个高为（忽略身高）的位置，观测一根高出此建筑物的旗杆，测出与旗杆的顶端的仰角为，与地面的俯角为，那么该旗杆的高度是
A．B．C．D．
5．（4分）已知二次函数的图象如图所示，那么点在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．（4分）如图，，，下列各式中正确的是
A．B．C．D．
二、填空题（本大题每小题4分，满分48分）
7．（4分）如果，那么 ．
8．（4分）已知抛物线，那么这个抛物线与轴的交点坐标是 ．
9．（4分）已知点是线段的黄金分割点，，如果，那么的长是 ．
10．（4分）如果在比例尺为 000 000的地图上，、两地的图上距离是3.4厘米，那么、两地的实际距离是 千米．
11．（4分）两个相似三角形的对应边上中线之比为，周长之和为，则较小的三角形的周长为 ．
12．（4分）将抛物线向右平移3个单位后，所得抛物线的表达式是 ．
13．（4分）如图，已知．如果，，，那么的长是 ．
14．（4分）已知传送带和地面所成斜坡的坡度，它把物体从地面送到离地面2.5米高的地方，那么物体在坡面上移动了 米．
15．（4分）在中，，已知，，是的平分线，那么的长是 ．
16．（4分）如图，点、分别在边长为1的正方形的边、上，、，正方形的四边分别经过正方形的四个顶点，已知，那么正方形的边长是 ．
17．（4分）在中，，如果，，那么的长是 ．
18．（4分）如图，正方形的边长为5，点是边上的一点，将正方形沿直线翻折后，点的对应点是点，联结交正方形的边于点，如果，那么的长是 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
19．（10分）计算：．
20．（10分）如图，已知平行四边形中，与相交于点，是边的中点，连接交于点，设，．
（1） ； ；（用向量、表示）
（2）求作：分别在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要写明结论）
21．（10分）如图，在中，，，，点在边上，且，，垂足为，联结．
（1）求线段的长；
（2）求的正切值．
22．（10分）嘉嘉使用桌上书架如图1所示．嘉嘉发现，当书架与桌面的夹角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时舒适度不太理想．嘉嘉调整书架与桌面的夹角大小继续探究，最后发现当张角时（点是的对应点），舒适度较为理想．
（1）书架在旋转过程中，求顶部边缘点到走过的路径长．
（2）如图2这个平面图形，如果嘉嘉的眼睛在处，书上有一点，旋转点到点的距离为，嘉嘉看点的俯角为，眼睛到桌面高度为，点到点的距离为，求此时眼睛到点的距离，即的长度．（结果精确到；参考数据：，，
23．（10分）已知：如图，在△中，点，分别在，上，，点在边上，，与相交于点．
（1）求证：△△；
（2）当点为的中点时，求证：．
24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式及点的坐标；
（2）点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
25．（14分）如图1，在中，，，，点、分别在边、上，，设为，四边形的面积为．
（1）当点与点重合时，求的正弦值；
（2）求关于的函数解析式，并写出的取值范围；
（3）是边的中点，联结，当是等腰三角形时，求的长．
参考答案
一、选择题（本大题每小题4分，满分24分）
1．（4分）下列图形，一定相似的是
A．两个直角三角形B．两个等腰三角形
C．两个等边三角形D．两个菱形
解：．两个直角三角形，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故选项不符合题意；
．两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故选项不符合题意；
．两个等边三角形的对应角一定相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故选项符合题意；
．两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故选项不符合题意；
故选：．
2．（4分）下列关于的函数中，当时，函数值随的值增大而减小的是
A．B．C．D．
解：、二次函数的图象，开口向上，并向上无限延伸，在轴右侧时），随的增大而增大；故本选项错误；
、一次函数的图象，随的增大而增大； 故本选项错误；
、正比例函数的图象在一、三象限内，随的增大而增大； 故本选项错误；
、反比例函数中，所以当时，随的增大而减小； 故本选项正确；
故选：．
3．（4分）在中，，如果，，那么的长是
A．B．C．D．
解：如图：
在中，．
故选：．
4．（4分）一个测量技术队员在一个高为（忽略身高）的位置，观测一根高出此建筑物的旗杆，测出与旗杆的顶端的仰角为，与地面的俯角为，那么该旗杆的高度是
A．B．C．D．
解：如图，过作于，
则．
在△中，，
，
在△中，，
，
，
即旗杆的高度为．
故选：．
5．（4分）已知二次函数的图象如图所示，那么点在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
解：从图象可知：，，，
，，
点在第二象限．
故选：．
6．（4分）如图，，，下列各式中正确的是
A．B．C．D．
解：．，
，
，故本选项符合题意；
．，
，故本选项不符合题意；
．，
，
，
即，故本选项不符合题意；
．，，
，，
，故本选项不符合题意；
故选：．
二、填空题（本大题每小题4分，满分48分）
7．（4分）如果，那么 ．
解：，
，
设，，
．
故答案为．
8．（4分）已知抛物线，那么这个抛物线与轴的交点坐标是 ．
解：
在中，令可得，
抛物线与轴的交点坐标为，
故答案为：．
9．（4分）已知点是线段的黄金分割点，，如果，那么的长是 ．
解：点是线段的黄金分割点，，，
，
故答案为：．
10．（4分）如果在比例尺为 000 000的地图上，、两地的图上距离是3.4厘米，那么、两地的实际距离是 34 千米．
解：根据题意，（厘米）（千米）．
即实际距离是34千米．
故答案为：34．
11．（4分）两个相似三角形的对应边上中线之比为，周长之和为，则较小的三角形的周长为 ．
解：因为该相似比为，而周长比也等于相似比，则较小的三角形周长为，
故答案为：
12．（4分）将抛物线向右平移3个单位后，所得抛物线的表达式是 ．
解：，
将抛物线向右平移3个单位后，所得抛物线的表达式是，即．
故答案为：．
13．（4分）如图，已知．如果，，，那么的长是 6.4 ．
解：，
，
，，，
，
解得，
．
故答案为：6.4．
14．（4分）已知传送带和地面所成斜坡的坡度，它把物体从地面送到离地面2.5米高的地方，那么物体在坡面上移动了 6.5 米．
解：如图所示，
已知，，
，
，
故答案为：6.5．
15．（4分）在中，，已知，，是的平分线，那么的长是 ．
解：过作交的延长线于，
，是的平分线，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16．（4分）如图，点、分别在边长为1的正方形的边、上，、，正方形的四边分别经过正方形的四个顶点，已知，那么正方形的边长是 ．
解：、，，
，
，
，
，
又，
△△，
，
，
同理可求：，
，
正方形的边长为，
故答案为：．
17．（4分）在中，，如果，，那么的长是 6 ．
解：解法一：过作，垂足为，在上取点，连接，使，
，
，
，
，，
，
，
，即，
故答案为：6．
解法二：作平分交于，
，
，
，
平分，
，
设，，，
，
，
，
，即，
解得，
．
故答案为：6．
18．（4分）如图，正方形的边长为5，点是边上的一点，将正方形沿直线翻折后，点的对应点是点，联结交正方形的边于点，如果，那么的长是 ．
解：如图：连接，
由翻折得，，
，
，
，
设，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
过作于，
，，
，
，
，
，
，
或（不合题意舍去），
，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
19．（10分）计算：．
解：
．
20．（10分）如图，已知平行四边形中，与相交于点，是边的中点，连接交于点，设，．
（1） ； ；（用向量、表示）
（2）求作：分别在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要写明结论）
解：（1）四边形中，与相交于点，
，，
，．
，
，
，
，
，
是边的中点，
，
，
，
；
（2）如图，过点作交于点，交于点，，即为向量分别在、方向上的分向量．
21．（10分）如图，在中，，，，点在边上，且，，垂足为，联结．
（1）求线段的长；
（2）求的正切值．
解：（1）如图所示，过点作于点，
，，
在中，，
，
（2），，
，
又，
22．（10分）嘉嘉使用桌上书架如图1所示．嘉嘉发现，当书架与桌面的夹角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时舒适度不太理想．嘉嘉调整书架与桌面的夹角大小继续探究，最后发现当张角时（点是的对应点），舒适度较为理想．
（1）书架在旋转过程中，求顶部边缘点到走过的路径长．
（2）如图2这个平面图形，如果嘉嘉的眼睛在处，书上有一点，旋转点到点的距离为，嘉嘉看点的俯角为，眼睛到桌面高度为，点到点的距离为，求此时眼睛到点的距离，即的长度．（结果精确到；参考数据：，，
解：（1），
，
在△中，，，
则，
，，
，
点到走过的路径长为：；
（2）如图2，过点作于，于，
则四边形为矩形，
，
在△中，，，
则，
，
，
在△中，，，
则，
答：眼睛到点的距离约为．
23．（10分）已知：如图，在△中，点，分别在，上，，点在边上，，与相交于点．
（1）求证：△△；
（2）当点为的中点时，求证：．
【解答】证明：（1），
，
而，
△△，
，
△△，
△△．
（2）作交的延长线于，如图，
，
，
点为的中点，
，
，
△△，
，
．
24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式及点的坐标；
（2）点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）抛二次函数经过，，，
将三点坐标代入解析式得，
解得：，，，
二次函数的解析式为：；
直线经过、两点，设直线解析式为：，
将、两点代入得，
解得：，，
直线解析式为：，
点是直线与轴交点，
令，则，
．
（2）①点在直线上方，
，
由题知，，
，
当时，是最大值．
②存在，理由如下：
，，
，
是直角三角形，
要使与相似，只有保证是直角三角形就可以．
（Ⅰ）当时，
，
，
此时轴，、关于对称轴对称，
；
（Ⅱ）法一：当时，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
由①知，
，，
，
，
，
解得，（舍，
．
法二：当时，
，
过作轴，作，作，
则易证，
，
，，，，
，
解得，（舍，
．
法三：当时，
，
，
，
，
直线的解析式为：，
联立方程组得，
解得：或，
综上，存在点使与相似，此时的坐标为或．
25．（14分）如图1，在中，，，，点、分别在边、上，，设为，四边形的面积为．
（1）当点与点重合时，求的正弦值；
（2）求关于的函数解析式，并写出的取值范围；
（3）是边的中点，联结，当是等腰三角形时，求的长．
解：（1）如图，
，，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
即，，
；
（2）如图，过点作于点，过点作于点，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）由（2）得：，
由勾股定理得：，
是边的中点，
，
如图，当时，
，
解得：，
即；，
如图，当时，过点作于点，则，，
，，
在中，，
，
解得：或0（舍去），
即；
综上所述，的长为或．