2024-2025学年上海市浦东新区上南中学南校九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市浦东新区上南中学南校九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）如果两个相似三角形的周长之比为，那么它们对应边之比为
A．B．C．D．
2．（4分）已知△中，、分别是边、上的点，下列各式中，能判断的是
A．B．C．D．
3．（4分）在下列命题中，真命题的个数有
①所有的等边三角形都相似；
②所有的直角三角形都相似；
③所有的菱形都相似；
④有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似；
⑤两个全等三角形一定相似；
⑥有一个锐角相等的两个等腰三角形一定相似．
A．2个B．3个C．4个D．5个
4．（4分）如图，已知，求作，则下列作图正确的是
A．
B．
C．
D．
5．（4分）如图，在中，点、分别在边、上，平分，，与一定相似的三角形为
A．B．C．D．
6．（4分）如图，△中，，，△被划分成三部分，则它们的面积比
A．B．C．D．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）如果，那么的值是 ．
8．（4分）已知线段厘米，厘米，则线段和的比例中项是 厘米．
9．（4分）在的地图上，量得、两地之间的距离为，则、两地实际距离是 ．
10．（4分）设点是线段的黄金分割点，厘米，那么较长线段的长是 厘米．
11．（4分）已知与单位向量的方向相反，且长度为2，那么用表示 ．
12．（4分）如图，竖立在点处的标杆长2.1米，某测量工作人员站在点处，此时人眼睛与标杆顶端、树顶端在同一直线上（点、、也在同一直线上），已知此人眼睛与地面的距离长1.6米，且米，米，求所测量树的高度为 米．
13．（4分）在和中，，，，，那么的度数是 ．
14．（4分）如图，如果，，，，，那么 ．
15．（4分）如图，△中，是斜边上的高，是6，，则上的中线长是 ．
16．（4分）如图，四边形是△的内接矩形，是△的高，，，，则矩形的周长是 ．
17．（4分）如图，△中，，如果是△的重心，那么 ．
18．（4分）如图，在中，，，为中点，在线段上，，则 ．
三、简答题：（本大题共7题，满分48分）
19．（10分）已知：，且，求、、的值．
20．如图，点，分别在线段和上，与相交于点，，，求证：．
21．（5分）如图，已知平行四边形中，点、分别在边、上，对角线分别交、于点、，且．
（1）求证：；
（2）设，，用关于、的线性组合表示．
22．（5分）如图，已知，与相交于点．
（1）如果，，，求的长；
（2）如果，，求的长．
23．（6分）已知，如图，点为内一点，、、点分别为线段、、上一点，且，．
（1）求证：；
（2）当时，求的值．
24．（8分）如图，点是菱形的对角线上一点，连接并延长，交于点，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若菱形边长为8，，，求的长．
25．（14分）如图，在矩形中，，，对角线、交于点，点在延长线上，连接，，分别交线段、边、对角线于点、、（点不与点、重合）．
（1）当点是线段的中点，求的长；
（2）设，，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当是等腰三角形时，求的长．
参考答案
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）如果两个相似三角形的周长之比为，那么它们对应边之比为
A．B．C．D．
解：两个相似三角形的周长比为，
它们的对应边的比．
故选：．
2．（4分）已知△中，、分别是边、上的点，下列各式中，能判断的是
A．B．C．D．
解：由题意知，不能判断，选项错误，故不符合要求；
不能判断，选项错误，故不符合要求；
不能判断，选项错误，故不符合要求；
由可得，，选项正确，故符合要求，
故选：．
3．（4分）在下列命题中，真命题的个数有
①所有的等边三角形都相似；
②所有的直角三角形都相似；
③所有的菱形都相似；
④有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似；
⑤两个全等三角形一定相似；
⑥有一个锐角相等的两个等腰三角形一定相似．
A．2个B．3个C．4个D．5个
解：①所有的等边三角形都相似，说法正确，为真命题；
②所有的直角三角形都相似，说法错误，为假命题；
③所有的菱形都相似，说法错误，为假命题；
④有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似，说法正确，为真命题；
⑤两个全等三角形一定相似，说法正确，为真命题；
⑥有一个锐角相等的两个等腰三角形一定相似，说法错误，为假命题．
真命题的个数为3，
故选：．
4．（4分）如图，已知，求作，则下列作图正确的是
A．
B．
C．
D．
解：，
，
，
如图，需要在射线上依次截取，，在射线上截取，
连接，过作，交于，则
，即，
，
又，
，即即为所求．
故选：．
5．（4分）如图，在中，点、分别在边、上，平分，，与一定相似的三角形为
A．B．C．D．
解：平分，
，
又
，且
故选：．
6．（4分）如图，△中，，，△被划分成三部分，则它们的面积比
A．B．C．D．
解：，
△△△，
，
，
，
，
；
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）如果，那么的值是 ．
解：，
．
故答案为：．
8．（4分）已知线段厘米，厘米，则线段和的比例中项是 4 厘米．
解：线段是、的比例中项，
，
解得，
又线段是正数，
．
故答案为4．
9．（4分）在的地图上，量得、两地之间的距离为，则、两地实际距离是 40 ．
解：
，
，
、两地实际距离是．
故答案为：40．
10．（4分）设点是线段的黄金分割点，厘米，那么较长线段的长是 厘米．
解：设，根据题意列方程得，
，
即，
解得，，（负值舍去）．
故答案为．
11．（4分）已知与单位向量的方向相反，且长度为2，那么用表示 ．
解：的长度为2，向量是单位向量，
，
与单位向量的方向相反，
．
故答案为：．
12．（4分）如图，竖立在点处的标杆长2.1米，某测量工作人员站在点处，此时人眼睛与标杆顶端、树顶端在同一直线上（点、、也在同一直线上），已知此人眼睛与地面的距离长1.6米，且米，米，求所测量树的高度为 4.6 米．
解：过点作，交于点，交于点，如图：
，，
，
，，，，
（米，（米，（米
（米，
，
，
，即，
解得（米，（米
故答案为：4.6．
13．（4分）在和中，，，，，那么的度数是 ．
解：，，
，
，
，
，
与是对应角，
故．
故答案为：．
14．（4分）如图，如果，，，，，那么 12 ．
解：，
，即，
，
△△，
，
，，，
，解得．
故答案为：12．
15．（4分）如图，△中，是斜边上的高，是6，，则上的中线长是 ．
解：在△中，，于，
，，
，
，
△△，
，
，
又，
设，则，
得，
解得（负值已舍），
，
又直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
，
故答案为：．
16．（4分）如图，四边形是△的内接矩形，是△的高，，，，则矩形的周长是 72 ．
解：设 ，则 ，
四边形是△的内接矩形，
，
△△，
由相似三角形对应边上的高的比等于相似比可得：，
解得：，
，，
，
矩形的周长是；
故答案为：72．
17．（4分）如图，△中，，如果是△的重心，那么 ．
解：是△的重心，
，是△的中点，
，，
，
△△，
，
，
是△的重心，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
18．（4分）如图，在中，，，为中点，在线段上，，则 或 ．
解：为中点，
．
当时，，则；
当与不平行时，，
在三角形中，，，
，．
是等边三角形，．
，．
．
．
故答案为：或．
三、简答题：（本大题共7题，满分48分）
19．（10分）已知：，且，求、、的值．
解：设，则，，
，，．
20．如图，点，分别在线段和上，与相交于点，，，求证：．
【解答】证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
21．（5分）如图，已知平行四边形中，点、分别在边、上，对角线分别交、于点、，且．
（1）求证：；
（2）设，，用关于、的线性组合表示．
【解答】（1）证明：四边形为平行四边形，
，，，，
，
，，
，，
，
．
（2）解：，，
．
，
，
，
．
22．（5分）如图，已知，与相交于点．
（1）如果，，，求的长；
（2）如果，，求的长．
解：（1），
，则，
又，
，则，
，即，
；
（2），
．
又，，
．
，
△△，
，
又，
，
，
．
23．（6分）已知，如图，点为内一点，、、点分别为线段、、上一点，且，．
（1）求证：；
（2）当时，求的值．
解：（1），
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，即，
同理可得，，
，
，
，
．
24．（8分）如图，点是菱形的对角线上一点，连接并延长，交于点，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若菱形边长为8，，，求的长．
【解答】（1）证明：
法四边形是菱形，，，，
又是公共边，，
，，
由得，，
，又
，
．
法四边形是菱形
，（1分）
，（4分）
．
（2）解：，，，
，，
，
又，
．
25．（14分）如图，在矩形中，，，对角线、交于点，点在延长线上，连接，，分别交线段、边、对角线于点、、（点不与点、重合）．
（1）当点是线段的中点，求的长；
（2）设，，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当是等腰三角形时，求的长．
解：（1），，
，
，
，
点是线段的中点，
，
在和中，
，
，
，
，，
，，
，
，
即，
，
，
，，
，
，
又，
，
，
；
（2）如图，
作，，垂足分别为、，
，
，
，，，
，，，
，
又，
，，
，
，
则．
（3）当是等腰三角形，
①当时，，，则，，由，解得；
②当，，同理解得；
③当，得出不存在．
所以或．