2023-2024学年上海市娄山中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市娄山中学九年级（上）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）下列各组线段中，成比例线段的组是
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
2．（4分）下列命题一定正确的是
A．两个等腰三角形一定相似
B．两个等边三角形一定相似
C．两个直角三角形一定相似
D．两个含有角的三角形一定相似
3．（4分）在中，，，，那么边的长为
A．B．C．D．
4．（4分）下列命题中，错误的是
A．如果或，那么
B．如果、为实数，那么
C．如果为实数），那么
D．如果或，那么
5．（4分）已知：在中，，，，则的值
A．只有1个B．可以有2个C．可以有3个D．无数个
6．（4分）如图，在正方形中，点为边上的一个动点（与点、不重合），，交对角线于点，交对角线于点，交边于点，那么下列结论中，错误的是
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）
7．（4分）已知，那么 ．
8．（4分）在比例尺是的地图上，欢乐谷和迪士尼之间的距离是，那么欢乐谷和迪士尼的实际距离是 ．
9．（4分）已知点是线段上的一点，且，如果，那么的长是 ．
10．（4分）在中，若中线和中线相交于，则 ．
11．（4分）如果为单位向量，与方向相反，且长度是3，那么 （用表示）．
12．（4分）如图，，已知，，则 ．
13．（4分）如图，已知在梯形中，，分别交边、于点、，如果，，，那么的长 ．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系内有一点，那么与轴正半轴的夹角的正弦值 ．
15．（4分）如图，在△中，边，高，四边形是内接矩形，交于，设，则矩形的面积与的函数关系式 ．
16．（4分）如图，土坡是一个梯形，，斜坡长130米，坡度是，沿走上平台，可以坐电梯直达矩形观景台顶部，在点观察坡底点，俯角是，则观景台的垂直高度为 米．
17．（4分）如图，在矩形中，，点在边上，把沿直线翻折，使点落在对角线上的点处，联结．如果点、、在同一条直线上，那么的长是 ．
18．（4分）在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中，最大的三角形面积是 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
20．（10分）如图，已知在△中，，，点是边上的一点，．
（1）试用和表示，即 ；
（2）在图中分别作出向量在、方向上的分向量，并分别用、表示（写出结论，不要求写作法）．
21．（10分）如图，已知在中，点、、分别在边、、上，，，如果，的面积是20，求的面积．
22．（10分）如图，已知在中，，，点为边延长线上一点，，联结．求的正切值．
23．（10分）某次台风来袭时，一棵笔直且垂直于地面的大树被刮倾斜后在处折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面处，测得，，米，求这棵大树的高．
（结果精确到0.1米）（参考数据：，，，
24．（14分）如图，已知在△中，，平分，，点在线段的延长线上，联结，交于点，且．
（1）求证：；
（2）求证：．
25．（14分）已知：如图1，在梯形中，，，，，，点在边上，且，，交于点，点、分别在射线和线段上．
（1）求线段的长；
（2）如图2，当点在线段上，且，设，，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果为等腰直角三角形，求线段的长．
参考答案
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列各组线段中，成比例线段的组是
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
解：、，不成比例线段；
、，不成比例线段；
、，成比例线段；
、，不成比例线段．
故选：．
2．（4分）下列命题一定正确的是
A．两个等腰三角形一定相似
B．两个等边三角形一定相似
C．两个直角三角形一定相似
D．两个含有角的三角形一定相似
解：、等腰三角形的角度不一定相等，各边也不一定对应成比例，故不正确；
、两个等边三角形的各角度都为，所以两个三角形相似，故正确；
、两个直角三角形只有一个直角可以确定相等，其他两个角度未知，故不正确；
、两个含角的三角形只有一对角可以确定相等，其他两个角度未知故不正确；
故选：．
3．（4分）在中，，，，那么边的长为
A．B．C．D．
解：，，，
则，
．
故选：．
4．（4分）下列命题中，错误的是
A．如果或，那么
B．如果、为实数，那么
C．如果为实数），那么
D．如果或，那么
解：由题意，或，
，
选项正确，不符合题意．
、为实数，
，
选项正确，不符合题意．
为实数），
，错误，时，不成立，
选项错误，符合题意．
或，
，
选项正确，不符合题意．
故选：．
5．（4分）已知：在中，，，，则的值
A．只有1个B．可以有2个C．可以有3个D．无数个
解：如图，过作于，
在中，，，，
，
，
，
或，
故选：．
6．（4分）如图，在正方形中，点为边上的一个动点（与点、不重合），，交对角线于点，交对角线于点，交边于点，那么下列结论中，错误的是
A．B．C．D．
解：四边形是正方形，
，，，
，故选项不合题意；
，，
，故选项不合题意；
，
，
，
，
又，
，故选项不合题意；
，
，
，
与不相似，故选项符合题意；
故选：．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）
7．（4分）已知，那么 ．
解：，
，
；
故答案为：．
8．（4分）在比例尺是的地图上，欢乐谷和迪士尼之间的距离是，那么欢乐谷和迪士尼的实际距离是 45 ．
解：设欢乐谷与迪士尼的实际距离为 ，
地图上的距离与实际距离的比等于比例尺，
，
，
欢乐谷与迪士尼的实际距离为，即．
故答案为：45．
9．（4分）已知点是线段上的一点，且，如果，那么的长是 ．
解：设的距离为，则，
根据题意列方式：
，
，
整理得：
，
，，，
根据求根公式，
解出，（舍去）．
故答案为：．
10．（4分）在中，若中线和中线相交于，则 ．
解：、分别是三角形的中线，
是的重心，
，，
．
故答案为．
11．（4分）如果为单位向量，与方向相反，且长度是3，那么 （用表示）．
解：的长度为3，向量是单位向量，
，
与单位向量的方向相反，
．
故答案为：．
12．（4分）如图，，已知，，则 26 ．
解：，
，，
，
，
，
，，
，
故答案为：26．
13．（4分）如图，已知在梯形中，，分别交边、于点、，如果，，，那么的长 4 ．
解：过点作交于点，交于点，
，，
四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
．．
，
．
，
△△
，
，
，
，
．
故答案为：4．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系内有一点，那么与轴正半轴的夹角的正弦值 ．
解：过点作轴于点，
，
，，
，
与轴正半轴所夹的角的正弦值为：．
故答案为：．
15．（4分）如图，在△中，边，高，四边形是内接矩形，交于，设，则矩形的面积与的函数关系式 ．
解：四边形是内接矩形，，
，四边形为矩形，
，，
，
，
，
△△，
，即，
整理得：，
，
即．
故答案为：．
16．（4分）如图，土坡是一个梯形，，斜坡长130米，坡度是，沿走上平台，可以坐电梯直达矩形观景台顶部，在点观察坡底点，俯角是，则观景台的垂直高度为 70 米．
解：如图，
斜坡长130米，坡度是，
，
设米，米，
，
，
解得或（舍去），
米，米，
，，
，
米，
（米．
故答案为：70．
17．（4分）如图，在矩形中，，点在边上，把沿直线翻折，使点落在对角线上的点处，联结．如果点、、在同一条直线上，那么的长是 ．
解：四边形是矩形，
，，，
，
设，则，
把沿直线翻折，使点落在对角线上的点处，
，，
，
，
，
，
，
，
，
（舍去），，
，
故答案为：．
18．（4分）在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中，最大的三角形面积是 4.5 ．
解：图中所有与相似的格点三角形中，最大的△如图所示：
，
故答案为4.5．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
解：原式
．
20．（10分）如图，已知在△中，，，点是边上的一点，．
（1）试用和表示，即 ；
（2）在图中分别作出向量在、方向上的分向量，并分别用、表示（写出结论，不要求写作法）．
解：（1），
，
，
故答案为：；
（2）
如图，，即为所求．
，
，
，
，
同理可得，．
21．（10分）如图，已知在中，点、、分别在边、、上，，，如果，的面积是20，求的面积．
解：，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
．
22．（10分）如图，已知在中，，，点为边延长线上一点，，联结．求的正切值．
解：过点作于，
在中
解得，
则，
，
23．（10分）某次台风来袭时，一棵笔直且垂直于地面的大树被刮倾斜后在处折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面处，测得，，米，求这棵大树的高．
（结果精确到0.1米）（参考数据：，，，
解：过点作于点，则．
在中，，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
（米．
答：这棵大树原来的高度约是9.2米．
24．（14分）如图，已知在△中，，平分，，点在线段的延长线上，联结，交于点，且．
（1）求证：；
（2）求证：．
【解答】证明：（1），，
，
，
，
，
△△，
，
．
（2），
，
，，
△△，
，
，，
△△，
，，，
．
25．（14分）已知：如图1，在梯形中，，，，，，点在边上，且，，交于点，点、分别在射线和线段上．
（1）求线段的长；
（2）如图2，当点在线段上，且，设，，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果为等腰直角三角形，求线段的长．
解：（1）过作，
，
，
，
，
，
，
；
（2）过作于，反向延长交于，则，在中，，
，
，
，，，
，，
，
，，
，
，
即，
解得：，
当与重合是时，
则；
（3）①当在线段上时，
，，
，
，
，
，
，
②当在的延长线上时，
，
，
，
在与中，
，
，
，
由（2）知，，，，
，
，
，
，
③如图，当时，过点作交，于点，，作交的延长线于点，交直线于点．
由，可得，，
设，则，，，
，，
由，可得，
，，
．
综上所述，为或或．