2022-2023学年北京市丰台区高二（上）期中数学试卷（B卷）

这是一份2022-2023学年北京市丰台区高二（上）期中数学试卷（B卷），共20页。试卷主要包含了解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）为了了解某小区5000户居民接种新冠疫苗情况，从中抽取了100户居民进行调查．该小区每位居民被抽到的可能性为（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）已知空间向量＝（1，﹣3，2），若空间向量与平行，则的坐标可能是（ ）
A．（1，3，3）B．
C．（﹣1，﹣3，2）D．
3．（4分）一个车间里有10名工人装配同种电子产品，现记录他们某天装配电子产品的件数如下：
10，12，9，7，10，12，9，11，9，8
若这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＞b＞aB．b＞c＞aC．a＞b＞cD．c＞a＞b
4．（4分）对于空间中的三个向量，，3﹣2，它们一定是（ ）
A．共面向量B．共线向量
C．不共面向量D．无法判断
5．（4分）已知平面α的法向量为＝（﹣2，1，1），若平面α外的直线l的方向向量为＝（1，0，2），则可以推断（ ）
A．l∥αB．l⊥αC．l与α斜交D．l⊂α
6．（4分）从某地区抽取100户居民进行月用电量调查，发现用电量都在50至350kW•h之间．将数据分组后得到如表所示的频率分布表，估计此地区月均用电量的第80百分位数是（ ）
A．230B．235C．240D．245
7．（4分）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面为平行四边形，M为A1C1与B1D1的交点．若＝，＝，＝，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．+B．+C．﹣+D．﹣+
8．（4分）已知6件产品中有3件正品，其余为次品．现从6件产品中任取2件，观察正品件数与次品件数，下列选项中的两个事件互为对立事件的是（ ）
A．恰好有1件次品和恰好有2件次品
B．至少有1件次品和全是次品
C．至少有1件正品和至少有1件次品
D．至少有1件次品和全是正品
9．（4分）在“冬奥会”闭幕后，某中学社团对本校3000名学生收看比赛情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将所有数据分组整理后，绘图如图．
以下结论中正确的是（ ）
A．图中m的数值为26
B．估计该校观看比赛不低于3场的学生约为1380人
C．估计该校学生观看比赛场数的中位数小于平均数
D．样本数据的第90百分位数为5
10．（4分）在空间直角坐标系Oxyz中，若有且只有一个平面α，使点A（2，2，2）到α的距离为1，且点B（m，0，0）到α的距离为4，则m的值为（ ）
A．2B．1或3
C．2或4D．2或2
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）甲，乙两名运动员进行射击比赛．已知甲中靶的概率是0.7，乙中靶的概率是0.8，且甲，乙射击互不影响，若甲，乙两人各射击一次，则两人都脱靶的概率是 ．
12．（5分）某公司有职工160人，其中业务人员104人，管理人员32人，内勤人员24人．若按岗位进行分层，采用分层随机抽样的方法从全体职工中抽取20人进行健康测试，则应抽取管理人员的人数为 ．
13．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若AB＝AD＝1，AA1＝2，则直线AB1与BC1所成角的余弦值为 ．
14．（5分）已知空间向量＝（1，2，﹣3），＝（0，3，4），则向量在向量上的投影向量的模是 ．
15．（5分）如图，正方体的棱长为1，点M是线段DD1的中点，点N是线段A1M上的动点，下列结论中正确的序号是 ．
①存在点N，使AN∥平面C1BD；
②存在点N，使DN⊥平面C1BD；
③存在点N，使点N到平面C1BD的距离等于1．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（15分）某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布的直方图如图．
（Ⅰ）求图中的m的值；
（Ⅱ）若得分在80分及以上的学生都有奖品，试估计这次能力测评的获奖率；
（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，根据频率直方图估计此次能力测评全部同学的平均成绩．
17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD＝DC＝2AD＝2，E，F分别是PD，DC的中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面AEF；
（Ⅱ）求直线PB与平面AEF所成角的正弦值．
18．（14分）从2名男生（记为A1，A2）和2名女生（记为B1，B2）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每人被选到的可能性相同）．
（Ⅰ）请写出该试验的样本空间Ω；
（Ⅱ）设事件M为“选到1名男生和1名女生”，求事件M发生的概率．
（Ⅲ）若2名男生A1，A2所处年级分别为高一、高二，2名女生B1，B2所处年级分别为高一、高二，设事件N为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”，求事件N发生的概率．
19．（14分）已知空间向量＝（2，﹣2，1），＝（2，﹣1，4），＝（x，5，2）．
（Ⅰ）若，求x；
（Ⅱ）求|3|；
（Ⅲ）若向量与向量，共面，求实数x的值．
20．（13分）某学校高中三个年级共有400名学生，为调查他们的课后学习时间情况，通过分层随机抽样获得了20名学生某周的课后学习时间，数据如下表（单位：小时）：
（Ⅰ）试估计该校高三年级的学生人数；
（Ⅱ）从高一年级和高二年级样本学生中各随机抽取一人，高一年级抽取的人记为甲，高二年级抽取的人记为乙，求该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率；
（Ⅲ）再从高中三个年级中各随机抽取一名学生，他们该周的课后学习时间分别是8，10，11（单位：小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中的数据平均数记为，试判断与的大小关系．（只需写出结论）
21．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，AA1＝2，点D为AC的中点．
（Ⅰ）求平面BCC1与平面BC1D夹角的余弦值；
（Ⅱ）点G在线段AB1上，且＝，试判断直线CG与平面BC1D的关系，并说明理由．
2022-2023学年北京市丰台区高二（上）期中数学试卷（B卷）
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）为了了解某小区5000户居民接种新冠疫苗情况，从中抽取了100户居民进行调查．该小区每位居民被抽到的可能性为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据随机抽样的概率性质即可求解．
【解答】解：该小区每位居民被抽到的可能性为，
故选：B．
【点评】本题考查了随机抽样的概率的求解，属于基础题．
2．（4分）已知空间向量＝（1，﹣3，2），若空间向量与平行，则的坐标可能是（ ）
A．（1，3，3）B．
C．（﹣1，﹣3，2）D．
【分析】由空间向量的坐标运算，结合共线向量的坐标表示求解即可．
【解答】解：已知空间向量＝（1，﹣3，2），
又空间向量与平行，
则，
即的坐标可能是，
故选：B．
【点评】本题考查了空间向量的坐标运算，重点考查了共线向量的坐标表示，属基础题．
3．（4分）一个车间里有10名工人装配同种电子产品，现记录他们某天装配电子产品的件数如下：
10，12，9，7，10，12，9，11，9，8
若这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＞b＞aB．b＞c＞aC．a＞b＞cD．c＞a＞b
【分析】利用平均数，中位数，众数的定义即可求解．
【解答】解：由已知可得平均数a＝＝9.7，
10个数据按照从小到大的顺序排列：7，8，9，9，9，10，10，11，12，12，
所以中位数b＝＝9.5，
众数c＝9，
则a＞b＞c，
故选：C．
【点评】本题考查了平均数，中位数，众数的求解，考查了学生的运算能力，属于基础题．
4．（4分）对于空间中的三个向量，，3﹣2，它们一定是（ ）
A．共面向量B．共线向量
C．不共面向量D．无法判断
【分析】由3﹣2可用向量，线性表示，然后结合共面向量定理即可得解．
【解答】解：因为3﹣2可用向量，线性表示，
所以空间中的三个向量，，3﹣2，它们一定是共面向量，
故选：A．
【点评】本题考查了共面向量定理，属基础题．
5．（4分）已知平面α的法向量为＝（﹣2，1，1），若平面α外的直线l的方向向量为＝（1，0，2），则可以推断（ ）
A．l∥αB．l⊥αC．l与α斜交D．l⊂α
【分析】根据题意，由空间向量数量积的计算公式可得有•＝0，即可得⊥，由平面的法向量和直线的方向向量的定义分析可得答案．
【解答】解：根据题意，平面α的法向量为＝（﹣2，1，1），平面α外的直线l的方向向量为＝（1，0，2），
则有•＝﹣2+0+2＝0，则⊥，必有l∥α，
故选：A．
【点评】本题考查平面的法向量和直线的方向向量，涉及空间向量的坐标，属于基础题．
6．（4分）从某地区抽取100户居民进行月用电量调查，发现用电量都在50至350kW•h之间．将数据分组后得到如表所示的频率分布表，估计此地区月均用电量的第80百分位数是（ ）
A．230B．235C．240D．245
【分析】利用统计与概率百分位数的概念，即可解出．
【解答】解：由频率分表可知，数据均匀分布，所以第80百分位数是，200+50×＝240，
故选：C．
【点评】本题考查了统计与概率，百分位数，学生的数学运算能力，属于基础题．
7．（4分）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面为平行四边形，M为A1C1与B1D1的交点．若＝，＝，＝，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．+B．+C．﹣+D．﹣+
【分析】根据空间向量的线性表示，用、和表示即可．
【解答】解：四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，＝，＝，＝，
所以＝+＝+＝﹣＝﹣（+）＝﹣﹣+．
故选：C．
【点评】本题考查了空间向量的线性表示应用问题，是基础题．
8．（4分）已知6件产品中有3件正品，其余为次品．现从6件产品中任取2件，观察正品件数与次品件数，下列选项中的两个事件互为对立事件的是（ ）
A．恰好有1件次品和恰好有2件次品
B．至少有1件次品和全是次品
C．至少有1件正品和至少有1件次品
D．至少有1件次品和全是正品
【分析】根据对立事件的概念，互斥事件的概念，相容事件的概念，即可求解．
【解答】解：根据对立事件的概念可得：
D中为对立事件事件，A中为互斥事件，B，C中为相容事件，
故选：D．
【点评】本题考查对立事件的概念，互斥事件的概念，相容事件的概念，属基础题．
9．（4分）在“冬奥会”闭幕后，某中学社团对本校3000名学生收看比赛情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将所有数据分组整理后，绘图如图．
以下结论中正确的是（ ）
A．图中m的数值为26
B．估计该校观看比赛不低于3场的学生约为1380人
C．估计该校学生观看比赛场数的中位数小于平均数
D．样本数据的第90百分位数为5
【分析】由频率和为1求m，根据条形统计图计算观看比赛不低于3场的人数、中位数、平均数，百分位数判断各选项．
【解答】解：由题意8%+10%+m%+26%+10%+6%+2%+2%＝1，m＝36，A错；
不低于3场的人数约为3000×（1﹣8%﹣10%）＝2460，B错；
由已知得中位数是3，
平均数是1×8%+2×10%+3×36%+4×26%+5×10%+6×6%+7×2%+8×2%＝3.56，C正确；
由条形图，观看场数不大于5的百分比为90%，因此第90百分位数是5.5，D错．
故选：C．
【点评】本题考查了条形统计图的应用，属于基础题．
10．（4分）在空间直角坐标系Oxyz中，若有且只有一个平面α，使点A（2，2，2）到α的距离为1，且点B（m，0，0）到α的距离为4，则m的值为（ ）
A．2B．1或3
C．2或4D．2或2
【分析】由题意将原问题转化为空间中球的位置关系进行计算即可．
【解答】解：由题意可知，满足题意时以点A为球心，半径为1的球与以点B为球心，半径为4的球内切，
则球心距等于半径之差，即：，
解得：m＝1或m＝3，
故选：B．
【点评】本题主要考查球与球的位置关系，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）甲，乙两名运动员进行射击比赛．已知甲中靶的概率是0.7，乙中靶的概率是0.8，且甲，乙射击互不影响，若甲，乙两人各射击一次，则两人都脱靶的概率是 0.06 ．
【分析】求得甲、乙两人脱靶的概率，根据独立事件的乘法公式即可求得答案．
【解答】解：由题意可知甲脱靶的概率是1﹣0.7＝0.3，
乙脱靶的概率是1﹣0.8＝0.2，
故甲、乙两人各射击一次，
则两人都脱靶的概率是0.3×0.2＝0.06．
故答案为：0.06．
【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12．（5分）某公司有职工160人，其中业务人员104人，管理人员32人，内勤人员24人．若按岗位进行分层，采用分层随机抽样的方法从全体职工中抽取20人进行健康测试，则应抽取管理人员的人数为 4 ．
【分析】求出抽取比例，由此即可求解．
【解答】解：由已知可得抽取比例为，
则管理人员应该抽取32×＝4人，
故答案为：4．
【点评】本题考查了分层抽样的应用，属于基础题．
13．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若AB＝AD＝1，AA1＝2，则直线AB1与BC1所成角的余弦值为 ．
【分析】由AD1∥BC1，得直线AB1与BC1所成角，即AB1与AD1所成角，在△AB1D1中，用余弦定理解三角形，能求出直线AB1与BC1所成角的余弦值．
【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
∵AD1∥BC1，∴直线AB1与BC1所成角，即AB1与AD1所成角，
∵AB＝AD＝1，AA1＝2，∴AB1＝AD1＝，B1D1＝，
在△AB1D1中，由余弦定理得cs∠B1AD1＝＝，
∴直线AB1与BC1所成角的余弦值为．
故答案为：．
【点评】本题考查长方体的结构特征、余弦定理、异面直线所成角及其余弦值求法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（5分）已知空间向量＝（1，2，﹣3），＝（0，3，4），则向量在向量上的投影向量的模是 ．
【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
【解答】解：∵＝（1，2，﹣3），＝（0，3，4），
∴，，
∴向量在向量上的投影向量为＝，
∴向量在向量上的投影向量的模是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查向量的投影公式，属于基础题．
15．（5分）如图，正方体的棱长为1，点M是线段DD1的中点，点N是线段A1M上的动点，下列结论中正确的序号是 ①③ ．
①存在点N，使AN∥平面C1BD；
②存在点N，使DN⊥平面C1BD；
③存在点N，使点N到平面C1BD的距离等于1．
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量考查所给的说法是否正确即可．
【解答】解：如图所示，以D为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系D﹣xyz，
由题意可知A（1，0，0），B（1，1，0），D（0，0，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1），，
直线A1M的方向向量，
设，
则，即，
，，
设平面C1BD的一个法向量为，则，
据此可得，
，，解得，
∴当时，，由AN⊄平面C1BD，∴AN∥平面C1BD，说法①正确．
，若存在点N，使DN⊥平面C1BD，
则，即，此时μ无解，说法②错误．
，
由点面距离公式可得点N到平面C1BD的距离为，
当d＝1时，解得，由于0≤λ≤1，
则当时，点N到平面C1BD的距离等于1，说法③正确．
故答案为：①③．
【点评】本题主要考查空间向量及其应用，线面平行的判定，线面垂直的判定，线面距离的计算，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（15分）某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布的直方图如图．
（Ⅰ）求图中的m的值；
（Ⅱ）若得分在80分及以上的学生都有奖品，试估计这次能力测评的获奖率；
（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，根据频率直方图估计此次能力测评全部同学的平均成绩．
【分析】（1）根据频率分布直方图可知各个条形的面积之和为1，即可解出；
（2）计算出80分以上的频率，即为估计能力测试的获奖率；
（3）根据频率分布直方图利用平均数的计算公式，即可解出．
【解答】解：（1）由题意可知，（0.01+0.015+0.015+0.03+m+0.005）×10＝1，
∴m＝0.025；
（2）80分以上的频率为：（0.025+0.005）×10＝0.3，
即能力测评的获奖率为30%；
（3）平均成绩为：（45×0.01+55×0.015+65×0.015+75×0.03+85×0.025+95×0.005）×10＝71．
【点评】本题考查了统计与概率，学生的数学运算能力，属于基础题．
17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD＝DC＝2AD＝2，E，F分别是PD，DC的中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面AEF；
（Ⅱ）求直线PB与平面AEF所成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）证明PC∥EF，原题即得证；
（Ⅱ）如图所示，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求直线PB与平面AEF所成角的正弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）因为DF＝FC，DE＝PE，∴PC＝EF，
又EF⊂平面PEF，PC⊄平面PEF，
所以PC∥平面AEF．
解：（Ⅱ）如图所示，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，
因为P（0，0，2），B（1，2，0），∴．
∵A（1，0，0），E（0，0，1），∴，
∵A（1，0，0），F（0，1，0），∴，
设平面AEF的法向量，直线PB与平面AEF所成角为θ，
所以，∴x＝y＝z，取，
所以直线PB与平面AEF所成角的正弦值sinθ＝，
所以直线PB与平面AEF所成角的正弦值为．
【点评】本题主要考查直线与平面所成得角，属于中档题．
18．（14分）从2名男生（记为A1，A2）和2名女生（记为B1，B2）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每人被选到的可能性相同）．
（Ⅰ）请写出该试验的样本空间Ω；
（Ⅱ）设事件M为“选到1名男生和1名女生”，求事件M发生的概率．
（Ⅲ）若2名男生A1，A2所处年级分别为高一、高二，2名女生B1，B2所处年级分别为高一、高二，设事件N为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”，求事件N发生的概率．
【分析】（Ⅰ）利用列举法即可求解；（Ⅱ）利用古典概型的概率计算公式即可求解；（Ⅲ）：利用古典概型的概率计算公式即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）该实验的样本空间Ω为{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{B1，B2}共6种情况，
（Ⅱ）事件M为“选到1名男生和1名女生”共有4种情况，
则所求事件的概率为；
（Ⅲ）事件N为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”共有3种情况，
故所求事件的概率为．
【点评】本题考查了古典概型的概率计算公式的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
19．（14分）已知空间向量＝（2，﹣2，1），＝（2，﹣1，4），＝（x，5，2）．
（Ⅰ）若，求x；
（Ⅱ）求|3|；
（Ⅲ）若向量与向量，共面，求实数x的值．
【分析】（Ⅰ）由空间向量的数量积运算求解即可；
（Ⅱ）由空间向量的模的运算求解即可；
（Ⅲ）由向量与向量，共面，则，然后结合空间向量的坐标运算求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）已知空间向量＝（2，﹣2，1），＝（2，﹣1，4），＝（x，5，2），
又，
则2x﹣10+2＝0，
即x＝4；
（Ⅱ）由题意可得，
则|3|＝；
（Ⅲ）由向量与向量，共面，
则，
则（x，5，2）＝（2m，﹣2m，m）+（2n，﹣n，4n），
即，
则，
即实数x的值为．
【点评】本题考查了空间向量的坐标运算，重点考查了向量的模的运算，属基础题．
20．（13分）某学校高中三个年级共有400名学生，为调查他们的课后学习时间情况，通过分层随机抽样获得了20名学生某周的课后学习时间，数据如下表（单位：小时）：
（Ⅰ）试估计该校高三年级的学生人数；
（Ⅱ）从高一年级和高二年级样本学生中各随机抽取一人，高一年级抽取的人记为甲，高二年级抽取的人记为乙，求该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率；
（Ⅲ）再从高中三个年级中各随机抽取一名学生，他们该周的课后学习时间分别是8，10，11（单位：小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中的数据平均数记为，试判断与的大小关系．（只需写出结论）
【分析】（Ⅰ）根据分层抽样的原理即可计算出高三年级的人数；
（Ⅱ）按照独立事件先求出甲课后学习时间大于乙的概率，再利用对立事件算出甲课后学习时间不大于乙的概率；
（Ⅲ）按照平均数的算法算出，再计算，再比较两者的大小即可．
【解答】解：（Ⅰ）由表格知：高一是5人，高二是7人，高三是8人，
∴＝40%，
在400名学生中，高三的人数为400×40%＝160（人）．
（Ⅱ）设从高一人数中随机抽取1人为事件Ai，i＝1，2，3，4，5，P（Ai）＝，
从高二人数中随机抽取1人为事件Bj，j＝1，2，3，4，5，6，7，P（Bj）＝，
则Ai与Bj是相互独立的事件，P（AiBj）＝P（Ai）P（Bj）＝，
高一随机抽取的人的课后学习时间大于高二随机抽取的人的课后学习时间为事件M，
则M＝A2B1+A3B1+A4B1+A4B2+A5B3，
P（M）＝P（A2B1）+P（A3B1）+P（A4B1）+P（A4B2）+P（A5B1）+P（A5B2）+P（A5B3）＝＝．
高一随机抽取的人的课后学习时间不大于高二随机抽取的人的课后学习时间为事件，
∴该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率为：
P（）＝1﹣P（M）＝．
（Ⅲ）由表格知原平均时间＝＝9.8，
加入新数据8，10，11后平均时间为：
＝＝≈9.78＜，∴．
【点评】本题考查分层抽样、概率、平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
21．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，AA1＝2，点D为AC的中点．
（Ⅰ）求平面BCC1与平面BC1D夹角的余弦值；
（Ⅱ）点G在线段AB1上，且＝，试判断直线CG与平面BC1D的关系，并说明理由．
【分析】（Ⅰ）直三棱柱再加底面为直角三角形，建立直角坐标系，分别求出平面BCC1和平面BC1D的法向量，就可以求出两个面的余弦值．
（Ⅱ）说明直线CG与平面BC1D的关系，可以通过与平面BC1D的法向量之间的关系得到．
【解答】解：（Ⅰ）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，A⊥BC，
以C为原点建立如图所示空间直角坐标系，
C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），B1（0，1，2），C1（0，0，2），，
所以，，，
由题意x轴⊥平面BCC1，取平面BCC1的一个法向量为，
设平面BC1D的法向量为，
则有，令z＝1，得到x＝4，y＝2，
得到平面BC1D的一个法向量为，所以
cs＜＞＝，
设平面BCC1与平面BC1D夹角为θ，则
csθ＝|cs＜＞|＝．
证明：（Ⅱ），，
由于点G在线段AB1上，且＝，则，，
又平面BC1D的一个法向量为，
，且与不共线，
所以直线CG与平面BC1D相交且不垂直．
【点评】本题主要考查二面角的平面角的余弦值，属于中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/23 9:51:06；用户：菁优校本题库；邮箱：2471@xyh.cm；学号：56380052分组
[50，100）
[100，150）
[150，200）
[200，250）
[250，300）
[250，300]
合计
频率
0.12
0.18
0.30
0.25
0.10
0.05
1
高一年级
6
7.5
8
8.5
10
高二年级
7
8
9
10
11
12
13
高三年级
6
6.5
7
8.5
11
13.5
17
18.5
分组
[50，100）
[100，150）
[150，200）
[200，250）
[250，300）
[250，300]
合计
频率
0.12
0.18
0.30
0.25
0.10
0.05
1
高一年级
6
7.5
8
8.5
10
高二年级
7
8
9
10
11
12
13
高三年级
6
6.5
7
8.5
11
13.5
17
18.5