2021-2022学年北京市大兴区高二（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年北京市大兴区高二（上）期中数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）已知A（1，1），B（2，0），则直线AB的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）点P（﹣1，2）到直线x＝1的距离等于（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．（4分）圆x2+y2﹣2x+4y+3＝0的圆心坐标为（ ）
A．（﹣2，4）B．（2，﹣4）C．（1，﹣2）D．（﹣1，2）
4．（4分）设、、是空间向量，则以下说法中错误的是（ ）
A．、一定共面B．、、一定不共面
C．D．
5．（4分）已知向量，，且∥，则x等于（ ）
A．﹣6B．﹣3C．3D．6
6．（4分）已知圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣8y+7＝0，则圆C1与圆C2的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．内切D．外切
7．（4分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是A1C1与B1D1的交点，若，，，且，则x+y+z等于（ ）
A．1B．C．0D．﹣1
8．（4分）“a＝﹣1”是“直线l1：ax+4y﹣3＝0与直线l2：x+（a﹣3）y+2＝0”平行的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9．（4分）已知半径为2的圆经过点（1，0），其圆心到直线3x﹣4y+12＝0的距离的最小值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
10．（4分）圆x2+y2＝1由于其完美的对称性常被称为“完美曲线”，其实数学中还有许多形状优美的曲线，例如曲线，如图所示．给出下列三个结论：
①曲线Γ所围成的“星形”区域的面积小于2；
②曲线Γ恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
③曲线Γ上任意一点到原点的距离的最小值为．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①B．②C．①②D．①②③
二、填空题。共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）已知，则等于 ．
12．（5分）已知直线2x+y+3＝0的一个方向向量是（1，k），那么k等于 ．
13．（5分）已知空间向量，则在坐标平面Oxy上的投影向量是 （用坐标表示）．
14．（5分）如图，已知网格中每个小正方形的边长都是1，则点C到直线AB的距离为 ．
15．（5分）我们把横、纵坐标均为整数的点叫做“格点”，且把顶点都是格点的凸多边形称做“格点多边形”，已知“格点多边形”的面积公式为（其中m为多边形边上的格点数，n为多边形内部的格点数），则由直线l1：x﹣y+2＝0，l2：x+2y﹣4＝0，l3：2x+y﹣8＝0围成的格点三角形边上的格点数m＝ ，面积S＝ ．
三、解答题。共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（14分）已知A（1，2），B（﹣1，1），过点P（﹣3，﹣1）且与直线AB垂直的直线为l．
（1）求l的方程；
（2）设l与坐标轴的交点分别为M和N，求|MN|．
17．（14分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E为棱DD1的中点，以A为坐标原点建立空间直角坐标系（如图）．
（1）求异面直线AE和B1D1所成角的余弦值；
（2）求平面ABE的法向量，并判断点F（2，4，2）是否在平面ABE内．
18．（14分）已知直线l：x﹣2y+m＝0，以点C（2，1）为圆心的圆C与y轴相切．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线l与圆C交于A，B两点，且，求m的值．
19．（14分）若E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱A1B1的中点．
（1）求证：DB1∥平面AED1；
（2）求证：平面AED1⊥平面ACD1．
20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，E、F分别为CD、PB的中点，AD＝PD＝2，AB＝4．
（1）求点P到平面AEF的距离；
（2）求平面PAD与平面AEF夹角的余弦值．
21．（14分）已知两个定点A（4，0），B（1，0），动点P满足|PA|＝2|PB|，设动点P的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若Q是直线 l：y＝x+4上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM，QN，切点分别为M，N，试探究直线MN是否过定点，若过定点请求出定点坐标，若不过定点请说明理由．
2021-2022学年北京市大兴区高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出题目要求的一项。
1．（4分）已知A（1，1），B（2，0），则直线AB的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先求出直线AB的斜率，然后结合直线的倾斜角与斜率关系即可求解．
【解答】解：由题意可得直线AB的斜率k＝＝﹣1，
设直线AB的倾斜角为α，α∈[0，π），
则tanα＝﹣1，
所以．
故选：C．
【点评】本题主要考查了直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率关系的应用，属于基础题．
2．（4分）点P（﹣1，2）到直线x＝1的距离等于（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】由于直线x＝1平行于y轴，从而可求得结果．
【解答】解：点P（﹣1，2）到直线x＝1的距离等于1﹣（﹣1）＝2．
故选：C．
【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题．
3．（4分）圆x2+y2﹣2x+4y+3＝0的圆心坐标为（ ）
A．（﹣2，4）B．（2，﹣4）C．（1，﹣2）D．（﹣1，2）
【分析】由方程x2+y2﹣2x+4y+3＝0可得（x﹣1）2+（y+2）2＝2，即可得到圆心的坐标．
【解答】解：由方程x2+y2﹣2x+4y+3＝0可得（x﹣1）2+（y+2）2＝2，
∴圆心坐标为（1，﹣2）．
故选：C．
【点评】本题考查了圆的标准方程及其配方法，属于基础题．
4．（4分）设、、是空间向量，则以下说法中错误的是（ ）
A．、一定共面B．、、一定不共面
C．D．
【分析】利用共面向量的定义可判断AB选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断CD选项．
【解答】解：对于A选项，任意两个空间向量都共面，A对；
对于B选项，、、可能共面，也可能不共面，B错；
对于C选项，，C对；
对于D选项，，D对．
故选：B．
【点评】本题主要考查了共面向量的定义，考查了空间向量数量积的运算性质，属于基础题．
5．（4分）已知向量，，且∥，则x等于（ ）
A．﹣6B．﹣3C．3D．6
【分析】由已知直接利用向量共线的坐标运算列式求解x值．
【解答】解：∵，，且∥，
∴，即x＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查向量共线的坐标运算，是基础题．
6．（4分）已知圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣8y+7＝0，则圆C1与圆C2的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．内切D．外切
【分析】根据题意，由圆的方程得到两个圆的圆心和半径，求出圆心距，再判断位置关系．
【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y2＝1，圆心为（0，0），半径r＝1，
圆C2：x2+y2﹣8y+7＝0，即x2+（y﹣4）2＝9，圆心为（0，4），半径R＝3，
圆心距|C1C2|＝4＝R+r，两圆外切，
故选：D．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的一般方程，属于基础题．
7．（4分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是A1C1与B1D1的交点，若，，，且，则x+y+z等于（ ）
A．1B．C．0D．﹣1
【分析】利用空间向量基本定理结合平行六面体的性质用把表示出来，可求出x，y，z，再对三者求和，即可求解．
【解答】解：＝＝＝＝，
∵，
∴，
∴x+y+z＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查空间向量及其线性运算，属于基础题．
8．（4分）“a＝﹣1”是“直线l1：ax+4y﹣3＝0与直线l2：x+（a﹣3）y+2＝0”平行的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】由已知先求出两直线平行时的a，然后检验充分及必要性即可判断．
【解答】解：当直线l1：ax+4y﹣3＝0与直线l2：x+（a﹣3）y+2＝0”平行时，
有a（a﹣3）＝4，
解得a＝4或a＝﹣1，经检验都符合题意，
故“a＝﹣1”是“直线l1：ax+4y﹣3＝0与直线l2：x+（a﹣3）y+2＝0”平行的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查了直线的一般式方程平行条件的应用，属于基础题．
9．（4分）已知半径为2的圆经过点（1，0），其圆心到直线3x﹣4y+12＝0的距离的最小值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】求出（1，0）到直线的距离，结合圆的半径，判断求解即可．
【解答】解：点（1，0）到直线3x﹣4y+12＝0的距离为：＝3，
因为半径为2的圆经过点（1，0），
所以圆心到直线3x﹣4y+12＝0的距离的最小值为：3﹣2＝1．
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离的应用，是基础题．
10．（4分）圆x2+y2＝1由于其完美的对称性常被称为“完美曲线”，其实数学中还有许多形状优美的曲线，例如曲线，如图所示．给出下列三个结论：
①曲线Γ所围成的“星形”区域的面积小于2；
②曲线Γ恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
③曲线Γ上任意一点到原点的距离的最小值为．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①B．②C．①②D．①②③
【分析】根据正方形的面积可判断①的正误，根据曲线与坐标轴的交点可判断②的正误，根据基本不等式可判断③的正误．
【解答】解：如图，
设与坐标轴的交点分别为A，B，C，D，
则A（1，0），B（0，1），C（﹣1，0），D（0，﹣1），
则四边形ABCD为正方形，
其面积为，故曲线Γ所围成的“星形”区域的面积小于2，故①正确；
曲线Γ恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）即为：A（1，0），B（0，1），C（﹣1，0），D（0，﹣1），故②正确．
设曲线上的动点为P（m，n），
则，
故，即，
故，当且仅当时等号成立，
而
＝，故③正确．
故选：D．
【点评】本题考查曲线与方程，需根据曲线方程的形式来研究，与最值有关的问题应利用基本不等式来处理，考查运算求解能力，属于中档题．
二、填空题。共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）已知，则等于 ．
【分析】利用向量的模长公式可求．
【解答】解：，
故．
故答案为：．
【点评】本题考查了空间向量的坐标运算，重点考查了空间向量的模的运算，属基础题．
12．（5分）已知直线2x+y+3＝0的一个方向向量是（1，k），那么k等于 ﹣2 ．
【分析】根据直线的斜率可求得k的值．
【解答】解：由题意可知，直线2x+y+3＝0的斜率为．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查直线的方向向量、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
13．（5分）已知空间向量，则在坐标平面Oxy上的投影向量是 （1，2，0） （用坐标表示）．
【分析】根据投影向量的定义可得结果．
【解答】解：因为空间向量，
则在坐标平面Oxy上的投影向量是（1，2，0）．
故答案为：（1，2，0）．
【点评】本题考查空间向量的投影向量，属基础题．
14．（5分）如图，已知网格中每个小正方形的边长都是1，则点C到直线AB的距离为 ．
【分析】建立平面直角坐标系，表示出A，B，C三点坐标，求出直线AB的方程，再利用点到直线的距离公式可求得答案．
【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，则A（0，1），B（4，0），C（2，3），
所以直线AB的方程为，即x+4y﹣4＝0，
所以点C到直线AB的距离为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线的方程，属于中档题．
15．（5分）我们把横、纵坐标均为整数的点叫做“格点”，且把顶点都是格点的凸多边形称做“格点多边形”，已知“格点多边形”的面积公式为（其中m为多边形边上的格点数，n为多边形内部的格点数），则由直线l1：x﹣y+2＝0，l2：x+2y﹣4＝0，l3：2x+y﹣8＝0围成的格点三角形边上的格点数m＝ 6 ，面积S＝ 6 ．
【分析】根据题意画出图形，由图形可求出m，n，从而可求出S．
【解答】解：直线l1：x﹣y+2＝0，l2：x+2y﹣4＝0，l3：2x+y﹣8＝0围成的图形如图所示，
由，解得A（4，0），
由，解得B（2，4），
由，解得C（0，2）．
由图可得还有点（1，3），（2，1），（3，2）在多边形边上，
则格点三角形边上的格点数m＝6，
三角形内部的格点有（1，2），（2，2），（3，1），（2，3），共4个，即n＝4，
∴．
故答案为：6；6．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．
三、解答题。共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（14分）已知A（1，2），B（﹣1，1），过点P（﹣3，﹣1）且与直线AB垂直的直线为l．
（1）求l的方程；
（2）设l与坐标轴的交点分别为M和N，求|MN|．
【分析】（1）先求出直线AB的斜率，然后结合直线垂直条件可求直线l的斜率，进而可求直线l的方程；
（2）由直线l的方程先求出M，N，然后结合两点间距离公式可求．
【解答】解：（1）因为A（1，2），B（﹣1，1），
所以直线AB的斜率为＝，
由题意得直线l的斜率为﹣2，
又直线l经过P（﹣3，﹣1），
故直线l的方程为y+1＝﹣2（x+3），即2x+y+7＝0；
（2）设直线l与x轴的交点M（﹣，0），则N（0，﹣7），
所以|MN|＝＝．
【点评】本题主要考查了直线垂直条件的应用，直线方程的求解，还考查了两点间距离公式的应用，属于基础题．
17．（14分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E为棱DD1的中点，以A为坐标原点建立空间直角坐标系（如图）．
（1）求异面直线AE和B1D1所成角的余弦值；
（2）求平面ABE的法向量，并判断点F（2，4，2）是否在平面ABE内．
【分析】（1）根据题意求出和的坐标，然后利用向量的夹角公式求解即可，
（2）设平面ABE的法向量为，然后由可求出其法向量，再利用与法向量是否垂直来判断点F（2，4，2）是否在平面ABE内．
【解答】解：（1）由题意可得A（0，0，0），E（0，2，1），B1（2，0，2），D1（0，2，2），
所以，，
设异面直线AE和B1D1所成角的大小为θ，
则，
所以异面直线AE和B1D1所成角的余弦值，
（2）设平面ABE的法向量为，
因为，，
所以，令y＝1，则，
所以平面ABE的一个法向量为，
因为，，
所以，
所以，
因为点A在平面ABE内，
所以点F（2，4，2）在平面ABE内．
【点评】本题考查异面直线所成角的定义及其余弦值的求法、平面的法向量等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
18．（14分）已知直线l：x﹣2y+m＝0，以点C（2，1）为圆心的圆C与y轴相切．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线l与圆C交于A，B两点，且，求m的值．
【分析】（1）根据题意可知圆的半径为2，圆心C（2，1），从而可求出圆C的标准方程；
（2）先求出圆心到直线l的距离，再由弦心距，弦长和半径的关系结合勾股定理列方程可求出m的值．
【解答】解：（1）因为点C（2，1）为圆心的圆C与y轴相切，所以圆的半径为2，
所以圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4．
（2）圆心C（2，1）到直线l：x﹣2y+m＝0的距离为，
因为直线l与圆C交于A，B两点，且，
所以，即m2＝10，得．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程，考查运算求解能力，属于基础题．
19．（14分）若E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱A1B1的中点．
（1）求证：DB1∥平面AED1；
（2）求证：平面AED1⊥平面ACD1．
【分析】（1）以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DB1∥平面AED1；
（2）求出平面AED1的法向量和平面ACD1的法向量，利用向量法能证明平面AED1⊥平面ACD1．
【解答】证明：（1）E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱A1B1的中点，
以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，
则D（0，0，0），B1（2，2，2），A（2，0，0），E（2，1，2），D1（0，0，2），
＝（2，2，2），＝（0，1，2），＝（﹣2，0，2），
设平面AED1的法向量为＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，﹣2，1），
∵＝2﹣4+2＝0，DB1⊄平面AED1，
∴DB1∥平面AED1；
（2）C（0，2，0），＝（﹣2，2，0），
设平面ACD1的法向量为＝（a，b，c），
则，取a＝1，得＝（1，1，1），
∵＝1﹣2+1＝0，
∴平面AED1⊥平面ACD1．
【点评】本题考查线面垂直、面面垂直的判定与性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，E、F分别为CD、PB的中点，AD＝PD＝2，AB＝4．
（1）求点P到平面AEF的距离；
（2）求平面PAD与平面AEF夹角的余弦值．
【分析】（1）以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点P到平面AEF的距离．
（2）利用空间向量法可求得平面PAD与平面AEF夹角的余弦值．
【解答】解：（1）因为PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，
以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系：
则A（2，0，0）、E（0，2，0）、F（1，2，1）、P（0，0，2），
设平面AEF的法向量为，，，
则，
取x＝1，则y＝1，z＝﹣1，
所以，，
所以点P到平面AEF的距离为．
（2）由题意可知，平面PAD的一个法向量为，
cs＜，＞＝＝＝＝，
所以平面PAD与平面AEF夹角的余弦值为．
【点评】本题考点到平面的距离，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题．
21．（14分）已知两个定点A（4，0），B（1，0），动点P满足|PA|＝2|PB|，设动点P的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若Q是直线 l：y＝x+4上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM，QN，切点分别为M，N，试探究直线MN是否过定点，若过定点请求出定点坐标，若不过定点请说明理由．
【分析】（1）由|PA|＝2|PB|，列方程化简即可得到曲线E的方程；
（2）先求出圆F的方程，再和曲线E的方程联立可得直线MN的方程，从而可得定点坐标．
【解答】解：（1）设点P坐标为（x，y），
由|PA|＝2|PB|，得：＝2，
平方可得x2+y2﹣8x+16＝4（x2+y2﹣2x+1），
整理得：曲线E的轨迹方程为x2+y2＝4；
（2）由题意得：ON⊥QN，OM⊥QM，所以M，N在以OQ为直径的圆F上，
设Q（t，t+4），
则圆F的圆心F的坐标为（，），
且圆F经过原点，即圆F的方程为：x2+y2﹣tx﹣（t+4）y＝0，
联立，得tx+（t+4）y﹣4＝0，
因为M，N是曲线E和圆F的交点，
所以直线MN的方程为：tx+（t+4）y﹣4＝0，
即（x+y）t+4y﹣4＝0，
令x+y＝0，4y﹣4＝0，得x＝1，y＝1，
所以直线MN恒过定点（﹣1，1）．
【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，注意运用两点的距离公式；考查直线恒过定点的求法，注意运用两圆公共弦所在的直线方程，考查化简整理的运算能力，属中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/23 9:52:09；用户：菁优校本题库；邮箱：2471@xyh.cm；学号：56380052