还剩59页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
浙教版七年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练第2章有理数的运算全章复习与测试(原卷版+解析)
展开
这是一份浙教版七年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练第2章有理数的运算全章复习与测试(原卷版+解析)，共62页。
第2章 有理数的运算全章复习与测试【知识梳理】一．有理数的加法（1）有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．③一个数同0相加，仍得这个数．（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）（2）相关运算律交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．二．有理数的减法（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b） （2）方法指引：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．三．有理数的加减混合运算（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引：①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．四．有理数的乘法（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．（4）方法指引：①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．五．倒数（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引：①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．【规律方法】求相反数、倒数的方法 注意：0没有倒数．六．有理数的除法（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0）（2）方法指引：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．七．有理数的乘方（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．（3）方法指引：①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．八．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．九．有理数的混合运算（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．十．科学记数法—表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 【考点剖析】一．有理数的加法（共6小题）1．（2022秋•兰溪市期末）比﹣2大1的数（ ）A．﹣3 B．﹣1 C． D．22．（2022秋•汉阳区校级期末）若x的相反数是2，|y|＝5，则x+y的值为（ ）A．﹣7 B．7或3 C．7或﹣3 D．3或﹣73．（2023•秀洲区校级二模）计算：（﹣2）+3的结果是（ ）A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．54．（2022秋•长兴县月考）若两个有理数A、B满足A+B＝8，则称A、B互为“吉祥数”．如5和3就是一对“吉祥数”．回答下列问题：（1）求﹣5的“吉祥数”；（2）若3x的“吉祥数”是﹣4，求x的值；（3）x和9能否互为“吉祥数”？若能，请求出；若不能，请说明理由．5．（2022秋•新昌县期中）设计一个可用加法计算的实际问题，要求用一个正数和一个负数的加法来解决，写出算式并说明结果的实际意义．6．（2021秋•越城区期中）王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记作+1，向下一楼记作﹣1，王先生从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下（单位：层）：+6，﹣3，+10，﹣8，+12，﹣7，﹣10．（1）请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼．（2）该中心大楼每层高3m，电梯每向上或下1m需要耗电0.2度，根据王先生现在所处位置，请你算算，他办事时电梯需要耗电多少度？二．有理数的减法（共2小题）7．（2022秋•鹿城区期中）计算1﹣3的结果是（ ）A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣28．（2021秋•吴兴区期中）阅读理解：数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如图，线段AB＝1＝0﹣（﹣1）；线段BC＝2＝2﹣0；线段AC＝3＝2﹣（﹣1）问题（1）数轴上点M、N代表的数分别为﹣9和1，则线段MN＝ ；（2）数轴上点E、F代表的数分别为﹣6和﹣3，则线段EF＝ ；（3）数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为2，则另一个点表示的数为m，求m．三．有理数的加减混合运算（共5小题）9．（2020秋•吴兴区校级期中）下列各式可以写成a﹣b+c的是（ ）A．a﹣（+b）﹣（+c） B．a﹣（+b）﹣（﹣c） C．a+（﹣b）+（﹣c） D．a+（﹣b）﹣（+c）10．（2022秋•衢江区校级月考）下列各式中与2﹣3+4相等的是（ ）A．2﹣（+3）﹣（+4） B．2﹣（+3）﹣（﹣4） C．2+（﹣3）+（﹣4） D．2+（﹣3）﹣（+4）11．（2022秋•衢江区校级月考）设[a]表示取a的整数部分，例如：．（1）求的值；（2）令{a}＝a﹣[a]，求．12．（2022秋•椒江区校级月考）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7．（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式；①|7﹣21|＝ ；②||＝ ；（2）用合理的方法计算：||+||﹣|﹣|；（3）用简单的方法计算：|﹣1|+|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+||．13．（2022秋•南湖区校级月考）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的表示为距离AB＝|a﹣b|，利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示2和﹣1的两点之间的距离为 ．（2）数轴上表示x和﹣1两点之间的距离为 ．若x表示一个有理数，且﹣4＜x＜2，则|x﹣2|+|x+4|＝ ．（3）数轴上从左到右的三个点A，B，C所对应的数分别为a，b，c．其中AB＝2020，BC＝1000，如图2所示．①若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算a+b+c的值．②若O是原点，且OB＝18，求a+b﹣c的值．四．有理数的乘法（共4小题）14．（2020秋•温州月考）计算8×（﹣）的结果是（ ）A．16 B．﹣16 C．﹣4 D．415．（2022秋•温州期末）计算：﹣＝ ．16．（2022秋•西湖区校级期中）已知：|a|＝2，|b|＝5，若|a﹣b|＝a﹣b，则ab＝ 17．（2022秋•湖北期末）如果4个不等的偶数m，n，p，q满足（3﹣m）（3﹣n）（3﹣p）（3﹣q）＝9，那么m+n+p+q等于 ．五．有理数的除法（共4小题）18．（2012秋•台州期中）计算：的结果是（ ）A．﹣8 B．8 C．2 D．﹣219．（2022秋•余杭区校级月考）（1）÷（﹣）÷（﹣0.25）；（2）﹣99×34．20．（2022秋•杭州月考）（1）； （2）﹣99×34．21．（2022秋•越城区期中）阅读下题解答：计算：．分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．解：×（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19．所以原式＝﹣．根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：．六．有理数的乘方（共3小题）22．（2022秋•永康市期中）﹣32的值等于（ ）A．﹣9 B．9 C．6 D．﹣623．（2019秋•萧山区期中）计算：23＝ ．24．（2022秋•宁波期中）已知|a|＝7，b2＝4，c3＝﹣8，（1）若a＜b，求a+b的值；（2）若abc＞0，求a﹣3b﹣2c的值．七．非负数的性质：偶次方（共2小题）25．（2020秋•金东区校级月考）若|a+2|+（b﹣4）2＝0，则ab＝ ．26．（2022秋•兰溪市期中）已知（a﹣2）2与|b+1|互为相反数，求（a﹣b）a+b的值．八．有理数的混合运算（共21小题）27．（2022秋•杭州期末）计算：（1）15+（﹣13）+18； （2）﹣10.25×（﹣4）；（3）﹣12÷4×3； （4）﹣23×3+2×（﹣3）2．28．（2022秋•南湖区校级月考）简便计算：（1）（﹣）+（﹣3.75）+（+3）+（﹣）． （2）（﹣+）×（﹣30）．29．（2022秋•青田县期中）小明有五张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题．（1）从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字乘积最大，最大值是 ．（2）从中抽出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，（例如﹣3×（﹣5﹣3+0）＝24与（﹣5﹣3+0）×（﹣3）＝24视为同一种方法），请你再写出两种不同的运算式子．30．（2022秋•青田县期中）规定一种新的运算：a★b＝a×b﹣a﹣b+1，例如3★（﹣4）＝3×（﹣4）﹣3﹣（﹣4）+1．请计算下列各式的值：（1）2★5；（2）（﹣2）★（﹣5）．31．（2022秋•鹿城区期中）小明在计算“+﹣”给出了以下解答：解：记S＝+﹣．因为20S＝20（+﹣）＝20×+20×﹣20×＝10+12﹣25＝﹣3．所以S＝﹣，即+﹣＝﹣．请你模仿小明的计算方法计算：﹣+．32．（2022秋•杭州期中）出租车司机小张某天上午某个时段的营运全是在东西走向的文一路上进行．如果规定向东为正，向西为负，他这天上午行车里程（单位：km）如下：+5，﹣3，+6，﹣7，+6，−2，﹣5，+4，+6，﹣8（1）将第几名乘客送到目的地时，小张刚好回到上午出发点？（2）将最后一名乘客送到目的地时，小张距上午出发点多远？在出发点的东面还是西面？（3）若出租车的收费标准为：起步价11元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元．则小张在这天上午这个时段一共收入多少元？33．（2022秋•仙居县期末）计算：（1）﹣2+3﹣5； （2）（﹣1）2×5﹣（﹣2）3÷4．34．（2021秋•金华期末）计算：（1）﹣8+4÷（﹣2）； （2）﹣2÷[（﹣2）﹣（﹣4）]．35．（2022秋•浦江县月考）概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．初步探究（1）直接写出计算结果：2③＝ ，（﹣）⑤＝ ；深入思考我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（2）试一试：仿照如图的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣3）④＝ ；5⑥＝ ；（﹣）⑩＝ ．（3）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ；（4）算一算：24÷23+（﹣16）×2④．36．（2022秋•浦江县月考）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，求2x2+的值．37．（2022秋•东阳市期中）计算：．38．（2022秋•鄞州区期中）已知a、b互为相反数（a，b不为0），c、d互为倒数，|m|＝2，且m＞0，求2a+2b+﹣（cd）2022﹣3m的值．39．（2022秋•宁海县校级期中）（1）若用A、B、C分别表示有理数a，b，c，O为原点，如图所示：化简：|c+a|﹣|a+b|﹣|c﹣b|；（2）有理数a、b、m、n、x满足下列条件：a与b互为倒数，m与n互为相反数，x的绝对值为最小的正整数，求2022（m+n）+2021x3﹣2020ab的值．40．（2022秋•余姚市月考）对有理数a，b，定义运算a∀b＝，请计算（﹣2）∀[（﹣1）∀3]的值．41．（2022秋•浦江县月考）计算：（1）﹣11﹣（﹣8）+（﹣13）+12； （2）；（3）； （4）；（5）．42．（2021秋•武义县期末）（1）下面计算对吗？若不对，哪一步开始错，请说明理由，并改正．74﹣22÷70＝74﹣4÷70……． ①＝70÷70……． ②＝1…． ③（2）用简便方法计算，在括号内填乘法运算律．＝（ ）＝ （乘法结合律）＝ ＝ ．43．（2022秋•青田县期中）计算下列各题：（1）（﹣8）﹣（﹣5）+（﹣9）； （2）﹣32﹣50÷（﹣5）2﹣1．44．（2022秋•镇海区校级期中）对于一个数x，我们用（x]表示小于x的最大整数，例如：（2.6]＝2，（﹣3]＝﹣4．（1）填空：（0]＝ ；（2022]＝ ；（﹣]＝ ；（2）若a，b都是整数，且（a﹣1]和（b+2]互为相反数，求代数式（a+b]2的值．45．（2022秋•桐乡市期中）下面是亮亮同学计算一道题的过程：15÷5×（﹣3）﹣6×（）＝15÷（﹣15）﹣6×+6×……①＝﹣1﹣9+4……②＝﹣6……③（1）亮亮计算过程从第 步出现错误的；（填序号）（2）请你写出正确的计算过程．46．（2022秋•鹿城区期中）有6筐卷心菜，每筐以20千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图：回答下列问题；（1）与基准质量比较，6框卷心菜的总计超过或不足多少千克？（2）若卷心菜每千克售价5.8元，则出售这6筐卷心菜可卖多少元？47．（2021秋•瑞安市期中）王红有5张写着以下数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列各题：（1）从中抽取2张卡片，使这两张卡片上的数字乘积最大，乘积的最大值为 ．（2）从中抽取除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除等混合运算，使其结果等于24，每个数字只能用一次，请写出两种不同的符合要求的运算式子．九．近似数和有效数字（共3小题）48．（2022秋•东阳市期中）由四舍五入法得到的近似数1.20万，对其描述正确的是（ ）A．1.20万精确到十分位 B．1.20万精确到百分位 C．1.20万精确到万位 D．1.20万精确到百位49．（2021秋•临海市月考）对于近似数3.07万，下列说法正确的是（ ）A．精确到0.01 B．精确到百分之一 C．精确到万位 D．精确到百位50．（2022秋•鹿城区校级期中）近似数5.20精确到 位．一十．科学记数法—表示较大的数（共2小题）51．（2022秋•南浔区期末）12月4日晚上，神舟14号飞船即将从空间站返回东风着陆场．中国的空间站离地球的距离约320000米．320000用科学记数法表示为（ ）A．32×104 B．0.32×106 C．3.2×105 D．32×10552．（2022秋•临海市期末）我国倡议的“一带一路”惠及约为4400000000人，用科学记数法表示该数为 ． 【过关检测】一、单选题1．下列运算结果为 1 的是（ ）A．|-3|-|+4| B．|(-3)-(-4)| C．|-3|-|-4| D．|+3|-|-4|2．下列计算中正确的是（ ）A． B．C． D．3．下列计算结果为负数的是（ ）A． B． C． D．4．小红的妈妈买了4筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重后的记录分别为+0.25，﹣1，+0.5，﹣0.75，小红快速准确地算出了4筐白菜的总质量为（ ）A．﹣1千克 B．1千克 C．99千克 D．101千克5．已知两个有理数a，b，如果ab＜0且a+b＞0，那么（ ）A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＞0C．a、b同号D．a、b异号，且正数的绝对值较大6．如果|a+2|+(b－1)2=0，那么(a+b)2019的值等于( )．A．－1 B．－2019 C．1 D．20197．在数5，－2，7，－6中，任意三个不同的数相加，其中最小的和是( )A．10 B．6 C．－3 D．－18．若，则的值是 A． B．48 C．0 D．无法确定9．如果ab≠0，那么的值不可能是（ ）A．0 B．1 C．2 D．-210．为求1＋2＋22＋23＋…＋22008的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22008，则2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22009，因此2S－S＝22009－1，所以1＋2＋22＋23＋…＋22008＝22009－1．仿照以上推理计算出1＋3＋32＋33＋…＋32018的值是 ( )A．32019－1 B．32018－1 C． D．二、填空题11．我市某日的气温是﹣4℃～5℃，则该日的温差是________℃．12．定义一种新运算：a⊗b＝b2－ab， 如：1⊗2＝22－1×2＝2，则(－1⊗2)⊗3＝________.13．已知四个数：-2，-3，4，-1，任取其中两个数相乘，所得的积的最小值是_______．14．某种零件，标明要求是mm（表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是mm，该零件______（填“合格”或“不合格”）．15．3184900精确到十万位的近似值是______________．16．若a,b是整数，且ab＝12，|a|＜|b|，则a+b=________ .17．计算1+4+9+16+25+…的前29项的和是______．18．如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2018次输出的结果为_____．三、解答题19．计算下列各题：（1）﹣27+（﹣32）+（﹣8）+27； （2）（+4.3）﹣（﹣4）+（﹣2.3）﹣（+4）；（3）﹣4﹣2×32+（﹣2×32）；（4）（﹣48）÷（﹣2）3﹣（﹣25）×（﹣4）+（﹣2）2．20．已知a的相反数是2，b的绝对值是3，c的倒数是﹣1．（1）写出a，b，c的值；（2）求代数式3a（b+c）﹣b（3a﹣2b）的值．21．已知一台计算机的运算速度为次/转．（1）求这台计算机秒运算了多少次？（2）若该计算机完成一道证明题需要进行次运算，求完成这道证明题需要多少分钟？22．如图，小明有4张写着不同数的卡片，请你按照题目要求抽出卡片，完成下列问题．（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？23．小刚在课外书中看到这样一道有理数的混合运算题：计算：她发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，他顺利地解答了这道题．（1）前后两部分之间存在着什么关系？（2）先计算哪步分比较简便？并请计算比较简便的那部分．（3）利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果．（4）根据以上分析，求出原式的结果．24．阅读下列各式：（a•b）2=a2b2，（a•b）3=a3b3，（a•b）4=a4b4…回答下列三个问题：（1）验证：（2×）100= ，2100×（）100= ；（2）通过上述验证，归纳得出：（a•b）n= ； （abc）n= ．（3）请应用上述性质计算：（﹣0.125）2017×22016×42015． 第2章 有理数的运算全章复习与测试【知识梳理】一．有理数的加法（1）有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．③一个数同0相加，仍得这个数．（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）（2）相关运算律交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．二．有理数的减法（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b） （2）方法指引：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．三．有理数的加减混合运算（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引：①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．四．有理数的乘法（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．（4）方法指引：①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．五．倒数（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引：①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．【规律方法】求相反数、倒数的方法 注意：0没有倒数．六．有理数的除法（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0）（2）方法指引：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．七．有理数的乘方（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．（3）方法指引：①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．八．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．九．有理数的混合运算（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．十．科学记数法—表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 【考点剖析】一．有理数的加法（共6小题）1．（2022秋•兰溪市期末）比﹣2大1的数（ ）A．﹣3 B．﹣1 C． D．2【分析】利用题意列出算式解答即可．【解答】解：﹣2+1＝﹣1，∴比﹣2大1的数是﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查了有理数的加法，利用题意列出算式是解题的关键．2．（2022秋•汉阳区校级期末）若x的相反数是2，|y|＝5，则x+y的值为（ ）A．﹣7 B．7或3 C．7或﹣3 D．3或﹣7【分析】x的相反数是2，|y|＝5得出对应的x，y的值．【解答】解：∵x的相反数是2，∴x＝﹣2．∵|y|＝5，∴y＝±5．∴x+y＝﹣7或3．故选：D．【点评】本题考查相反数，绝对值的知识点，掌握相反数，绝对值定义在实际问题中的应用，有理数的加减运算是解题关键．3．（2023•秀洲区校级二模）计算：（﹣2）+3的结果是（ ）A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5【分析】根据有理数的加法法则：绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．【解答】解：（﹣2）+3＝3﹣2＝1故选：C．【点评】此题主要考查了有理数的加法，关键是掌握异号两数相加的计算法则，注意结果符号的判断．4．（2022秋•长兴县月考）若两个有理数A、B满足A+B＝8，则称A、B互为“吉祥数”．如5和3就是一对“吉祥数”．回答下列问题：（1）求﹣5的“吉祥数”；（2）若3x的“吉祥数”是﹣4，求x的值；（3）x和9能否互为“吉祥数”？若能，请求出；若不能，请说明理由．【分析】（1）根据“吉祥数”的定义即可得到答案；（2）根据“吉祥数”的定义列出方程即可解决问题；（3）根据“吉祥数”的定义，计算x的值判断即可．【解答】解：（1）根据“吉祥数”的定义可得，﹣5的吉祥数为8﹣（﹣5）＝13，∴﹣5的吉祥数为13；（2）由题意得，3x﹣4＝8，解得x＝4，答：x的值是4；（3）能，由题意得，x+9＝8，则x＝﹣1，∴x和9可以互为“吉祥数”．【点评】本题考查了有理数的加法运算、“吉祥数”的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．5．（2022秋•新昌县期中）设计一个可用加法计算的实际问题，要求用一个正数和一个负数的加法来解决，写出算式并说明结果的实际意义．【分析】毕业的学生用负数表示，招收的新生用正数表示，根据有理数的加法的意义列出算式﹣347+289，再根据有理数的加法的计算法则计算即可求解．【解答】解：实际问题：某校上半年毕业学生347人．下半年招收新生289人，用有理数加法计算该校这一年学生的增减情况．﹣347+289＝﹣58（人）．说明该校这一年学生减少了58人．【点评】考查了有理数的加法，关键是根据题意正确列出算式进行计算．6．（2021秋•越城区期中）王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记作+1，向下一楼记作﹣1，王先生从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下（单位：层）：+6，﹣3，+10，﹣8，+12，﹣7，﹣10．（1）请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼．（2）该中心大楼每层高3m，电梯每向上或下1m需要耗电0.2度，根据王先生现在所处位置，请你算算，他办事时电梯需要耗电多少度？【分析】（1）把上下楼层的记录相加，根据有理数的加法运算法则进行计算，如果等于0则能回到1楼，否则不能；（2）求出上下楼层所走过的总路程，然后乘以0.2即可得解．【解答】解：（1）（+6）+（﹣3）+（+10）+（﹣8）+（+12）+（﹣7）+（﹣10），＝6﹣3+10﹣8+12﹣7﹣10，＝28﹣28，＝0，∴王先生最后能回到出发点1楼；（2）王先生走过的路程是3×（|+6|+|﹣3|+|+10|+|﹣8|+|+12|+|﹣7|+|﹣10|），＝3×（6+3+10+8+12+7+10），＝3×56，＝168（m），∴他办事时电梯需要耗电168×0.2＝33.6（度）．【点评】本题主要考查了有理数的加法运算，（2）中注意要求出上下楼层的绝对值，而不是利用（1）中的结论求解，这是本题容易出错的地方．二．有理数的减法（共2小题）7．（2022秋•鹿城区期中）计算1﹣3的结果是（ ）A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣2【分析】原式利用减法法则计算即可求出值．【解答】解：原式＝1+（﹣3）＝﹣2．故选：D．【点评】此题考查了有理数的减法，熟练掌握减法法则是解本题的关键．8．（2021秋•吴兴区期中）阅读理解：数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如图，线段AB＝1＝0﹣（﹣1）；线段BC＝2＝2﹣0；线段AC＝3＝2﹣（﹣1）问题（1）数轴上点M、N代表的数分别为﹣9和1，则线段MN＝ 10 ；（2）数轴上点E、F代表的数分别为﹣6和﹣3，则线段EF＝ 3 ；（3）数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为2，则另一个点表示的数为m，求m．【分析】（1）根据点M、N代表的数分别为﹣9和1，可得线段MN＝1﹣（﹣9）；（2）根据点E、F代表的数分别为﹣6和﹣3，可得线段EF＝﹣3﹣（﹣6）；（3）根据一个点表示的数为2，另一个点表示的数为m，即可得到|m﹣2|＝5．【解答】解：（1）∵点M、N代表的数分别为﹣9和1，∴线段MN＝1﹣（﹣9）＝10；故答案为：10；（2）∵点E、F代表的数分别为﹣6和﹣3，∴线段EF＝﹣3﹣（﹣6）＝3；故答案为：3；（3）由题可得，|m﹣2|＝5，解得m＝﹣3或7，∴m值为﹣3或7．【点评】此题考查了有理数的减法，数轴以及两点间的距离，弄清题意是解本题的关键．三．有理数的加减混合运算（共5小题）9．（2020秋•吴兴区校级期中）下列各式可以写成a﹣b+c的是（ ）A．a﹣（+b）﹣（+c） B．a﹣（+b）﹣（﹣c） C．a+（﹣b）+（﹣c） D．a+（﹣b）﹣（+c）【分析】根据有理数的加减混合运算的符号省略法则化简，即可求得结果．【解答】解：根据有理数的加减混合运算的符号省略法则化简，得，A的结果为a﹣b﹣c，B的结果为a﹣b+c，C的结果为a﹣b﹣c，D的结果为a﹣b﹣c，故选：B．【点评】本题主要考查有理数的加减混合运算，化简即可．去括号法则为+（+）＝+，+（﹣）＝﹣，﹣（+）＝﹣，﹣（﹣）＝+．10．（2022秋•衢江区校级月考）下列各式中与2﹣3+4相等的是（ ）A．2﹣（+3）﹣（+4） B．2﹣（+3）﹣（﹣4） C．2+（﹣3）+（﹣4） D．2+（﹣3）﹣（+4）【分析】根据有理数加减法则进行计算，再根据有理数大小比较法则进行判断．【解答】解：2﹣3+4＝﹣1+4＝3，A．原式＝﹣1﹣4＝﹣5≠3，选项不符合题意；B．原式＝﹣1+4＝3，选项符合题意；C．原式＝﹣1﹣4＝﹣5≠3，选项不符合题意；D．原式＝﹣1﹣4＝﹣5≠3，选项不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了有理数加减法则，有理数大小比较法则，熟记这两个法则是解题的关键．11．（2022秋•衢江区校级月考）设[a]表示取a的整数部分，例如：．（1）求的值；（2）令{a}＝a﹣[a]，求．【分析】（1）根据题意[a]表示取a的整数部分即可求解；（2）先根据{a}＝a﹣[a]，将化成2﹣2﹣[﹣2.4]+（﹣6）﹣（﹣7），再根据[a]表示取a的整数部分即可求解．【解答】解：（1）＝2+（﹣4）﹣（﹣7）＝2+（﹣4）+7＝5；（2）＝2﹣2﹣（﹣3）+（﹣6）﹣（﹣7）＝2﹣2+3+（﹣6）+7＝4．【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，理解题意掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键．12．（2022秋•椒江区校级月考）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7．（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式；①|7﹣21|＝ 21﹣7 ；②||＝ ﹣ ；（2）用合理的方法计算：||+||﹣|﹣|；（3）用简单的方法计算：|﹣1|+|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+||．【分析】（1）根据去绝对值法则去掉绝对值即可；（2）先去绝对值，再计算；（3）先去掉绝对值，再把相加得0的先相加即可．【解答】解：（1）①|7﹣21|＝21﹣7；②||＝﹣，故答案为：①21﹣7，②﹣；（2）原式＝﹣+﹣﹣＝﹣；（3）原式＝1﹣+﹣+﹣+﹣+......+﹣＝1﹣＝．【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握去绝对值的方法．13．（2022秋•南湖区校级月考）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的表示为距离AB＝|a﹣b|，利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示2和﹣1的两点之间的距离为 3 ．（2）数轴上表示x和﹣1两点之间的距离为 |x+1| ．若x表示一个有理数，且﹣4＜x＜2，则|x﹣2|+|x+4|＝ 6 ．（3）数轴上从左到右的三个点A，B，C所对应的数分别为a，b，c．其中AB＝2020，BC＝1000，如图2所示．①若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算a+b+c的值．②若O是原点，且OB＝18，求a+b﹣c的值．【分析】（1）根据数轴上两点间的距离直接求解即可；（2）根据数轴上两点间的距离，可得x和﹣1两点之间的距离为|x﹣（﹣1）|；再根据绝对值的性质计算即可；（3）①根据题意分别求出a、b、c的值，再代入计算即可；②根据题意分别求出a、b、c的值，再代入计算即可．【解答】解：（1）数轴上表示2和﹣1的两点之间的距离为：2﹣（﹣1）＝3，故答案为：3；（2）数轴上表示x和﹣1两点之间的距离为|x﹣（﹣1）|＝|x+1|；∵﹣4＜x＜2，∴|x﹣2|+|x+4|＝﹣（x﹣2）+（x+4）＝﹣x+2+x+4＝6．故答案为：|x+1|；6；（3）①若以B为原点，则a＝﹣2020，b＝0，c＝1000，∴a+b+c＝﹣2020+0+1000＝﹣1020；②若O是原点，且OB＝18，当O在点B的左侧时，a＝﹣2020+18＝﹣2002，b＝18，c＝1000+18＝1018，此时a+b﹣c＝﹣2002+18﹣1018＝﹣3002；当O在点B的右侧时，a＝﹣2020﹣18＝﹣2038，b＝﹣18，c＝1000﹣18＝982，此时a+b﹣c＝﹣2038﹣18﹣982＝﹣3038．综上所述，a+b﹣c的值为﹣3002或﹣3038．【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键．四．有理数的乘法（共4小题）14．（2020秋•温州月考）计算8×（﹣）的结果是（ ）A．16 B．﹣16 C．﹣4 D．4【分析】两数相乘，异号得负，并把绝对值相乘．【解答】解：8×（﹣）＝﹣（8×）＝﹣4．故选：C．【点评】本题主要考查的是有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键．15．（2022秋•温州期末）计算：﹣＝ ﹣2 ．【分析】先确定符号，再约分．【解答】解：﹣×4＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键．16．（2022秋•西湖区校级期中）已知：|a|＝2，|b|＝5，若|a﹣b|＝a﹣b，则ab＝ ±10 【分析】根据绝对值的意义先确定a、b的值，再计算a与b的积．【解答】解：∵|a|＝2，|b|＝5，∴a＝±2，b＝±5．∵|a﹣b|≥0，∴a﹣b≥0，∴a＝±2，b＝﹣5．∴ab＝±2×（﹣5）＝±10．故答案为：±10．【点评】本题主要考查了绝对值的意义，理解绝对值的意义是解决本题的关键．17．（2022秋•湖北期末）如果4个不等的偶数m，n，p，q满足（3﹣m）（3﹣n）（3﹣p）（3﹣q）＝9，那么m+n+p+q等于 12 ．【分析】根据题意可知（3﹣m）、（3﹣n）、（3﹣p）、（3﹣q）均为整数，然后将9分解因数即可求得答案．【解答】解：∵m，n，p，q是4个不等的偶数，∴（3﹣m）、（3﹣n）、（3﹣p）、（3﹣q）均为整数．∵9＝3×1×（﹣1）×（﹣3），∴可令3﹣m＝3，3﹣n＝1，3﹣p＝﹣1，3﹣q＝﹣3．解得：m＝0，n＝2，p＝4，q＝6．∴m+n+p+q＝0+2+4+6＝12．故答案为：12．【点评】本题主要考查的是有理数的乘法，判断出（3﹣m）、（3﹣n）、（3﹣p）、（3﹣q）均为整数是解题的关键．五．有理数的除法（共4小题）18．（2012秋•台州期中）计算：的结果是（ ）A．﹣8 B．8 C．2 D．﹣2【分析】根据除以一个数等于乘以这个数的倒数进行计算即可求解．【解答】解：（﹣4）÷（﹣）＝4×2＝8．故选：B．【点评】本题主要考查了有理数的除法运算，是基础题，有理数的运算要注意运算符号的处理，这也是七年级同学最容易出错的地方．19．（2022秋•余杭区校级月考）（1）÷（﹣）÷（﹣0.25）；（2）﹣99×34．【分析】（1）先确定最后结果的符号，并变除法运算为乘法进行求解；（2）先确定结果的符号，再运用乘法分配律进行计算．【解答】解：（1）÷（﹣）÷（﹣0.25）＝×4＝；（2）﹣99×34＝﹣（100﹣）×34＝﹣（100×34﹣×34）＝﹣（3400﹣4）＝﹣3396．【点评】此题考查了有理数的混合运算能力，关键是能准确确定正确的运算顺序和方法．20．（2022秋•杭州月考）（1）；（2）﹣99×34．【分析】（1）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果；（2）原式变形后，利用乘法分配律计算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝××4＝；（2）原式＝（﹣100+）×34＝﹣100×34+×34＝﹣3400+4＝﹣3396．【点评】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（2022秋•越城区期中）阅读下题解答：计算：．分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．解：×（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19．所以原式＝﹣．根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：．【分析】原式根据阅读材料中的计算方法变形，计算即可即可得到结果．【解答】解：根据题意得：[﹣++（﹣）2×（﹣6）]÷（﹣）＝[﹣++×（﹣6）]×（﹣42）＝﹣21+14﹣30+112＝75，则原式＝．【点评】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．六．有理数的乘方（共3小题）22．（2022秋•永康市期中）﹣32的值等于（ ）A．﹣9 B．9 C．6 D．﹣6【分析】利用有理数的乘方判断．【解答】解：﹣32＝﹣9，故选：A．【点评】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数的乘方．23．（2019秋•萧山区期中）计算：23＝ 8 ．【分析】根据有理数的乘方计算即可【解答】解：23＝8．故答案为：8．【点评】本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数的乘方的定义．24．（2022秋•宁波期中）已知|a|＝7，b2＝4，c3＝﹣8，（1）若a＜b，求a+b的值；（2）若abc＞0，求a﹣3b﹣2c的值．【分析】（1）根据绝对值以及平方根的定义，求得a与b，进而解决此题．（2）根据绝对值、平方根、立方根的定义解决此题．【解答】解；（1）∵|a|＝7，b2＝4，∴a＝±7，b＝±2．∵a＜b，∴当a＝7，此时b不存在；当a＝﹣7，此时b＝2或﹣2．∴a+b＝﹣5或﹣9．（2）∵|a|＝7，b2＝4，c3＝﹣8，∴a＝±7，b＝±2，c＝﹣2．∵abc＞0，∴ab＜0．∴a与b异号．∴当a＝7，b＝﹣2，此时a﹣3b﹣2c＝7﹣（﹣6）﹣（﹣4）＝17；当a＝﹣7，b＝2，此时a﹣3b﹣2c＝﹣7﹣6﹣（﹣4）＝﹣9．综上：a﹣3b﹣2c＝17或﹣9．【点评】本题主要考查绝对值、平方根、立方根，熟练掌握绝对值、平方根、立方根的定义是解决本题的关键．七．非负数的性质：偶次方（共2小题）25．（2020秋•金东区校级月考）若|a+2|+（b﹣4）2＝0，则ab＝ 16 ．【分析】根据绝对值和偶次方的非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：∵a、b满足|a+2|+（b﹣4）2＝0，而|a+2|≥0，（b﹣4）2≥0，∴a+2＝0，b﹣4＝0，解得a＝﹣2，b＝4，∴ab＝（﹣2）4＝16．故答案为：16．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．26．（2022秋•兰溪市期中）已知（a﹣2）2与|b+1|互为相反数，求（a﹣b）a+b的值．【分析】根据偶次方的非负性、绝对值的非负性、有理数的乘方解决此题．【解答】解：由题意得：（a﹣2）2+|b+1|＝0．∵（a﹣2）2≥0，|b+1|≥0，∴a﹣2＝0，b+1＝0．∴a＝2，b＝﹣1．∴（a﹣b）a+b＝[2﹣（﹣1）]2+（﹣1）＝31＝3．【点评】本题主要考查偶次方的非负性、绝对值的非负性、有理数的乘方，熟练掌握偶次方的非负性、绝对值的非负性、有理数的乘方是解决本题的关键．八．有理数的混合运算（共21小题）27．（2022秋•杭州期末）计算：（1）15+（﹣13）+18；（2）﹣10.25×（﹣4）；（3）﹣12÷4×3；（4）﹣23×3+2×（﹣3）2．【分析】（1）根据有理数的加减法则进行计算即可；（2）先根据负负得正消除负号，再将10.25改写为（10+0.25），再根据乘法分配律进行计算即可；（3）根据有理数的乘除法则计算即可；（4）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可．【解答】解（1）原式＝2+18＝20；（2）原式＝10.25×4＝（10+0.25）×4＝10×4+0.25×4＝41；（3）原式＝﹣3×3＝﹣9；（4）原式＝﹣8×3+2×9＝﹣24+18＝﹣6．【点评】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则是解题关键．28．（2022秋•南湖区校级月考）简便计算：（1）（﹣）+（﹣3.75）+（+3）+（﹣）．（2）（﹣+）×（﹣30）．【分析】（1）把同分母的和互为相反数的先相加；（2）用乘法分配律计算．【解答】解：（1）原式＝（﹣﹣）+（﹣3.75+3.75）＝﹣1+0＝﹣1；（2）原式＝×（﹣30）﹣×（﹣30）+×（﹣30）＝﹣15+10﹣6＝﹣11．【点评】本题考查有理数混合运算，解题的关键是掌握有理数运算律和相关运算的法则．29．（2022秋•青田县期中）小明有五张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题．（1）从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字乘积最大，最大值是 20 ．（2）从中抽出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，（例如﹣3×（﹣5﹣3+0）＝24与（﹣5﹣3+0）×（﹣3）＝24视为同一种方法），请你再写出两种不同的运算式子．【分析】（1）根据题意可以找到四张卡片中乘积最大的两张；（2）根据题意可以得到用运算符号连接结果为24的四张卡片，本题得以解决．【解答】解：（1）由题意可得，从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字乘积最大，最大值是：（﹣5）×（﹣4）＝20，故答案为：20；（2）[0﹣（﹣3﹣5）]×3＝24，[﹣5+（﹣3）÷3]×（﹣4）＝24（答案不唯一）．【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数相关运算的法则．30．（2022秋•青田县期中）规定一种新的运算：a★b＝a×b﹣a﹣b+1，例如3★（﹣4）＝3×（﹣4）﹣3﹣（﹣4）+1．请计算下列各式的值：（1）2★5；（2）（﹣2）★（﹣5）．【分析】正确理解新的运算法则，套用公式直接解答．【解答】解：（1）2★5＝2×5﹣2﹣5+1＝10﹣7+1＝4；（2）（﹣2）★（﹣5）＝（﹣2）×（﹣5）﹣（﹣2）﹣（﹣5）+1＝10+2+5+1＝18．【点评】此题考查有理数的混合运算，解题关键是严格按照题中给出的运算关系进行计算．31．（2022秋•鹿城区期中）小明在计算“+﹣”给出了以下解答：解：记S＝+﹣．因为20S＝20（+﹣）＝20×+20×﹣20×＝10+12﹣25＝﹣3．所以S＝﹣，即+﹣＝﹣．请你模仿小明的计算方法计算：﹣+．【分析】理解题意，根据有理数的混合运算即可解答．【解答】解：记S＝，∵24S＝24×＝＝8﹣9+20＝19，∴S＝，即．【点评】本题考查了有理数的混合运算，理清题意和掌握有理数混合运算法则是解答本题关键．32．（2022秋•杭州期中）出租车司机小张某天上午某个时段的营运全是在东西走向的文一路上进行．如果规定向东为正，向西为负，他这天上午行车里程（单位：km）如下：+5，﹣3，+6，﹣7，+6，−2，﹣5，+4，+6，﹣8（1）将第几名乘客送到目的地时，小张刚好回到上午出发点？（2）将最后一名乘客送到目的地时，小张距上午出发点多远？在出发点的东面还是西面？（3）若出租车的收费标准为：起步价11元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元．则小张在这天上午这个时段一共收入多少元？【分析】（ 1 ）根据正、负数的意义，求出前7个数的值为0即可得出结果；（ 2 ）把行车里程相加，然后根据正数和负数的意义解答；（ 3）先求出这天的行车里程，再用行车里程乘每千米的耗油量，即可解答．【解答】解：（1）（+5）+（﹣3）+（+6）+（﹣7）+（+6）+（﹣2）+（﹣5）＝0，答：将第7名乘客送到目的地时，小张刚好回到上午出发点．（2）（+5）+（﹣3）+（+6）+（﹣7）+（+6）+（﹣2）+（﹣5）+（+4）+（+6）+（﹣8）＝5﹣3+6﹣7+6﹣2﹣5+4+6﹣8＝2，答：将最后一名乘客送到目的地时，小张距上午出发点2千米，在出发点的东面．（3）8+2×2+8+8+2×3+8+2×4+8+2×3+8+8+2×2+8+2+8+2×3+8+2×5＝126（元），答：小张在这天上午这个时段一共收入126元．【点评】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键．33．（2022秋•仙居县期末）计算：（1）﹣2+3﹣5；（2）（﹣1）2×5﹣（﹣2）3÷4．【分析】（1）再按照从左到右的顺序，进行计算即可解答；（2）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答．【解答】解：（1）﹣2+3﹣5＝1﹣5＝﹣4；（2）（﹣1）2×5﹣（﹣2）3÷4＝1×5﹣（﹣8）÷4＝5﹣（﹣2）＝5+2＝7．【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．34．（2021秋•金华期末）计算：（1）﹣8+4÷（﹣2）；（2）﹣2÷[（﹣2）﹣（﹣4）]．【分析】（1）先算除法，再算加减即可；（2）先算括号内的减法，再算除法即可．【解答】解：（1）﹣8+4÷（﹣2）＝﹣8﹣2＝﹣10；（2）﹣2÷[（﹣2）﹣（﹣4）]＝﹣2÷2＝﹣1．【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．35．（2022秋•浦江县月考）概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．初步探究（1）直接写出计算结果：2③＝ ，（﹣）⑤＝ ﹣8 ；深入思考我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（2）试一试：仿照如图的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣3）④＝ ；5⑥＝ ；（﹣）⑩＝ 28 ．（3）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ；（4）算一算：24÷23+（﹣16）×2④．【分析】根据新定义内容列出算式，然后将除法转化为乘法，再根据乘法和乘方的运算法则进行化简计算．【解答】解：（1）2③＝2÷2÷2＝，（﹣）⑤＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝﹣8，故答案为：，﹣8；（2）（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝，5⑥＝5÷5÷5÷5÷5÷5＝，（﹣）⑩＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣））÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝28；故答案为：，，28；（3）aⓝ＝a÷a÷a……÷a＝，故答案为：；（4）24÷23+（﹣16）×2④＝24÷8+（﹣16）×＝3+（﹣16）×＝3﹣4＝﹣1．【点评】本题属于新定义题型，考查有理数乘除运算法则及对有理数乘方运算的理解，理解新定义内容，掌握有理数乘除法和有理数乘方的运算法则是解题关键．36．（2022秋•浦江县月考）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，求2x2+的值．【分析】根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，可以得到a+b＝0，cd＝1，x＝±2，然后代入所求式子计算即可．【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，∴a+b＝0，cd＝1，x＝±2，当x＝2时，2x2+＝2×22+﹣＝2×4+2﹣＝8+2﹣0＝10；当x＝﹣2时，2x2+＝2×（﹣2）2+﹣＝2×4﹣2﹣＝8﹣2﹣0＝6；由上可得，2x2+的值为10或6．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，求出a+b＝0，cd＝1，x＝±2，利用分类讨论的方法解答．37．（2022秋•东阳市期中）计算：．【分析】先算乘方，括号里的运算，除法转为乘法，再算乘法，最后算加减即可．【解答】解：＝＝﹣4×2+36×（﹣）﹣9×（﹣）＝﹣8﹣6+6＝﹣8．【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．38．（2022秋•鄞州区期中）已知a、b互为相反数（a，b不为0），c、d互为倒数，|m|＝2，且m＞0，求2a+2b+﹣（cd）2022﹣3m的值．【分析】由题意可得a+b＝0，cd＝1，m＝2，再把相应的值代入进行运算即可．【解答】解：∵a、b互为相反数（a，b不为0），c、d互为倒数，|m|＝2，且m＞0，∴a+b＝0，cd＝1，m＝2，，∴2a+2b+﹣（cd）2022﹣3m＝2（a+b）+﹣（cd）2022﹣3m＝2×0+（﹣1）﹣12022﹣3×2＝0﹣1﹣1﹣6＝﹣8．【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．39．（2022秋•宁海县校级期中）（1）若用A、B、C分别表示有理数a，b，c，O为原点，如图所示：化简：|c+a|﹣|a+b|﹣|c﹣b|；（2）有理数a、b、m、n、x满足下列条件：a与b互为倒数，m与n互为相反数，x的绝对值为最小的正整数，求2022（m+n）+2021x3﹣2020ab的值．【分析】（1）由数轴可得a＜c＜0＜b，|a|＞|b|，则有c+a＜0，a+b＜0，c﹣b＜0，再进行化简即可；（2）由题意可得ab＝1，m+n＝0，x＝±1，再代入式子进行运算即可．【解答】解：（1）由数轴得：a＜c＜0＜b，|a|＞|b|，∴c+a＜0，a+b＜0，c﹣b＜0，∴|c+a|﹣|a+b|﹣|c﹣b|＝﹣（c+a）﹣[﹣（a+b）]﹣[﹣（c﹣b）]＝﹣c﹣a+a+b+c﹣b＝0；（2）∵a与b互为倒数，m与n互为相反数，x的绝对值为最小的正整数，∴ab＝1，m+n＝0，x＝±1，∴当x＝1时，2022（m+n）+2021x3﹣2020ab＝2022×0+2021×13﹣2020×1＝0+2021×1﹣2020＝2021﹣2020＝1；当x＝﹣1时，2022（m+n）+2021x3﹣2020ab＝2022×0+2021×（﹣1）3﹣2020×1＝0+2021×（﹣1）﹣2020＝﹣2021﹣2020＝﹣4041．【点评】本题主要考查有理数的混合运算，数轴，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．40．（2022秋•余姚市月考）对有理数a，b，定义运算a∀b＝，请计算（﹣2）∀[（﹣1）∀3]的值．【分析】按照定义的新运算，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：（﹣2）∀[（﹣1）∀3]＝（﹣2）∀＝（﹣2）∀＝（﹣2）∀（﹣4）＝＝＝＝﹣6，∴（﹣2）∀[（﹣1）∀3]的值为﹣6．【点评】本题考查了有理数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．41．（2022秋•浦江县月考）计算：（1）﹣11﹣（﹣8）+（﹣13）+12；（2）；（3）；（4）；（5）．【分析】（1）先把减法转化为加法，然后根据加法法则计算即可；（2）先算乘方，再算乘除法，最后算加减法即可；（3）先把减法转化为加法，然后根据加法法则计算即可；（4）根据乘法分配律计算即可；（5）先算乘除法，再算加减法即可．【解答】解：（1）﹣11﹣（﹣8）+（﹣13）+12＝﹣11+8+（﹣13）+12＝﹣4；（2）＝﹣4﹣15×+（﹣4）×5＝﹣4﹣10+（﹣20）＝﹣34；（3）＝3+5+（﹣2）+（﹣8）＝﹣2；（4）＝（﹣36）×﹣（﹣36）×+（﹣36）×＝﹣30+16+（﹣33）＝﹣47；（5）＝35+6+×4＝35+6+3＝44．【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意乘法分配律的应用．42．（2021秋•武义县期末）（1）下面计算对吗？若不对，哪一步开始错，请说明理由，并改正．74﹣22÷70＝74﹣4÷70……． ①＝70÷70……． ②＝1…． ③（2）用简便方法计算，在括号内填乘法运算律．＝（ 乘法交换律 ）＝ （﹣41）×[（﹣12）×] （乘法结合律）＝ （﹣41）×（﹣10） ＝ 410 ．【分析】（1）根据题目中的解答过程，可以发现第②步出错了，理由是没有先算除法，而是算的减法，再写出正确的解答过程即可；（2）根据解答过程可知括号内应该填写的是乘法交换律，然后再根据结合律计算即可．【解答】解：（1）第②步出错了，理由是没有先算除法，而是算的减法，改正：74﹣22÷70＝74﹣4÷70＝74﹣＝73；（2）＝（乘法交换律）＝（﹣41）×[（﹣12）×]＝（﹣41）×（﹣10）＝410，故答案为：乘法交换律；（﹣41）×[（﹣12）×]，（﹣41）×（﹣10），410．【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解答本题的关键．43．（2022秋•青田县期中）计算下列各题：（1）（﹣8）﹣（﹣5）+（﹣9）；（2）﹣32﹣50÷（﹣5）2﹣1．【分析】（1）先去括号，再计算加减法；（2）先算乘方，再算除，最后算减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算．【解答】解：（1）（﹣8）﹣（﹣5）+（﹣9）＝﹣8+5﹣9＝﹣12；（2）﹣32﹣50÷（﹣5）2﹣1＝﹣9﹣50÷25﹣1＝﹣9﹣2﹣1＝﹣12．【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．44．（2022秋•镇海区校级期中）对于一个数x，我们用（x]表示小于x的最大整数，例如：（2.6]＝2，（﹣3]＝﹣4．（1）填空：（0]＝ ﹣1 ；（2022]＝ 2021 ；（﹣]＝ ﹣1 ；（2）若a，b都是整数，且（a﹣1]和（b+2]互为相反数，求代数式（a+b]2的值．【分析】（1）根据（x]的定义直接作答即可；（2）根据题干信息得到a+b的值，然后代入原式求值．【解答】解：（1）比0小的最大整数为﹣1，比2022小的最大整数为2021，比﹣小的最大整数为﹣1；故答案为：﹣1；2021；﹣1；（2）∵a，b都是整数，且（a﹣1]和（b+2]互为相反数，∴a﹣1﹣1+b+2﹣1＝0，∴a+b＝1，∴（a+b]2＝02＝0．【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数的大小比较以及相反数，能够正确理解（x]的定义是解题的关键．45．（2022秋•桐乡市期中）下面是亮亮同学计算一道题的过程：15÷5×（﹣3）﹣6×（）＝15÷（﹣15）﹣6×+6×……①＝﹣1﹣9+4……②＝﹣6……③（1）亮亮计算过程从第 ① 步出现错误的；（填序号）（2）请你写出正确的计算过程．【分析】（1）根据题目中的解答过程，可以发现最先错在哪一步以及错误的原因；（2）先算乘除，后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算；注意乘法分配律的运用，写出正确的解答过程即可．【解答】解：（1）亮亮计算过程从第①步出现错误的；（填序号）故答案为：①；（2）15÷5×（﹣3）﹣6×（）＝3×（﹣3）﹣6×﹣6×＝﹣9﹣9+4＝﹣14．【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．46．（2022秋•鹿城区期中）有6筐卷心菜，每筐以20千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图：回答下列问题；（1）与基准质量比较，6框卷心菜的总计超过或不足多少千克？（2）若卷心菜每千克售价5.8元，则出售这6筐卷心菜可卖多少元？【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案；（2）根据单价乘以数量等于总价格，可得答案．【解答】解：﹣2+2﹣3.5﹣0.5+3+4＝3（千克），答：与基准质量比较，6框卷心菜的总计超过3千克；（2）5.8×（6×20+3）＝5.8×123＝713.4（元），答：出售这6筐卷心菜可卖713.4元．【点评】本题考查正数和负数以及有理数的混合运算，解题的关键是明确正数和负数在题目中表示的含义．47．（2021秋•瑞安市期中）王红有5张写着以下数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列各题：（1）从中抽取2张卡片，使这两张卡片上的数字乘积最大，乘积的最大值为 40 ．（2）从中抽取除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除等混合运算，使其结果等于24，每个数字只能用一次，请写出两种不同的符合要求的运算式子．【分析】（1）根据题意和给出的五张卡片，由有理数乘法的计算法则列出算式可以解答本题；（2）根据题意可以写出相应的算式，本题答案不唯一．【解答】解：（1）由题意可得，从中抽取2张卡片，使这两张卡片上的数字乘积最大，乘积的最大值是40，运算式是：4×10．故答案为：40；（2）由题意可得：3×（10﹣6+4）＝3×8＝24，4﹣10×（﹣6+4）＝4﹣10×（﹣2）＝4+20＝24（答案不唯一）．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．九．近似数和有效数字（共3小题）48．（2022秋•东阳市期中）由四舍五入法得到的近似数1.20万，对其描述正确的是（ ）A．1.20万精确到十分位 B．1.20万精确到百分位 C．1.20万精确到万位 D．1.20万精确到百位【分析】根据近似数的精确度进行判断．【解答】解：近似数1.20万精确到0.01万位，即近似数1.20万精确到百位．故选：D．【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”是近似数的精确度的常用的表示形式．49．（2021秋•临海市月考）对于近似数3.07万，下列说法正确的是（ ）A．精确到0.01 B．精确到百分之一 C．精确到万位 D．精确到百位【分析】根据近似数的精确度进行判断．【解答】解：近似数3.07万精确度到百位．故选：D．【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式．50．（2022秋•鹿城区校级期中）近似数5.20精确到 百分 位．【分析】根据近似数的精确度求解．【解答】解：近似数5.20精确到百分位．故答案为：百分．【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式．一十．科学记数法—表示较大的数（共2小题）51．（2022秋•南浔区期末）12月4日晚上，神舟14号飞船即将从空间站返回东风着陆场．中国的空间站离地球的距离约320000米．320000用科学记数法表示为（ ）A．32×104 B．0.32×106 C．3.2×105 D．32×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：320000＝3.2×105．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．52．（2022秋•临海市期末）我国倡议的“一带一路”惠及约为4400000000人，用科学记数法表示该数为 4.4×109 ．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【解答】解：4400000000＝4.4×109，故答案为：4.4×109．【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定a和n的值． 【过关检测】一、单选题1．下列运算结果为 1 的是（ ）A．|-3|-|+4| B．|(-3)-(-4)| C．|-3|-|-4| D．|+3|-|-4|【答案】B【分析】根据绝对值的意义以及有理数加减法法则逐项进行计算得出正确选项．【详解】A. |-3|-|+4|=3-4=-1，故不符合题意；B. |(-3)-(-4)|=|-3+4|=1，故符合题意；C. |-3|-|-4|=3-4=-1，故不符合题意；D. |+3|-|-4|=3-4=-1，故不符合题意，故选B.【点睛】本题考查了绝对值、有理数的加减法，熟练掌握绝对值的性质以及有理数加减法法则是解题的关键.2．下列计算中正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据有理数的乘方、有理数的乘法、有理数的除法法则逐项进行计算即可得.【详解】A. =1×（-1）=-1，错误；B. =27，故B选项错误；C. ，故C选项正确；D. ，故D选项错误，故选C.【点睛】本题考查了有理数的混合运算，涉及了有理数的乘法、除法以及乘方运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.3．下列计算结果为负数的是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据有理数的运算法则即求解．【详解】A、-（-2） 3=-（-8）=8，结果为正数，A不符合题意；B、-24=-16，结果为负数，B符合题意；C、（-1）×（-3）5=243，结果为正数，C不符合题意；D、23×（-2）6=8×64=512，结果为正数，D不符合题意；故答案为：B．【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其运算法则．4．小红的妈妈买了4筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重后的记录分别为+0.25，﹣1，+0.5，﹣0.75，小红快速准确地算出了4筐白菜的总质量为（ ）A．﹣1千克 B．1千克 C．99千克 D．101千克【答案】C【分析】根据题意列出算式解答即可．【详解】解：4筐白菜的总质量为25×4+（0.25﹣1+0.5﹣0.75）＝99千克，故选C．【点睛】本题考查了正数和负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定具有相反意义的．5．已知两个有理数a，b，如果ab＜0且a+b＞0，那么（ ）A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＞0C．a、b同号D．a、b异号，且正数的绝对值较大【答案】D【分析】先由有理数的乘法法则，判断出a，b异号，再用有理数加法法则即可得出结论．【详解】∵ab＜0，∴a，b异号，∵a+b＞0，∴正数的绝对值较大，故选：D．【点睛】本题考查了有理数的乘法、加法，熟练掌握和灵活应用有理数的加法法则和乘法法则是解题的关键．6．如果|a+2|+(b－1)2=0，那么(a+b)2019的值等于( )．A．－1 B．－2019 C．1 D．2019【答案】A【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案．【详解】∵|a+2|+（b-1）2=0，∴a+2=0，b-1=0，∴a=-2，b=1，∴（a+b）2019=（-2+1）2019=-1．故选A．【点睛】本题考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题的关键．7．在数5，－2，7，－6中，任意三个不同的数相加，其中最小的和是( )A．10 B．6 C．－3 D．－1【答案】C【分析】根据最小的三个数相加，可得和最小．【详解】由题意，得−2，5，−6是三个最小的数，−2＋（−6）＋5＝−3，故选C．【点睛】本题考查了有理数的加法，利用了有理数的加法运算，先确定三个最小的数，再求和．8．若，则的值是 A． B．48 C．0 D．无法确定【答案】B【分析】根据绝对值的性质以及非负数性质可得a+1=0、b-2=0、c+3=0，求得a、b、c的值后代入进行计算即可得答案.【详解】∵|a+1|+|b-2|+|c+3|=0，|a+1|≥0，|b-2|≥0，|c+3|≥0，∴a+1=0、b-2=0、c+3=0，∴a=-1，b=2，c=-3，∴(a-1)(b+2)(c-3)= (-1-1)×(2+2)×(-3-3)=48，故选B.【点睛】本题考查了非负数的性质以及有理数的运算，熟知几个非负数的和为0，那么每个非负数都为0是解题的关键.9．如果ab≠0，那么的值不可能是（ ）A．0 B．1 C．2 D．-2【答案】B【分析】由ab≠0，得出a，b都不为0，分a与b同为正数、a与b同为负数、a与b一正一负，在这三种情况下，分别计算的值．【详解】解：ab≠0则ab>0 或ab<0，当ab>0时，a与b同为正数，则=2或a与b同为负数，则=-2；当ab<0时，=0．故选B．【点睛】本题考查了绝对值的性质，运用分类讨论思想解决问题，要注意符号．10．为求1＋2＋22＋23＋…＋22008的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22008，则2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22009，因此2S－S＝22009－1，所以1＋2＋22＋23＋…＋22008＝22009－1．仿照以上推理计算出1＋3＋32＋33＋…＋32018的值是 ( )A．32019－1 B．32018－1 C． D．【答案】C【详解】分析：首先设原式为S，然后得出3S的值，利用做差法得出S的值．详解：设，则，因此3S－S=，则S=，∴．故选C．点睛：本题主要考查的就是简便计算的问题，属于中等难度题型．解决这个问题的关键就是要理解题目中所给的运算法则，然后根据同样的方法得出答案．二、填空题11．我市某日的气温是﹣4℃～5℃，则该日的温差是________℃．【答案】9【分析】用最高温度减去最低温度，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．【详解】5﹣（﹣4）=5+4=9（℃）．故答案为9．【点睛】本题考查了有理数减法，是基础题，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．12．定义一种新运算：a⊗b＝b2－ab， 如：1⊗2＝22－1×2＝2，则(－1⊗2)⊗3＝________.【答案】-9【分析】先根据新定义计算出﹣1⊗2=6，然后再根据新定义计算6⊗3即可．【详解】﹣1⊗2=22﹣（﹣1）×2=6，6⊗3=32﹣6×3=﹣9．所以（﹣1⊗2）⊗3=﹣9．故答案为﹣9．【点睛】本题考查了有理数混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．13．已知四个数：-2，-3，4，-1，任取其中两个数相乘，所得的积的最小值是_______．【答案】-12．试题分析：2，﹣3，﹣4，5，这四个数中任取其中两个数相乘，所得积的最小值=﹣3×4=-12．故答案为-12．考点：有理数的乘法．14．某种零件，标明要求是mm（表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是mm，该零件______（填“合格”或“不合格”）．【答案】不合格【分析】根据某种零件，标明要求是mm，先求解零件尺寸的要求范围，再比较即可得到答案.【详解】解： 某种零件，标明要求是mm， 零件的尺寸要求为：大于或等于 小于或等于 mm不在上面范围内，故不合格，故答案为：不合格【点睛】本题考查的是正负数的含义，有理数的加减运算的实际应用，掌握“正负数的实际意义”是解本题的关键.15．3184900精确到十万位的近似值是______________．【答案】【分析】根据科学记数法和近似值的定义进行解答.【详解】【点睛】考点：近似数和有效数字．16．若a,b是整数，且ab＝12，|a|＜|b|，则a+b=________ .【答案】7，8，13【详解】解： 12=1×12=2×6=3×4=（－1）×（－12）=（－2）×（－6）=（－3）×（－4），∵a，b是整数，|a|＜|b|，∴a=1，b=12或a=－1，b=－12或a=2，b=6或a=－2，b=－6或a=3，b=4或a=－3，b=－4，∴a+b=±13或±8或±7．故答案为7，8，13．17．计算1+4+9+16+25+…的前29项的和是______．【答案】8555试题分析：根据每一项分别是 12、22、32、42、52 可找到规律，可知12+22+32+42+52+…+292+…+n2=0×1+1+1×2+2+2×3+3+3×4+4+4×5+5+…（n﹣1）n+n=（1+2+3+4+5+…+n）+[0×1+1×2+2×3+3×4+…+（n﹣1）n]=+{（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）+…+[（n﹣1）•n•（n+1）﹣（n﹣2）•（n﹣1）•n]}= +[（n﹣1）•n•（n+1）]=，∴当n=29时，原式==8555． 故答案为8555．18．如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2018次输出的结果为_____．【答案】1【分析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案．【详解】解：当x=625时，x=125，当x=125时，x=25，当x=25时，x=5，当x=5时，x=1，当x=1时，x+4=5，当x=5时，x=1，当x=1时，x+4=5，当x=5时，x=1，…（2018﹣3）÷2=1007.5，即输出的结果是1，故答案为1【点睛】本题考查了求代数式的值，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．三、解答题19．计算下列各题：（1）﹣27+（﹣32）+（﹣8）+27；（2）（+4.3）﹣（﹣4）+（﹣2.3）﹣（+4）；（3）﹣4﹣2×32+（﹣2×32）；（4）（﹣48）÷（﹣2）3﹣（﹣25）×（﹣4）+（﹣2）2．【答案】（1）-40,（2）2,（3）-132,（4）-90.【分析】（1）从左到右依次计算即可；（2）从左到右依次计算即可；（3）先算括号里面的，再算乘法，最后算加减；（4）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可．【详解】﹣27+（﹣32）+（﹣8）+27=﹣27﹣32﹣8+27=﹣40；（2）（+4.3）﹣（﹣4）+（﹣2.3）﹣（+4）=4.3+4﹣2.3﹣4=2；（3）﹣4﹣2×32+（﹣2×32）=﹣4﹣64﹣64=﹣132；（4）（﹣48）÷（﹣2）3﹣（﹣25）×（﹣4）+（﹣2）2=6﹣100+4=﹣90．【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解答此题的关键．20．已知a的相反数是2，b的绝对值是3，c的倒数是﹣1．（1）写出a，b，c的值；（2）求代数式3a（b+c）﹣b（3a﹣2b）的值．【答案】（1）a=﹣2，b=±3，c=﹣1；（2）24；【分析】（1）根据相反数、绝对值、倒数的定义解答即可；（2）把所给的整式去括号合并同类项化为最简后，再代入求值即可.【详解】（1）∵a的相反数是2，b的绝对值是3，c的倒数是﹣1，∴a=﹣2，b=±3，c=﹣1；（2）3a（b+c）﹣b（3a﹣2b）=3ab+3ac﹣3ab+2b2=3ac+2b2，∵a=﹣2，b=±3，c=﹣1，∴b2=9，∴原式=3×（﹣2）×（﹣1）+2×9=6+18=24．【点睛】本题考查了代数式求值，相反数的定义，绝对值的性质，倒数的定义，是基础题，比较简单，但要注意b的两种情况．21．已知一台计算机的运算速度为次/转．（1）求这台计算机秒运算了多少次？（2）若该计算机完成一道证明题需要进行次运算，求完成这道证明题需要多少分钟？【答案】（1）7.2×1012次；（2）150分钟【分析】（1）直接利用单项式乘法运算法则求出答案；（2）直接利用单项式除法运算法则求出答案．【详解】解：（1）这台计算机6×103秒，则一共计算了：6×103×1.2×109=7.2×1012（次），答：这台计算机6×103秒运算了7.2×1012次；（2）由题意可得：1.08×1013÷（1.2×109）=9×103（秒）=150（分钟），答：完成这道证明题需要150分钟．【点睛】此题主要考查了科学记数法应用以及单项式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．22．如图，小明有4张写着不同数的卡片，请你按照题目要求抽出卡片，完成下列问题．（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？【答案】（1）15；（2）﹣5；【详解】分析：（1）根据两数相乘，同号的正，异号得负，正数大于负数抽取计算即可；（1）根据两数相除，同号的正，异号得负，正数大于负数抽取计算即可；详解：（1）抽﹣3和﹣5，最大值为：﹣3×（﹣5）=15；（2）抽1和﹣5，最小值为：（﹣5）÷1=﹣5；点睛：本题考查了有理数乘法法则和除法法则的计算，熟练掌握有理数乘法法则和除法法则是解答本题的关键.23．小刚在课外书中看到这样一道有理数的混合运算题：计算：她发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，他顺利地解答了这道题．（1）前后两部分之间存在着什么关系？（2）先计算哪步分比较简便？并请计算比较简便的那部分．（3）利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果．（4）根据以上分析，求出原式的结果．【答案】(1)前后两部分互为倒数；(2)先计算后部分比较简单；-3；(3)-；(4)-【分析】(1)根据被除数和除数之间的关系得出互为倒数；(2)根据乘法分配律进行计算得出答案；(3)根据倒数的性质得出答案；(4)根据有理数的加法计算法则得出答案.【详解】(1) 前后两部分互为倒数； (2) 先计算后部分比较简便(3)(4)原式=+（-3）=-324．阅读下列各式：（a•b）2=a2b2，（a•b）3=a3b3，（a•b）4=a4b4…回答下列三个问题：（1）验证：（2×）100= ，2100×（）100= ；（2）通过上述验证，归纳得出：（a•b）n= ； （abc）n= ．（3）请应用上述性质计算：（﹣0.125）2017×22016×42015．【分析】（1）先算括号内的乘法，再算乘方；先乘方，再算乘法；（2）根据有理数乘方的定义求出即可；（3）根据同底数幂的乘法计算，再根据积的乘方计算，即可得出答案．【详解】解：（1）（2×）100=1，2100×（）100=1；（2）（a•b）n=anbn，（abc）n=anbncn，（3）原式=（﹣0.125）2015×22015×42015×[（﹣0.125）×（﹣0.125）×2]=（﹣0.125×2×4）2015×=（﹣1）2015×=﹣1×=﹣．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法和积的乘方，掌握运算法则是解答此题的关键． 求一个数的相反数求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置求一个数的相反数求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置
第2章 有理数的运算全章复习与测试【知识梳理】一．有理数的加法（1）有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．③一个数同0相加，仍得这个数．（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）（2）相关运算律交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．二．有理数的减法（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b） （2）方法指引：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．三．有理数的加减混合运算（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引：①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．四．有理数的乘法（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．（4）方法指引：①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．五．倒数（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引：①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．【规律方法】求相反数、倒数的方法 注意：0没有倒数．六．有理数的除法（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0）（2）方法指引：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．七．有理数的乘方（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．（3）方法指引：①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．八．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．九．有理数的混合运算（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．十．科学记数法—表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 【考点剖析】一．有理数的加法（共6小题）1．（2022秋•兰溪市期末）比﹣2大1的数（ ）A．﹣3 B．﹣1 C． D．22．（2022秋•汉阳区校级期末）若x的相反数是2，|y|＝5，则x+y的值为（ ）A．﹣7 B．7或3 C．7或﹣3 D．3或﹣73．（2023•秀洲区校级二模）计算：（﹣2）+3的结果是（ ）A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．54．（2022秋•长兴县月考）若两个有理数A、B满足A+B＝8，则称A、B互为“吉祥数”．如5和3就是一对“吉祥数”．回答下列问题：（1）求﹣5的“吉祥数”；（2）若3x的“吉祥数”是﹣4，求x的值；（3）x和9能否互为“吉祥数”？若能，请求出；若不能，请说明理由．5．（2022秋•新昌县期中）设计一个可用加法计算的实际问题，要求用一个正数和一个负数的加法来解决，写出算式并说明结果的实际意义．6．（2021秋•越城区期中）王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记作+1，向下一楼记作﹣1，王先生从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下（单位：层）：+6，﹣3，+10，﹣8，+12，﹣7，﹣10．（1）请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼．（2）该中心大楼每层高3m，电梯每向上或下1m需要耗电0.2度，根据王先生现在所处位置，请你算算，他办事时电梯需要耗电多少度？二．有理数的减法（共2小题）7．（2022秋•鹿城区期中）计算1﹣3的结果是（ ）A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣28．（2021秋•吴兴区期中）阅读理解：数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如图，线段AB＝1＝0﹣（﹣1）；线段BC＝2＝2﹣0；线段AC＝3＝2﹣（﹣1）问题（1）数轴上点M、N代表的数分别为﹣9和1，则线段MN＝ ；（2）数轴上点E、F代表的数分别为﹣6和﹣3，则线段EF＝ ；（3）数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为2，则另一个点表示的数为m，求m．三．有理数的加减混合运算（共5小题）9．（2020秋•吴兴区校级期中）下列各式可以写成a﹣b+c的是（ ）A．a﹣（+b）﹣（+c） B．a﹣（+b）﹣（﹣c） C．a+（﹣b）+（﹣c） D．a+（﹣b）﹣（+c）10．（2022秋•衢江区校级月考）下列各式中与2﹣3+4相等的是（ ）A．2﹣（+3）﹣（+4） B．2﹣（+3）﹣（﹣4） C．2+（﹣3）+（﹣4） D．2+（﹣3）﹣（+4）11．（2022秋•衢江区校级月考）设[a]表示取a的整数部分，例如：．（1）求的值；（2）令{a}＝a﹣[a]，求．12．（2022秋•椒江区校级月考）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7．（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式；①|7﹣21|＝ ；②||＝ ；（2）用合理的方法计算：||+||﹣|﹣|；（3）用简单的方法计算：|﹣1|+|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+||．13．（2022秋•南湖区校级月考）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的表示为距离AB＝|a﹣b|，利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示2和﹣1的两点之间的距离为 ．（2）数轴上表示x和﹣1两点之间的距离为 ．若x表示一个有理数，且﹣4＜x＜2，则|x﹣2|+|x+4|＝ ．（3）数轴上从左到右的三个点A，B，C所对应的数分别为a，b，c．其中AB＝2020，BC＝1000，如图2所示．①若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算a+b+c的值．②若O是原点，且OB＝18，求a+b﹣c的值．四．有理数的乘法（共4小题）14．（2020秋•温州月考）计算8×（﹣）的结果是（ ）A．16 B．﹣16 C．﹣4 D．415．（2022秋•温州期末）计算：﹣＝ ．16．（2022秋•西湖区校级期中）已知：|a|＝2，|b|＝5，若|a﹣b|＝a﹣b，则ab＝ 17．（2022秋•湖北期末）如果4个不等的偶数m，n，p，q满足（3﹣m）（3﹣n）（3﹣p）（3﹣q）＝9，那么m+n+p+q等于 ．五．有理数的除法（共4小题）18．（2012秋•台州期中）计算：的结果是（ ）A．﹣8 B．8 C．2 D．﹣219．（2022秋•余杭区校级月考）（1）÷（﹣）÷（﹣0.25）；（2）﹣99×34．20．（2022秋•杭州月考）（1）； （2）﹣99×34．21．（2022秋•越城区期中）阅读下题解答：计算：．分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．解：×（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19．所以原式＝﹣．根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：．六．有理数的乘方（共3小题）22．（2022秋•永康市期中）﹣32的值等于（ ）A．﹣9 B．9 C．6 D．﹣623．（2019秋•萧山区期中）计算：23＝ ．24．（2022秋•宁波期中）已知|a|＝7，b2＝4，c3＝﹣8，（1）若a＜b，求a+b的值；（2）若abc＞0，求a﹣3b﹣2c的值．七．非负数的性质：偶次方（共2小题）25．（2020秋•金东区校级月考）若|a+2|+（b﹣4）2＝0，则ab＝ ．26．（2022秋•兰溪市期中）已知（a﹣2）2与|b+1|互为相反数，求（a﹣b）a+b的值．八．有理数的混合运算（共21小题）27．（2022秋•杭州期末）计算：（1）15+（﹣13）+18； （2）﹣10.25×（﹣4）；（3）﹣12÷4×3； （4）﹣23×3+2×（﹣3）2．28．（2022秋•南湖区校级月考）简便计算：（1）（﹣）+（﹣3.75）+（+3）+（﹣）． （2）（﹣+）×（﹣30）．29．（2022秋•青田县期中）小明有五张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题．（1）从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字乘积最大，最大值是 ．（2）从中抽出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，（例如﹣3×（﹣5﹣3+0）＝24与（﹣5﹣3+0）×（﹣3）＝24视为同一种方法），请你再写出两种不同的运算式子．30．（2022秋•青田县期中）规定一种新的运算：a★b＝a×b﹣a﹣b+1，例如3★（﹣4）＝3×（﹣4）﹣3﹣（﹣4）+1．请计算下列各式的值：（1）2★5；（2）（﹣2）★（﹣5）．31．（2022秋•鹿城区期中）小明在计算“+﹣”给出了以下解答：解：记S＝+﹣．因为20S＝20（+﹣）＝20×+20×﹣20×＝10+12﹣25＝﹣3．所以S＝﹣，即+﹣＝﹣．请你模仿小明的计算方法计算：﹣+．32．（2022秋•杭州期中）出租车司机小张某天上午某个时段的营运全是在东西走向的文一路上进行．如果规定向东为正，向西为负，他这天上午行车里程（单位：km）如下：+5，﹣3，+6，﹣7，+6，−2，﹣5，+4，+6，﹣8（1）将第几名乘客送到目的地时，小张刚好回到上午出发点？（2）将最后一名乘客送到目的地时，小张距上午出发点多远？在出发点的东面还是西面？（3）若出租车的收费标准为：起步价11元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元．则小张在这天上午这个时段一共收入多少元？33．（2022秋•仙居县期末）计算：（1）﹣2+3﹣5； （2）（﹣1）2×5﹣（﹣2）3÷4．34．（2021秋•金华期末）计算：（1）﹣8+4÷（﹣2）； （2）﹣2÷[（﹣2）﹣（﹣4）]．35．（2022秋•浦江县月考）概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．初步探究（1）直接写出计算结果：2③＝ ，（﹣）⑤＝ ；深入思考我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（2）试一试：仿照如图的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣3）④＝ ；5⑥＝ ；（﹣）⑩＝ ．（3）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ；（4）算一算：24÷23+（﹣16）×2④．36．（2022秋•浦江县月考）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，求2x2+的值．37．（2022秋•东阳市期中）计算：．38．（2022秋•鄞州区期中）已知a、b互为相反数（a，b不为0），c、d互为倒数，|m|＝2，且m＞0，求2a+2b+﹣（cd）2022﹣3m的值．39．（2022秋•宁海县校级期中）（1）若用A、B、C分别表示有理数a，b，c，O为原点，如图所示：化简：|c+a|﹣|a+b|﹣|c﹣b|；（2）有理数a、b、m、n、x满足下列条件：a与b互为倒数，m与n互为相反数，x的绝对值为最小的正整数，求2022（m+n）+2021x3﹣2020ab的值．40．（2022秋•余姚市月考）对有理数a，b，定义运算a∀b＝，请计算（﹣2）∀[（﹣1）∀3]的值．41．（2022秋•浦江县月考）计算：（1）﹣11﹣（﹣8）+（﹣13）+12； （2）；（3）； （4）；（5）．42．（2021秋•武义县期末）（1）下面计算对吗？若不对，哪一步开始错，请说明理由，并改正．74﹣22÷70＝74﹣4÷70……． ①＝70÷70……． ②＝1…． ③（2）用简便方法计算，在括号内填乘法运算律．＝（ ）＝ （乘法结合律）＝ ＝ ．43．（2022秋•青田县期中）计算下列各题：（1）（﹣8）﹣（﹣5）+（﹣9）； （2）﹣32﹣50÷（﹣5）2﹣1．44．（2022秋•镇海区校级期中）对于一个数x，我们用（x]表示小于x的最大整数，例如：（2.6]＝2，（﹣3]＝﹣4．（1）填空：（0]＝ ；（2022]＝ ；（﹣]＝ ；（2）若a，b都是整数，且（a﹣1]和（b+2]互为相反数，求代数式（a+b]2的值．45．（2022秋•桐乡市期中）下面是亮亮同学计算一道题的过程：15÷5×（﹣3）﹣6×（）＝15÷（﹣15）﹣6×+6×……①＝﹣1﹣9+4……②＝﹣6……③（1）亮亮计算过程从第 步出现错误的；（填序号）（2）请你写出正确的计算过程．46．（2022秋•鹿城区期中）有6筐卷心菜，每筐以20千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图：回答下列问题；（1）与基准质量比较，6框卷心菜的总计超过或不足多少千克？（2）若卷心菜每千克售价5.8元，则出售这6筐卷心菜可卖多少元？47．（2021秋•瑞安市期中）王红有5张写着以下数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列各题：（1）从中抽取2张卡片，使这两张卡片上的数字乘积最大，乘积的最大值为 ．（2）从中抽取除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除等混合运算，使其结果等于24，每个数字只能用一次，请写出两种不同的符合要求的运算式子．九．近似数和有效数字（共3小题）48．（2022秋•东阳市期中）由四舍五入法得到的近似数1.20万，对其描述正确的是（ ）A．1.20万精确到十分位 B．1.20万精确到百分位 C．1.20万精确到万位 D．1.20万精确到百位49．（2021秋•临海市月考）对于近似数3.07万，下列说法正确的是（ ）A．精确到0.01 B．精确到百分之一 C．精确到万位 D．精确到百位50．（2022秋•鹿城区校级期中）近似数5.20精确到 位．一十．科学记数法—表示较大的数（共2小题）51．（2022秋•南浔区期末）12月4日晚上，神舟14号飞船即将从空间站返回东风着陆场．中国的空间站离地球的距离约320000米．320000用科学记数法表示为（ ）A．32×104 B．0.32×106 C．3.2×105 D．32×10552．（2022秋•临海市期末）我国倡议的“一带一路”惠及约为4400000000人，用科学记数法表示该数为 ． 【过关检测】一、单选题1．下列运算结果为 1 的是（ ）A．|-3|-|+4| B．|(-3)-(-4)| C．|-3|-|-4| D．|+3|-|-4|2．下列计算中正确的是（ ）A． B．C． D．3．下列计算结果为负数的是（ ）A． B． C． D．4．小红的妈妈买了4筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重后的记录分别为+0.25，﹣1，+0.5，﹣0.75，小红快速准确地算出了4筐白菜的总质量为（ ）A．﹣1千克 B．1千克 C．99千克 D．101千克5．已知两个有理数a，b，如果ab＜0且a+b＞0，那么（ ）A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＞0C．a、b同号D．a、b异号，且正数的绝对值较大6．如果|a+2|+(b－1)2=0，那么(a+b)2019的值等于( )．A．－1 B．－2019 C．1 D．20197．在数5，－2，7，－6中，任意三个不同的数相加，其中最小的和是( )A．10 B．6 C．－3 D．－18．若，则的值是 A． B．48 C．0 D．无法确定9．如果ab≠0，那么的值不可能是（ ）A．0 B．1 C．2 D．-210．为求1＋2＋22＋23＋…＋22008的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22008，则2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22009，因此2S－S＝22009－1，所以1＋2＋22＋23＋…＋22008＝22009－1．仿照以上推理计算出1＋3＋32＋33＋…＋32018的值是 ( )A．32019－1 B．32018－1 C． D．二、填空题11．我市某日的气温是﹣4℃～5℃，则该日的温差是________℃．12．定义一种新运算：a⊗b＝b2－ab， 如：1⊗2＝22－1×2＝2，则(－1⊗2)⊗3＝________.13．已知四个数：-2，-3，4，-1，任取其中两个数相乘，所得的积的最小值是_______．14．某种零件，标明要求是mm（表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是mm，该零件______（填“合格”或“不合格”）．15．3184900精确到十万位的近似值是______________．16．若a,b是整数，且ab＝12，|a|＜|b|，则a+b=________ .17．计算1+4+9+16+25+…的前29项的和是______．18．如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2018次输出的结果为_____．三、解答题19．计算下列各题：（1）﹣27+（﹣32）+（﹣8）+27； （2）（+4.3）﹣（﹣4）+（﹣2.3）﹣（+4）；（3）﹣4﹣2×32+（﹣2×32）；（4）（﹣48）÷（﹣2）3﹣（﹣25）×（﹣4）+（﹣2）2．20．已知a的相反数是2，b的绝对值是3，c的倒数是﹣1．（1）写出a，b，c的值；（2）求代数式3a（b+c）﹣b（3a﹣2b）的值．21．已知一台计算机的运算速度为次/转．（1）求这台计算机秒运算了多少次？（2）若该计算机完成一道证明题需要进行次运算，求完成这道证明题需要多少分钟？22．如图，小明有4张写着不同数的卡片，请你按照题目要求抽出卡片，完成下列问题．（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？23．小刚在课外书中看到这样一道有理数的混合运算题：计算：她发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，他顺利地解答了这道题．（1）前后两部分之间存在着什么关系？（2）先计算哪步分比较简便？并请计算比较简便的那部分．（3）利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果．（4）根据以上分析，求出原式的结果．24．阅读下列各式：（a•b）2=a2b2，（a•b）3=a3b3，（a•b）4=a4b4…回答下列三个问题：（1）验证：（2×）100= ，2100×（）100= ；（2）通过上述验证，归纳得出：（a•b）n= ； （abc）n= ．（3）请应用上述性质计算：（﹣0.125）2017×22016×42015． 第2章 有理数的运算全章复习与测试【知识梳理】一．有理数的加法（1）有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．③一个数同0相加，仍得这个数．（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）（2）相关运算律交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．二．有理数的减法（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b） （2）方法指引：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．三．有理数的加减混合运算（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引：①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．四．有理数的乘法（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．（4）方法指引：①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．五．倒数（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引：①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．【规律方法】求相反数、倒数的方法 注意：0没有倒数．六．有理数的除法（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0）（2）方法指引：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．七．有理数的乘方（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．（3）方法指引：①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．八．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．九．有理数的混合运算（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．十．科学记数法—表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 【考点剖析】一．有理数的加法（共6小题）1．（2022秋•兰溪市期末）比﹣2大1的数（ ）A．﹣3 B．﹣1 C． D．2【分析】利用题意列出算式解答即可．【解答】解：﹣2+1＝﹣1，∴比﹣2大1的数是﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查了有理数的加法，利用题意列出算式是解题的关键．2．（2022秋•汉阳区校级期末）若x的相反数是2，|y|＝5，则x+y的值为（ ）A．﹣7 B．7或3 C．7或﹣3 D．3或﹣7【分析】x的相反数是2，|y|＝5得出对应的x，y的值．【解答】解：∵x的相反数是2，∴x＝﹣2．∵|y|＝5，∴y＝±5．∴x+y＝﹣7或3．故选：D．【点评】本题考查相反数，绝对值的知识点，掌握相反数，绝对值定义在实际问题中的应用，有理数的加减运算是解题关键．3．（2023•秀洲区校级二模）计算：（﹣2）+3的结果是（ ）A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5【分析】根据有理数的加法法则：绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．【解答】解：（﹣2）+3＝3﹣2＝1故选：C．【点评】此题主要考查了有理数的加法，关键是掌握异号两数相加的计算法则，注意结果符号的判断．4．（2022秋•长兴县月考）若两个有理数A、B满足A+B＝8，则称A、B互为“吉祥数”．如5和3就是一对“吉祥数”．回答下列问题：（1）求﹣5的“吉祥数”；（2）若3x的“吉祥数”是﹣4，求x的值；（3）x和9能否互为“吉祥数”？若能，请求出；若不能，请说明理由．【分析】（1）根据“吉祥数”的定义即可得到答案；（2）根据“吉祥数”的定义列出方程即可解决问题；（3）根据“吉祥数”的定义，计算x的值判断即可．【解答】解：（1）根据“吉祥数”的定义可得，﹣5的吉祥数为8﹣（﹣5）＝13，∴﹣5的吉祥数为13；（2）由题意得，3x﹣4＝8，解得x＝4，答：x的值是4；（3）能，由题意得，x+9＝8，则x＝﹣1，∴x和9可以互为“吉祥数”．【点评】本题考查了有理数的加法运算、“吉祥数”的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．5．（2022秋•新昌县期中）设计一个可用加法计算的实际问题，要求用一个正数和一个负数的加法来解决，写出算式并说明结果的实际意义．【分析】毕业的学生用负数表示，招收的新生用正数表示，根据有理数的加法的意义列出算式﹣347+289，再根据有理数的加法的计算法则计算即可求解．【解答】解：实际问题：某校上半年毕业学生347人．下半年招收新生289人，用有理数加法计算该校这一年学生的增减情况．﹣347+289＝﹣58（人）．说明该校这一年学生减少了58人．【点评】考查了有理数的加法，关键是根据题意正确列出算式进行计算．6．（2021秋•越城区期中）王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记作+1，向下一楼记作﹣1，王先生从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下（单位：层）：+6，﹣3，+10，﹣8，+12，﹣7，﹣10．（1）请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼．（2）该中心大楼每层高3m，电梯每向上或下1m需要耗电0.2度，根据王先生现在所处位置，请你算算，他办事时电梯需要耗电多少度？【分析】（1）把上下楼层的记录相加，根据有理数的加法运算法则进行计算，如果等于0则能回到1楼，否则不能；（2）求出上下楼层所走过的总路程，然后乘以0.2即可得解．【解答】解：（1）（+6）+（﹣3）+（+10）+（﹣8）+（+12）+（﹣7）+（﹣10），＝6﹣3+10﹣8+12﹣7﹣10，＝28﹣28，＝0，∴王先生最后能回到出发点1楼；（2）王先生走过的路程是3×（|+6|+|﹣3|+|+10|+|﹣8|+|+12|+|﹣7|+|﹣10|），＝3×（6+3+10+8+12+7+10），＝3×56，＝168（m），∴他办事时电梯需要耗电168×0.2＝33.6（度）．【点评】本题主要考查了有理数的加法运算，（2）中注意要求出上下楼层的绝对值，而不是利用（1）中的结论求解，这是本题容易出错的地方．二．有理数的减法（共2小题）7．（2022秋•鹿城区期中）计算1﹣3的结果是（ ）A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣2【分析】原式利用减法法则计算即可求出值．【解答】解：原式＝1+（﹣3）＝﹣2．故选：D．【点评】此题考查了有理数的减法，熟练掌握减法法则是解本题的关键．8．（2021秋•吴兴区期中）阅读理解：数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如图，线段AB＝1＝0﹣（﹣1）；线段BC＝2＝2﹣0；线段AC＝3＝2﹣（﹣1）问题（1）数轴上点M、N代表的数分别为﹣9和1，则线段MN＝ 10 ；（2）数轴上点E、F代表的数分别为﹣6和﹣3，则线段EF＝ 3 ；（3）数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为2，则另一个点表示的数为m，求m．【分析】（1）根据点M、N代表的数分别为﹣9和1，可得线段MN＝1﹣（﹣9）；（2）根据点E、F代表的数分别为﹣6和﹣3，可得线段EF＝﹣3﹣（﹣6）；（3）根据一个点表示的数为2，另一个点表示的数为m，即可得到|m﹣2|＝5．【解答】解：（1）∵点M、N代表的数分别为﹣9和1，∴线段MN＝1﹣（﹣9）＝10；故答案为：10；（2）∵点E、F代表的数分别为﹣6和﹣3，∴线段EF＝﹣3﹣（﹣6）＝3；故答案为：3；（3）由题可得，|m﹣2|＝5，解得m＝﹣3或7，∴m值为﹣3或7．【点评】此题考查了有理数的减法，数轴以及两点间的距离，弄清题意是解本题的关键．三．有理数的加减混合运算（共5小题）9．（2020秋•吴兴区校级期中）下列各式可以写成a﹣b+c的是（ ）A．a﹣（+b）﹣（+c） B．a﹣（+b）﹣（﹣c） C．a+（﹣b）+（﹣c） D．a+（﹣b）﹣（+c）【分析】根据有理数的加减混合运算的符号省略法则化简，即可求得结果．【解答】解：根据有理数的加减混合运算的符号省略法则化简，得，A的结果为a﹣b﹣c，B的结果为a﹣b+c，C的结果为a﹣b﹣c，D的结果为a﹣b﹣c，故选：B．【点评】本题主要考查有理数的加减混合运算，化简即可．去括号法则为+（+）＝+，+（﹣）＝﹣，﹣（+）＝﹣，﹣（﹣）＝+．10．（2022秋•衢江区校级月考）下列各式中与2﹣3+4相等的是（ ）A．2﹣（+3）﹣（+4） B．2﹣（+3）﹣（﹣4） C．2+（﹣3）+（﹣4） D．2+（﹣3）﹣（+4）【分析】根据有理数加减法则进行计算，再根据有理数大小比较法则进行判断．【解答】解：2﹣3+4＝﹣1+4＝3，A．原式＝﹣1﹣4＝﹣5≠3，选项不符合题意；B．原式＝﹣1+4＝3，选项符合题意；C．原式＝﹣1﹣4＝﹣5≠3，选项不符合题意；D．原式＝﹣1﹣4＝﹣5≠3，选项不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了有理数加减法则，有理数大小比较法则，熟记这两个法则是解题的关键．11．（2022秋•衢江区校级月考）设[a]表示取a的整数部分，例如：．（1）求的值；（2）令{a}＝a﹣[a]，求．【分析】（1）根据题意[a]表示取a的整数部分即可求解；（2）先根据{a}＝a﹣[a]，将化成2﹣2﹣[﹣2.4]+（﹣6）﹣（﹣7），再根据[a]表示取a的整数部分即可求解．【解答】解：（1）＝2+（﹣4）﹣（﹣7）＝2+（﹣4）+7＝5；（2）＝2﹣2﹣（﹣3）+（﹣6）﹣（﹣7）＝2﹣2+3+（﹣6）+7＝4．【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，理解题意掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键．12．（2022秋•椒江区校级月考）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7．（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式；①|7﹣21|＝ 21﹣7 ；②||＝ ﹣ ；（2）用合理的方法计算：||+||﹣|﹣|；（3）用简单的方法计算：|﹣1|+|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+||．【分析】（1）根据去绝对值法则去掉绝对值即可；（2）先去绝对值，再计算；（3）先去掉绝对值，再把相加得0的先相加即可．【解答】解：（1）①|7﹣21|＝21﹣7；②||＝﹣，故答案为：①21﹣7，②﹣；（2）原式＝﹣+﹣﹣＝﹣；（3）原式＝1﹣+﹣+﹣+﹣+......+﹣＝1﹣＝．【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握去绝对值的方法．13．（2022秋•南湖区校级月考）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的表示为距离AB＝|a﹣b|，利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示2和﹣1的两点之间的距离为 3 ．（2）数轴上表示x和﹣1两点之间的距离为 |x+1| ．若x表示一个有理数，且﹣4＜x＜2，则|x﹣2|+|x+4|＝ 6 ．（3）数轴上从左到右的三个点A，B，C所对应的数分别为a，b，c．其中AB＝2020，BC＝1000，如图2所示．①若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算a+b+c的值．②若O是原点，且OB＝18，求a+b﹣c的值．【分析】（1）根据数轴上两点间的距离直接求解即可；（2）根据数轴上两点间的距离，可得x和﹣1两点之间的距离为|x﹣（﹣1）|；再根据绝对值的性质计算即可；（3）①根据题意分别求出a、b、c的值，再代入计算即可；②根据题意分别求出a、b、c的值，再代入计算即可．【解答】解：（1）数轴上表示2和﹣1的两点之间的距离为：2﹣（﹣1）＝3，故答案为：3；（2）数轴上表示x和﹣1两点之间的距离为|x﹣（﹣1）|＝|x+1|；∵﹣4＜x＜2，∴|x﹣2|+|x+4|＝﹣（x﹣2）+（x+4）＝﹣x+2+x+4＝6．故答案为：|x+1|；6；（3）①若以B为原点，则a＝﹣2020，b＝0，c＝1000，∴a+b+c＝﹣2020+0+1000＝﹣1020；②若O是原点，且OB＝18，当O在点B的左侧时，a＝﹣2020+18＝﹣2002，b＝18，c＝1000+18＝1018，此时a+b﹣c＝﹣2002+18﹣1018＝﹣3002；当O在点B的右侧时，a＝﹣2020﹣18＝﹣2038，b＝﹣18，c＝1000﹣18＝982，此时a+b﹣c＝﹣2038﹣18﹣982＝﹣3038．综上所述，a+b﹣c的值为﹣3002或﹣3038．【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键．四．有理数的乘法（共4小题）14．（2020秋•温州月考）计算8×（﹣）的结果是（ ）A．16 B．﹣16 C．﹣4 D．4【分析】两数相乘，异号得负，并把绝对值相乘．【解答】解：8×（﹣）＝﹣（8×）＝﹣4．故选：C．【点评】本题主要考查的是有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键．15．（2022秋•温州期末）计算：﹣＝ ﹣2 ．【分析】先确定符号，再约分．【解答】解：﹣×4＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键．16．（2022秋•西湖区校级期中）已知：|a|＝2，|b|＝5，若|a﹣b|＝a﹣b，则ab＝ ±10 【分析】根据绝对值的意义先确定a、b的值，再计算a与b的积．【解答】解：∵|a|＝2，|b|＝5，∴a＝±2，b＝±5．∵|a﹣b|≥0，∴a﹣b≥0，∴a＝±2，b＝﹣5．∴ab＝±2×（﹣5）＝±10．故答案为：±10．【点评】本题主要考查了绝对值的意义，理解绝对值的意义是解决本题的关键．17．（2022秋•湖北期末）如果4个不等的偶数m，n，p，q满足（3﹣m）（3﹣n）（3﹣p）（3﹣q）＝9，那么m+n+p+q等于 12 ．【分析】根据题意可知（3﹣m）、（3﹣n）、（3﹣p）、（3﹣q）均为整数，然后将9分解因数即可求得答案．【解答】解：∵m，n，p，q是4个不等的偶数，∴（3﹣m）、（3﹣n）、（3﹣p）、（3﹣q）均为整数．∵9＝3×1×（﹣1）×（﹣3），∴可令3﹣m＝3，3﹣n＝1，3﹣p＝﹣1，3﹣q＝﹣3．解得：m＝0，n＝2，p＝4，q＝6．∴m+n+p+q＝0+2+4+6＝12．故答案为：12．【点评】本题主要考查的是有理数的乘法，判断出（3﹣m）、（3﹣n）、（3﹣p）、（3﹣q）均为整数是解题的关键．五．有理数的除法（共4小题）18．（2012秋•台州期中）计算：的结果是（ ）A．﹣8 B．8 C．2 D．﹣2【分析】根据除以一个数等于乘以这个数的倒数进行计算即可求解．【解答】解：（﹣4）÷（﹣）＝4×2＝8．故选：B．【点评】本题主要考查了有理数的除法运算，是基础题，有理数的运算要注意运算符号的处理，这也是七年级同学最容易出错的地方．19．（2022秋•余杭区校级月考）（1）÷（﹣）÷（﹣0.25）；（2）﹣99×34．【分析】（1）先确定最后结果的符号，并变除法运算为乘法进行求解；（2）先确定结果的符号，再运用乘法分配律进行计算．【解答】解：（1）÷（﹣）÷（﹣0.25）＝×4＝；（2）﹣99×34＝﹣（100﹣）×34＝﹣（100×34﹣×34）＝﹣（3400﹣4）＝﹣3396．【点评】此题考查了有理数的混合运算能力，关键是能准确确定正确的运算顺序和方法．20．（2022秋•杭州月考）（1）；（2）﹣99×34．【分析】（1）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果；（2）原式变形后，利用乘法分配律计算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝××4＝；（2）原式＝（﹣100+）×34＝﹣100×34+×34＝﹣3400+4＝﹣3396．【点评】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（2022秋•越城区期中）阅读下题解答：计算：．分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．解：×（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19．所以原式＝﹣．根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：．【分析】原式根据阅读材料中的计算方法变形，计算即可即可得到结果．【解答】解：根据题意得：[﹣++（﹣）2×（﹣6）]÷（﹣）＝[﹣++×（﹣6）]×（﹣42）＝﹣21+14﹣30+112＝75，则原式＝．【点评】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．六．有理数的乘方（共3小题）22．（2022秋•永康市期中）﹣32的值等于（ ）A．﹣9 B．9 C．6 D．﹣6【分析】利用有理数的乘方判断．【解答】解：﹣32＝﹣9，故选：A．【点评】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数的乘方．23．（2019秋•萧山区期中）计算：23＝ 8 ．【分析】根据有理数的乘方计算即可【解答】解：23＝8．故答案为：8．【点评】本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数的乘方的定义．24．（2022秋•宁波期中）已知|a|＝7，b2＝4，c3＝﹣8，（1）若a＜b，求a+b的值；（2）若abc＞0，求a﹣3b﹣2c的值．【分析】（1）根据绝对值以及平方根的定义，求得a与b，进而解决此题．（2）根据绝对值、平方根、立方根的定义解决此题．【解答】解；（1）∵|a|＝7，b2＝4，∴a＝±7，b＝±2．∵a＜b，∴当a＝7，此时b不存在；当a＝﹣7，此时b＝2或﹣2．∴a+b＝﹣5或﹣9．（2）∵|a|＝7，b2＝4，c3＝﹣8，∴a＝±7，b＝±2，c＝﹣2．∵abc＞0，∴ab＜0．∴a与b异号．∴当a＝7，b＝﹣2，此时a﹣3b﹣2c＝7﹣（﹣6）﹣（﹣4）＝17；当a＝﹣7，b＝2，此时a﹣3b﹣2c＝﹣7﹣6﹣（﹣4）＝﹣9．综上：a﹣3b﹣2c＝17或﹣9．【点评】本题主要考查绝对值、平方根、立方根，熟练掌握绝对值、平方根、立方根的定义是解决本题的关键．七．非负数的性质：偶次方（共2小题）25．（2020秋•金东区校级月考）若|a+2|+（b﹣4）2＝0，则ab＝ 16 ．【分析】根据绝对值和偶次方的非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：∵a、b满足|a+2|+（b﹣4）2＝0，而|a+2|≥0，（b﹣4）2≥0，∴a+2＝0，b﹣4＝0，解得a＝﹣2，b＝4，∴ab＝（﹣2）4＝16．故答案为：16．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．26．（2022秋•兰溪市期中）已知（a﹣2）2与|b+1|互为相反数，求（a﹣b）a+b的值．【分析】根据偶次方的非负性、绝对值的非负性、有理数的乘方解决此题．【解答】解：由题意得：（a﹣2）2+|b+1|＝0．∵（a﹣2）2≥0，|b+1|≥0，∴a﹣2＝0，b+1＝0．∴a＝2，b＝﹣1．∴（a﹣b）a+b＝[2﹣（﹣1）]2+（﹣1）＝31＝3．【点评】本题主要考查偶次方的非负性、绝对值的非负性、有理数的乘方，熟练掌握偶次方的非负性、绝对值的非负性、有理数的乘方是解决本题的关键．八．有理数的混合运算（共21小题）27．（2022秋•杭州期末）计算：（1）15+（﹣13）+18；（2）﹣10.25×（﹣4）；（3）﹣12÷4×3；（4）﹣23×3+2×（﹣3）2．【分析】（1）根据有理数的加减法则进行计算即可；（2）先根据负负得正消除负号，再将10.25改写为（10+0.25），再根据乘法分配律进行计算即可；（3）根据有理数的乘除法则计算即可；（4）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可．【解答】解（1）原式＝2+18＝20；（2）原式＝10.25×4＝（10+0.25）×4＝10×4+0.25×4＝41；（3）原式＝﹣3×3＝﹣9；（4）原式＝﹣8×3+2×9＝﹣24+18＝﹣6．【点评】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则是解题关键．28．（2022秋•南湖区校级月考）简便计算：（1）（﹣）+（﹣3.75）+（+3）+（﹣）．（2）（﹣+）×（﹣30）．【分析】（1）把同分母的和互为相反数的先相加；（2）用乘法分配律计算．【解答】解：（1）原式＝（﹣﹣）+（﹣3.75+3.75）＝﹣1+0＝﹣1；（2）原式＝×（﹣30）﹣×（﹣30）+×（﹣30）＝﹣15+10﹣6＝﹣11．【点评】本题考查有理数混合运算，解题的关键是掌握有理数运算律和相关运算的法则．29．（2022秋•青田县期中）小明有五张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题．（1）从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字乘积最大，最大值是 20 ．（2）从中抽出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，（例如﹣3×（﹣5﹣3+0）＝24与（﹣5﹣3+0）×（﹣3）＝24视为同一种方法），请你再写出两种不同的运算式子．【分析】（1）根据题意可以找到四张卡片中乘积最大的两张；（2）根据题意可以得到用运算符号连接结果为24的四张卡片，本题得以解决．【解答】解：（1）由题意可得，从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字乘积最大，最大值是：（﹣5）×（﹣4）＝20，故答案为：20；（2）[0﹣（﹣3﹣5）]×3＝24，[﹣5+（﹣3）÷3]×（﹣4）＝24（答案不唯一）．【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数相关运算的法则．30．（2022秋•青田县期中）规定一种新的运算：a★b＝a×b﹣a﹣b+1，例如3★（﹣4）＝3×（﹣4）﹣3﹣（﹣4）+1．请计算下列各式的值：（1）2★5；（2）（﹣2）★（﹣5）．【分析】正确理解新的运算法则，套用公式直接解答．【解答】解：（1）2★5＝2×5﹣2﹣5+1＝10﹣7+1＝4；（2）（﹣2）★（﹣5）＝（﹣2）×（﹣5）﹣（﹣2）﹣（﹣5）+1＝10+2+5+1＝18．【点评】此题考查有理数的混合运算，解题关键是严格按照题中给出的运算关系进行计算．31．（2022秋•鹿城区期中）小明在计算“+﹣”给出了以下解答：解：记S＝+﹣．因为20S＝20（+﹣）＝20×+20×﹣20×＝10+12﹣25＝﹣3．所以S＝﹣，即+﹣＝﹣．请你模仿小明的计算方法计算：﹣+．【分析】理解题意，根据有理数的混合运算即可解答．【解答】解：记S＝，∵24S＝24×＝＝8﹣9+20＝19，∴S＝，即．【点评】本题考查了有理数的混合运算，理清题意和掌握有理数混合运算法则是解答本题关键．32．（2022秋•杭州期中）出租车司机小张某天上午某个时段的营运全是在东西走向的文一路上进行．如果规定向东为正，向西为负，他这天上午行车里程（单位：km）如下：+5，﹣3，+6，﹣7，+6，−2，﹣5，+4，+6，﹣8（1）将第几名乘客送到目的地时，小张刚好回到上午出发点？（2）将最后一名乘客送到目的地时，小张距上午出发点多远？在出发点的东面还是西面？（3）若出租车的收费标准为：起步价11元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元．则小张在这天上午这个时段一共收入多少元？【分析】（ 1 ）根据正、负数的意义，求出前7个数的值为0即可得出结果；（ 2 ）把行车里程相加，然后根据正数和负数的意义解答；（ 3）先求出这天的行车里程，再用行车里程乘每千米的耗油量，即可解答．【解答】解：（1）（+5）+（﹣3）+（+6）+（﹣7）+（+6）+（﹣2）+（﹣5）＝0，答：将第7名乘客送到目的地时，小张刚好回到上午出发点．（2）（+5）+（﹣3）+（+6）+（﹣7）+（+6）+（﹣2）+（﹣5）+（+4）+（+6）+（﹣8）＝5﹣3+6﹣7+6﹣2﹣5+4+6﹣8＝2，答：将最后一名乘客送到目的地时，小张距上午出发点2千米，在出发点的东面．（3）8+2×2+8+8+2×3+8+2×4+8+2×3+8+8+2×2+8+2+8+2×3+8+2×5＝126（元），答：小张在这天上午这个时段一共收入126元．【点评】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键．33．（2022秋•仙居县期末）计算：（1）﹣2+3﹣5；（2）（﹣1）2×5﹣（﹣2）3÷4．【分析】（1）再按照从左到右的顺序，进行计算即可解答；（2）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答．【解答】解：（1）﹣2+3﹣5＝1﹣5＝﹣4；（2）（﹣1）2×5﹣（﹣2）3÷4＝1×5﹣（﹣8）÷4＝5﹣（﹣2）＝5+2＝7．【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．34．（2021秋•金华期末）计算：（1）﹣8+4÷（﹣2）；（2）﹣2÷[（﹣2）﹣（﹣4）]．【分析】（1）先算除法，再算加减即可；（2）先算括号内的减法，再算除法即可．【解答】解：（1）﹣8+4÷（﹣2）＝﹣8﹣2＝﹣10；（2）﹣2÷[（﹣2）﹣（﹣4）]＝﹣2÷2＝﹣1．【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．35．（2022秋•浦江县月考）概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．初步探究（1）直接写出计算结果：2③＝ ，（﹣）⑤＝ ﹣8 ；深入思考我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（2）试一试：仿照如图的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣3）④＝ ；5⑥＝ ；（﹣）⑩＝ 28 ．（3）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ；（4）算一算：24÷23+（﹣16）×2④．【分析】根据新定义内容列出算式，然后将除法转化为乘法，再根据乘法和乘方的运算法则进行化简计算．【解答】解：（1）2③＝2÷2÷2＝，（﹣）⑤＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝﹣8，故答案为：，﹣8；（2）（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝，5⑥＝5÷5÷5÷5÷5÷5＝，（﹣）⑩＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣））÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝28；故答案为：，，28；（3）aⓝ＝a÷a÷a……÷a＝，故答案为：；（4）24÷23+（﹣16）×2④＝24÷8+（﹣16）×＝3+（﹣16）×＝3﹣4＝﹣1．【点评】本题属于新定义题型，考查有理数乘除运算法则及对有理数乘方运算的理解，理解新定义内容，掌握有理数乘除法和有理数乘方的运算法则是解题关键．36．（2022秋•浦江县月考）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，求2x2+的值．【分析】根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，可以得到a+b＝0，cd＝1，x＝±2，然后代入所求式子计算即可．【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，∴a+b＝0，cd＝1，x＝±2，当x＝2时，2x2+＝2×22+﹣＝2×4+2﹣＝8+2﹣0＝10；当x＝﹣2时，2x2+＝2×（﹣2）2+﹣＝2×4﹣2﹣＝8﹣2﹣0＝6；由上可得，2x2+的值为10或6．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，求出a+b＝0，cd＝1，x＝±2，利用分类讨论的方法解答．37．（2022秋•东阳市期中）计算：．【分析】先算乘方，括号里的运算，除法转为乘法，再算乘法，最后算加减即可．【解答】解：＝＝﹣4×2+36×（﹣）﹣9×（﹣）＝﹣8﹣6+6＝﹣8．【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．38．（2022秋•鄞州区期中）已知a、b互为相反数（a，b不为0），c、d互为倒数，|m|＝2，且m＞0，求2a+2b+﹣（cd）2022﹣3m的值．【分析】由题意可得a+b＝0，cd＝1，m＝2，再把相应的值代入进行运算即可．【解答】解：∵a、b互为相反数（a，b不为0），c、d互为倒数，|m|＝2，且m＞0，∴a+b＝0，cd＝1，m＝2，，∴2a+2b+﹣（cd）2022﹣3m＝2（a+b）+﹣（cd）2022﹣3m＝2×0+（﹣1）﹣12022﹣3×2＝0﹣1﹣1﹣6＝﹣8．【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．39．（2022秋•宁海县校级期中）（1）若用A、B、C分别表示有理数a，b，c，O为原点，如图所示：化简：|c+a|﹣|a+b|﹣|c﹣b|；（2）有理数a、b、m、n、x满足下列条件：a与b互为倒数，m与n互为相反数，x的绝对值为最小的正整数，求2022（m+n）+2021x3﹣2020ab的值．【分析】（1）由数轴可得a＜c＜0＜b，|a|＞|b|，则有c+a＜0，a+b＜0，c﹣b＜0，再进行化简即可；（2）由题意可得ab＝1，m+n＝0，x＝±1，再代入式子进行运算即可．【解答】解：（1）由数轴得：a＜c＜0＜b，|a|＞|b|，∴c+a＜0，a+b＜0，c﹣b＜0，∴|c+a|﹣|a+b|﹣|c﹣b|＝﹣（c+a）﹣[﹣（a+b）]﹣[﹣（c﹣b）]＝﹣c﹣a+a+b+c﹣b＝0；（2）∵a与b互为倒数，m与n互为相反数，x的绝对值为最小的正整数，∴ab＝1，m+n＝0，x＝±1，∴当x＝1时，2022（m+n）+2021x3﹣2020ab＝2022×0+2021×13﹣2020×1＝0+2021×1﹣2020＝2021﹣2020＝1；当x＝﹣1时，2022（m+n）+2021x3﹣2020ab＝2022×0+2021×（﹣1）3﹣2020×1＝0+2021×（﹣1）﹣2020＝﹣2021﹣2020＝﹣4041．【点评】本题主要考查有理数的混合运算，数轴，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．40．（2022秋•余姚市月考）对有理数a，b，定义运算a∀b＝，请计算（﹣2）∀[（﹣1）∀3]的值．【分析】按照定义的新运算，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：（﹣2）∀[（﹣1）∀3]＝（﹣2）∀＝（﹣2）∀＝（﹣2）∀（﹣4）＝＝＝＝﹣6，∴（﹣2）∀[（﹣1）∀3]的值为﹣6．【点评】本题考查了有理数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．41．（2022秋•浦江县月考）计算：（1）﹣11﹣（﹣8）+（﹣13）+12；（2）；（3）；（4）；（5）．【分析】（1）先把减法转化为加法，然后根据加法法则计算即可；（2）先算乘方，再算乘除法，最后算加减法即可；（3）先把减法转化为加法，然后根据加法法则计算即可；（4）根据乘法分配律计算即可；（5）先算乘除法，再算加减法即可．【解答】解：（1）﹣11﹣（﹣8）+（﹣13）+12＝﹣11+8+（﹣13）+12＝﹣4；（2）＝﹣4﹣15×+（﹣4）×5＝﹣4﹣10+（﹣20）＝﹣34；（3）＝3+5+（﹣2）+（﹣8）＝﹣2；（4）＝（﹣36）×﹣（﹣36）×+（﹣36）×＝﹣30+16+（﹣33）＝﹣47；（5）＝35+6+×4＝35+6+3＝44．【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意乘法分配律的应用．42．（2021秋•武义县期末）（1）下面计算对吗？若不对，哪一步开始错，请说明理由，并改正．74﹣22÷70＝74﹣4÷70……． ①＝70÷70……． ②＝1…． ③（2）用简便方法计算，在括号内填乘法运算律．＝（ 乘法交换律 ）＝ （﹣41）×[（﹣12）×] （乘法结合律）＝ （﹣41）×（﹣10） ＝ 410 ．【分析】（1）根据题目中的解答过程，可以发现第②步出错了，理由是没有先算除法，而是算的减法，再写出正确的解答过程即可；（2）根据解答过程可知括号内应该填写的是乘法交换律，然后再根据结合律计算即可．【解答】解：（1）第②步出错了，理由是没有先算除法，而是算的减法，改正：74﹣22÷70＝74﹣4÷70＝74﹣＝73；（2）＝（乘法交换律）＝（﹣41）×[（﹣12）×]＝（﹣41）×（﹣10）＝410，故答案为：乘法交换律；（﹣41）×[（﹣12）×]，（﹣41）×（﹣10），410．【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解答本题的关键．43．（2022秋•青田县期中）计算下列各题：（1）（﹣8）﹣（﹣5）+（﹣9）；（2）﹣32﹣50÷（﹣5）2﹣1．【分析】（1）先去括号，再计算加减法；（2）先算乘方，再算除，最后算减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算．【解答】解：（1）（﹣8）﹣（﹣5）+（﹣9）＝﹣8+5﹣9＝﹣12；（2）﹣32﹣50÷（﹣5）2﹣1＝﹣9﹣50÷25﹣1＝﹣9﹣2﹣1＝﹣12．【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．44．（2022秋•镇海区校级期中）对于一个数x，我们用（x]表示小于x的最大整数，例如：（2.6]＝2，（﹣3]＝﹣4．（1）填空：（0]＝ ﹣1 ；（2022]＝ 2021 ；（﹣]＝ ﹣1 ；（2）若a，b都是整数，且（a﹣1]和（b+2]互为相反数，求代数式（a+b]2的值．【分析】（1）根据（x]的定义直接作答即可；（2）根据题干信息得到a+b的值，然后代入原式求值．【解答】解：（1）比0小的最大整数为﹣1，比2022小的最大整数为2021，比﹣小的最大整数为﹣1；故答案为：﹣1；2021；﹣1；（2）∵a，b都是整数，且（a﹣1]和（b+2]互为相反数，∴a﹣1﹣1+b+2﹣1＝0，∴a+b＝1，∴（a+b]2＝02＝0．【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数的大小比较以及相反数，能够正确理解（x]的定义是解题的关键．45．（2022秋•桐乡市期中）下面是亮亮同学计算一道题的过程：15÷5×（﹣3）﹣6×（）＝15÷（﹣15）﹣6×+6×……①＝﹣1﹣9+4……②＝﹣6……③（1）亮亮计算过程从第 ① 步出现错误的；（填序号）（2）请你写出正确的计算过程．【分析】（1）根据题目中的解答过程，可以发现最先错在哪一步以及错误的原因；（2）先算乘除，后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算；注意乘法分配律的运用，写出正确的解答过程即可．【解答】解：（1）亮亮计算过程从第①步出现错误的；（填序号）故答案为：①；（2）15÷5×（﹣3）﹣6×（）＝3×（﹣3）﹣6×﹣6×＝﹣9﹣9+4＝﹣14．【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．46．（2022秋•鹿城区期中）有6筐卷心菜，每筐以20千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图：回答下列问题；（1）与基准质量比较，6框卷心菜的总计超过或不足多少千克？（2）若卷心菜每千克售价5.8元，则出售这6筐卷心菜可卖多少元？【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案；（2）根据单价乘以数量等于总价格，可得答案．【解答】解：﹣2+2﹣3.5﹣0.5+3+4＝3（千克），答：与基准质量比较，6框卷心菜的总计超过3千克；（2）5.8×（6×20+3）＝5.8×123＝713.4（元），答：出售这6筐卷心菜可卖713.4元．【点评】本题考查正数和负数以及有理数的混合运算，解题的关键是明确正数和负数在题目中表示的含义．47．（2021秋•瑞安市期中）王红有5张写着以下数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列各题：（1）从中抽取2张卡片，使这两张卡片上的数字乘积最大，乘积的最大值为 40 ．（2）从中抽取除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除等混合运算，使其结果等于24，每个数字只能用一次，请写出两种不同的符合要求的运算式子．【分析】（1）根据题意和给出的五张卡片，由有理数乘法的计算法则列出算式可以解答本题；（2）根据题意可以写出相应的算式，本题答案不唯一．【解答】解：（1）由题意可得，从中抽取2张卡片，使这两张卡片上的数字乘积最大，乘积的最大值是40，运算式是：4×10．故答案为：40；（2）由题意可得：3×（10﹣6+4）＝3×8＝24，4﹣10×（﹣6+4）＝4﹣10×（﹣2）＝4+20＝24（答案不唯一）．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．九．近似数和有效数字（共3小题）48．（2022秋•东阳市期中）由四舍五入法得到的近似数1.20万，对其描述正确的是（ ）A．1.20万精确到十分位 B．1.20万精确到百分位 C．1.20万精确到万位 D．1.20万精确到百位【分析】根据近似数的精确度进行判断．【解答】解：近似数1.20万精确到0.01万位，即近似数1.20万精确到百位．故选：D．【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”是近似数的精确度的常用的表示形式．49．（2021秋•临海市月考）对于近似数3.07万，下列说法正确的是（ ）A．精确到0.01 B．精确到百分之一 C．精确到万位 D．精确到百位【分析】根据近似数的精确度进行判断．【解答】解：近似数3.07万精确度到百位．故选：D．【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式．50．（2022秋•鹿城区校级期中）近似数5.20精确到 百分 位．【分析】根据近似数的精确度求解．【解答】解：近似数5.20精确到百分位．故答案为：百分．【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式．一十．科学记数法—表示较大的数（共2小题）51．（2022秋•南浔区期末）12月4日晚上，神舟14号飞船即将从空间站返回东风着陆场．中国的空间站离地球的距离约320000米．320000用科学记数法表示为（ ）A．32×104 B．0.32×106 C．3.2×105 D．32×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：320000＝3.2×105．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．52．（2022秋•临海市期末）我国倡议的“一带一路”惠及约为4400000000人，用科学记数法表示该数为 4.4×109 ．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【解答】解：4400000000＝4.4×109，故答案为：4.4×109．【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定a和n的值． 【过关检测】一、单选题1．下列运算结果为 1 的是（ ）A．|-3|-|+4| B．|(-3)-(-4)| C．|-3|-|-4| D．|+3|-|-4|【答案】B【分析】根据绝对值的意义以及有理数加减法法则逐项进行计算得出正确选项．【详解】A. |-3|-|+4|=3-4=-1，故不符合题意；B. |(-3)-(-4)|=|-3+4|=1，故符合题意；C. |-3|-|-4|=3-4=-1，故不符合题意；D. |+3|-|-4|=3-4=-1，故不符合题意，故选B.【点睛】本题考查了绝对值、有理数的加减法，熟练掌握绝对值的性质以及有理数加减法法则是解题的关键.2．下列计算中正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据有理数的乘方、有理数的乘法、有理数的除法法则逐项进行计算即可得.【详解】A. =1×（-1）=-1，错误；B. =27，故B选项错误；C. ，故C选项正确；D. ，故D选项错误，故选C.【点睛】本题考查了有理数的混合运算，涉及了有理数的乘法、除法以及乘方运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.3．下列计算结果为负数的是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据有理数的运算法则即求解．【详解】A、-（-2） 3=-（-8）=8，结果为正数，A不符合题意；B、-24=-16，结果为负数，B符合题意；C、（-1）×（-3）5=243，结果为正数，C不符合题意；D、23×（-2）6=8×64=512，结果为正数，D不符合题意；故答案为：B．【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其运算法则．4．小红的妈妈买了4筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重后的记录分别为+0.25，﹣1，+0.5，﹣0.75，小红快速准确地算出了4筐白菜的总质量为（ ）A．﹣1千克 B．1千克 C．99千克 D．101千克【答案】C【分析】根据题意列出算式解答即可．【详解】解：4筐白菜的总质量为25×4+（0.25﹣1+0.5﹣0.75）＝99千克，故选C．【点睛】本题考查了正数和负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定具有相反意义的．5．已知两个有理数a，b，如果ab＜0且a+b＞0，那么（ ）A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＞0C．a、b同号D．a、b异号，且正数的绝对值较大【答案】D【分析】先由有理数的乘法法则，判断出a，b异号，再用有理数加法法则即可得出结论．【详解】∵ab＜0，∴a，b异号，∵a+b＞0，∴正数的绝对值较大，故选：D．【点睛】本题考查了有理数的乘法、加法，熟练掌握和灵活应用有理数的加法法则和乘法法则是解题的关键．6．如果|a+2|+(b－1)2=0，那么(a+b)2019的值等于( )．A．－1 B．－2019 C．1 D．2019【答案】A【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案．【详解】∵|a+2|+（b-1）2=0，∴a+2=0，b-1=0，∴a=-2，b=1，∴（a+b）2019=（-2+1）2019=-1．故选A．【点睛】本题考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题的关键．7．在数5，－2，7，－6中，任意三个不同的数相加，其中最小的和是( )A．10 B．6 C．－3 D．－1【答案】C【分析】根据最小的三个数相加，可得和最小．【详解】由题意，得−2，5，−6是三个最小的数，−2＋（−6）＋5＝−3，故选C．【点睛】本题考查了有理数的加法，利用了有理数的加法运算，先确定三个最小的数，再求和．8．若，则的值是 A． B．48 C．0 D．无法确定【答案】B【分析】根据绝对值的性质以及非负数性质可得a+1=0、b-2=0、c+3=0，求得a、b、c的值后代入进行计算即可得答案.【详解】∵|a+1|+|b-2|+|c+3|=0，|a+1|≥0，|b-2|≥0，|c+3|≥0，∴a+1=0、b-2=0、c+3=0，∴a=-1，b=2，c=-3，∴(a-1)(b+2)(c-3)= (-1-1)×(2+2)×(-3-3)=48，故选B.【点睛】本题考查了非负数的性质以及有理数的运算，熟知几个非负数的和为0，那么每个非负数都为0是解题的关键.9．如果ab≠0，那么的值不可能是（ ）A．0 B．1 C．2 D．-2【答案】B【分析】由ab≠0，得出a，b都不为0，分a与b同为正数、a与b同为负数、a与b一正一负，在这三种情况下，分别计算的值．【详解】解：ab≠0则ab>0 或ab<0，当ab>0时，a与b同为正数，则=2或a与b同为负数，则=-2；当ab<0时，=0．故选B．【点睛】本题考查了绝对值的性质，运用分类讨论思想解决问题，要注意符号．10．为求1＋2＋22＋23＋…＋22008的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22008，则2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22009，因此2S－S＝22009－1，所以1＋2＋22＋23＋…＋22008＝22009－1．仿照以上推理计算出1＋3＋32＋33＋…＋32018的值是 ( )A．32019－1 B．32018－1 C． D．【答案】C【详解】分析：首先设原式为S，然后得出3S的值，利用做差法得出S的值．详解：设，则，因此3S－S=，则S=，∴．故选C．点睛：本题主要考查的就是简便计算的问题，属于中等难度题型．解决这个问题的关键就是要理解题目中所给的运算法则，然后根据同样的方法得出答案．二、填空题11．我市某日的气温是﹣4℃～5℃，则该日的温差是________℃．【答案】9【分析】用最高温度减去最低温度，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．【详解】5﹣（﹣4）=5+4=9（℃）．故答案为9．【点睛】本题考查了有理数减法，是基础题，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．12．定义一种新运算：a⊗b＝b2－ab， 如：1⊗2＝22－1×2＝2，则(－1⊗2)⊗3＝________.【答案】-9【分析】先根据新定义计算出﹣1⊗2=6，然后再根据新定义计算6⊗3即可．【详解】﹣1⊗2=22﹣（﹣1）×2=6，6⊗3=32﹣6×3=﹣9．所以（﹣1⊗2）⊗3=﹣9．故答案为﹣9．【点睛】本题考查了有理数混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．13．已知四个数：-2，-3，4，-1，任取其中两个数相乘，所得的积的最小值是_______．【答案】-12．试题分析：2，﹣3，﹣4，5，这四个数中任取其中两个数相乘，所得积的最小值=﹣3×4=-12．故答案为-12．考点：有理数的乘法．14．某种零件，标明要求是mm（表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是mm，该零件______（填“合格”或“不合格”）．【答案】不合格【分析】根据某种零件，标明要求是mm，先求解零件尺寸的要求范围，再比较即可得到答案.【详解】解： 某种零件，标明要求是mm， 零件的尺寸要求为：大于或等于 小于或等于 mm不在上面范围内，故不合格，故答案为：不合格【点睛】本题考查的是正负数的含义，有理数的加减运算的实际应用，掌握“正负数的实际意义”是解本题的关键.15．3184900精确到十万位的近似值是______________．【答案】【分析】根据科学记数法和近似值的定义进行解答.【详解】【点睛】考点：近似数和有效数字．16．若a,b是整数，且ab＝12，|a|＜|b|，则a+b=________ .【答案】7，8，13【详解】解： 12=1×12=2×6=3×4=（－1）×（－12）=（－2）×（－6）=（－3）×（－4），∵a，b是整数，|a|＜|b|，∴a=1，b=12或a=－1，b=－12或a=2，b=6或a=－2，b=－6或a=3，b=4或a=－3，b=－4，∴a+b=±13或±8或±7．故答案为7，8，13．17．计算1+4+9+16+25+…的前29项的和是______．【答案】8555试题分析：根据每一项分别是 12、22、32、42、52 可找到规律，可知12+22+32+42+52+…+292+…+n2=0×1+1+1×2+2+2×3+3+3×4+4+4×5+5+…（n﹣1）n+n=（1+2+3+4+5+…+n）+[0×1+1×2+2×3+3×4+…+（n﹣1）n]=+{（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）+…+[（n﹣1）•n•（n+1）﹣（n﹣2）•（n﹣1）•n]}= +[（n﹣1）•n•（n+1）]=，∴当n=29时，原式==8555． 故答案为8555．18．如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2018次输出的结果为_____．【答案】1【分析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案．【详解】解：当x=625时，x=125，当x=125时，x=25，当x=25时，x=5，当x=5时，x=1，当x=1时，x+4=5，当x=5时，x=1，当x=1时，x+4=5，当x=5时，x=1，…（2018﹣3）÷2=1007.5，即输出的结果是1，故答案为1【点睛】本题考查了求代数式的值，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．三、解答题19．计算下列各题：（1）﹣27+（﹣32）+（﹣8）+27；（2）（+4.3）﹣（﹣4）+（﹣2.3）﹣（+4）；（3）﹣4﹣2×32+（﹣2×32）；（4）（﹣48）÷（﹣2）3﹣（﹣25）×（﹣4）+（﹣2）2．【答案】（1）-40,（2）2,（3）-132,（4）-90.【分析】（1）从左到右依次计算即可；（2）从左到右依次计算即可；（3）先算括号里面的，再算乘法，最后算加减；（4）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可．【详解】﹣27+（﹣32）+（﹣8）+27=﹣27﹣32﹣8+27=﹣40；（2）（+4.3）﹣（﹣4）+（﹣2.3）﹣（+4）=4.3+4﹣2.3﹣4=2；（3）﹣4﹣2×32+（﹣2×32）=﹣4﹣64﹣64=﹣132；（4）（﹣48）÷（﹣2）3﹣（﹣25）×（﹣4）+（﹣2）2=6﹣100+4=﹣90．【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解答此题的关键．20．已知a的相反数是2，b的绝对值是3，c的倒数是﹣1．（1）写出a，b，c的值；（2）求代数式3a（b+c）﹣b（3a﹣2b）的值．【答案】（1）a=﹣2，b=±3，c=﹣1；（2）24；【分析】（1）根据相反数、绝对值、倒数的定义解答即可；（2）把所给的整式去括号合并同类项化为最简后，再代入求值即可.【详解】（1）∵a的相反数是2，b的绝对值是3，c的倒数是﹣1，∴a=﹣2，b=±3，c=﹣1；（2）3a（b+c）﹣b（3a﹣2b）=3ab+3ac﹣3ab+2b2=3ac+2b2，∵a=﹣2，b=±3，c=﹣1，∴b2=9，∴原式=3×（﹣2）×（﹣1）+2×9=6+18=24．【点睛】本题考查了代数式求值，相反数的定义，绝对值的性质，倒数的定义，是基础题，比较简单，但要注意b的两种情况．21．已知一台计算机的运算速度为次/转．（1）求这台计算机秒运算了多少次？（2）若该计算机完成一道证明题需要进行次运算，求完成这道证明题需要多少分钟？【答案】（1）7.2×1012次；（2）150分钟【分析】（1）直接利用单项式乘法运算法则求出答案；（2）直接利用单项式除法运算法则求出答案．【详解】解：（1）这台计算机6×103秒，则一共计算了：6×103×1.2×109=7.2×1012（次），答：这台计算机6×103秒运算了7.2×1012次；（2）由题意可得：1.08×1013÷（1.2×109）=9×103（秒）=150（分钟），答：完成这道证明题需要150分钟．【点睛】此题主要考查了科学记数法应用以及单项式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．22．如图，小明有4张写着不同数的卡片，请你按照题目要求抽出卡片，完成下列问题．（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？【答案】（1）15；（2）﹣5；【详解】分析：（1）根据两数相乘，同号的正，异号得负，正数大于负数抽取计算即可；（1）根据两数相除，同号的正，异号得负，正数大于负数抽取计算即可；详解：（1）抽﹣3和﹣5，最大值为：﹣3×（﹣5）=15；（2）抽1和﹣5，最小值为：（﹣5）÷1=﹣5；点睛：本题考查了有理数乘法法则和除法法则的计算，熟练掌握有理数乘法法则和除法法则是解答本题的关键.23．小刚在课外书中看到这样一道有理数的混合运算题：计算：她发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，他顺利地解答了这道题．（1）前后两部分之间存在着什么关系？（2）先计算哪步分比较简便？并请计算比较简便的那部分．（3）利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果．（4）根据以上分析，求出原式的结果．【答案】(1)前后两部分互为倒数；(2)先计算后部分比较简单；-3；(3)-；(4)-【分析】(1)根据被除数和除数之间的关系得出互为倒数；(2)根据乘法分配律进行计算得出答案；(3)根据倒数的性质得出答案；(4)根据有理数的加法计算法则得出答案.【详解】(1) 前后两部分互为倒数； (2) 先计算后部分比较简便(3)(4)原式=+（-3）=-324．阅读下列各式：（a•b）2=a2b2，（a•b）3=a3b3，（a•b）4=a4b4…回答下列三个问题：（1）验证：（2×）100= ，2100×（）100= ；（2）通过上述验证，归纳得出：（a•b）n= ； （abc）n= ．（3）请应用上述性质计算：（﹣0.125）2017×22016×42015．【分析】（1）先算括号内的乘法，再算乘方；先乘方，再算乘法；（2）根据有理数乘方的定义求出即可；（3）根据同底数幂的乘法计算，再根据积的乘方计算，即可得出答案．【详解】解：（1）（2×）100=1，2100×（）100=1；（2）（a•b）n=anbn，（abc）n=anbncn，（3）原式=（﹣0.125）2015×22015×42015×[（﹣0.125）×（﹣0.125）×2]=（﹣0.125×2×4）2015×=（﹣1）2015×=﹣1×=﹣．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法和积的乘方，掌握运算法则是解答此题的关键． 求一个数的相反数求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置求一个数的相反数求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置
相关资料
更多
