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初中数学浙教版（2024）七年级上册第3章 实数3.4 实数的运算练习
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这是一份初中数学浙教版（2024）七年级上册第3章 实数3.4 实数的运算练习，共42页。
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
【考点剖析】
题型一：实数的混合混算
例1.计算：
（1）＝___.（2）4+＝___．（3）的立方根为 ___．
（4）如果的平方根是±3，则＝___．
【变式1】如图边长为2的正方形，则图中的阴影部分面积是______．
【变式2】若与互为相反数，则________．
【变式3】计算：|﹣|﹣．
【变式4】（2022·浙江金华·七年级期末）计算：
(1) (2)
【变式5】计算：
(1)； (2)．
【变式6】（2022·浙江台州·七年级期中）计算
【变式7】（2022·浙江台州·七年级期中）计算：
(1)； (2)．
题型二：程序设计与实数运算
例2.按如图所示的程序计算，若开始输入的x为，则输出的结果为________．
【变式1】如图所示是计算机程序计算，若开始输入x＝﹣3，则最后输出的结果是____．
【变式2】如图，是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果应为______________．
【变式3】（2022·浙江台州·七年级期中）如图是一个无理数筛选器的工作流程图．
(1)当x为9时，y值为 ；
(2)如果输入0和1， （填“能”或“不能”）输出y值；
(3)当输出的y值是时，请写出满足题意的x值： ．（写出两个即可）
题型三：新定义下的实数运算
例3．（2022·浙江台州·七年级期中）设表示小于的最大整数，如，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．的最小值是0C．的最大值是1D．不存在实数，使
【变式1】任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作，，这样对72只需进行3次操作即可变为1，类似地，对81只需进行（ ）次操作后即可变为1．
A．2B．3C．4D．5
【变式2】定义新运算“⊕”：a⊕b=+（其中a、b都是有理数），例如：2⊕3=+=，那么3⊕（﹣4）的值是（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
【变式3】（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学七年级阶段练习）现规定一种运算：，其中，为有理数，则 等于( )
A．a2－bB．b2－bC．b2D．b2－a
【变式4】（2022·浙江杭州·七年级期中）用“”定义新运算：对于任意实数a，b，都有．例如：，那么20225＝________；当m为实数时，＝________．
【变式5】（2022·浙江·七年级专题练习）观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号）
1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，…，
那么计算：=__．
【变式6】（2022·浙江绍兴·七年级期末）如，我们叫集合M．其中1，2，x叫做集合M的元素，集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是______．
【变式7】定义新运算：对于任意实数a，b，都有，例如．
（1）求的值．
（2）求的平方根．
【变式8】任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1．现对72进行如下操作：72第一次[]=8，第二次[]=2，第三次[]=1，这样对72只需进行3次操作变为1．
（1）对10进行1次操作后变为_______，对200进行3次作后变为_______；
（2）对实数m恰进行2次操作后变成1，则m最小可以取到_______；
（3）若正整数m进行3次操作后变为1，求m的最大值．
题型四：实数运算的实际应用
例4.如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3，点C表示的数为．若子轩同学先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A和点B重合，则此时数轴上与点C重合的点所表示的数是_______．
【变式1】设x，y是有理数，且x，y满足等式，则的平方根是___________.
【变式2】某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了．
【变式3】已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中．
（1）求_______________．
（2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形．
【变式4】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：
（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与 表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：
①表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是__________________；
操作三：
（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）. 若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是_________________________.
题型五：与实数运算相关的规律题
例5.如图将1、、、按下列方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之积是（ ）．
A．1B．C．D．
【变式1】将实数按如图所示的方式排列，若用表示第m排从左向右数第n个数，则与表示的两数之积是________
1（第1排）
（第2排）
1 （第3排）
1 （第4排）
1 （第5排）
【变式2】若|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，则…＝_____．
【变式3】借助计算器计算下列各题：
(1)＝_____；
(2)＝_____；
(3) ＝______；
(4) ＝______；
(5)根据上面计算的结果，发现＝______________．(用含n的式子表示)
【变式4】已知：，求的值．
【过关检测】
一．选择题（共6小题）
1．（2022秋•鄞州区校级月考）若a＝﹣，b＝，则a﹣b＝（ ）
A．4B．﹣4C．6D．﹣6
2．（2022秋•杭州期中）下列说法中：①立方根等于本身的是﹣1，0，1；②平方根等于本身的数是0，1；③两个无理数的和一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的；⑤a与b两数的平方和表示为a2+b2．其中错误的是（ ）
A．①②B．②③C．②③④D．③④⑤
3．（2022秋•西湖区校级期中）如果a，b是2022的两个平方根，那么a+2ab+b的值是（ ）
A．0B．2022C．4044D．﹣4044
4．（2022秋•吴兴区期中）下列说法中：①立方根等于本身的是﹣1，0，1；②平方根等于本身的数是0，1；③两个无理数的和一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的；⑤是负分数；⑥两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数．其中正确的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．（2021秋•西湖区校级月考）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为3的是（ ）
A．a＝0，b＝3B．a＝1，b＝2C．a＝4，b＝1D．a＝9，b＝0
6．（2021秋•余姚市校级期中）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如，现对82进行如下操作：，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对100只需进行多少次操作后变为1（ ）
A．1B．2C．3D．4
二．填空题（共12小题）
7．（2022秋•滨江区校级期中）已知x，y是两个不相等的有理数，且满足等式；（3﹣1）x＝3﹣y，则x＝ ，y＝ ．
8．（2022秋•东阳市期中）如图，是一个计算程序，若输入的数为，则输出的结果应为 .
9．（2022秋•镇海区校级期中）计算：＝ ．
10．（2022秋•上城区校级期中）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a*b＝，例如10*21＝＝11，则*（*2）的运算结果为 ．
11．（2021秋•柯桥区期末）根据图示的对话，则代数式3a+3b﹣2c+2m的值是 ．
12．（2021秋•浙江期末）计算：+＝ ．
13．（2021秋•东阳市期末）若a与b互为相反数，m与n互为倒数，k的算术平方根为，则2022a+2021b+mnb+k2的值为 ．
14．（2022秋•宁波期中）任意写出两个无理数，使它们的和为2： ．
15．（2022秋•温州期末）按如图所示的程序计算，若输入的a＝3，b＝4，则输出的结果为 ．
16．（2022秋•瑞安市期中）对于任意实数对（a，b）和（c，d），规定运算“⊗”为（a，b）⊗（c，d）＝（ac，bd）；运算“⊕”为（a，b）⊕（c，d）＝（a+c，b+d）．例如（2，3）⊗（4，5）＝（8，15）；（2，3）⊕（4，5）＝（6，8）．若（2，3）⊗（p，q）＝（﹣4，9），则（1，﹣5）⊕（p，q）＝ ．
17．（2022秋•青田县期中）计算：﹣＝ ．
18．（2022秋•新昌县期中）已知：m与n互为相反数，c与d互为倒数，a是的整数部分，则的值是 ．
三．解答题（共7小题）
19．（2022秋•鄞州区期中）初中阶段，目前我们已经学习了多种计算技巧，例如裂项相消法，错位相减法等等，请计算下列各式：
（1）＝ ；
（2）＝ ；
（3）＝ ．
20．（2022秋•余杭区校级期中）计算：
（1）+； （2）．
21．（2022秋•婺城区期末）计算：．
22．（2022秋•鄞州区校级月考）计算：
（1）﹣； （2）4+（﹣3）2×2﹣．
23．（2022秋•杭州期中）（1）若a是最小的正整数，b是绝对值最小的数，，．
则a＝ ；b＝ ；c＝ ；x＝ ；y＝ ．
（2）若a与b互为相反数，c与d互为倒数，，求代数式4（a+b）+（﹣cd）2﹣e2的值．
24．（2021秋•松阳县期末）用“※定义新运算：对于任何实数x和y，都有x※y＝xy﹣2（x﹣y）．如：1※2＝1×2﹣2×（1﹣2）＝4．
（1）求2※（﹣1）的值；
（2）计算（2a）※b+b※（2a）．
25．（2022秋•永康市期中）计算：
（1）﹣﹣（﹣1）2023 （2）|﹣2|﹣﹣
第14讲 实数的运算（5种题型）
【知识梳理】
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
【考点剖析】
题型一：实数的混合混算
例1.计算：
（1）＝___.（2）4+＝___．（3）的立方根为 ___．
（4）如果的平方根是±3，则＝___．
【答案】 4 8 3 4
【分析】（1）根据立方根的定义求解即可；
（2）根据平方根的定义先化简，然后求解即可；
（3）根据平方根的定义先化简，再求立方根即可；
（4）根据平方根的定义先求出，然后代入求解即可．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）∵，
∴的立方根即为8的立方根，8的立方根为3，
∴的立方根为3；
（4）∵的平方根是±3，
∴，
∴，
∴；
故答案为：4；8；3；4．
【点睛】本题考查平方根，算术平方根以及立方根的相关计算，理解平方根与立方根的相关基本概念是解题关键．
【变式1】如图边长为2的正方形，则图中的阴影部分面积是______．
【答案】
【分析】由图可知阴影部分的面积等于正方形面积减去圆的面积，由此求解即可．
【详解】解：根据题意可得：
S阴影＝＝．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，解题的关键是熟知正方形、圆的面积公式．
【变式2】若与互为相反数，则________．
【答案】-1
【分析】根据题意，可得：，所以，据此求出的值是多少，再应用代入法，求出的值是多少即可．
【详解】解：与互为相反数，
，
，
解得：，
，
故答案为：-1．
【点睛】此题主要考查了实数的混合运算，相反数的性质，立方根的性质，根据两个数的立方根互为相反数得到关于x的方程是关键点．
【变式3】计算：|﹣|﹣．
【答案】
【分析】先逐项化简，再算加减即可．
【详解】解： 原式=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握立方根和算术平方根的定义是解答本题的关键．
【变式4】（2022·浙江金华·七年级期末）计算：
(1) (2)
【答案】(1)1
(2)35
【分析】（1）原式先化简立方根，再计算除法，最后计算减法即可得到答案；
（2）原式先计算乘方和化简算术平方根，再计算乘法，最后计算加法即可得到答案．
(1)
=
=1
(2)
=
=
=
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【变式5】计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)12
(2)
【分析】（1）直接利用立方根以及算术平方根的性质化简得出答案；
（2）直接利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．
(1)解：原式；
(2)解：原式．
【点睛】本题主要考查了实数运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【变式6】（2022·浙江台州·七年级期中）计算
【答案】
【分析】直接根据算术平方根、立方根以及绝对值的意义将原式进行化简，然后根据实数的运算法则进行计算即可．
【详解】解：
＝
＝．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握算术平方根、立方根以及绝对值的非负性是解本题的关键．
【变式7】（2022·浙江台州·七年级期中）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根据算术平方根和立方根化简后计算即可；
（2）去绝对值后计算即可．
（1）
解：
；
（2）
．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握算术平方根、立方根的定义和绝对值的性质是解题关键．
题型二：程序设计与实数运算
例2.按如图所示的程序计算，若开始输入的x为，则输出的结果为________．
【答案】15．
【分析】根据输入的为，按照运算程序，计算结果即可．
【详解】解：∵输入的为，是无理数，
∴以为边长的正方形的面积是：，
故答案是：15．
【点睛】本题考查有理数的运算，读懂题目，掌握计算法则是解题的关键．
【变式1】如图所示是计算机程序计算，若开始输入x＝﹣3，则最后输出的结果是____．
【答案】2．
【分析】读懂计算程序，把x=－3代入，按计算程序计算，直到结果是无理数即可．
【详解】当输入x，若＝2的结果是无理数，即为输出的数，
当x＝﹣3时，2＝2，不是无理数，
因此，把x＝2再输入得，2＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握计算法则是关键．
【变式2】如图，是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果应为______________．
【答案】
【分析】根据计算程序列出算式，并根据求解即可．
【详解】解：根据题意，得
，
故答案为：．
【点睛】本题考查实数的混合运算，理解计算程序，正确列出算式并求解是解答的关键．
【变式3】（2022·浙江台州·七年级期中）如图是一个无理数筛选器的工作流程图．
(1)当x为9时，y值为 ；
(2)如果输入0和1， （填“能”或“不能”）输出y值；
(3)当输出的y值是时，请写出满足题意的x值： ．（写出两个即可）
【答案】(1)
(2)不能
(3)5或25（答案不唯一）
【分析】（1）根据运算流程图，即可求解；
（2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，即可判断；
（3）根据运算法则，进行逆运算即可得到满足题意的x值．
（1）
解：当输入x=9时，9的算术平方根为3，不是无理数，3的算术平方根为，
即；
故答案为：
（2）解：当输入x=0或1时，因为0的算术平方根是0，始终是有理数，1的算术平方根是1，也始终是有理数，
所以不能输出y；
故答案为：不能
（3）解：当时，，此时x=5；
当时，，，此时x=25；
故答案为：5或25（答案不唯一）
【点睛】本题考查了无理数以及算术平方根，正确理解工作流程图是解题的关键．
题型三：新定义下的实数运算
例3．（2022·浙江台州·七年级期中）设表示小于的最大整数，如，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．的最小值是0C．的最大值是1D．不存在实数，使
【答案】C
【分析】根据新定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、因为表示小于的最大整数，所以，故本选项错误，不符合题意；
C、因为表示小于的最大整数，所以的最大值是1，故本选项正确，符合题意；
D、存在实数，使，如，则，故本选项错误，不符合题意；
故选：C.
【点睛】本题主要考查了实数的大小比较和新定义运算，正确理解表示小于的最大整数是解题的关键．
【变式1】任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作，，这样对72只需进行3次操作即可变为1，类似地，对81只需进行（ ）次操作后即可变为1．
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据新运算依次求出即可．
【详解】解：，，，共3次操作，
故选B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，能求出每次的值是解此题的关键．
【变式2】定义新运算“⊕”：a⊕b=+（其中a、b都是有理数），例如：2⊕3=+=，那么3⊕（﹣4）的值是（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
【答案】C
【详解】试题解析：3⊕（-4）
=.
故选C．
【变式3】（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学七年级阶段练习）现规定一种运算：，其中，为有理数，则 等于( )
A．a2－bB．b2－bC．b2D．b2－a
【答案】B
【详解】
故选：B.
【变式4】（2022·浙江杭州·七年级期中）用“”定义新运算：对于任意实数a，b，都有．例如：，那么20225＝________；当m为实数时，＝________．
【答案】 26 26
【分析】首先用5的平方加上1，求出2022⊗5的值；然后用2的平方加上1，求出m⊗2的值，进而求出m⊗（m⊗2）的值即可．
【详解】解：∵对于任意实数a，b，都有a⊗b=b2+1，
∴2022⊗5=52+1=26；
当m为实数时，
m⊗（m⊗2）
=m⊗（22+1）
=m⊗5
=52+1
=25+1
=26．
故答案为：26、26．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，以及定义新运算，解答此题的关键是要明确“⊗”的运算方法．
【变式5】（2022·浙江·七年级专题练习）观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号）
1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，…，
那么计算：=__．
【答案】
【分析】根据“！”的运算方式列式计算即可．
【详解】解：．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，有理数的除法，理解新定义运算“！”是解题的关键．
【变式6】（2022·浙江绍兴·七年级期末）如，我们叫集合M．其中1，2，x叫做集合M的元素，集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是______．
【答案】
【分析】根据集合的定义和集合相等的条件即可判断．
【详解】∵，，
∴，，
∴，即，
∴，或，，
∴或（舍去），
∴，
故答案为：．
【点睛】本题以集合为背景考查了代数式求值，关键是根据集合的定义和性质求出和的值．
【变式7】定义新运算：对于任意实数a，b，都有，例如．
（1）求的值．
（2）求的平方根．
【答案】（1）21；（2）±4
【分析】（1）根据定义新运算即可求的值；
（2）根据定义新运算求的值，再计算平方根即可得出答案．
【详解】（1）由定义新运算得：；
（2）由定义新运算得：，
∴的平方根为．
【点睛】本题考查新定义的有理数运算，掌握新定义的运算法则是解题的关键．
【变式8】任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1．现对72进行如下操作：72第一次[]=8，第二次[]=2，第三次[]=1，这样对72只需进行3次操作变为1．
（1）对10进行1次操作后变为_______，对200进行3次作后变为_______；
（2）对实数m恰进行2次操作后变成1，则m最小可以取到_______；
（3）若正整数m进行3次操作后变为1，求m的最大值．
【答案】（1）3；1；（2）；（3）的最大值为255
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴对10进行1次操作后变为3；
同理可得，
∴，
同理可得，
∴，
同理可得，
∴，
∴对200进行3次作后变为1，
故答案为：3；1；
（2）设m进行第一次操作后的数为x，
∵，
∴．
∴．
∴．
∵要经过两次操作．
∴．
∴．
∴．
故答案为：．
（3）设m经过第一次操作后的数为n，经过第二次操作后的数为x，
∵，
∴．
∴．
∴．
．
∴．
∵要经过3次操作，故．
∴．
∵是整数．
∴的最大值为255．
【点睛】本题考查取整函数及无理数的估计，正确理解取整含义是求解本题的关键．
题型四：实数运算的实际应用
例4.如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3，点C表示的数为．若子轩同学先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A和点B重合，则此时数轴上与点C重合的点所表示的数是_______．
【答案】4+或6﹣或2﹣．
【分析】先求出第一次折叠与A重合的点表示的数，然后再求两点间的距离即可；同理再求出第二次折叠与C点重合的点表示的数即可．
【详解】解：第一次折叠后与A重合的点表示的数是：3+（3+1）＝7．
与C重合的点表示的数：3+（3﹣）＝6﹣．
第二次折叠，折叠点表示的数为：（3+7）＝5或（﹣1+3）＝1．
此时与数轴上的点C重合的点表示的数为：
5+（5﹣6+）＝4+或1﹣（﹣1）＝2﹣．
故答案为：4+或6﹣或2﹣．
【点睛】本题主要考查了数轴上的点和折叠问题，掌握折叠的性质是解答本题的关键．
【变式1】设x，y是有理数，且x，y满足等式，则的平方根是___________.
【答案】±1
【分析】因为x、y为有理数，所以x+2y也是有理数，根据二次根式的性质，只有同类二次根式才能合并，所以x、2y都不能与进行合并，根据实数的性质列出关系式，分别求出x、y的值再代入计算即可求解．
【详解】解：∵x、y为有理数，
∴x+2y为有理数，
∴
解得
∴=5-4=1，1的平方根是±1．
故答案为±1．
【点睛】本题考查了实数的运算，解答本题的关键是明确题意，熟悉合并同类项的法则，求出相应的x、y的值．
【变式2】某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了．
【答案】肇事汽车当时的速度超出了规定的速度．
【分析】先把d=32米，f=2分别代入v=16，求出当时汽车的速度再和100千米/时比较即可解答．
【详解】解：把d=32，f=2代入v=16，
v=16=128（km/h），
∵128＞100，
∴肇事汽车当时的速度超出了规定的速度．
【点睛】本题考查了实数运算的应用，读懂题意是解题的关键，另外要熟悉实数的相关运算．
【变式3】已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中．
（1）求_______________．
（2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形．
【答案】（1）10；（2）见解析
【分析】（1）用大正方形的面积减去四个小三角形的面积即可得出阴影部分面积；
（2）边长为的正方形，则面积为，则每个三角形的面积为，据此作图即可．
【详解】解：（1），
故答案为：10；
（2）边长为的正方形，则面积为，
则每个三角形的面积为，
则作图如下：
.
【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计作图，解决本题的关键是利用网格求出周围四个小三角形的边长．
【变式4】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：
（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与 表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：
①表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是__________________；
操作三：
（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）. 若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是_________________________.
【答案】（1）2 (2)①②-5，3（3）
【分析】（1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出-2与2重合；
（2）根据对称性找到折痕的点为-1，
①设表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；
②因为AB=8，所以A到折痕的点距离为4，因为折痕对应的点为-1，由此得出A、B两点表示的数；
（3）分三种情况进行讨论：设折痕处对应的点所表示的数是x，如图1，当AB：BC：CD=1：1：2时，所以设AB=a，BC=a，CD=2a，得a+a+2a=9，a=，得出AB、BC、CD的值，计算也x的值，同理可得出如图2、3对应的x的值．
【详解】操作一，
（1）∵表示的点1与-1表示的点重合，
∴折痕为原点O，
则-2表示的点与2表示的点重合，
操作二：
（2）∵折叠纸面，若使1表示的点与-3表示的点重合，
则折痕表示的点为-1，
①设表示的点与数a表示的点重合，
则-（-1）=-1-a，
a=-2-；
②∵数轴上A、B两点之间距离为8，
∴数轴上A、B两点到折痕-1的距离为4，
∵A在B的左侧，
则A、B两点表示的数分别是-5和3；
操作三：
（3）设折痕处对应的点所表示的数是x，
如图1，当AB：BC：CD=1：1：2时，
设AB=a，BC=a，CD=2a，
a+a+2a=9，
a=，
∴AB=，BC=，CD=，
x=-1++=，
如图2，当AB：BC：CD=1：2：1时，
设AB=a，BC=2a，CD=a，
a+a+2a=9，
a=，
∴AB=，BC=，CD=，
x=-1++=，
如图3，当AB：BC：CD=2：1：1时，
设AB=2a，BC=a，CD=a，
a+a+2a=9，
a=，
∴AB=，BC=CD=，
x=-1++=，
综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是或或．
题型五：与实数运算相关的规律题
例5.如图将1、、、按下列方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之积是（ ）．
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】首先从排列图中可知：第1排有1个数，第2排有2个数，第3排有3个数，然后抽象出第5排第4个数，第15排第8个数，然后可以得到答案．
【详解】解：表示第5排从左往右第4个数是， 表示第15排第8个数，从上面排列图中可以看出奇数行1排在最中间，所以第15行最中间是1，且为第8个，所以1和 的积是．
故本题选B．
【点睛】本题是规律题的呈现，考查学生的从具体情境中抽象出一般规律，考查学生观察与归纳能力．
【变式1】将实数按如图所示的方式排列，若用表示第m排从左向右数第n个数，则与表示的两数之积是________
1（第1排）
（第2排）
1 （第3排）
1 （第4排）
1 （第5排）
【答案】2
【分析】所给一系列数是4个数一循环，看（5，4）与（11，7）是第几个数，除以4，根据余数得到相应循环的数即可．
【详解】解：∵第4排最后一个数为第10个数（1+2+3+4=10），
∴（5，4）表示第14个数（10+4=14），
∵14÷4=3…2，
∴（5，4）表示的数为，
∵第10排最后一个数为第55个数1+2+3+4+…+10==55，
∴（11，7）表示第62个数（55+7=62），
∵62÷4=15…2，
∴（11，7）表示的数为，
则（5，4）与（11，7）表示的两数之积是×=2．
故答案为：2．
【点睛】此题考查数字的变化规律与二次根式的运算，找出数字循环的特点，发现规律，解决问题．
【变式2】若|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，则…＝_____．
【答案】
【分析】先由|a﹣1|+(ab﹣2)2＝0，利用非负数的性质得出a、b的值，代入原式后，再利用裂项求和可得．
【详解】解：∵|a﹣1|+(ab﹣2)2＝0，
∴a﹣1＝0且ab﹣2＝0，
解得a＝1，b＝2，
则原式＝
＝
＝
＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，分式的化简求值，观察式子特征用裂项的方法，相抵消是解题的关键．
【变式3】借助计算器计算下列各题：
(1)＝_____；
(2)＝_____；
(3) ＝______；
(4) ＝______；
(5)根据上面计算的结果，发现＝______________．(用含n的式子表示)
【答案】(1)1；(2)3；(3)6；(4)10；(5)
【分析】由计算器计算得：
(1)＝1；
(2)可看做被开方数中每个加数底数的和，即1+2；
(3) =6可看做被开方数中每个加数底数的和，即1+2+3；
(4)=10可看做被开方数中每个加数底数的和，即1+2+3+4
…
所以由以上规律可得（5）=1+2+3+…+n=
【详解】解：(1)＝1；
(2)
(3) =6
(4)=10
（5）=1+2+3+…+n=
故答案是：1，3，6，10，
【点睛】此题主要考查了算术平方根的一般规律性问题，解题的关键是认真观察给出的算式总结规律．
【变式4】已知：，求的值．
【答案】．
【分析】先根据绝对值的非负性、偶次方的非负性求出a、b的值，再代入分解，加减抵消即可得．
【详解】由绝对值的非负性、偶次方的非负性得：
解得
则原式
．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性、偶次方的非负性、与实数运算有关的规律型问题，将所求式子进行分解，结合加减抵消法是解题关键．
【过关检测】
一．选择题（共6小题）
1．（2022秋•鄞州区校级月考）若a＝﹣，b＝，则a﹣b＝（ ）
A．4B．﹣4C．6D．﹣6
【分析】利用平方根及立方根定义求出a与b的值，代入a﹣b计算即可求出值．
【解答】解：∵a＝﹣＝﹣5，b＝＝﹣1，
∴a﹣b＝﹣5﹣（﹣1）＝﹣5+1＝﹣4．
故选：B．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2022秋•杭州期中）下列说法中：①立方根等于本身的是﹣1，0，1；②平方根等于本身的数是0，1；③两个无理数的和一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的；⑤a与b两数的平方和表示为a2+b2．其中错误的是（ ）
A．①②B．②③C．②③④D．③④⑤
【分析】根据立方根，平方根，无理数的意义，实数与数轴，逐一判断即可解答．
【解答】解：①立方根等于本身的是﹣1，0，1，故①正确；
②平方根等于本身的数是0，故②不正确；
③两个无理数的和不一定是无理数，故③不正确；
④实数与数轴上的点是一一对应的，故④正确；
⑤a与b两数的平方和表示为a2+b2，故⑤正确；
所以，上列说法中，错误的是②③，
故选：B．
【点评】本题考查了实数的运算，立方根，平方根，实数与数轴，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
3．（2022秋•西湖区校级期中）如果a，b是2022的两个平方根，那么a+2ab+b的值是（ ）
A．0B．2022C．4044D．﹣4044
【分析】根据a，b是2022的两个平方根，可得：a+b＝0，ab＝﹣2022，据此求出a+2ab+b的值即可．
【解答】解：∵a，b是2022的两个平方根，
∴a+b＝0，ab＝﹣2022，
∴a+2ab+b
＝a+b+2ab
＝0+2×（﹣2022）
＝0+（﹣4044）
＝﹣4044．
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数的运算，以及平方根的含义和求法，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
4．（2022秋•吴兴区期中）下列说法中：①立方根等于本身的是﹣1，0，1；②平方根等于本身的数是0，1；③两个无理数的和一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的；⑤是负分数；⑥两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数．其中正确的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据立方根的定义判断①；根据平方根的定义判断②；根据互为相反数的两个数的和为0判断③；根据实数与数轴上的点是一一对应判断④；根据无理数的定义判断⑤；通过举例子判断⑥．
【解答】解：立方根等于本身的数是±1，0，故①符合题意；
平方根等于本身的数是0，故②不符合题意；
+（﹣）＝0，故③不符合题意；
实数与数轴上的点是一一对应的，故④符合题意；
﹣是无理数，不是负分数，故⑤不符合题意；
两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数，例如1和2之间有，，，等无数个，和之间有1.51，1.511等无数个，故⑥符合题意；
∴正确的个数有3个，
故选：A．
【点评】本题考查了立方根，平方根，数轴与实数，无理数，实数的运算，注意﹣是无理数，而负分数是有理数．
5．（2021秋•西湖区校级月考）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为3的是（ ）
A．a＝0，b＝3B．a＝1，b＝2C．a＝4，b＝1D．a＝9，b＝0
【分析】对于每个选项，先判断a，b的大小，若a＜b，结果＝+；若a＞b，结果＝﹣．
【解答】解：A选项，∵0＜3，
∴+＝，故该选项不符合题意；
B选项，∵1＜2，
∴+＝1+，故该选项不符合题意；
C选项，∵4＞1，
∴﹣＝2﹣1＝1，故该选项不符合题意；
D选项，∵9＞0，
∴﹣＝3，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了实数的运算，体现了分类讨论的数学思想，掌握若a＜b，结果＝+；若a＞b，结果＝﹣是解题的关键．
6．（2021秋•余姚市校级期中）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如，现对82进行如下操作：，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对100只需进行多少次操作后变为1（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】按照例题的思路，进行计算即可解答．
【解答】解：100[]＝10[]＝3[]＝1，
∴对100只需进行3次操作后变为1，
故选：C．
【点评】本题考查了实数的运算，理解例题的思路是解题的关键．
二．填空题（共12小题）
7．（2022秋•滨江区校级期中）已知x，y是两个不相等的有理数，且满足等式；（3﹣1）x＝3﹣y，则x＝ ﹣3 ，y＝ 9 ．
【分析】直接利用x，y是两个不相等的有理数，根据已知等式得出x的值，进而得出y的值．
【解答】解：∵（3﹣1）x＝3﹣y，
∴3x﹣x＝3﹣y，
∴x＝﹣3，
则3×（﹣3）＝﹣y，
解得：y＝9．
故答案为：﹣3，9．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确得出x的值是解题关键．
8．（2022秋•东阳市期中）如图，是一个计算程序，若输入的数为，则输出的结果应为 1 .
【分析】直接把已知数据代入，进而计算得出答案．
【解答】解：由题意可得：[（）2﹣5]×0.5
＝（7﹣5）×0.5
＝2×0.5
＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确代入数据是解题关键．
9．（2022秋•镇海区校级期中）计算：＝ 6 ．
【分析】先根据算术平方根和立方根化简，然后再计算即可．
【解答】解：．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了算术平方根、立方根等知识点，正确求得算术平方根和立方根是解答本题的关键．
10．（2022秋•上城区校级期中）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a*b＝，例如10*21＝＝11，则*（*2）的运算结果为 4 ．
【分析】根据题意给出的新定义运算法则即可求出答案．
【解答】解：*2＝＝＝3，
*3＝＝＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查实数的运算，解题的关键是熟练运用新定义运算法则，本题属于基础题型．
11．（2021秋•柯桥区期末）根据图示的对话，则代数式3a+3b﹣2c+2m的值是 19 ．
【分析】直接利用互为相反数以及算术平方根、倒数的定义得出a+b＝0，c＝﹣，m＝9，进而计算得出答案．
【解答】解：由题意可得：a+b＝0，c＝﹣，m＝9，
故原式＝3（a+b）﹣2c+2m
＝3×0﹣2×（﹣）+2×9
＝0+1+18
＝19．
故答案为：19．
【点评】此题主要考查了互为相反数以及算术平方根、倒数的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
12．（2021秋•浙江期末）计算：+＝ ﹣1 ．
【分析】先化简各数，然后再进行计算即可．
【解答】解：+
＝﹣3+2
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各数是解题的关键．
13．（2021秋•东阳市期末）若a与b互为相反数，m与n互为倒数，k的算术平方根为，则2022a+2021b+mnb+k2的值为 4 ．
【分析】根据题意得a+b＝0，mn＝1，k＝2，整体代入求值即可．
【解答】解：∵a与b互为相反数，m与n互为倒数，k的算术平方根为，
∴a+b＝0，mn＝1，k＝2，
∴原式＝2021（a+b）+a+b+4
＝0+0+
＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了实数的运算，考查了整体思想，整体代入求值是解题的关键．
14．（2022秋•宁波期中）任意写出两个无理数，使它们的和为2： +2与﹣ ．
【分析】写出两个无理数，使其之和为2即可．
【解答】解：根据题意得：+2+（﹣）＝2，
故答案为：+2与﹣
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（2022秋•温州期末）按如图所示的程序计算，若输入的a＝3，b＝4，则输出的结果为 5 ．
【分析】把a、b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：当a＝3，b＝4时，
＝＝＝5，
所以输出的结果为5．
故答案为：5．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（2022秋•瑞安市期中）对于任意实数对（a，b）和（c，d），规定运算“⊗”为（a，b）⊗（c，d）＝（ac，bd）；运算“⊕”为（a，b）⊕（c，d）＝（a+c，b+d）．例如（2，3）⊗（4，5）＝（8，15）；（2，3）⊕（4，5）＝（6，8）．若（2，3）⊗（p，q）＝（﹣4，9），则（1，﹣5）⊕（p，q）＝ （﹣1，﹣2） ．
【分析】读懂题意，利用新定义计算，先根据新定义列等式，求出p、q的值，再代入新定义计算．
【解答】解：∵（2，3）⊗（p，q）＝（﹣4，9），
∴2p＝﹣4，p＝﹣2，
3q＝9，q＝3，
∴（1，﹣5）⊕（p，q）＝（1，﹣5）⊕（﹣2，3）＝（﹣1，﹣2）．
故答案为：（﹣1，﹣2）．
【点评】本题考查了实数运算的新定义，解题的关键是读懂题意，能利用新定义正确的进行计算．
17．（2022秋•青田县期中）计算：﹣＝ 1 ．
【分析】原式利用算术平方根及立方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝4﹣3＝1，
故答案为：1
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（2022秋•新昌县期中）已知：m与n互为相反数，c与d互为倒数，a是的整数部分，则的值是 ﹣1 ．
【分析】首先根据有理数的加法可得m+n＝0，根据倒数定义可得cd＝1，然后代入代数式求值即可．
【解答】解：∵m与n互为相反数，
∴m+n＝0，
∵c与d互为倒数，
∴cd＝1，
∵a是的整数部分，
∴a＝2，
∴＝1+2×0﹣2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了实数的运算，关键是掌握相反数和为0，倒数积为1．
三．解答题（共7小题）
19．（2022秋•鄞州区期中）初中阶段，目前我们已经学习了多种计算技巧，例如裂项相消法，错位相减法等等，请计算下列各式：
（1）＝ ；
（2）＝ ；
（3）＝ ﹣1 ．
【分析】（1）裂项后乘以2，将各项相加，消掉和互为相反数的项；
（2）裂项后乘以3，将各项相加，消掉和互为相反数的项；
（3）根据绝对值的性质去掉绝对值，即可消掉．
【解答】解：（1）原式＝2×（1﹣+﹣+﹣+•••+﹣）
＝2×（1﹣）
＝．
故答案为：；
（2）原式＝3×（1﹣+﹣+﹣+•••+）
＝3×（1﹣）
＝3×
＝．
故答案为：；
（3）原式＝﹣1+﹣+﹣+•••+﹣
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是实数的运算，根据题意找出运算规律是解题的关键．
20．（2022秋•余杭区校级期中）计算：
（1）+；
（2）．
【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则即可求出答案．
（2）根据立方根与平方根的性质即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝+
＝+
＝4+1
＝5．
（2）原式＝﹣3+3﹣（﹣1）
＝0+1
＝1．
【点评】本题考查实数的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算、平方根性质以及立方根的性质，本题属于基础题型．
21．（2022秋•婺城区期末）计算：．
【分析】根据平方，算术平方根的概念、绝对值的性质计算．
【解答】解：原式＝﹣4﹣3+4+4＝1．
【点评】本题考查的是实数的运算，掌握算术平方根、绝对值的性质是解题的关键．
22．（2022秋•鄞州区校级月考）计算：
（1）﹣；
（2）4+（﹣3）2×2﹣．
【分析】（1）先计算平方根和立方根，再计算减法；
（2）先计算平方和立方根，再计算乘法，最后计算加减运算．
【解答】解：（1）﹣
＝9﹣4
＝5；
（2）4+（﹣3）2×2﹣
＝4+9×2﹣3
＝4+18﹣3
＝19．
【点评】此题考查了实数的混合运算，关键是能准确理解运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
23．（2022秋•杭州期中）（1）若a是最小的正整数，b是绝对值最小的数，，．
则a＝ 1 ；b＝ 0 ；c＝ ﹣ ；x＝ ﹣2 ；y＝ 3 ．
（2）若a与b互为相反数，c与d互为倒数，，求代数式4（a+b）+（﹣cd）2﹣e2的值．
【分析】（1）根据绝对值，算术平方根的非负性，进行计算即可解答；
（2）根据相反数，倒数，绝对值的意义可得a+b＝0，cd＝1，e＝±，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵a是最小的正整数，b是绝对值最小的数，
∴a＝1，b＝0，
∵，
∴c＝﹣，
∵，
∴x+2＝0，y﹣3＝0，
∴x＝﹣2，y＝3，
故答案为：1；0；﹣；﹣2；3；
（2）∵a与b互为相反数，c与d互为倒数，，
∴a+b＝0，cd＝1，e＝±，
∴4（a+b）+（﹣cd）2﹣e2的
＝4×0+（﹣1）﹣2
＝0﹣1﹣2
＝﹣3，
∴4（a+b）+（﹣cd）2﹣e2的值为﹣3．
【点评】本题考查了实数的运算，有理数的混合运算，绝对值，算术平方根的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键．
24．（2021秋•松阳县期末）用“※定义新运算：对于任何实数x和y，都有x※y＝xy﹣2（x﹣y）．如：1※2＝1×2﹣2×（1﹣2）＝4．
（1）求2※（﹣1）的值；
（2）计算（2a）※b+b※（2a）．
【分析】按照定义分别代入计算即可．
【解答】解：（1）由题意得，
2※（﹣1）
＝2×（﹣1）﹣2[2﹣（﹣1）]
＝﹣2﹣2×3
＝﹣2﹣6
＝﹣8；
（2）由题意得，
（2a）※b+b※（2a）
＝[2a•b﹣2×（2a﹣b）]+[b•2a﹣2×（b﹣2a）]
＝（2ab﹣4a+2b）+（2ab﹣2b+4a）
＝2ab﹣4a+2b+2ab﹣2b+4a
＝4ab．
【点评】此题考查了运用新定义进行实数及整式的运算能力，关键是能准确理解并运用定义进行运算．
25．（2022秋•永康市期中）计算：（1）﹣﹣（﹣1）2023
（2）|﹣2|﹣﹣
【分析】（1）根据算术平方根，立方根和有理数的乘方运算可解答；
（2）根据绝对值，算术平方根，立方根运算可解答．
【解答】解：（1）﹣﹣（﹣1）2023
＝5﹣4+1
＝2；
（2）|﹣2|﹣﹣
＝2﹣﹣3+3
＝2﹣．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握算术平方根，立方根和有理数的乘方的运算法则是关键．
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
【考点剖析】
题型一：实数的混合混算
例1.计算：
（1）＝___.（2）4+＝___．（3）的立方根为 ___．
（4）如果的平方根是±3，则＝___．
【变式1】如图边长为2的正方形，则图中的阴影部分面积是______．
【变式2】若与互为相反数，则________．
【变式3】计算：|﹣|﹣．
【变式4】（2022·浙江金华·七年级期末）计算：
(1) (2)
【变式5】计算：
(1)； (2)．
【变式6】（2022·浙江台州·七年级期中）计算
【变式7】（2022·浙江台州·七年级期中）计算：
(1)； (2)．
题型二：程序设计与实数运算
例2.按如图所示的程序计算，若开始输入的x为，则输出的结果为________．
【变式1】如图所示是计算机程序计算，若开始输入x＝﹣3，则最后输出的结果是____．
【变式2】如图，是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果应为______________．
【变式3】（2022·浙江台州·七年级期中）如图是一个无理数筛选器的工作流程图．
(1)当x为9时，y值为 ；
(2)如果输入0和1， （填“能”或“不能”）输出y值；
(3)当输出的y值是时，请写出满足题意的x值： ．（写出两个即可）
题型三：新定义下的实数运算
例3．（2022·浙江台州·七年级期中）设表示小于的最大整数，如，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．的最小值是0C．的最大值是1D．不存在实数，使
【变式1】任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作，，这样对72只需进行3次操作即可变为1，类似地，对81只需进行（ ）次操作后即可变为1．
A．2B．3C．4D．5
【变式2】定义新运算“⊕”：a⊕b=+（其中a、b都是有理数），例如：2⊕3=+=，那么3⊕（﹣4）的值是（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
【变式3】（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学七年级阶段练习）现规定一种运算：，其中，为有理数，则 等于( )
A．a2－bB．b2－bC．b2D．b2－a
【变式4】（2022·浙江杭州·七年级期中）用“”定义新运算：对于任意实数a，b，都有．例如：，那么20225＝________；当m为实数时，＝________．
【变式5】（2022·浙江·七年级专题练习）观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号）
1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，…，
那么计算：=__．
【变式6】（2022·浙江绍兴·七年级期末）如，我们叫集合M．其中1，2，x叫做集合M的元素，集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是______．
【变式7】定义新运算：对于任意实数a，b，都有，例如．
（1）求的值．
（2）求的平方根．
【变式8】任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1．现对72进行如下操作：72第一次[]=8，第二次[]=2，第三次[]=1，这样对72只需进行3次操作变为1．
（1）对10进行1次操作后变为_______，对200进行3次作后变为_______；
（2）对实数m恰进行2次操作后变成1，则m最小可以取到_______；
（3）若正整数m进行3次操作后变为1，求m的最大值．
题型四：实数运算的实际应用
例4.如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3，点C表示的数为．若子轩同学先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A和点B重合，则此时数轴上与点C重合的点所表示的数是_______．
【变式1】设x，y是有理数，且x，y满足等式，则的平方根是___________.
【变式2】某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了．
【变式3】已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中．
（1）求_______________．
（2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形．
【变式4】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：
（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与 表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：
①表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是__________________；
操作三：
（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）. 若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是_________________________.
题型五：与实数运算相关的规律题
例5.如图将1、、、按下列方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之积是（ ）．
A．1B．C．D．
【变式1】将实数按如图所示的方式排列，若用表示第m排从左向右数第n个数，则与表示的两数之积是________
1（第1排）
（第2排）
1 （第3排）
1 （第4排）
1 （第5排）
【变式2】若|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，则…＝_____．
【变式3】借助计算器计算下列各题：
(1)＝_____；
(2)＝_____；
(3) ＝______；
(4) ＝______；
(5)根据上面计算的结果，发现＝______________．(用含n的式子表示)
【变式4】已知：，求的值．
【过关检测】
一．选择题（共6小题）
1．（2022秋•鄞州区校级月考）若a＝﹣，b＝，则a﹣b＝（ ）
A．4B．﹣4C．6D．﹣6
2．（2022秋•杭州期中）下列说法中：①立方根等于本身的是﹣1，0，1；②平方根等于本身的数是0，1；③两个无理数的和一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的；⑤a与b两数的平方和表示为a2+b2．其中错误的是（ ）
A．①②B．②③C．②③④D．③④⑤
3．（2022秋•西湖区校级期中）如果a，b是2022的两个平方根，那么a+2ab+b的值是（ ）
A．0B．2022C．4044D．﹣4044
4．（2022秋•吴兴区期中）下列说法中：①立方根等于本身的是﹣1，0，1；②平方根等于本身的数是0，1；③两个无理数的和一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的；⑤是负分数；⑥两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数．其中正确的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．（2021秋•西湖区校级月考）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为3的是（ ）
A．a＝0，b＝3B．a＝1，b＝2C．a＝4，b＝1D．a＝9，b＝0
6．（2021秋•余姚市校级期中）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如，现对82进行如下操作：，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对100只需进行多少次操作后变为1（ ）
A．1B．2C．3D．4
二．填空题（共12小题）
7．（2022秋•滨江区校级期中）已知x，y是两个不相等的有理数，且满足等式；（3﹣1）x＝3﹣y，则x＝ ，y＝ ．
8．（2022秋•东阳市期中）如图，是一个计算程序，若输入的数为，则输出的结果应为 .
9．（2022秋•镇海区校级期中）计算：＝ ．
10．（2022秋•上城区校级期中）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a*b＝，例如10*21＝＝11，则*（*2）的运算结果为 ．
11．（2021秋•柯桥区期末）根据图示的对话，则代数式3a+3b﹣2c+2m的值是 ．
12．（2021秋•浙江期末）计算：+＝ ．
13．（2021秋•东阳市期末）若a与b互为相反数，m与n互为倒数，k的算术平方根为，则2022a+2021b+mnb+k2的值为 ．
14．（2022秋•宁波期中）任意写出两个无理数，使它们的和为2： ．
15．（2022秋•温州期末）按如图所示的程序计算，若输入的a＝3，b＝4，则输出的结果为 ．
16．（2022秋•瑞安市期中）对于任意实数对（a，b）和（c，d），规定运算“⊗”为（a，b）⊗（c，d）＝（ac，bd）；运算“⊕”为（a，b）⊕（c，d）＝（a+c，b+d）．例如（2，3）⊗（4，5）＝（8，15）；（2，3）⊕（4，5）＝（6，8）．若（2，3）⊗（p，q）＝（﹣4，9），则（1，﹣5）⊕（p，q）＝ ．
17．（2022秋•青田县期中）计算：﹣＝ ．
18．（2022秋•新昌县期中）已知：m与n互为相反数，c与d互为倒数，a是的整数部分，则的值是 ．
三．解答题（共7小题）
19．（2022秋•鄞州区期中）初中阶段，目前我们已经学习了多种计算技巧，例如裂项相消法，错位相减法等等，请计算下列各式：
（1）＝ ；
（2）＝ ；
（3）＝ ．
20．（2022秋•余杭区校级期中）计算：
（1）+； （2）．
21．（2022秋•婺城区期末）计算：．
22．（2022秋•鄞州区校级月考）计算：
（1）﹣； （2）4+（﹣3）2×2﹣．
23．（2022秋•杭州期中）（1）若a是最小的正整数，b是绝对值最小的数，，．
则a＝ ；b＝ ；c＝ ；x＝ ；y＝ ．
（2）若a与b互为相反数，c与d互为倒数，，求代数式4（a+b）+（﹣cd）2﹣e2的值．
24．（2021秋•松阳县期末）用“※定义新运算：对于任何实数x和y，都有x※y＝xy﹣2（x﹣y）．如：1※2＝1×2﹣2×（1﹣2）＝4．
（1）求2※（﹣1）的值；
（2）计算（2a）※b+b※（2a）．
25．（2022秋•永康市期中）计算：
（1）﹣﹣（﹣1）2023 （2）|﹣2|﹣﹣
第14讲 实数的运算（5种题型）
【知识梳理】
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
【考点剖析】
题型一：实数的混合混算
例1.计算：
（1）＝___.（2）4+＝___．（3）的立方根为 ___．
（4）如果的平方根是±3，则＝___．
【答案】 4 8 3 4
【分析】（1）根据立方根的定义求解即可；
（2）根据平方根的定义先化简，然后求解即可；
（3）根据平方根的定义先化简，再求立方根即可；
（4）根据平方根的定义先求出，然后代入求解即可．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）∵，
∴的立方根即为8的立方根，8的立方根为3，
∴的立方根为3；
（4）∵的平方根是±3，
∴，
∴，
∴；
故答案为：4；8；3；4．
【点睛】本题考查平方根，算术平方根以及立方根的相关计算，理解平方根与立方根的相关基本概念是解题关键．
【变式1】如图边长为2的正方形，则图中的阴影部分面积是______．
【答案】
【分析】由图可知阴影部分的面积等于正方形面积减去圆的面积，由此求解即可．
【详解】解：根据题意可得：
S阴影＝＝．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，解题的关键是熟知正方形、圆的面积公式．
【变式2】若与互为相反数，则________．
【答案】-1
【分析】根据题意，可得：，所以，据此求出的值是多少，再应用代入法，求出的值是多少即可．
【详解】解：与互为相反数，
，
，
解得：，
，
故答案为：-1．
【点睛】此题主要考查了实数的混合运算，相反数的性质，立方根的性质，根据两个数的立方根互为相反数得到关于x的方程是关键点．
【变式3】计算：|﹣|﹣．
【答案】
【分析】先逐项化简，再算加减即可．
【详解】解： 原式=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握立方根和算术平方根的定义是解答本题的关键．
【变式4】（2022·浙江金华·七年级期末）计算：
(1) (2)
【答案】(1)1
(2)35
【分析】（1）原式先化简立方根，再计算除法，最后计算减法即可得到答案；
（2）原式先计算乘方和化简算术平方根，再计算乘法，最后计算加法即可得到答案．
(1)
=
=1
(2)
=
=
=
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【变式5】计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)12
(2)
【分析】（1）直接利用立方根以及算术平方根的性质化简得出答案；
（2）直接利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．
(1)解：原式；
(2)解：原式．
【点睛】本题主要考查了实数运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【变式6】（2022·浙江台州·七年级期中）计算
【答案】
【分析】直接根据算术平方根、立方根以及绝对值的意义将原式进行化简，然后根据实数的运算法则进行计算即可．
【详解】解：
＝
＝．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握算术平方根、立方根以及绝对值的非负性是解本题的关键．
【变式7】（2022·浙江台州·七年级期中）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根据算术平方根和立方根化简后计算即可；
（2）去绝对值后计算即可．
（1）
解：
；
（2）
．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握算术平方根、立方根的定义和绝对值的性质是解题关键．
题型二：程序设计与实数运算
例2.按如图所示的程序计算，若开始输入的x为，则输出的结果为________．
【答案】15．
【分析】根据输入的为，按照运算程序，计算结果即可．
【详解】解：∵输入的为，是无理数，
∴以为边长的正方形的面积是：，
故答案是：15．
【点睛】本题考查有理数的运算，读懂题目，掌握计算法则是解题的关键．
【变式1】如图所示是计算机程序计算，若开始输入x＝﹣3，则最后输出的结果是____．
【答案】2．
【分析】读懂计算程序，把x=－3代入，按计算程序计算，直到结果是无理数即可．
【详解】当输入x，若＝2的结果是无理数，即为输出的数，
当x＝﹣3时，2＝2，不是无理数，
因此，把x＝2再输入得，2＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握计算法则是关键．
【变式2】如图，是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果应为______________．
【答案】
【分析】根据计算程序列出算式，并根据求解即可．
【详解】解：根据题意，得
，
故答案为：．
【点睛】本题考查实数的混合运算，理解计算程序，正确列出算式并求解是解答的关键．
【变式3】（2022·浙江台州·七年级期中）如图是一个无理数筛选器的工作流程图．
(1)当x为9时，y值为 ；
(2)如果输入0和1， （填“能”或“不能”）输出y值；
(3)当输出的y值是时，请写出满足题意的x值： ．（写出两个即可）
【答案】(1)
(2)不能
(3)5或25（答案不唯一）
【分析】（1）根据运算流程图，即可求解；
（2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，即可判断；
（3）根据运算法则，进行逆运算即可得到满足题意的x值．
（1）
解：当输入x=9时，9的算术平方根为3，不是无理数，3的算术平方根为，
即；
故答案为：
（2）解：当输入x=0或1时，因为0的算术平方根是0，始终是有理数，1的算术平方根是1，也始终是有理数，
所以不能输出y；
故答案为：不能
（3）解：当时，，此时x=5；
当时，，，此时x=25；
故答案为：5或25（答案不唯一）
【点睛】本题考查了无理数以及算术平方根，正确理解工作流程图是解题的关键．
题型三：新定义下的实数运算
例3．（2022·浙江台州·七年级期中）设表示小于的最大整数，如，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．的最小值是0C．的最大值是1D．不存在实数，使
【答案】C
【分析】根据新定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、因为表示小于的最大整数，所以，故本选项错误，不符合题意；
C、因为表示小于的最大整数，所以的最大值是1，故本选项正确，符合题意；
D、存在实数，使，如，则，故本选项错误，不符合题意；
故选：C.
【点睛】本题主要考查了实数的大小比较和新定义运算，正确理解表示小于的最大整数是解题的关键．
【变式1】任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作，，这样对72只需进行3次操作即可变为1，类似地，对81只需进行（ ）次操作后即可变为1．
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据新运算依次求出即可．
【详解】解：，，，共3次操作，
故选B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，能求出每次的值是解此题的关键．
【变式2】定义新运算“⊕”：a⊕b=+（其中a、b都是有理数），例如：2⊕3=+=，那么3⊕（﹣4）的值是（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
【答案】C
【详解】试题解析：3⊕（-4）
=.
故选C．
【变式3】（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学七年级阶段练习）现规定一种运算：，其中，为有理数，则 等于( )
A．a2－bB．b2－bC．b2D．b2－a
【答案】B
【详解】
故选：B.
【变式4】（2022·浙江杭州·七年级期中）用“”定义新运算：对于任意实数a，b，都有．例如：，那么20225＝________；当m为实数时，＝________．
【答案】 26 26
【分析】首先用5的平方加上1，求出2022⊗5的值；然后用2的平方加上1，求出m⊗2的值，进而求出m⊗（m⊗2）的值即可．
【详解】解：∵对于任意实数a，b，都有a⊗b=b2+1，
∴2022⊗5=52+1=26；
当m为实数时，
m⊗（m⊗2）
=m⊗（22+1）
=m⊗5
=52+1
=25+1
=26．
故答案为：26、26．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，以及定义新运算，解答此题的关键是要明确“⊗”的运算方法．
【变式5】（2022·浙江·七年级专题练习）观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号）
1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，…，
那么计算：=__．
【答案】
【分析】根据“！”的运算方式列式计算即可．
【详解】解：．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，有理数的除法，理解新定义运算“！”是解题的关键．
【变式6】（2022·浙江绍兴·七年级期末）如，我们叫集合M．其中1，2，x叫做集合M的元素，集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是______．
【答案】
【分析】根据集合的定义和集合相等的条件即可判断．
【详解】∵，，
∴，，
∴，即，
∴，或，，
∴或（舍去），
∴，
故答案为：．
【点睛】本题以集合为背景考查了代数式求值，关键是根据集合的定义和性质求出和的值．
【变式7】定义新运算：对于任意实数a，b，都有，例如．
（1）求的值．
（2）求的平方根．
【答案】（1）21；（2）±4
【分析】（1）根据定义新运算即可求的值；
（2）根据定义新运算求的值，再计算平方根即可得出答案．
【详解】（1）由定义新运算得：；
（2）由定义新运算得：，
∴的平方根为．
【点睛】本题考查新定义的有理数运算，掌握新定义的运算法则是解题的关键．
【变式8】任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1．现对72进行如下操作：72第一次[]=8，第二次[]=2，第三次[]=1，这样对72只需进行3次操作变为1．
（1）对10进行1次操作后变为_______，对200进行3次作后变为_______；
（2）对实数m恰进行2次操作后变成1，则m最小可以取到_______；
（3）若正整数m进行3次操作后变为1，求m的最大值．
【答案】（1）3；1；（2）；（3）的最大值为255
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴对10进行1次操作后变为3；
同理可得，
∴，
同理可得，
∴，
同理可得，
∴，
∴对200进行3次作后变为1，
故答案为：3；1；
（2）设m进行第一次操作后的数为x，
∵，
∴．
∴．
∴．
∵要经过两次操作．
∴．
∴．
∴．
故答案为：．
（3）设m经过第一次操作后的数为n，经过第二次操作后的数为x，
∵，
∴．
∴．
∴．
．
∴．
∵要经过3次操作，故．
∴．
∵是整数．
∴的最大值为255．
【点睛】本题考查取整函数及无理数的估计，正确理解取整含义是求解本题的关键．
题型四：实数运算的实际应用
例4.如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3，点C表示的数为．若子轩同学先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A和点B重合，则此时数轴上与点C重合的点所表示的数是_______．
【答案】4+或6﹣或2﹣．
【分析】先求出第一次折叠与A重合的点表示的数，然后再求两点间的距离即可；同理再求出第二次折叠与C点重合的点表示的数即可．
【详解】解：第一次折叠后与A重合的点表示的数是：3+（3+1）＝7．
与C重合的点表示的数：3+（3﹣）＝6﹣．
第二次折叠，折叠点表示的数为：（3+7）＝5或（﹣1+3）＝1．
此时与数轴上的点C重合的点表示的数为：
5+（5﹣6+）＝4+或1﹣（﹣1）＝2﹣．
故答案为：4+或6﹣或2﹣．
【点睛】本题主要考查了数轴上的点和折叠问题，掌握折叠的性质是解答本题的关键．
【变式1】设x，y是有理数，且x，y满足等式，则的平方根是___________.
【答案】±1
【分析】因为x、y为有理数，所以x+2y也是有理数，根据二次根式的性质，只有同类二次根式才能合并，所以x、2y都不能与进行合并，根据实数的性质列出关系式，分别求出x、y的值再代入计算即可求解．
【详解】解：∵x、y为有理数，
∴x+2y为有理数，
∴
解得
∴=5-4=1，1的平方根是±1．
故答案为±1．
【点睛】本题考查了实数的运算，解答本题的关键是明确题意，熟悉合并同类项的法则，求出相应的x、y的值．
【变式2】某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了．
【答案】肇事汽车当时的速度超出了规定的速度．
【分析】先把d=32米，f=2分别代入v=16，求出当时汽车的速度再和100千米/时比较即可解答．
【详解】解：把d=32，f=2代入v=16，
v=16=128（km/h），
∵128＞100，
∴肇事汽车当时的速度超出了规定的速度．
【点睛】本题考查了实数运算的应用，读懂题意是解题的关键，另外要熟悉实数的相关运算．
【变式3】已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中．
（1）求_______________．
（2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形．
【答案】（1）10；（2）见解析
【分析】（1）用大正方形的面积减去四个小三角形的面积即可得出阴影部分面积；
（2）边长为的正方形，则面积为，则每个三角形的面积为，据此作图即可．
【详解】解：（1），
故答案为：10；
（2）边长为的正方形，则面积为，
则每个三角形的面积为，
则作图如下：
.
【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计作图，解决本题的关键是利用网格求出周围四个小三角形的边长．
【变式4】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：
（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与 表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：
①表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是__________________；
操作三：
（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）. 若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是_________________________.
【答案】（1）2 (2)①②-5，3（3）
【分析】（1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出-2与2重合；
（2）根据对称性找到折痕的点为-1，
①设表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；
②因为AB=8，所以A到折痕的点距离为4，因为折痕对应的点为-1，由此得出A、B两点表示的数；
（3）分三种情况进行讨论：设折痕处对应的点所表示的数是x，如图1，当AB：BC：CD=1：1：2时，所以设AB=a，BC=a，CD=2a，得a+a+2a=9，a=，得出AB、BC、CD的值，计算也x的值，同理可得出如图2、3对应的x的值．
【详解】操作一，
（1）∵表示的点1与-1表示的点重合，
∴折痕为原点O，
则-2表示的点与2表示的点重合，
操作二：
（2）∵折叠纸面，若使1表示的点与-3表示的点重合，
则折痕表示的点为-1，
①设表示的点与数a表示的点重合，
则-（-1）=-1-a，
a=-2-；
②∵数轴上A、B两点之间距离为8，
∴数轴上A、B两点到折痕-1的距离为4，
∵A在B的左侧，
则A、B两点表示的数分别是-5和3；
操作三：
（3）设折痕处对应的点所表示的数是x，
如图1，当AB：BC：CD=1：1：2时，
设AB=a，BC=a，CD=2a，
a+a+2a=9，
a=，
∴AB=，BC=，CD=，
x=-1++=，
如图2，当AB：BC：CD=1：2：1时，
设AB=a，BC=2a，CD=a，
a+a+2a=9，
a=，
∴AB=，BC=，CD=，
x=-1++=，
如图3，当AB：BC：CD=2：1：1时，
设AB=2a，BC=a，CD=a，
a+a+2a=9，
a=，
∴AB=，BC=CD=，
x=-1++=，
综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是或或．
题型五：与实数运算相关的规律题
例5.如图将1、、、按下列方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之积是（ ）．
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】首先从排列图中可知：第1排有1个数，第2排有2个数，第3排有3个数，然后抽象出第5排第4个数，第15排第8个数，然后可以得到答案．
【详解】解：表示第5排从左往右第4个数是， 表示第15排第8个数，从上面排列图中可以看出奇数行1排在最中间，所以第15行最中间是1，且为第8个，所以1和 的积是．
故本题选B．
【点睛】本题是规律题的呈现，考查学生的从具体情境中抽象出一般规律，考查学生观察与归纳能力．
【变式1】将实数按如图所示的方式排列，若用表示第m排从左向右数第n个数，则与表示的两数之积是________
1（第1排）
（第2排）
1 （第3排）
1 （第4排）
1 （第5排）
【答案】2
【分析】所给一系列数是4个数一循环，看（5，4）与（11，7）是第几个数，除以4，根据余数得到相应循环的数即可．
【详解】解：∵第4排最后一个数为第10个数（1+2+3+4=10），
∴（5，4）表示第14个数（10+4=14），
∵14÷4=3…2，
∴（5，4）表示的数为，
∵第10排最后一个数为第55个数1+2+3+4+…+10==55，
∴（11，7）表示第62个数（55+7=62），
∵62÷4=15…2，
∴（11，7）表示的数为，
则（5，4）与（11，7）表示的两数之积是×=2．
故答案为：2．
【点睛】此题考查数字的变化规律与二次根式的运算，找出数字循环的特点，发现规律，解决问题．
【变式2】若|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，则…＝_____．
【答案】
【分析】先由|a﹣1|+(ab﹣2)2＝0，利用非负数的性质得出a、b的值，代入原式后，再利用裂项求和可得．
【详解】解：∵|a﹣1|+(ab﹣2)2＝0，
∴a﹣1＝0且ab﹣2＝0，
解得a＝1，b＝2，
则原式＝
＝
＝
＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，分式的化简求值，观察式子特征用裂项的方法，相抵消是解题的关键．
【变式3】借助计算器计算下列各题：
(1)＝_____；
(2)＝_____；
(3) ＝______；
(4) ＝______；
(5)根据上面计算的结果，发现＝______________．(用含n的式子表示)
【答案】(1)1；(2)3；(3)6；(4)10；(5)
【分析】由计算器计算得：
(1)＝1；
(2)可看做被开方数中每个加数底数的和，即1+2；
(3) =6可看做被开方数中每个加数底数的和，即1+2+3；
(4)=10可看做被开方数中每个加数底数的和，即1+2+3+4
…
所以由以上规律可得（5）=1+2+3+…+n=
【详解】解：(1)＝1；
(2)
(3) =6
(4)=10
（5）=1+2+3+…+n=
故答案是：1，3，6，10，
【点睛】此题主要考查了算术平方根的一般规律性问题，解题的关键是认真观察给出的算式总结规律．
【变式4】已知：，求的值．
【答案】．
【分析】先根据绝对值的非负性、偶次方的非负性求出a、b的值，再代入分解，加减抵消即可得．
【详解】由绝对值的非负性、偶次方的非负性得：
解得
则原式
．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性、偶次方的非负性、与实数运算有关的规律型问题，将所求式子进行分解，结合加减抵消法是解题关键．
【过关检测】
一．选择题（共6小题）
1．（2022秋•鄞州区校级月考）若a＝﹣，b＝，则a﹣b＝（ ）
A．4B．﹣4C．6D．﹣6
【分析】利用平方根及立方根定义求出a与b的值，代入a﹣b计算即可求出值．
【解答】解：∵a＝﹣＝﹣5，b＝＝﹣1，
∴a﹣b＝﹣5﹣（﹣1）＝﹣5+1＝﹣4．
故选：B．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2022秋•杭州期中）下列说法中：①立方根等于本身的是﹣1，0，1；②平方根等于本身的数是0，1；③两个无理数的和一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的；⑤a与b两数的平方和表示为a2+b2．其中错误的是（ ）
A．①②B．②③C．②③④D．③④⑤
【分析】根据立方根，平方根，无理数的意义，实数与数轴，逐一判断即可解答．
【解答】解：①立方根等于本身的是﹣1，0，1，故①正确；
②平方根等于本身的数是0，故②不正确；
③两个无理数的和不一定是无理数，故③不正确；
④实数与数轴上的点是一一对应的，故④正确；
⑤a与b两数的平方和表示为a2+b2，故⑤正确；
所以，上列说法中，错误的是②③，
故选：B．
【点评】本题考查了实数的运算，立方根，平方根，实数与数轴，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
3．（2022秋•西湖区校级期中）如果a，b是2022的两个平方根，那么a+2ab+b的值是（ ）
A．0B．2022C．4044D．﹣4044
【分析】根据a，b是2022的两个平方根，可得：a+b＝0，ab＝﹣2022，据此求出a+2ab+b的值即可．
【解答】解：∵a，b是2022的两个平方根，
∴a+b＝0，ab＝﹣2022，
∴a+2ab+b
＝a+b+2ab
＝0+2×（﹣2022）
＝0+（﹣4044）
＝﹣4044．
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数的运算，以及平方根的含义和求法，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
4．（2022秋•吴兴区期中）下列说法中：①立方根等于本身的是﹣1，0，1；②平方根等于本身的数是0，1；③两个无理数的和一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的；⑤是负分数；⑥两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数．其中正确的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据立方根的定义判断①；根据平方根的定义判断②；根据互为相反数的两个数的和为0判断③；根据实数与数轴上的点是一一对应判断④；根据无理数的定义判断⑤；通过举例子判断⑥．
【解答】解：立方根等于本身的数是±1，0，故①符合题意；
平方根等于本身的数是0，故②不符合题意；
+（﹣）＝0，故③不符合题意；
实数与数轴上的点是一一对应的，故④符合题意；
﹣是无理数，不是负分数，故⑤不符合题意；
两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数，例如1和2之间有，，，等无数个，和之间有1.51，1.511等无数个，故⑥符合题意；
∴正确的个数有3个，
故选：A．
【点评】本题考查了立方根，平方根，数轴与实数，无理数，实数的运算，注意﹣是无理数，而负分数是有理数．
5．（2021秋•西湖区校级月考）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为3的是（ ）
A．a＝0，b＝3B．a＝1，b＝2C．a＝4，b＝1D．a＝9，b＝0
【分析】对于每个选项，先判断a，b的大小，若a＜b，结果＝+；若a＞b，结果＝﹣．
【解答】解：A选项，∵0＜3，
∴+＝，故该选项不符合题意；
B选项，∵1＜2，
∴+＝1+，故该选项不符合题意；
C选项，∵4＞1，
∴﹣＝2﹣1＝1，故该选项不符合题意；
D选项，∵9＞0，
∴﹣＝3，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了实数的运算，体现了分类讨论的数学思想，掌握若a＜b，结果＝+；若a＞b，结果＝﹣是解题的关键．
6．（2021秋•余姚市校级期中）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如，现对82进行如下操作：，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对100只需进行多少次操作后变为1（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】按照例题的思路，进行计算即可解答．
【解答】解：100[]＝10[]＝3[]＝1，
∴对100只需进行3次操作后变为1，
故选：C．
【点评】本题考查了实数的运算，理解例题的思路是解题的关键．
二．填空题（共12小题）
7．（2022秋•滨江区校级期中）已知x，y是两个不相等的有理数，且满足等式；（3﹣1）x＝3﹣y，则x＝ ﹣3 ，y＝ 9 ．
【分析】直接利用x，y是两个不相等的有理数，根据已知等式得出x的值，进而得出y的值．
【解答】解：∵（3﹣1）x＝3﹣y，
∴3x﹣x＝3﹣y，
∴x＝﹣3，
则3×（﹣3）＝﹣y，
解得：y＝9．
故答案为：﹣3，9．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确得出x的值是解题关键．
8．（2022秋•东阳市期中）如图，是一个计算程序，若输入的数为，则输出的结果应为 1 .
【分析】直接把已知数据代入，进而计算得出答案．
【解答】解：由题意可得：[（）2﹣5]×0.5
＝（7﹣5）×0.5
＝2×0.5
＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确代入数据是解题关键．
9．（2022秋•镇海区校级期中）计算：＝ 6 ．
【分析】先根据算术平方根和立方根化简，然后再计算即可．
【解答】解：．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了算术平方根、立方根等知识点，正确求得算术平方根和立方根是解答本题的关键．
10．（2022秋•上城区校级期中）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a*b＝，例如10*21＝＝11，则*（*2）的运算结果为 4 ．
【分析】根据题意给出的新定义运算法则即可求出答案．
【解答】解：*2＝＝＝3，
*3＝＝＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查实数的运算，解题的关键是熟练运用新定义运算法则，本题属于基础题型．
11．（2021秋•柯桥区期末）根据图示的对话，则代数式3a+3b﹣2c+2m的值是 19 ．
【分析】直接利用互为相反数以及算术平方根、倒数的定义得出a+b＝0，c＝﹣，m＝9，进而计算得出答案．
【解答】解：由题意可得：a+b＝0，c＝﹣，m＝9，
故原式＝3（a+b）﹣2c+2m
＝3×0﹣2×（﹣）+2×9
＝0+1+18
＝19．
故答案为：19．
【点评】此题主要考查了互为相反数以及算术平方根、倒数的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
12．（2021秋•浙江期末）计算：+＝ ﹣1 ．
【分析】先化简各数，然后再进行计算即可．
【解答】解：+
＝﹣3+2
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各数是解题的关键．
13．（2021秋•东阳市期末）若a与b互为相反数，m与n互为倒数，k的算术平方根为，则2022a+2021b+mnb+k2的值为 4 ．
【分析】根据题意得a+b＝0，mn＝1，k＝2，整体代入求值即可．
【解答】解：∵a与b互为相反数，m与n互为倒数，k的算术平方根为，
∴a+b＝0，mn＝1，k＝2，
∴原式＝2021（a+b）+a+b+4
＝0+0+
＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了实数的运算，考查了整体思想，整体代入求值是解题的关键．
14．（2022秋•宁波期中）任意写出两个无理数，使它们的和为2： +2与﹣ ．
【分析】写出两个无理数，使其之和为2即可．
【解答】解：根据题意得：+2+（﹣）＝2，
故答案为：+2与﹣
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（2022秋•温州期末）按如图所示的程序计算，若输入的a＝3，b＝4，则输出的结果为 5 ．
【分析】把a、b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：当a＝3，b＝4时，
＝＝＝5，
所以输出的结果为5．
故答案为：5．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（2022秋•瑞安市期中）对于任意实数对（a，b）和（c，d），规定运算“⊗”为（a，b）⊗（c，d）＝（ac，bd）；运算“⊕”为（a，b）⊕（c，d）＝（a+c，b+d）．例如（2，3）⊗（4，5）＝（8，15）；（2，3）⊕（4，5）＝（6，8）．若（2，3）⊗（p，q）＝（﹣4，9），则（1，﹣5）⊕（p，q）＝ （﹣1，﹣2） ．
【分析】读懂题意，利用新定义计算，先根据新定义列等式，求出p、q的值，再代入新定义计算．
【解答】解：∵（2，3）⊗（p，q）＝（﹣4，9），
∴2p＝﹣4，p＝﹣2，
3q＝9，q＝3，
∴（1，﹣5）⊕（p，q）＝（1，﹣5）⊕（﹣2，3）＝（﹣1，﹣2）．
故答案为：（﹣1，﹣2）．
【点评】本题考查了实数运算的新定义，解题的关键是读懂题意，能利用新定义正确的进行计算．
17．（2022秋•青田县期中）计算：﹣＝ 1 ．
【分析】原式利用算术平方根及立方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝4﹣3＝1，
故答案为：1
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（2022秋•新昌县期中）已知：m与n互为相反数，c与d互为倒数，a是的整数部分，则的值是 ﹣1 ．
【分析】首先根据有理数的加法可得m+n＝0，根据倒数定义可得cd＝1，然后代入代数式求值即可．
【解答】解：∵m与n互为相反数，
∴m+n＝0，
∵c与d互为倒数，
∴cd＝1，
∵a是的整数部分，
∴a＝2，
∴＝1+2×0﹣2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了实数的运算，关键是掌握相反数和为0，倒数积为1．
三．解答题（共7小题）
19．（2022秋•鄞州区期中）初中阶段，目前我们已经学习了多种计算技巧，例如裂项相消法，错位相减法等等，请计算下列各式：
（1）＝ ；
（2）＝ ；
（3）＝ ﹣1 ．
【分析】（1）裂项后乘以2，将各项相加，消掉和互为相反数的项；
（2）裂项后乘以3，将各项相加，消掉和互为相反数的项；
（3）根据绝对值的性质去掉绝对值，即可消掉．
【解答】解：（1）原式＝2×（1﹣+﹣+﹣+•••+﹣）
＝2×（1﹣）
＝．
故答案为：；
（2）原式＝3×（1﹣+﹣+﹣+•••+）
＝3×（1﹣）
＝3×
＝．
故答案为：；
（3）原式＝﹣1+﹣+﹣+•••+﹣
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是实数的运算，根据题意找出运算规律是解题的关键．
20．（2022秋•余杭区校级期中）计算：
（1）+；
（2）．
【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则即可求出答案．
（2）根据立方根与平方根的性质即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝+
＝+
＝4+1
＝5．
（2）原式＝﹣3+3﹣（﹣1）
＝0+1
＝1．
【点评】本题考查实数的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算、平方根性质以及立方根的性质，本题属于基础题型．
21．（2022秋•婺城区期末）计算：．
【分析】根据平方，算术平方根的概念、绝对值的性质计算．
【解答】解：原式＝﹣4﹣3+4+4＝1．
【点评】本题考查的是实数的运算，掌握算术平方根、绝对值的性质是解题的关键．
22．（2022秋•鄞州区校级月考）计算：
（1）﹣；
（2）4+（﹣3）2×2﹣．
【分析】（1）先计算平方根和立方根，再计算减法；
（2）先计算平方和立方根，再计算乘法，最后计算加减运算．
【解答】解：（1）﹣
＝9﹣4
＝5；
（2）4+（﹣3）2×2﹣
＝4+9×2﹣3
＝4+18﹣3
＝19．
【点评】此题考查了实数的混合运算，关键是能准确理解运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
23．（2022秋•杭州期中）（1）若a是最小的正整数，b是绝对值最小的数，，．
则a＝ 1 ；b＝ 0 ；c＝ ﹣ ；x＝ ﹣2 ；y＝ 3 ．
（2）若a与b互为相反数，c与d互为倒数，，求代数式4（a+b）+（﹣cd）2﹣e2的值．
【分析】（1）根据绝对值，算术平方根的非负性，进行计算即可解答；
（2）根据相反数，倒数，绝对值的意义可得a+b＝0，cd＝1，e＝±，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵a是最小的正整数，b是绝对值最小的数，
∴a＝1，b＝0，
∵，
∴c＝﹣，
∵，
∴x+2＝0，y﹣3＝0，
∴x＝﹣2，y＝3，
故答案为：1；0；﹣；﹣2；3；
（2）∵a与b互为相反数，c与d互为倒数，，
∴a+b＝0，cd＝1，e＝±，
∴4（a+b）+（﹣cd）2﹣e2的
＝4×0+（﹣1）﹣2
＝0﹣1﹣2
＝﹣3，
∴4（a+b）+（﹣cd）2﹣e2的值为﹣3．
【点评】本题考查了实数的运算，有理数的混合运算，绝对值，算术平方根的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键．
24．（2021秋•松阳县期末）用“※定义新运算：对于任何实数x和y，都有x※y＝xy﹣2（x﹣y）．如：1※2＝1×2﹣2×（1﹣2）＝4．
（1）求2※（﹣1）的值；
（2）计算（2a）※b+b※（2a）．
【分析】按照定义分别代入计算即可．
【解答】解：（1）由题意得，
2※（﹣1）
＝2×（﹣1）﹣2[2﹣（﹣1）]
＝﹣2﹣2×3
＝﹣2﹣6
＝﹣8；
（2）由题意得，
（2a）※b+b※（2a）
＝[2a•b﹣2×（2a﹣b）]+[b•2a﹣2×（b﹣2a）]
＝（2ab﹣4a+2b）+（2ab﹣2b+4a）
＝2ab﹣4a+2b+2ab﹣2b+4a
＝4ab．
【点评】此题考查了运用新定义进行实数及整式的运算能力，关键是能准确理解并运用定义进行运算．
25．（2022秋•永康市期中）计算：（1）﹣﹣（﹣1）2023
（2）|﹣2|﹣﹣
【分析】（1）根据算术平方根，立方根和有理数的乘方运算可解答；
（2）根据绝对值，算术平方根，立方根运算可解答．
【解答】解：（1）﹣﹣（﹣1）2023
＝5﹣4+1
＝2；
（2）|﹣2|﹣﹣
＝2﹣﹣3+3
＝2﹣．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握算术平方根，立方根和有理数的乘方的运算法则是关键．
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