初中数学浙教版（2024）九年级上册1.1 二次函数课后作业题

这是一份初中数学浙教版（2024）九年级上册1.1 二次函数课后作业题，共46页。

一、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质
1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象
（1）
（2）
2.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质
关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：
3.二次函数与之间的关系；（上加下减）.
的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象.
要点诠释：
抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同．
函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．
抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已．
二、函数与函数的图象与性质
1.函数的图象与性质
2.函数的图象与性质
要点诠释：
二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．
三、二次函数的平移
1.平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

2.平移规律：
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
要点诠释：
⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成
（或）
⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）
【考点剖析】
题型一、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质
例1．求下列抛物线的解析式：
（1）与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线；
（2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y轴对称的抛物线．
例2．在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象(如图所示)回答下列问题．
(1)抛物线向________平移________个单位得到抛物线；
(2)抛物线，开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；
(3)抛物线，当x________时，随x的增大而减小；当x________时，函数y有最________值，其最________值是________．
例3. 有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）若要在隧道壁上点P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m．求灯与点B的距离．

【变式】(1)抛物线的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．
(2)抛物线与的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为 ．
(3)抛物线向 平移 个单位后，得到抛物线.
例4. 根据下列条件求a的取值范围：
(1)函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；
(2)函数y＝(3a-2)x2有最大值；
(3)抛物线y＝(a+2)x2与抛物线的形状相同；
(4)函数的图象是开口向上的抛物线．
【变式】在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数 的图象大致为（ ）．
例5.在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2﹣b的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
题型二、二次函数图象及性质
例6．二次函数y=﹣（x﹣3）2+2的顶点的坐标是 ，对称轴是 ．
【变式】将抛物线向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式为 ．
例7．将抛物线y=x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，求得到的抛物线解析式.
【变式】二次函数的图象可以看作是二次函数的图象向 平移4个单位，再向 平移3个单位得到的．
例8.已知是由抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线．
(1)求出a、h、k的值；
(2)在同一坐标系中，画出与的图象；
(3)观察的图象，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x增大而减小，并求出函数的最值；
(4)观察的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗?
【变式】把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象．
（1）试确定a、h、k的值；
（2）指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性．
例9.二次函数y=（x﹣1）2+1，当2≤y＜5时，相应x的取值范围为 ．
题型三、二次函数性质的综合应用
例10．二次函数y1=a（x﹣2）2的图象与直线y2交于A（0，﹣1），B（2，0）两点．
（1）确定二次函数与直线AB的解析式．
（2）如图，分别确定当y1＜y2，y1=y2，y1＞y2时，自变量x的取值范围．
例11.在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：
，，．
（1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）请你说出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．
例12.已知：二次函数y=x2﹣4x+3．
（1）求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）求出该抛物线与x轴的交点坐标；
（3）当x取何值时，y＜0．
【变式】已知抛物线y=2（x﹣1）2﹣8．
（1）直接写出它的顶点坐标： ，对称轴： ；
（2）x取何值时，y随x增大而增大？
例13. 如图所示，抛物线的顶点为C，与y轴交点为A，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B．
(1)求直线AC的解析式；
(2)求△ABC的面积；
(3)当自变量x满足什么条件时，有?
【过关检测】
一、单选题
1．（2021秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）二次函数的顶点坐标是（ ）
A．（0，0）B．（0，﹣2）C．（0，2）D．（，0）
2．（2023·浙江宁波·统考二模）已知点，是二次函数上的两点，若，，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小
4．（2022秋·浙江金华·九年级统考期中）已知，为抛物线上的两点，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
6．（2023春·浙江绍兴·九年级校联考阶段练习）若二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（ ）
A．点B．点C．点D．点
7．（2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）设函数，．直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
8．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）在下列函数图象上任取不同的两点，一定能使的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
9．（2022秋·浙江宁波·九年级校考阶段练习）如果抛物线开口向下，那么a的取值范围是______．
10．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期中）二次函数的图象上任意二点连线不与x轴平行，则t的取值范围为______．
11．（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）已知一个二次函数图象的形状与抛物线相同，它的顶点坐标为，则该二次函数的表达式为____________．
12．（2022·浙江金华·九年级浙江省义乌市稠江中学校考阶段练习）如果一抛物线的对称轴为，且经过点A（3,3），那么点A关于对称轴的对称点B的坐标为____________
13．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）已知点、为抛物线上的两点，如果，那么______填“”“”或“”
14．（2022秋·浙江舟山·九年级统考期末）一抛物线的形状，开口方向与相同，顶点在(－2，3)，则此抛物线的解析式为_______．
15．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）抛物线的开口方向是______．
16．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）已知二次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，当时，的值是______．
17．（2020·浙江·模拟预测）无论取什么实数，点都在二次函数上，是二次函数上的点，则_____________．
18．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知二次函数，当，且时，的最小值为，的最大值，则的值为___________．
三、解答题
19．（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）已知二次函数的图像以点为顶点，且过点．
（1）求该函数的解析式；
（2）直接写出随的增大而增大时自变量的取值范围．
20．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点A(2，0)．
（1）求的值和抛物线顶点的坐标；
（2）求直线的解析式．
21．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市丰潭中学校考期中）已知．
(1)求S与t的函数关系式；
(2)当时，求S的值；
(3)求S的最大值或最小值．
22．（2020·浙江杭州·统考一模）在同一直角坐标系中画出二次函数与二次函数的图形．
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；
（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．
23．（2020春·浙江杭州·八年级阶段练习）如图，已知二次函数的图象顶点是，且过C点．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）已知直线与该二次函数图像相交于点，求两点的坐标．
（3）写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
24．（2019秋·浙江绍兴·九年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，y），点P的变换点Q的坐标定义如下：当x＞0时，Q点坐标为（﹣x，﹣y）；当x≤0时，Q点坐标为（﹣x，﹣y+2）．例如：（﹣2，3）的变换点是（2，﹣1）．
（1）（1，2）的变换点为 ，（﹣1，﹣2）的变换点为 ．
（2）点M（m﹣1，5）的变换点在一次函数y＝x+2的图象上，求点M的坐标.
（3）如图，若点P在二次函数y＝﹣x2+4的图象上，点Q为点P的变换点．
①请在方格图中画出点Q所在函数的图象.
②求点Q所在函数图象的表达式．
函数
图象
开口方向
向上
向下
顶点坐标
(0，c)
(0，c)
对称轴
y轴
y轴
函数变化
当时，y随x的增大而增大；
当时，y随x的增大而减小.
当时，y随x的增大而减小；
当时，y随x的增大而增大.
最大（小）值
当时，
当时，
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
第02讲 二次函数y=ax^2＋c(a≠0)与y=a（x-h)^2＋k(a≠0)的图象与性质
【知识梳理】
一、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质
1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象
（1）
（2）
2.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质
关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：
3.二次函数与之间的关系；（上加下减）.
的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象.
要点诠释：
抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同．
函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．
抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已．
二、函数与函数的图象与性质
1.函数的图象与性质
2.函数的图象与性质
要点诠释：
二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．
三、二次函数的平移
1.平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

2.平移规律：
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
要点诠释：
⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成
（或）
⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）
【考点剖析】
题型一、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质
例1．求下列抛物线的解析式：
（1）与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线；
（2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y轴对称的抛物线．
【答案与解析】
（1）由于待求抛物线形状相同，开口方向相反，可知二次项系数为，
又顶点坐标是（0，-5），故常数项，所以所求抛物线为．
（2）因为待求抛物线顶点为（0，1），所以其解析式可设为，
又∵ 该抛物线过点（3，-2），∴ ，解得．
∴ 所求抛物线为．
【总结升华】抛物线形状相同则相同，再由开口方向可确定的符号，由顶点坐标可确定的值，从而确定抛物线的解析式．
例2．在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象(如图所示)回答下列问题．
(1)抛物线向________平移________个单位得到抛物线；
(2)抛物线，开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；
(3)抛物线，当x________时，随x的增大而减小；当x________时，函数y有最________值，其最________值是________．
【答案】 (1)下； l ； (2)向下； y轴； (0，1)； (3)＞0； ＝0； 大； 大 ； 1.
【解析】在同一平面直角坐标系内画出两条抛物线，利用图象回答问题．
(1)抛物线向 下 平移 1__个单位得到抛物线；
(2)抛物线，开口方向是 向下 ，对称轴为___ y轴_____，顶点坐标为_ (0，1)__；
(3)抛物线，当x ＞0时，y随x的增大而减小；
当x ＝0__时，函数y有最 大 值，其最 大__值是 1 ．
【总结升华】本例题把函数与函数的图象放在同一直角坐标系中进行对比，易得出二次函数与的图象形状相同，只是位置上下平移的结论．可以看作是把的图象向上或向下平移个单位得到的．
例3. 有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）若要在隧道壁上点P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m．求灯与点B的距离．

【答案与解析】
（1）由题意，设抛物线所对应的函数关系为y=ax2+6（a＜0），
∵点A（-4，0）或B（4，0）在抛物线上，
∴0=a•（-4）2+6，
16a+6=0，16a=-6，
．
故抛物线的函数关系式为.
（2）过点P作PQ⊥AB于Q，连接PB，则PQ=4.5m．

将y=4.5代入，得x=±2．
∴P（-2，4.5），Q（-2，0），
于是|PQ|=4.5，|BQ|=6，
从而|PB|=
所以照明灯与点B的距离为7.5m．
【总结升华】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．（1）根据抛物线在坐标系的位置可设解析式：y=ax2+6，把点A（-4，0）代入即可；（2）灯离地面高4.5m，即y=4.5时，求x的值，再根据P点坐标，勾股定理求PB的值.
【变式】(1)抛物线的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．
(2)抛物线与的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为 ．
(3)抛物线向 平移 个单位后，得到抛物线.
【答案】(1)下；y轴；（0，-5）.(2)y=3x2+1, y=-3x2+1. (3)下；10.
例4. 根据下列条件求a的取值范围：
(1)函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；
(2)函数y＝(3a-2)x2有最大值；
(3)抛物线y＝(a+2)x2与抛物线的形状相同；
(4)函数的图象是开口向上的抛物线．
【答案与解析】
(1)由题意得，a-2＜0，解得a＜2．
(2)由题意得，3a-2＜0，解得．
(3)由题意得，，解得，．
(4)由题意得，，解得a1＝-2，a2＝1，但a＞0，∴ a＝1．
【总结升华】解答此类问题，要注意联想二次函数的图象和性质，抓住形状、开口、最值、增减性等特征，并结合草图去确定二次项系数的取值范围．
【变式】在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数 的图象大致为（ ）．
【答案】B.
例5.在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2﹣b的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【总结升华】先由一次函数y=ax+b图象得到字母a、b的正负，再与二次函数y=ax2﹣b的图象相比较看是否一致．
【答案】D.
【解析】
解：A、由直线y=ax+b的图象经过第二、三、四象限可知：a＜0，b＜0，
二次函数y=ax2﹣b的图象开口向上，
∴a＞0，A不正确；
B、由直线y=ax+b的图象经过第一、二、三象限可知：a＞0，b＞0，
二次函数y=ax2﹣b的图象开口向下，
∴a＜0，B不正确；
C、由直线y=ax+b的图象经过第一、二、四象限可知：a＜0，b＞0，
二次函数y=ax2﹣b的图象开口向上，
∴a＞0，C不正确；
D、由直线y=ax+b的图象经过第一、二、三象限可知：a＞0，b＞0，
二次函数y=ax2﹣b的图象开口向上，顶点在y轴负半轴，
∴a＞0，b＞0，D正确．
故选D．
【总结升华】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据函数图象逐条分析四个选项中a、b的正负．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数的图象找出其系数的正负，再与二次函数图象进行比较即可得出结论．
题型二、二次函数图象及性质
例6．二次函数y=﹣（x﹣3）2+2的顶点的坐标是 ，对称轴是 ．
【思路点拨】根据二次函数顶点式解析式分别解答即可．
【答案】（3，2），直线x=3．
【解析】
二次函数y=﹣（x﹣3）2+2；
顶点坐标是（3，1），对称轴是直线x=3．
故答案为：（3，2），直线x=3．
【总结升华】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用二次函数顶点式形式求解对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键．
【变式】将抛物线向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式为 ．
【答案】.
例7．将抛物线y=x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，求得到的抛物线解析式.
【答案与解析】
解：y=x2﹣6x+5=（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），
把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），
∴平移后得到的抛物线解析式为y=（x﹣4）2﹣2．
【总结升华】由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
【变式】二次函数的图象可以看作是二次函数的图象向 平移4个单位，再向 平移3个单位得到的．
【答案】上；右.
例8.已知是由抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线．
(1)求出a、h、k的值；
(2)在同一坐标系中，画出与的图象；
(3)观察的图象，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x增大而减小，并求出函数的最值；
(4)观察的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗?
【答案与解析】
(1)∵ 抛物线向上平移2个单位长度，
再向右平移1个单位长度得到的抛物线是，
∴ ，，．
(2)函数与的图象如图所示．
(3)观察的图象知，当时，y随x的增大而增大；
当时，y随x增大而减小，当x＝1时，函数y有最大值是2．
(4)由图象知，对于一切x的值，总有函数值y≤2．
【总结升华】先根据平移的性质求出抛物线平移后的抛物线的解析式，再对比得到a、h、k的值，然后画出图象，由图象回答问题．
【变式】把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象．
（1）试确定a、h、k的值；
（2）指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性．
【答案】（1）.（2）开口向下，对称轴x=1, 顶点坐标为（1，-5），
当x≥1时，y随x的增大而减小； 当x＜1时，y随x的增大而增大.
例9.二次函数y=（x﹣1）2+1，当2≤y＜5时，相应x的取值范围为 ．
【思路点拨】把y=2和y=5分别代入二次函数解析式，求x的值，已知对称轴为x=1，根据对称性求x的取值范围．
【答案】﹣1＜x≤0或2≤x＜3．
【解析】解：当y=2时，（x﹣1）2+1=2，
解得x=0或x=2，
当y=5时，（x﹣1）2+1=5，解得x=3或x=﹣1，
又抛物线对称轴为x=1，
∴﹣1＜x≤0或2≤x＜3．
【总结升华】本题考查了二次函数的增减性，对称性．关键是求出函数值y=2或5时，对应的x的值，再结合图象确定x的取值范围．
题型三、二次函数性质的综合应用
例10．二次函数y1=a（x﹣2）2的图象与直线y2交于A（0，﹣1），B（2，0）两点．
（1）确定二次函数与直线AB的解析式．
（2）如图，分别确定当y1＜y2，y1=y2，y1＞y2时，自变量x的取值范围．
【答案与解析】
解：（1）把A（0，﹣1）代入y1=a（x﹣2）2，得：﹣1=4a，即a=﹣，
∴二次函数解析式为y1=﹣（x﹣2）2=﹣a2+a﹣1；
设直线AB解析式为y=kx+b，
把A（0，﹣1），B（2，0）代入得：，
解得：k=，b=﹣1，
则直线AB解析式为y=x﹣1；
（2）根据图象得：当y1＜y2时，x的范围为x＜0或x＞2；y1=y2时，x=0或x=2，y1＞y2时，0＜x＜2．
【总结升华】可先由待定系数法建立方程组求出两个函数的解析式，然后利用函数图象写出自变量的取值范围．
例11.在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：
，，．
（1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）请你说出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．
【答案与解析】
（1）列表：
描点、连线，可得抛物线．
将的图象分别向上和向下平移3个单位，就分别得到与的图象（如图所示）．
抛物线，与开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依次
是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．
（2）抛物线的开口向上，对称轴是y轴（或直线），顶点坐标为（0，c）．
【总结升华】先用描点法画出的图象，再用平移法得到另两条抛物线，并根据图象回答问题．
规律总结：．
例12.已知：二次函数y=x2﹣4x+3．
（1）求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）求出该抛物线与x轴的交点坐标；
（3）当x取何值时，y＜0．
【解析】解：（1）∵y=x2﹣4x+3，
∴y=（x﹣2）2﹣1，
∴对称轴为：直线x=2，
∴顶点（2，﹣1）；
（2）令y=0，
则，x2﹣4x+3=0，
∴（x﹣1）（x﹣3）=0，
∴x1=1，x2=3，
∴与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；
（3）当1＜x＜3时，y＜0．
【总结升华】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴坐标的求解方法，二次函数与不等式，熟记性质并把函数解析式整理成顶点式形式求解更简便．
【变式】已知抛物线y=2（x﹣1）2﹣8．
（1）直接写出它的顶点坐标： ，对称轴： ；
（2）x取何值时，y随x增大而增大？
【答案与解析】
解：（1）抛物线y=2（x﹣1）2﹣8的顶点坐标为（1，﹣8），对称轴为直线x=1；
故答案为（1，﹣8），直线x=1；
（2）当x＞1时，y随x增大而增大．
例13. 如图所示，抛物线的顶点为C，与y轴交点为A，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B．
(1)求直线AC的解析式；
(2)求△ABC的面积；
(3)当自变量x满足什么条件时，有?
【答案与解析】
(1)由知抛物线顶点C(-1，0)，令x＝0，得，
∴ ．由待定系数法可求出，，
∴ ．
(2)∵ 抛物线的对称轴为x＝-1，根据抛物线对称性知．
∴ ．
(3)根据图象知或时，有．
【总结升华】 图象都经过A点和C点，说明A点、C点同时出现在两个图象上，A、C两点的坐标均满足两个函数的解析式，解答这类题时，要画出函数图象，结合几何图形的性质，运用数形结合的思想和抛物线的对称性，特别要慎重处理平面直角坐标系中的坐标(数)与线段长度(形)之间的关系，不要出现符号上的错误，充分利用函数图象弄清函数值与自变量的关系，利用图象比较函数值的大小，或根据函数值的大小，确定自变量的变化范围．
【过关检测】
一、单选题
1．（2021秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）二次函数的顶点坐标是（ ）
A．（0，0）B．（0，﹣2）C．（0，2）D．（，0）
【答案】B
【分析】直接根据的性质求解即可．
【详解】解：二次函数的顶点坐标是（0，﹣2）．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数 (a，h，k为常数，a≠0)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是(0，k)，对称轴是y轴．
2．（2023·浙江宁波·统考二模）已知点，是二次函数上的两点，若，，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质，进行分析即可得出结论．
【详解】解：∵，对称轴为，，
∴抛物线的开口向上，当时，函数取得最小值，，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，，
∴点在对称轴的两侧，且，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
3．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线
C．顶点坐标为
D．当时，y随x的增大而减小
【答案】D
【分析】根据二次函数的图象和性质，即可进行解答．
【详解】解：A、∵，
∴函数图象开口向下，故A正确，不符合题意；
B、对称轴是直线，故B正确，不符合题意；
C、顶点坐标为，故C正确，不符合题意；
D、∵函数图象开口向下，对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而增大，故D不正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点坐标为，对称轴为，当时，函数图象开口向上，当时，函数图象开口向下．
4．（2022秋·浙江金华·九年级统考期中）已知，为抛物线上的两点，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先判断抛物线的开口方向和对称轴位置，再根据增减性求解即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，开口向下，顶点坐标为：，
∴当时，y随x的增大而增大，
又∵，
∴，
故选 C．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键．
5．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【分析】按照题意，画出满足题意的图象，根据直线与二次函数图象的交点进行判断即可．
【详解】解：如图所示，
A．由图象可知，若，当时，，故选项错误，不符合题意；
B．由图象可知，若，，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意；
C．由图象可知，若，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意；
D．由图象可知，若，当时，，故选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
6．（2023春·浙江绍兴·九年级校联考阶段练习）若二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（ ）
A．点B．点C．点D．点
【答案】A
【分析】根据顶点坐标，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴顶点坐标为：，
∴顶点坐标在第四象限，
∴原点在函数顶点的左上方，
由图可知，坐标原点只可能是点；
故选A．
【点睛】本题考查二次函数的性质及二次函数的图象，确定二次函数图象的顶点坐标是解题的关键．
7．（2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）设函数，．直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】根据题意分别画出的图象，继而根据图象即可求解．
【详解】解：∵直线的图象与函数，的图象分别交于点，，
A. 若，如图所示，
则
B. 若，如图所示，
则
则，
故B选项不合题意，
C. 若，如图所示，
∴，故C选项正确，D选项不正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，数形结合是解题的关键．
8．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）在下列函数图象上任取不同的两点，一定能使的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据各函数的增减性依次进行判断即可．
【详解】解：A、中，，则当时，y随x的增大而增大，
即当时，必有，
此时，故本选项不成立；
B、∵的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，当时y随x的增大而增大，
∴当时，当时，必有，
此时，故本选项不成立；
C、∵的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴当时，当时，必有，
此时，故本选项成立；
D、∵中，，
∴y随x的增大而增大，即当时，必有，
此时，故本选项不成立．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象和性质，掌握各类函数的增减性是关键．
二、填空题
9．（2022秋·浙江宁波·九年级校考阶段练习）如果抛物线开口向下，那么a的取值范围是______．
【答案】a＞2
【分析】】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数2-a＜0．
【详解】∵抛物线y=（2-a）x2+2开口向下，
∴2-a＜0，即a＞2，
故答案为：a＞2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质．用到的知识点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）来说，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）开口向上；当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）开口向下．
10．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期中）二次函数的图象上任意二点连线不与x轴平行，则t的取值范围为______．
【答案】或
【分析】先根据函数表达式得出函数的对称轴，再根据题意可得该二次函数的图象取对称轴的左边或对称轴的右边，即可进行解答．
【详解】解：∵二次函数表达式为，
∴该函数的对称轴为直线，
∵图象上任意二点连线不与x轴平行，
∴或，
∵，
∴，
解得：或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象，会根据二次函数的表达式求出函数的对称轴．
11．（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）已知一个二次函数图象的形状与抛物线相同，它的顶点坐标为，则该二次函数的表达式为____________．
【答案】或
【分析】根据二次函数的顶点坐标为，可得可设这个二次函数的解析式为，再根据图象的形状和与抛物线相同，可得，即可求解．
【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为，
∴可设这个二次函数的解析式为，
∵二次函数图象的形状与抛物线相同，，
∴，
∴，
∴这个二次函数的解析式为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，牢记形状相同的二次函数二次项系数的绝对值相等是解题的关键．
12．（2022·浙江金华·九年级浙江省义乌市稠江中学校考阶段练习）如果一抛物线的对称轴为，且经过点A（3,3），那么点A关于对称轴的对称点B的坐标为____________
【答案】（-1,3）
【分析】根据抛物线的对称性即可得到点B的坐标．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为，点A（3,3），
∴点A关于对称轴的对称点B的坐标为（-1,3）
【点睛】本题主要考查二次函数图形的性质和特征，应用对称性性是解题的关键．
13．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）已知点、为抛物线上的两点，如果，那么______填“”“”或“”
【答案】
【分析】根据函数的表达式即可得出该函数的对称轴和开口方向，根据对称轴和开口方向分析函数的增减性即可解答．
【详解】解：抛物线表达式为：，
∴函数开口向上，对称轴为，
∴当时，y随x的增加而减小，时，y随x的增大而增大，
∵，
∴，
故答案为：>．
【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是根据抛物表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而分析函数的增减性．
14．（2022秋·浙江舟山·九年级统考期末）一抛物线的形状，开口方向与相同，顶点在(－2，3)，则此抛物线的解析式为_______．
【答案】
【分析】根据二次函数的图象与性质即可得．
【详解】抛物线的顶点为
可设此抛物线的解析式为
又此抛物线的形状，开口方向与相同
则此抛物线的解析式为
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟记二次函数的图象与性质是解题关键．
15．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）抛物线的开口方向是______．
【答案】向下
【分析】由函数解析式可得，结合抛物线的性质即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
∵，
∴，
故答案为：向下．
【点睛】本题考查抛物线的性质：开口向下，正确理解二次函数的性质是解题的关键．
16．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）已知二次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，当时，的值是______．
【答案】
【分析】根据二次函数的增减性，结合图像与性质即可得到二次函数图像的对称轴为，从而确定值，得到二次函数解析式为，将代入即可得到结论．
【详解】解：二次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
，即，
二次函数解析式为，
当时，，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数增减性与对称轴的关系是解决问题的关键．
17．（2020·浙江·模拟预测）无论取什么实数，点都在二次函数上，是二次函数上的点，则_____________．
【答案】3
【分析】由题意可知y=2x2-1，首先把点Q（m，n）代入二次函数y=2x2-1解析式，代入得出，关于m，n的等式进一步整理得出答案即可．
【详解】解：由题意得，当x=a-1时，y=2a2-4a+1=2（a-1）2-1，
∴可得：y=2x2-1，
∵Q（m，n）是二次函数y=2x2-1上的点，
∴2m2-1=n，
∴2m2-n=1，
所以4m2-2n+1=2（2m2-n）+1=3．
故答案为：3．
【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特点，注意适合解析式的点在图象上，在图象上的点都适合二次函数．
18．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知二次函数，当，且时，的最小值为，的最大值，则的值为___________．
【答案】
【分析】由题意可得，，则的最小值为为负数，最大值为为正数．分两种情况讨论：①当时，时，取最小值，求出的值，当时，取最大值，可求得的值，即可得到的值；②当时，当时，取最小值，求出的值，当时，取最大值，求出的值，或时，取最小值，时，取最大值，分别求出，的值，故可求解．
【详解】解：二次函数的大致图象如下：
时，的最小值为，的最大值为，
，，
①当时，时，取最小值，即，
解得：．
当时，取最大值，即，
解得：或均不合题意，舍去；
②当时，当时，取最小值，即，
解得：．
当时，取最大值，即，
解得：，
或时，取最小值，时，取最大值，
，，
，
所以．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，数形结合是解题的关键．
三、解答题
19．（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）已知二次函数的图像以点为顶点，且过点．
（1）求该函数的解析式；
（2）直接写出随的增大而增大时自变量的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据顶点坐标直接设解析式为顶点式，然后代入B点坐标求解即可；
（2）结合解析式，根据开口方向以及对称轴即可确定范围．
【详解】（1）设二次函数的解析式为．
由题知：，，则，
又∵二次函数图像过点
∴，
∴．
∴二次函数的解析式为：．
（2）由（1）知当时，随的增大而增大．
【点睛】本题考查二次函数的解析式求解以及增减性的判断，灵活从二次函数三种形式中选择合适的表达式求解是解题关键．
20．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点A(2，0)．
（1）求的值和抛物线顶点的坐标；
（2）求直线的解析式．
【答案】（1），M (1，-2)；（2）
【分析】（1）将A(2，0)代入抛物线的解析式，可求得m的值，再配成顶点式即可求解；
（2）利用待定系数法即可求得直线AM的解析式．
【详解】解 （1）∵抛物线过点A(2，0)，
，解得，
，
,
∴顶点M的坐标是(1，-2)；
（2）设直线AM的解析式为，
∵图象过A(2，0)，M (1，-2)，
，解得，
∴直线AM的解析式为．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
21．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市丰潭中学校考期中）已知．
(1)求S与t的函数关系式；
(2)当时，求S的值；
(3)求S的最大值或最小值．
【答案】(1)
(2)25
(3)S有最小值-11
【分析】（1）将x和y的表达式代入S的表达式即可；
（2）将代入（1）中得到的函数表达式求解即可；
（3）将（1）中的函数表达式化为顶点式即可解答．
【详解】（1）解：将代入得：
，
∴S与t的函数关系式为：．
（2）将代入得：，
∴当时．
（3），
∴当时，函数S有最小值-11．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是将函数表达式化为顶点式，得出函数的最值．
22．（2020·浙江杭州·统考一模）在同一直角坐标系中画出二次函数与二次函数的图形．
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；
（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）根据二次函数的图象解答即可；
（2）从开口大小和增减性两个方面作答即可.
【详解】（1）解：如图：
，
与图象的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y轴，
与图象的不同点是：开口向上，顶点坐标是（0，1），开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）；
（2）解：两个函数图象的性质的相同点：开口程度相同，即开口大小一样；
不同点：，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握抛物线的图象与性质是解答的关键.
23．（2020春·浙江杭州·八年级阶段练习）如图，已知二次函数的图象顶点是，且过C点．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）已知直线与该二次函数图像相交于点，求两点的坐标．
（3）写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
【答案】（1）；（2）A（，），B（4，5）；（3）＜x＜4
【分析】（1）根据顶点坐标设出顶点式，再将点C坐标代入，即可求出解析式；
（2）令，解方程即可得到A、B的横坐标，从而计算出纵坐标；
（3）根据图象可得出当一次函数图像在二次函数图像上方时的x取值范围．
【详解】解：（1）∵二次函数的图象顶点是，
设二次函数表达式为，
∵过C点，代入，
，解得：a=2，
∴二次函数表达式为：；
（2）由题意可得：，
解得：x=或4，
+1=，4+1=5，
∴A（，），B（4，5）；
（3）由图像可得：
当一次函数图像在二次函数图像上方时，＜x＜4，
∴当＜x＜4时，一次函数的值大于二次函数的值．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，用待定系数法求二次函数的解析式，是中档题，要熟练掌握．
24．（2019秋·浙江绍兴·九年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，y），点P的变换点Q的坐标定义如下：当x＞0时，Q点坐标为（﹣x，﹣y）；当x≤0时，Q点坐标为（﹣x，﹣y+2）．例如：（﹣2，3）的变换点是（2，﹣1）．
（1）（1，2）的变换点为 ，（﹣1，﹣2）的变换点为 ．
（2）点M（m﹣1，5）的变换点在一次函数y＝x+2的图象上，求点M的坐标.
（3）如图，若点P在二次函数y＝﹣x2+4的图象上，点Q为点P的变换点．
①请在方格图中画出点Q所在函数的图象.
②求点Q所在函数图象的表达式．
【答案】（1）（﹣1，﹣2），（1，4）；（2）点M坐标（7，5）；（3）①图象见解析；②
【分析】(1)由变换点坐标可求解；
(2)分1−m>0，1−m≤0两种情况讨论，把点M的变换点坐标代入解析式可求点M坐标；
(3)①求出x≥0，x<0时的解析式，即可画出图象；②由①可求解.
【详解】（1）∵1>0
∴(1,2)的变换点为(−1,−2)
∵−1<0
∴(−1,−2)的变换点为(1,4)
故答案为：(−1,−2),(1,4)
（2）当m﹣1＞0时，点M的变换点为（1﹣m，﹣5）
∴1﹣m+2＝﹣5，∴m＝8
∴点M（7，5）
当m﹣1≤0时，点M的变换点（1﹣m，﹣3），∴1﹣m+2＝﹣3
∴m＝6（不合题意舍去）
∴点M坐标（7，5）
（3）①设点P（x，y）
当x≤0时，点Q（﹣x，﹣y+2），即﹣x≥0，
∵y＝﹣x2+4，∴﹣y＝x2﹣4，∴﹣y+2＝x2﹣4+2
∴﹣y+2＝（﹣x）2﹣2
∴点Q所在函数解析式为：y＝x2﹣2 （x≥0）
当x＞0时，点Q（﹣x，﹣y），即﹣x＜0
∵y＝﹣x2+4
∴﹣y＝x2﹣4＝（﹣x）2﹣4
点Q所在函数解析式为：y＝x2﹣4（x＜0）
由函数解析式可得图象如下：

②由①可得
【点睛】本题考查直角坐标系中点的变换，以及画抛物线图像，理解变换方式并进行分类讨论是解题的关键.
函数
图象
开口方向
向上
向下
顶点坐标
(0，c)
(0，c)
对称轴
y轴
y轴
函数变化
当时，y随x的增大而增大；
当时，y随x的增大而减小.
当时，y随x的增大而减小；
当时，y随x的增大而增大.
最大（小）值
当时，
当时，
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
2
0
2
…