数学浙教版（2024）1.3 二次函数的性质一课一练

这是一份数学浙教版（2024）1.3 二次函数的性质一课一练，共65页。

一．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
二．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
三．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
四．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
五．二次函数的三种形式
二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；
②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；
③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．
【考点剖析】
一．二次函数的性质（共17小题）
1．（2022秋•金东区期末）抛物线y＝2x2﹣4x+1的对称轴是直线（ ）
A．x＝﹣3B．x＝1C．x＝﹣D．x＝﹣1
2．（2023•龙港市二模）二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）的图象过点（5，6），下列选项正确的是（ ）
A．若对称轴为直线x＝1，则a＜0 B．若对称轴为直线x＝2，则a＜0
C．若对称轴为直线x＝3，则a＜0 D．若对称轴为直线x＝4，则a＞0
3．（2022秋•西湖区期末）设函数y1＝﹣（x﹣a1）2，y2＝﹣（x﹣a2）2．直线x＝1的图象与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，c1），B（1，c2），得（ ）
A．若1＜a1＜a2，则c1＜c2B．若a1＜1＜a2，则c1＜c2
C．若a1＜a2＜1，则c1＜c2D．若a1＜a2＜1，则c2＜c1
4．（2023•长兴县一模）抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（ 9，3）B．（9，﹣3）C．（﹣9，3）D．（﹣9，﹣3）
5．（2022秋•温州期末）抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴的交点坐标为（ ）
A．（3，0）B．（0，3）C．（1，0）D．（0，1）
6．（2023•婺城区模拟）关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口方向向上 B．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1
C．抛物线对称轴左侧部分是下降的 D．抛物线顶点到x轴的距离是2
7．（2023•南湖区一模）在同一直角坐标系中，已知函数，y2＝kx+2（k为不等于零的常数）．若函数y2的图象经过y1的图象的顶点，则k，c之间的数量关系为 ．
8．（2023•鄞州区一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点A（﹣1，﹣2），对称轴为直线x＝1，则9a+3b+c的值是 ．
9．（2022秋•南浔区期末）已知二次函数y＝x2+2x﹣5，当x＝3时，y＝ ．
10．（2022秋•嵊州市期末）二次函数y＝（x﹣2）2+h（b≤x≤b+1）的图象上任意二点连线不与x轴平行，则b的取值范围为 ．
11．（2022秋•余姚市期末）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点，若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则线段PB的长为 ．
12．（2023•镇海区校级模拟）直线l1：y＝kx+3与y轴交于点P，直线l1绕点P顺时针旋转45°得到直线l2，若直线l2与抛物线y＝﹣x2+2x+3有唯一的公共点，则k＝ ．
13．（2022秋•杭州期末）已知0＜m＜3，若二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0的自变量x与函数y的部分对应值如表，
则c＝ ，方程ax2+bx+c＝0的两根为 ．
14．（2023•龙湾区一模）如图，已知点C为二次函数y＝x2﹣4x+1的顶点，点P（0，n）为y轴正半轴上一点，过点P作y轴的垂线交函数图象于点A，B（点A在点B的左侧）．点M在射线PB上，且满足PM＝1+n．过点M作MN⊥AB交抛物线于点N，记点N的纵坐标为yN．
（1）求顶点C的坐标．
（2）①若n＝3，求MB的值．
②当0＜n≤4时，求yN的取值范围．
15．（2023•海曙区一模）对于抛物线y＝ax2﹣4x+3（a＞0）．
（1）若抛物线过点（4，3）．
①求顶点坐标；
②当0≤x≤6时，直接写出y的取值范围为 ；
（2）已知当0≤x≤m时，1≤y≤9，求a和m的值．
16．（2023春•上城区校级月考）设二次函数y＝ax2+4ax+4a+1，a为常数，且a＜0．
（1）写出该函数的对称轴和顶点坐标．
（2）若该函数图象经过点P（n，y1），Q（n+1，y2），当n≥1时，试比较y1和y2的大小关系．
（3）若该函数图象经过点P（x1，y1），Q（x2，y2），设n≤x1≤n+1，当x2≥3时均有y1≥y2，请求出实数n的取值范围．
17．（2022秋•嘉兴期末）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣4．
（1）求该函数图象的顶点坐标和对称轴．
（2）自变量在什么范围内时，y随x的增大而增大．
二．二次函数的最值（共4小题）
18．（2023•江北区一模）已知抛物线y＝（x﹣b）2+c经过A（1﹣n，y1），B（n，y2），C（n+3，y3）三点，y1＝y3．当1﹣n≤x≤n时，二次函数的最大值与最小值的差为16，则n的值为（ ）
A．﹣5B．3C．D．4
19．（2022秋•金华期末）二次函数y＝2x2﹣4x的最小值为 ．
20．（2022秋•海曙区期末）已知点P（m，n）在二次函数y＝x2+4的图象上，则m﹣n的最大值等于 ．
21．（2022秋•诸暨市期末）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3）．
（1）求b，c的值；
（2）当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差；
（3）当k﹣4≤x≤k时，若y的最大值与最小值之差为8，求k的值．
三．待定系数法求二次函数解析式（共8小题）
22．（2022秋•温州期末）若抛物线y＝x2﹣6x+c的顶点在x轴，则c＝ ．
23．（2022秋•滨江区期末）已知一个二次函数图象的形状与抛物线y＝2x2相同，它的顶点坐标为（1，﹣3），则该二次函数的表达式为 ．
24．（2023春•萧山区期中）已知二次函数y＝x2+bx+c．当﹣1≤x≤1时，y的取值范围是﹣1≤y≤1，该二次函数的对称轴为x＝m，则m的取值范围是 ．
25．（2023•鹿城区校级二模）如图，抛物线经过点（﹣2，0）和（0，4）．
​（1）求抛物线的函数表达式和对称轴．
（2）抛物线交y轴于点A，点P在线段OA上，过点P作x轴的平行线交抛物线于B，C两点（B在C的左侧），若时，CP＝nPB，求n的值．
26．（2023•龙港市二模）二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（3，0）．
（1）求该二次函数的表达式和对称轴．
（2）设P（m，y1），Q（m+1，y2）（m＞2）是该二次函数图象上的两点．当m≤x≤m+1时，函数的最大值与最小值的差为5，求m的值．
27．（2023•温州二模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（4，1）在二次函数y＝a（x﹣2）2+3的图象上，且x2﹣x1＝6．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）已知点A，B在对称轴的异侧，当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为5，设x1，x2的最小值分别为m，n，求m+n的值．
28．（2023•定海区模拟）二次函数y＝x2+bx过点（2，8）．
（1）求二次函数y＝x2+bx的解析式；
（2）若点A（m，y1）和点B（3﹣m，y2）都在二次函数图象上，求y1+y2最小值；
（3）一次函数y＝x+2和二次函数y＝x2+bx在同一平面直角坐标系中．其中点A（m，y1）是二次函数y＝x2+bx图象上一点，点B（﹣2﹣m，y2）是y＝x+2图象上一点．若|y1﹣y2|＞2，求m的取值范围．
29．（2023•西湖区模拟）设二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常数，a≠0）．
（1）若a＝2，求该函数图象顶点坐标；
（2）若该二次函数图象经过（﹣1，1），（﹣2，3），（1，﹣2）三个点中的一个点，求该二次函数的表达式；
（3）若二次函数图象经过（x1，y1），（x2，y2）两点，当x1+x2＝2，x1＜x2时．y1＞y2，求a的取值范围．
四．二次函数的三种形式（共3小题）
30．（2022秋•义乌市校级月考）已知二次函数y＝2x2+4x﹣6，
（1）将二次函数的解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式．
（2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．
31．（2022秋•余杭区校级月考）将二次函数y＝x2+2x﹣1转化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝（x﹣1）2B．y＝（x+1）2C．y＝（x+1）2﹣1D．y＝（x+1）2﹣2
32．（2022秋•定海区校级月考）把函数y＝2x2﹣4x﹣1写成y＝a（x﹣h）2+k的形式，则h+k＝ ．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023春·浙江·九年级阶段练习）已知二次函数的图象和一次函数的图象交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的对称轴在y轴左侧，且B．若，则的对称轴在y轴右侧，且
C．若，则的对称轴在y轴右侧，且D．若，则的对称轴在y轴左侧，且
2．（2023·浙江·模拟预测）设二次函数（a，c是常数，），已知函数的图象经过点，，，设方程的正实数根为m，（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
3．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，设一元二次方程的根为，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·浙江温州·校考三模）已知二次函数的图象过两点，下列选项正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．（2023·浙江杭州·统考一模）坐标平面上有一水平线与二次函数的图形，其中为一正数，且与二次函数图象相交于、两点，其位置如图所示．若：：，则的长度为( )
A．17B．19C．21D．24
6．（2023春·浙江·九年级阶段练习）如图，二次函数的对称轴为直线，下列判断正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．（2023春·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考阶段练习）已知a为实数，下列命题：
①若，则；②若，则；③若，则或．其中真命题的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
8．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，二次函数图象的对称轴为直线，且经过点，则下列说法①；②；③若是抛物线上的两点，则；④正确的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①②④D．①③④
9．（2023秋·浙江温州·九年级期末）已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，当x≤1时，y随x的增大而增大，且﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．1B．C．﹣D．﹣
10．（2023·统考二模）二次函数(，是常数，)的图象过点，下列选项正确的是( )
A．若对称轴为直线，则B．若对称轴为直线，则
C．若对称轴为直线，则D．若对称轴为直线，则
二、填空题
11．（2023春·浙江·九年级开学考试）若关于x的一元二次方程有实数根，且．当时，试比较，2，3的大小，并用“<”连接：___________．
12．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）已知抛物线经过点两点，则关于x的一元二次方程的解是________．
13．（2023·浙江·九年级专题练习）已知二次函数的图象与x轴恰有一个交点，且过点和点，则______．
14．（2023·浙江嘉兴·统考一模）在同一直角坐标系中，已知函数，（k为不等于零的常数）．若函数的图象经过的图象的顶点，则k，c之间的数量关系为__________．
15．（2023·浙江温州·校考三模）抛物线的顶点落在一次函数的图象上，则b的最小值为__________．
16．（2023·浙江绍兴·统考一模）已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“平衡点”，例如：直线上存在“平衡点”，若函数的图象上存在唯一“平衡点”，则___________．
17．（2023·浙江·九年级专题练习）若二次函数的图象经过点，，，且，则下列结论：
①；②；③；④中，一定成立的有____________．（填序号）
18．（2023·浙江·九年级专题练习）已知二次函数．当时，的取值范围是，该二次函数的对称轴为，则的值是____．
三、解答题
19．（2023秋·浙江杭州·九年级期中）已知二次函数的图象经过点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）画出这个函数的图象，并利用图象解决下列问题：
①直接写出方程的解．
②当满足什么条件时，．
20．（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）已知抛物线经过点和点，
(1)求这个抛物线的解析式及顶点坐标．
(2)求抛物线与x轴两个交点之间的距离．
21．（2023·浙江杭州·统考二模）已知二次函数和一次函数．
(1)二次函数的图象过点，求二次函数的表达式；
(2)若一次函数与二次函数的图象交于x轴上同一点，且这个点不是原点．
①求证：；
②若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，求m的值．
22．（2023·浙江·九年级专题练习）对于抛物线．
(1)若抛物线过点，
①求顶点坐标；
②当时，直接写出的取值范围为_______；
(2)已知当时，，求和的值．
23．（2023·浙江杭州·统考一模）二次函数的图象与y轴的交点为．
(1)求a的值．
(2)求二次函数在x轴上截得的线段长的值．
(3)对于任意实数k，规定：当时，关于x的函数的最小值记作：，求的解析式．
24．（2023·浙江温州·校联考二模）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点．
(1)求该二次函数图象与轴的另一交点的坐标及其函数表达式．
(2)记图象与轴交于点，过点作轴，交图象于另一点．将抛物线向上平移个单位长度后，与轴交于点点为右侧的交点）．若，求的值．
25．（2023·浙江杭州·杭州市公益中学校考二模）在平面直角坐标系中，当和时，二次函数（，是常数，）的函数值相等．
(1)若该函数的最大值为，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
(2)若该函数的图象与轴有且只有一个交点，求，的值．
(3)记（2）中的抛物线为，将抛物线向上平移个单位得到抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值之差为，求的值．
26．（2023·浙江杭州·统考二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c是常数）．
(1)当，时，求该函数图象的顶点坐标．
(2)设该二次函数图象的顶点坐标是，当该函数图象经过点时，求n关于m的函数解析式．
(3)已知，当时，该函数有最大值8，求c的值．
x
…
﹣5
﹣2
3
5
…
y
…
m
3
m
0
…
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0.13
0.38
0.53
0.58
0.53
0.38
0.13
第04讲 二次函数的性质综合（4种题型）
【知识梳理】
一．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
二．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
三．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
四．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
五．二次函数的三种形式
二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；
②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；
③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．
【考点剖析】
一．二次函数的性质（共17小题）
1．（2022秋•金东区期末）抛物线y＝2x2﹣4x+1的对称轴是直线（ ）
A．x＝﹣3B．x＝1C．x＝﹣D．x＝﹣1
【分析】把二次函数解析式配方成顶点式的形式，然后即可写出对称轴．
【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+1
＝2（x2﹣2x+1﹣1）+1
＝2（x﹣1）2﹣1，
∴对称轴是直线x＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，配方成顶点式是解题的关键，也可以利用对称轴公式直接求解．
2．（2023•龙港市二模）二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）的图象过点（5，6），下列选项正确的是（ ）
A．若对称轴为直线x＝1，则a＜0
B．若对称轴为直线x＝2，则a＜0
C．若对称轴为直线x＝3，则a＜0
D．若对称轴为直线x＝4，则a＞0
【分析】应用二次函数的性质分别判断即可．
【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）的图象过点（5，6），则有25a+5b+1＝6，即5a+b＝1．
A、若对称轴为直线x＝1，则，又5a+b＝1，得a＝＞0；不符合题意．
B、若对称轴为直线x＝2，则，又5a+b＝1，得a＝1＞0；不符合题意．
C、若对称轴为直线x＝3，则，又5a+b＝1，得a＝﹣1＜0；符合题意．
D、若对称轴为直线x＝4，则，又5a+b＝1，得a＝＜0；不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的对称性，及图象上的点坐标与函数解析式的关系．
3．（2022秋•西湖区期末）设函数y1＝﹣（x﹣a1）2，y2＝﹣（x﹣a2）2．直线x＝1的图象与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，c1），B（1，c2），得（ ）
A．若1＜a1＜a2，则c1＜c2B．若a1＜1＜a2，则c1＜c2
C．若a1＜a2＜1，则c1＜c2D．若a1＜a2＜1，则c2＜c1
【分析】根据题意分别画出y1，y2的图象，继而根据图象即可求解．
【解答】解：∵直线x＝1的图象与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，c1），B（1，c2），
A．若1＜a1＜a2，如图所示，
则c1＞c2
B．若a1＜1＜a2，如图所示，
则c1＞c2
则c1＜c2，
故B选项不合题意，
C．若a1＜a2＜1，如图所示，
∴c1＜c2，故C选项正确，D选项不正确；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象的性质，数形结合是解题的关键．
4．（2023•长兴县一模）抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（ 9，3）B．（9，﹣3）C．（﹣9，3）D．（﹣9，﹣3）
【分析】由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标．
【解答】解：∵y＝2（x+9）2﹣3，
∴抛物线顶点坐标为（﹣9，﹣3），
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式．
5．（2022秋•温州期末）抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴的交点坐标为（ ）
A．（3，0）B．（0，3）C．（1，0）D．（0，1）
【分析】令x＝0，求出相应的y的值，即可得到抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴的交点坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x+3，
∴当x＝0时，y＝3，
即抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴的交点坐标是（0，3），
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确抛物线与y轴交点，就是求出当x＝0时y的值．
6．（2023•婺城区模拟）关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口方向向上
B．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1
C．抛物线对称轴左侧部分是下降的
D．抛物线顶点到x轴的距离是2
【分析】由抛物线的解析式可求得其开口方向、对称轴、增减性以及顶点坐标，进一步可得出答案．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，﹣2），
在对称轴左侧，y随x的增大而增大，
∴A、B、C不正确；
∵抛物线顶点到x轴的距离是|﹣2|＝2，
∴D正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
7．（2023•南湖区一模）在同一直角坐标系中，已知函数，y2＝kx+2（k为不等于零的常数）．若函数y2的图象经过y1的图象的顶点，则k，c之间的数量关系为 c+k＝3 ．
【分析】将函数化为顶点式，求出顶点坐标，再代入y2＝kx+2，即可作答．
【解答】解：，
即其顶点坐标为：（﹣1，c﹣1），
将（﹣1，c﹣1）代入y2＝kx+2中，
有：c﹣1＝﹣k+2，
整理，得：c+k＝3，
故答案为：c+k＝3．
【点评】本题主要考查了求解二次函数的顶点坐标的知识，正确将函数化为顶点式，是解答本题的关键．
8．（2023•鄞州区一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点A（﹣1，﹣2），对称轴为直线x＝1，则9a+3b+c的值是 ﹣2 ．
【分析】根据抛物线的轴对称性质得到：当x＝3与当x＝﹣1时，所对应的y值相等，据此解答．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点A（﹣1，﹣2），对称轴为直线x＝1，
∴点A（﹣1，﹣2）关于直线x＝1对称的点的坐标为（3，﹣2）．
∴当x＝3时，y＝﹣2，
即9a+3b+c＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．
9．（2022秋•南浔区期末）已知二次函数y＝x2+2x﹣5，当x＝3时，y＝ 10 ．
【分析】把x＝3代入y＝x2+2x﹣5计算即可．
【解答】解：把x＝3代入y＝x2+2x﹣5，
得y＝32+2×3﹣5＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了二次函数的性质，准确计算是解题的关键．
10．（2022秋•嵊州市期末）二次函数y＝（x﹣2）2+h（b≤x≤b+1）的图象上任意二点连线不与x轴平行，则b的取值范围为 b≤1或b≥2 ．
【分析】先根据函数表达式得出函数的对称轴，再根据题意可得该二次函数的图象取对称轴的左边或对称轴的右边，即可进行解答．
【解答】解：∵二次函数表达式为y＝（x﹣2）2+h（b≤x≤b+1），
∴该函数的对称轴为直线x＝2，
∵图象上任意二点连线不与x轴平行，
∴x≤2或x≥2，
∵b≤x≤b+1，
∴b+1≤2或≥2，
解得：b≤1或b≥2．
故答案为：b≤1或b≥2．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象，会根据二次函数的表达式求出函数的对称轴．
11．（2022秋•余姚市期末）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点，若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则线段PB的长为 ．
【分析】先根据抛物线解析式求出点A坐标和其对称轴，再根据对称性求出点M坐标，利用点M为线段AB中点，得出点B的坐标；再将点B的坐标代入直线OP的解析式，用含a的式子表示出点P坐标，即可求解出a的值，据此即可解答．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a＞0）与y轴交于点A，
∴A（0，3），抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴顶点P坐标为（1，3﹣a），点M坐标为（2，3）
∵点M为线段AB的中点，
∴点B坐标为（4，3），
设直线OP解析式为y＝kx（k为常数，且k≠0），
将点B（4，3）代入得4k＝3，
解得，
∴直线OP解析式为，
将点P（1，3﹣a）代入得，
得，
解得，
∴点，
∴
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求正比例函数解析式，两点间距离公式，坐标与图形，求得点B的坐标是解决本题的关键．
12．（2023•镇海区校级模拟）直线l1：y＝kx+3与y轴交于点P，直线l1绕点P顺时针旋转45°得到直线l2，若直线l2与抛物线y＝﹣x2+2x+3有唯一的公共点，则k＝ ﹣1或﹣3 ．
【分析】根据直线解析式可得l1，l2都经过点（0，3），分别讨论直线l2与y轴重合或与抛物线相切两种情况，通过添加辅助线构造全等三角形可求出直线y＝kx+3上的点坐标，进而求解．
【解答】解：由y＝kx+3，y＝﹣x2+2x+3可得直线l2与抛物线交于点A（0，3），
①直线l2与y轴重合满足题意，则直线l1与y轴交点为45°，如图，
∵OB＝3，∠ABO＝45°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴OA＝OB＝3，
∴点B坐标为（3，0），
将（3，0）代入y＝kx+3得0＝3k+3，
解得k＝﹣1．
②设直线l2解析式为y＝mx+3，
令mx+3＝﹣x2+2x+3，
Δ＝（m﹣2）2，
当m＝2时满足题意．
∴y＝2x+3，
把y＝0代入y＝2x+3得x＝﹣，
∴直线l2与x轴交点D坐标为（﹣，0），即OD＝，
作DE⊥AD交直线y＝kx+3于点E，过点E作EF⊥x轴于点F，
∵∠EAD＝45°，
∴AD＝DE，
∵∠ADO+∠EDF＝90°，∠ADO+∠DAO＝90°，
∴∠DAO＝∠EDF，
又∵∠EFD＝∠AOD＝90°，
∴△EFD≌△DOA，
∴FD＝AO＝3，EF＝DO＝，
∴OF＝FD+DO＝，
∴点E坐标为（﹣，）．
将（﹣，）代入直线AE解析式y＝k1x+3得＝﹣k1+3，
解得k1＝．
∵k1•k＝﹣1，
∴k＝﹣3．
故答案为：﹣1或﹣3．
【点评】本题考查二次函数与一次函数交点问题，解题关键是掌握函数与方程的关系，通过添加辅助线分类讨论求解．
13．（2022秋•杭州期末）已知0＜m＜3，若二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0的自变量x与函数y的部分对应值如表，
则c＝ 3 ，方程ax2+bx+c＝0的两根为 x1＝﹣7，x2＝5 ．
【分析】根据当x＝﹣5或3时，y＝m，可知图象的对称轴为直线x＝﹣1，因为当x＝﹣2时，y＝3，根据对称性可得c＝3，再根据当x＝5时，y＝0，得当x＝﹣7时，y＝0，即可得方程ax2+bx+c＝0的两根．
【解答】解：∵当x＝﹣5或3时，y＝m，
∴图象的对称轴为直线x＝＝﹣1，
∵当x＝﹣2时，y＝3，
∴当x＝0时，y＝3，
∴c＝3，
∵当x＝5时，y＝0，
∴当x＝﹣7时，y＝0，
∴方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣7，x2＝5．
故答案为：3，x1＝﹣7，x2＝5．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
14．（2023•龙湾区一模）如图，已知点C为二次函数y＝x2﹣4x+1的顶点，点P（0，n）为y轴正半轴上一点，过点P作y轴的垂线交函数图象于点A，B（点A在点B的左侧）．点M在射线PB上，且满足PM＝1+n．过点M作MN⊥AB交抛物线于点N，记点N的纵坐标为yN．
（1）求顶点C的坐标．
（2）①若n＝3，求MB的值．
②当0＜n≤4时，求yN的取值范围．
【分析】（1）把二次函数的解析式化成顶点式，即可求得顶点C的坐标；
（2）①解方程x2﹣4x+1＝3，求得B的坐标即可得出；
②由xN＝xM＝1+n，代入解析式得，求得当n＝1时，yN的最小值为﹣3．n＝4时，yN的最大值为6，根据二次函数的性质即可求得﹣3≤yN≤6．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∴顶点C的坐标为（2，﹣3）．
（2）①当n＝3时，则PM＝1+3＝4，
令y＝3，则x2﹣4x+1＝3，
解得，，
∴B（2+，3），
∴．
②∵xN＝xM＝1+n，
∴．
∴当n＝1时，yN的最小值为﹣3．
当n＝4时，yN的最大值为6．
∴﹣3≤yN≤6．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
15．（2023•海曙区一模）对于抛物线y＝ax2﹣4x+3（a＞0）．
（1）若抛物线过点（4，3）．
①求顶点坐标；
②当0≤x≤6时，直接写出y的取值范围为 ﹣1≤y≤15 ；
（2）已知当0≤x≤m时，1≤y≤9，求a和m的值．
【分析】（1）①解析式化成顶点式，即可求得抛物线的顶点坐标；
②求得x＝6时的函数值，根据二次函数的性质即可求解；
（2）抛物线开口向上，对称轴为直线x＝，由当0≤x≤m时，1≤y≤9可知抛物线顶点坐标为（，1）且过点（m，9），把顶点坐标代入解析式即可求得a＝2，然后把点（m，9）代入解析式即可求得m的值．
【解答】解：（1）若抛物线过点（4，3），则3＝16a﹣16+3，
解得a＝1，
∴y＝x2﹣4x+3；
①∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点坐标为（2，﹣1）；
②当x＝6时，y＝x2﹣4x+3＝15，
∴当0≤x≤6时，直y的取值范围为﹣1≤y≤15，
故答案为：﹣1≤y≤15；
（2）抛物线y＝ax2﹣4x+3（a＞0）对称轴为直线x＝﹣＝，
∵当0≤x≤m时，1≤y≤9，且x＝0时，y＝3，
∴x＝时，y＝1为函数最小值，即抛物线顶点坐标为（，1），
∴1＝﹣+3，
解得a＝2，
∴y＝2x2﹣4x+3，
把x＝m，y＝9代入得9＝2m2﹣4m+3，
解得m1＝3，m2＝﹣1，
∴m＞0，
∴m＝3，
故a的值为2，m的值为3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
16．（2023春•上城区校级月考）设二次函数y＝ax2+4ax+4a+1，a为常数，且a＜0．
（1）写出该函数的对称轴和顶点坐标．
（2）若该函数图象经过点P（n，y1），Q（n+1，y2），当n≥1时，试比较y1和y2的大小关系．
（3）若该函数图象经过点P（x1，y1），Q（x2，y2），设n≤x1≤n+1，当x2≥3时均有y1≥y2，请求出实数n的取值范围．
【分析】（1）画出顶点时，即可求得对称轴和顶点坐标；
（2）根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）利用函数图象，结合函数的对称性即可得出n的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝ax2+4ax+4a+1＝a（x+2）2+1，
∴二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣2，顶点为（﹣2，1）；
（2）∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝﹣2，
∴当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，
∵该函数图象经过点P（n，y1），Q（n+1，y2），
∴当n≥1时，y1＞y2；
（3）∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝﹣2，当x2≥3时均有y1≥y2，
∴|x1+2|≤|x2+2|，即|x1+2|≤x2+2，
∴x1+2≤x2+2，或x1+2≥﹣2﹣x2，
∴x1≤x2，或x1≥﹣4﹣x2
∵x2≥3，
∴﹣4﹣x2≤﹣7，
∵该二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），
设n≤x1≤n+1，当x2≥3时均有y1≥y2，
∴，
∴﹣7≤n≤2．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，关键是灵活应用二次函数的性质解题．
17．（2022秋•嘉兴期末）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣4．
（1）求该函数图象的顶点坐标和对称轴．
（2）自变量在什么范围内时，y随x的增大而增大．
【分析】（1）利用配方法或公式法即可解决问题．
（2）利用图象以及二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣4
＝（x2﹣2x+1）﹣4﹣1
＝（x﹣1）2﹣5，
∴顶点坐标为（1，﹣5），对称轴为x＝1．
（2）当x＞1时，y随x的增大而增大．
【点评】本题考查二次函数的性质、配方法或公式法求顶点坐标，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，属于基础题，中考常考题型．
二．二次函数的最值（共4小题）
18．（2023•江北区一模）已知抛物线y＝（x﹣b）2+c经过A（1﹣n，y1），B（n，y2），C（n+3，y3）三点，y1＝y3．当1﹣n≤x≤n时，二次函数的最大值与最小值的差为16，则n的值为（ ）
A．﹣5B．3C．D．4
【分析】根据y1＝y3，可得A，C两点关于对称轴对称，从而得到抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+c，再由1﹣n≤x≤n，可得点B在点A的右侧，，然后分两种情况讨论，即可求解．
【解答】解：∵y1＝y3，
∴A，C两点关于对称轴对称．
∴，
即抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+c．
∵1﹣n≤x≤n，
∴点B在点A的右侧，且有1﹣n≤n，
∴．
情况1：如图1，当点A与点B均在对称轴的左侧时，此时n＜2；
当x＝1﹣n时，二次函数取到最大值为y＝（1﹣n﹣2）2+c＝（n+1）2+c；
当x＝n时，二次函数取到最小值为y＝（n﹣2）2+c，
∴（n+1）2+c﹣（n﹣2）2﹣c＝16，解得（舍去）．
情况2：如图2，当点A与点B在对称轴的两侧时，此时n≥2；A到对称轴的水平距离为2﹣（1﹣n）＝1+n．B到对称轴的距离为n﹣2，当x＝1﹣n时，二次函数取到最大值为y＝（1﹣n﹣2）2+c＝（n+1）2+c；
当x＝2时，二次函数取到最小值为y＝c，
∴（n+1）2+c﹣c＝16，解得n＝3或﹣5（舍）．
综上，n＝3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
19．（2022秋•金华期末）二次函数y＝2x2﹣4x的最小值为 ﹣2 ．
【分析】把二次函数的解析式化为顶点式，即可求解．
【解答】解：y＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，
∵2＞0，
∴二次函数y＝2x2﹣4x有最小值，最小值为﹣2．
故答案为：﹣2
【点评】此题考查将二次函数一般式化为顶点式，二次函数的性质．熟练转化二次函数解析式的形式及掌握确定最值的方法是解题的关键．
20．（2022秋•海曙区期末）已知点P（m，n）在二次函数y＝x2+4的图象上，则m﹣n的最大值等于 ﹣ ．
【分析】根据题意，可以得到m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可得到m﹣n的最大值，本题得以解决．
【解答】解：∵点P（m，n）在抛物线y＝x2+4上，
∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣）2﹣，
∴当m＝时，m﹣n取得最大值，m﹣n＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
21．（2022秋•诸暨市期末）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3）．
（1）求b，c的值；
（2）当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差；
（3）当k﹣4≤x≤k时，若y的最大值与最小值之差为8，求k的值．
【分析】（1）（0，3）是与y轴的交点，可得c＝3，再将（6，3）代入求值，可求得b的值；
（2）根据二次函数的解析式y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6；当0≤x≤4时，仅当x＝0时，y取得最大值；仅当x＝3时，y取得最小值；再计算y的最大值与最小值之差；
（3）分类讨论：①k﹣4≤x≤k≤3，k≤3；②当k﹣4≤3且k≥3时，即3≤k≤7；③当3≤k﹣4≤x≤k时，即k≥7；根据函数特点，计算求出符合题意k的值．
【解答】解：（1）∵函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3），
∴c＝3，y＝x2+bx+3，
将点（6，3）代入可得：3＝62+6b+3，解得：b＝﹣6，
∴b＝﹣6，c＝3；
（2）y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6，
当0≤x≤4时，
①仅当x＝3时，y取得最小值，此时y＝（3﹣3）2﹣6＝﹣6；
②仅当x＝0时，y取得最大值，此时y＝（0﹣3）2﹣6＝3；
3﹣（﹣6）＝9，
∴当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差为9；
（3）当k﹣4≤x≤k时，y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6，
①当k﹣4≤x≤k≤3时，即k≤3，
仅当x＝k，y取得最小值，此时y＝k2﹣6k+3；仅当x＝k﹣4，y取得最大值，此时y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3；
（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3﹣（k2﹣6k+3）＝8，解得：k＝4，
∵k＜3，
∴k＝4不符合题意；
②当k﹣4≤3且k≥3时，即3≤k≤7，此时最小值为y＝﹣6，
当x＝k﹣4取得最大值时，y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3，
（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3﹣（﹣6）＝8，解得：k＝7±3，
∵3≤k≤7，7+3＞7，7﹣3＜3，
∴k＝7±3不符合题意；
当x＝k取得最大值时，y＝k2﹣6k+3，
k2﹣6k+3﹣（﹣6）＝8，解得：k＝3±2，
∵3≤k≤7，3＜3+2＜7，3﹣2＜3，
∴k＝3+2符合题意，k＝3﹣2不符合题意，
∴k＝3+2；
③当3≤k﹣4≤x≤k时，即k≥7，
仅当x＝k﹣4，y取得最小值，此时y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3；仅当x＝k，y取得最大值，此时y＝k2﹣6k+3；
k2﹣6k+3﹣[（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3]＝8，解得：k＝6，
∵k≥7，
∴k＝6不符合题意；
综上所述，当k﹣4≤x≤k时，若y的最大值与最小值之差为8，k的值为3+2．
y取得最小值，此时y＝（3﹣3）2﹣6＝﹣6；
【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的特点，并用分类讨论思想分析计算求值是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
三．待定系数法求二次函数解析式（共8小题）
22．（2022秋•温州期末）若抛物线y＝x2﹣6x+c的顶点在x轴，则c＝ 9 ．
【分析】顶点在x轴上，根据顶点的纵坐标是0，列出方程求解．
【解答】解：根据题意，顶点在x轴上，顶点纵坐标为0，
即，解得c＝9．
【点评】本题考查求顶点纵坐标的公式，比较简单．
23．（2022秋•滨江区期末）已知一个二次函数图象的形状与抛物线y＝2x2相同，它的顶点坐标为（1，﹣3），则该二次函数的表达式为 y＝2（x﹣1）2﹣3或y＝﹣2（x﹣1）2﹣3 ．
【分析】根据二次函数的顶点坐标为（1，﹣3），可得可设这个二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，再根据图象的形状和与抛物线y＝2x2相同，可得a＝±2，即可求解．
【解答】解：∵二次函数的顶点坐标为（1，﹣3），
∴可设这个二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，
∵二次函数图象的形状与抛物线y＝2x2相同，，
∴|a|＝2，
∴a＝±2，
∴这个二次函数的解析式为y＝2（x﹣1）2﹣3或y＝﹣2（x﹣1）2﹣3．
故答案为：y＝2（x﹣1）2﹣3或y＝﹣2（x﹣1）2﹣3．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，牢记形状相同的二次函数二次项系数的绝对值相等是解题的关键．
24．（2023春•萧山区期中）已知二次函数y＝x2+bx+c．当﹣1≤x≤1时，y的取值范围是﹣1≤y≤1，该二次函数的对称轴为x＝m，则m的取值范围是 1﹣≤m≤﹣1 ．
【分析】分别求解当y＝x2+bx+c过点（1，1）时，当y＝x2+bx+c过点（﹣1，1）时的m的值，即可得到结论．
【解答】解：二次函数y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣，
当﹣1≤x≤1时，y的取值范围是﹣1≤y≤1，如图，
当抛物线y＝x2+bx+c过点（1，1）时，则1+b+c＝1，
此时﹣1≤﹣＜0，即0＜b≤2，
解得：c＝﹣b，
∴抛物线为：y＝x2+bx﹣b＝（x+）2﹣b﹣，
此时函数的最小值必为﹣1，
∴﹣b﹣＝﹣1，
解得：b1＝﹣2+2，b2＝﹣2﹣2（舍去），
此时m＝﹣＝1﹣，
同理，当抛物线y＝x2+bx+c过点（﹣1，1）时，则1﹣b+c＝1，
此时0＜﹣≤1，即﹣2≤b＜0，
解得：c＝b，
∴抛物线为：y＝x2+bx+b＝（x+）2+b﹣，
此时函数的最小值必为﹣1，
∴b﹣＝﹣1，
解得：b1＝2﹣2，b2＝2+2（舍去），
此时m＝﹣＝﹣1，
∴1﹣≤m≤﹣1，
故答案为：1﹣≤m≤﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质，运用数形结合思想是解题的关键．
25．（2023•鹿城区校级二模）如图，抛物线经过点（﹣2，0）和（0，4）．
​（1）求抛物线的函数表达式和对称轴．
（2）抛物线交y轴于点A，点P在线段OA上，过点P作x轴的平行线交抛物线于B，C两点（B在C的左侧），若时，CP＝nPB，求n的值．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）首先求得A的坐标，然后设BP＝m，则，，根据抛物线的对称性求得C（m+2，﹣），即可得出BC＝2m+2，AP＝，由得到关于m的方程，解方程求得m的值，从而求得CP＝3，BP＝1，即可求得n＝3．
【解答】解：（1）∵抛物线经过点（﹣2，0）和（0，4），
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为：；
∴对称轴直线：x＝﹣＝1；
（2）∵抛物线交y轴于点A，
∴A（0，4），
设BP＝m，则，，
∵抛物线对称轴直线x＝1，
∴C（m+2，﹣），
∴BC＝2m+2，AP＝4﹣（﹣）＝，
∵，
∴，
解得：m1＝1，（舍去），
∴CP＝3，BP＝1，
∴n＝3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，正确表示出点的坐标，从而根据题意得到关于m的方程是解题的关键．
26．（2023•龙港市二模）二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（3，0）．
（1）求该二次函数的表达式和对称轴．
（2）设P（m，y1），Q（m+1，y2）（m＞2）是该二次函数图象上的两点．当m≤x≤m+1时，函数的最大值与最小值的差为5，求m的值．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，利用抛物线的对称性即可求得对称轴；
（2）根据题意函数的最大值yQ＝（m+1）2﹣4（m+1）+3，函数最小值yP＝yQ＝m2﹣4m+3，由函数的最大值与最小值的差为5，得到关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（3，0），
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+3，对称轴是直线x＝＝2；
（2）∵a＝1＞0，对称轴为直线x＝2，
∴当x＞2时，y随着x的增大而增大，
∵m＞2，
∴当m≤x≤m+1时，y随着x的增大而增大，
∴函数的最大值yQ＝（m+1）2﹣4（m+1）+3，函数最小值yP＝yQ＝m2﹣4m+3，
∵函数的最大值与最小值的差为5，
（m+1）2﹣4（m+1）+3﹣m2+4m﹣3＝5，
∴m＝4．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．
27．（2023•温州二模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（4，1）在二次函数y＝a（x﹣2）2+3的图象上，且x2﹣x1＝6．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）已知点A，B在对称轴的异侧，当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为5，设x1，x2的最小值分别为m，n，求m+n的值．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）由题意可知函数的最大值为3，最小值为﹣2，把y＝﹣2代入解析式即可求得自变量x的值，即可求得m＝，n＝，进一步求得m+n的值．
【解答】解：（1）∵C（4，1）在二次函数y＝a（x﹣2）2+3的图象上，
∴1＝a（4﹣2）2+3，
解得，
∴该二次函数的表达式为；
（2）∵A，B在对称轴异侧，且x1≤x≤x2，
∴函数的最大值为3，
∵函数的最大值与最小值的差为5，
∴最小值为﹣2，
把y＝﹣2代入 ，得 ，
∵，
∴由图象得x1最小值 ，
∴x2最小值＝，
∴m+n＝2﹣+8﹣＝10﹣2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的最值，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．
28．（2023•定海区模拟）二次函数y＝x2+bx过点（2，8）．
（1）求二次函数y＝x2+bx的解析式；
（2）若点A（m，y1）和点B（3﹣m，y2）都在二次函数图象上，求y1+y2最小值；
（3）一次函数y＝x+2和二次函数y＝x2+bx在同一平面直角坐标系中．其中点A（m，y1）是二次函数y＝x2+bx图象上一点，点B（﹣2﹣m，y2）是y＝x+2图象上一点．若|y1﹣y2|＞2，求m的取值范围．
【分析】（1）把已知点的坐标代入y＝x2+bx中求出b的值，从而得到二次函数解析式；
（2）根据一次函数和二次函数图象上点的坐标特征得到y1＝m2+2m，y2＝m2﹣8m+15，则y1+y2＝2m2﹣6m+15，然后利用二次函数的性质解决问题；
（3）先确定抛物线y＝x2+2x的对称轴为直线x＝﹣1，再求出点A（m，y1）关于对称轴的对称点A′的坐标为（﹣2﹣m，y1），则|y1﹣y2|＝|（﹣2﹣m）2+2（﹣2﹣m）﹣（﹣2﹣m+2）|＞2，即m2+3m＞2或m2+3m＜﹣2，通过解方程m2+3m＝2和二次函数的性质得到m2+3m＞2的解集为m＜或m＞，通过解方程m2+3m＝﹣2和二次函数的性质得到得m2+3m＜﹣2的解集为﹣2＜m＜﹣1．
【解答】解：（1）把（2，8）代入y＝x2+bx得4+2b＝8，
解得b＝2，
∴二次函数解析式为y＝x2+2x；
（2）∵点A（m，y1）和点B（3﹣m，y2）都在二次函数图象上，
∴y1＝m2+2m，y2＝（3﹣m）2+2（3﹣m）＝m2﹣8m+15，
∵y1+y2＝m2+2m+m2﹣8m+15＝2m2﹣6m+15＝2（m﹣）2+，
∴当m＝时，y1+y2有最小值，最小值为；
（3）∵抛物线y＝x2+2x的对称轴为直线x＝﹣1，
∴点A（m，y1）关于对称轴的对称点A′的坐标为（﹣2﹣m，y1），
∵点B的坐标为（﹣2﹣m，y2），
∴|y1﹣y2|表示点A′与点B的距离，
∴|（﹣2﹣m）2+2（﹣2﹣m）﹣（﹣2﹣m+2）|＞2，
整理得|m2+3m|＞2，
即m2+3m＞2或m2+3m＜﹣2，
解方程m2+3m＝2得m1＝，m2＝，
∴m2+3m＞2的解集为m＜或m＞，
解方程m2+3m＝﹣2得m1＝﹣2，m2＝﹣1，
∴m2+3m＜﹣2的解集为﹣2＜m＜﹣1，
综上所述．m的取值范围为m＜或m＞或﹣2＜m＜﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了一次函数，、二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征．
29．（2023•西湖区模拟）设二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常数，a≠0）．
（1）若a＝2，求该函数图象顶点坐标；
（2）若该二次函数图象经过（﹣1，1），（﹣2，3），（1，﹣2）三个点中的一个点，求该二次函数的表达式；
（3）若二次函数图象经过（x1，y1），（x2，y2）两点，当x1+x2＝2，x1＜x2时．y1＞y2，求a的取值范围．
【分析】（1）当a＝2时，二次函数y＝（x+1）（2x+6）＝2x2+8x+6，即可求出顶点坐标；
（2）先判断抛物线过点（0，﹣2），代入解析式即可求得a＝﹣2，从而求得抛物线的解析式；
（3）分a＞0和a＜0两种情况，根据二次函数的增减性和已知条件列出a的不等式便可求得结果．
【解答】解：（1）当a＝2时，二次函数y＝（x+1）（2x+6）＝2x2+8x+6＝2（x+2）2﹣2，
∴顶点坐标为（﹣2，﹣2）；
（2）当x＝﹣1时，y＝0≠1，因此不过（﹣1，1）点，
当x＝﹣2时，y＝（﹣2+1）（﹣2a+2a+2）＝﹣2≠3，因此不过（﹣2，3）点，
故抛物线过点（1，﹣2），代入得，2（3a+2）＝﹣2，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的关系式为y＝﹣x2﹣x；
（3）∵二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常数，a≠0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），﹣2﹣，0），
∴函数图象的对称轴为直线x＝﹣，
当a＞0时，函数图象开口向上，
∵当x1+x2＝2，x1＜x2时，y1＞y2，
x2+＜﹣﹣x1，
∴2+＜0，
解得a＜﹣，舍去；
当a＜0时，函数图象开口向下，
∵x1＜x2时，y1＞y2，
∴x1≥﹣，
∵x1+x2＝2，x1＜x2，
∴x1＜1，
∴﹣＜1，
∴a＜﹣．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，函数图象上点的坐标特征，待定系数法，关键是根据题意正确列出a的不等式．
四．二次函数的三种形式（共3小题）
30．（2022秋•义乌市校级月考）已知二次函数y＝2x2+4x﹣6，
（1）将二次函数的解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式．
（2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．
【分析】（1）用配方法可将抛物线一般式转化为顶点式；
（2）根据（1）中的顶点式确定开口方向、对称轴、顶点坐标．
【解答】解：（1）y＝2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1）﹣8＝2（x+1）2﹣8；
（2）由（1）知，该抛物线解析式是：y＝2（x+1）2﹣8；
a＝2＞0，则二次函数图象的开口方向向上．
对称轴是直线x＝﹣1、顶点坐标是（﹣1，﹣8）．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式和二次函数的性质．二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
31．（2022秋•余杭区校级月考）将二次函数y＝x2+2x﹣1转化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝（x﹣1）2B．y＝（x+1）2C．y＝（x+1）2﹣1D．y＝（x+1）2﹣2
【分析】加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝x2+2x﹣1＝（x2+2x+1）﹣2＝（x+1）2﹣2，即y＝（x+1）2﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
32．（2022秋•定海区校级月考）把函数y＝2x2﹣4x﹣1写成y＝a（x﹣h）2+k的形式，则h+k＝ ﹣2 ．
【分析】利用配方法把一般式化为顶点式，计算即可．
【解答】解：y＝2x2﹣4x﹣1
＝2（x2﹣2x）﹣1
＝2（x﹣1）2﹣3
∴h+k＝1﹣3＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查的是二次函数的最值问题，灵活运用配方法把一般式化为顶点式、掌握二次函数的性质是解题的关键．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023春·浙江·九年级阶段练习）已知二次函数的图象和一次函数的图象交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的对称轴在y轴左侧，且B．若，则的对称轴在y轴右侧，且
C．若，则的对称轴在y轴右侧，且D．若，则的对称轴在y轴左侧，且
【答案】A
【分析】依题意得出，根据分别判断即可求解．
【详解】解：∵二次函数的图象和一次函数的图象交于点，
∴，
∴，
若，则，
则，即
∵二次函数的对称轴为直线
∴的对称轴在y轴左侧，故A选项正确，B选项错误
若，则，故C选项错误，
则的对称轴在y轴右侧，故D选项不正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的性质，得出是解题的关键．
2．（2023·浙江·模拟预测）设二次函数（a，c是常数，），已知函数的图象经过点，，，设方程的正实数根为m，（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质可得点关于对称轴的对称点为，点关于对称轴的对称点为，再由二次函数图象与方程的关系可得二次函数的图象与直线的右侧的交点的横坐标为m，再结合图象即可求解．
【详解】解：∵二次函数关于y轴对称，
∴点关于对称轴的对称点为，点关于对称轴的对称点为，
∵方程的正实数根为m，
∴二次函数的图象与直线的右侧的交点的横坐标为m，
如图，
当时，，故A、B选项错误，不符合题意；
当，时，，故C选项错误，不符合题意；D选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
3．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，设一元二次方程的根为，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据表格找出y的值接近0时对应的x的值的取值范围，从而分析求解．
【详解】解：由表格可得：
当时，；
当时，，
又∵一元二次方程的根为，，且，
∴，，
故选：A．
【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，结合表格中的数据找出方程（，a，b，c为常数）的一个解的近似值是解题的关键．
4．（2023·浙江温州·校考三模）已知二次函数的图象过两点，下列选项正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】根据根据二次函数的解析式得到对称轴为直线，再利用二次函数的性质对各项判断即可解答．
【详解】解：∵二次函数的图象过两点，
∴二次函数的顶点式为：，
∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；
∵，
∴，
∴，
∴，
故错误；
∵二次函数的顶点式为：，
∴抛物线的对称轴为直线，
若，
∴解得：，
∴当时，和关于对称，
∴当时，；当时，，
故错误，正确；
当时，随的增大而增大，
∵，
∴，
故错误；
故选．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴，掌握二次函数的性质是解题的关键．
5．（2023·浙江杭州·统考一模）坐标平面上有一水平线与二次函数的图形，其中为一正数，且与二次函数图象相交于、两点，其位置如图所示．若：：，则的长度为( )
A．17B．19C．21D．24
【答案】C
【分析】根据对称轴，结合即可求解．
【详解】解：设对称轴与交于点．
.
，
．
对称轴，．，
：：．
：：：：
．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数关于对称轴对称，结合图形，找到线段的长度是解题的关键．
6．（2023春·浙江·九年级阶段练习）如图，二次函数的对称轴为直线，下列判断正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】由题意知，当时，；将和分别代入，计算求解可得的关系，然后进行判断即可．
【详解】解：由题意知，当时，；
当时，，即，，
∴，即，
∴A错误，故不符合要求；B正确，故符合要求；
当时，，即，，
∴，即，，
∴C、D错误，故不符合要求；
故选B．
【点睛】本题考查了根据二次函数的图象判断式子的符号．解题的关键在于数形结合确定的关系．
7．（2023春·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考阶段练习）已知a为实数，下列命题：
①若，则；②若，则；③若，则或．其中真命题的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【分析】借助函数图象，先确定出三函数图象的交点坐标为，再根据二次函数与不等式组的关系求解即可．
【详解】解：对于函数和，
当时，三个函数的函数值都是1，
所以，交点坐标为，
根据对称性，和在第三象限的交点坐标为，
画出三个函数的图象如图，
①如果，那么，故①正确；
②如果时，那么，故②正确；
③如果，那么或，故③正确；
综上所述，真命题是①②③．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数、反比例函数、一次函数与不等式组的关系，命题与定理，求出两交点的坐标并准确识图是解题的关键．
8．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，二次函数图象的对称轴为直线，且经过点，则下列说法①；②；③若是抛物线上的两点，则；④正确的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①②④D．①③④
【答案】C
【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，，再由对称轴为直线得到，即可判断①；根据当时，，即可判断②；根据抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，即可判断③；根据二次函数的性质可知当时，函数有最大值，即可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①正确；
由函数图象可知，当时，，
∴，故②正确；
∵抛物线开口向下，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵，
∴，故③错误；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，函数有最大值，
∴，
∴，故④正确；
故选C．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象判断式子符号等等，解题的关键是灵活应用图中信息解决问题，属于中考常考题型．
9．（2023秋·浙江温州·九年级期末）已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，当x≤1时，y随x的增大而增大，且﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．1B．C．﹣D．﹣
【答案】D
【分析】根据二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，可以得到该函数的对称轴，再根据当x≤1时，y随x的增大而增大，可以得到a的正负情况，然后根据﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，即可得到a的值．
【详解】解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1＝a（x﹣2）2﹣4a﹣1，
∴该函数的对称轴是直线x＝2，
又∵当x≤1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0，
∵当﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，
∴x＝6时，y＝a×62﹣4a×6﹣1＝﹣4，
解得a＝﹣，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数基本性质是解题关键．
10．（2023·统考二模）二次函数(，是常数，)的图象过点，下列选项正确的是( )
A．若对称轴为直线，则B．若对称轴为直线，则
C．若对称轴为直线，则D．若对称轴为直线，则
【答案】C
【分析】先求得抛物线与轴交于，然后根据抛物线的对称轴求得对称点，根据抛物线对称轴的右侧的增减性即可求解．
【详解】解：由，当时，，即抛物线与轴交于
若对称轴为直线，则关于对称的点为，
又二次函数(，是常数，)的图象过点，
在对称轴的右侧，随的增大而增大，
∴抛物线开口向上，即，故A错误
若对称轴为直线，则关于对称的点为，
又二次函数(，是常数，)的图象过点，
在对称轴的右侧，随的增大而增大，
∴抛物线开口向上，即，故B错误
若对称轴为直线，则关于对称的点为，
又二次函数(，是常数，)的图象过点，
在对称轴的右侧，随的增大而减小，
∴抛物线开口向下，即，故C正确
若对称轴为直线，则关于对称的点为，
又二次函数(，是常数，)的图象过点，
在对称轴的右侧，随的增大而减小，
∴抛物线开口向下，即，故D错误
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题
11．（2023春·浙江·九年级开学考试）若关于x的一元二次方程有实数根，且．当时，试比较，2，3的大小，并用“<”连接：___________．
【答案】
【分析】设，根据二次函数图象和直线的交点横坐标为，由图象即可得到答案．
【详解】解：设，
当时，或，
即抛物线与x轴交于点，
如图所示，抛物线与直线交点的横坐标为，由图象可知，．
故答案为：
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象和一元二次方程的关系是解题的关键．
12．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）已知抛物线经过点两点，则关于x的一元二次方程的解是________．
【答案】
【分析】根据平移的性质可得抛物线经过点两点，再由抛物线与轴的交点的横坐标即为一元二次方程的解，即可求解．
【详解】解：根据题意得：把抛物线向左平移1个单位得到抛物线，
∵抛物线经过点两点，
∴抛物线经过点、两点，
∴当 ，即时，解得：，
∴的解为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，二次函数与一元二次方程的根的关系，理解抛物线与轴的交点的横坐标即为一元二次方程的解是解题的关键．
13．（2023·浙江·九年级专题练习）已知二次函数的图象与x轴恰有一个交点，且过点和点，则______．
【答案】
【分析】根据二次函数的图象与x轴恰有一个交点，可得，再由二次函数的轴对称性可得，从而得到，，再把代入解析式可得，然后代入结合完全平方公式计算，即可求解．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴恰有一个交点，
∴，即，
∵二次函数的图象过点和点，
∴，
解得：，
∴，
∴二次函数的解析式为，
当时，，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是得到，，灵活利用完全平方公式计算是解题的关键．
14．（2023·浙江嘉兴·统考一模）在同一直角坐标系中，已知函数，（k为不等于零的常数）．若函数的图象经过的图象的顶点，则k，c之间的数量关系为__________．
【答案】
【分析】将函数化为顶点式，求出顶点坐标，再代入，即可作答．
【详解】，
即其顶点坐标为：，
将代入中，
有：，
整理，得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求解二次函数的顶点坐标的知识，正确将函数化为顶点式，是解答本题的关键．
15．（2023·浙江温州·校考三模）抛物线的顶点落在一次函数的图象上，则b的最小值为__________．
【答案】3
【分析】首先求出抛物线的顶点坐标，然后代入一次函数，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：，
∴顶点坐标为，
∵抛物线的顶点落在一次函数的图象上，
∴在一次函数的图象上，
∴
∴
∵，
∴抛物线开口向上，
∴当时，b有最小值3．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了二次函数的最值，二次函数的顶点式，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
16．（2023·浙江绍兴·统考一模）已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“平衡点”，例如：直线上存在“平衡点”，若函数的图象上存在唯一“平衡点”，则___________．
【答案】2，，1
【分析】将代入，得，由函数的图象上存在唯一“平衡点”，可得有两个相等的实数根，，求解即可．
【详解】解：将代入，得：
，即，
函数的图象上存在唯一“平衡点”，
有两个相等的实数根，
，
解得：或，
当时，是一次函数，有唯一“平衡点”，
故答案为：2，，1．
【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的特征，新定义，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一次函数的性质，理解“平衡点”的定义是解题的关键．
17．（2023·浙江·九年级专题练习）若二次函数的图象经过点，，，且，则下列结论：
①；②；③；④中，一定成立的有____________．（填序号）
【答案】①②④
【分析】由，可知对称轴为直线由可知开口向上，时，随增大而增大，根据已知条件可得根据对称轴为直线可知与的一个交点在和之间，与的另一个交点在和之间，即可得出，，即可得出结论．
【详解】解：
∴对称轴为直线
∴开口向上，
时，随增大而增大，
的图象经过点，，
故①一定成立，
∴与的一个交点在和之间，
∵对称轴为
∴与的另一个交点在和之间，
的图象经过点，
或
故②③一定成立，
∴综上所述，一定成立的有①②④．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
18．（2023·浙江·九年级专题练习）已知二次函数．当时，的取值范围是，该二次函数的对称轴为，则的值是____．
【答案】或
【分析】根据二次函数的性质可得当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，然后分三种情况讨论：若，该函数图像过点，；若，该函数图像过点，；若， 即可求解．
【详解】解：根据题意得：二次函数的对称轴为直线，
∵该二次函数的对称轴为，
∴，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
∵当时，y的取值范围是，
若，该函数图像过点，，
∴，解得：，
此时（舍去）；
若，该函数图像过点，，
∴，解得：，
此时（舍去）；
若，
当时，此时，
当时，，且该函数图像过点，
∴，
解得：或，
此时（舍去）或；
当时，此时，
当时，，该函数图像过点，
∴，
解得：或，
此时（舍去）或；
综上所述，的值是为或．
故答案为：或
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
三、解答题
19．（2023秋·浙江杭州·九年级期中）已知二次函数的图象经过点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）画出这个函数的图象，并利用图象解决下列问题：
①直接写出方程的解．
②当满足什么条件时，．
【答案】（1）；（2）①，；②或
【分析】（1）把点代入二次函数解析式进行求解即可；
（2）①由（1）及图像可直接进行求解即可；②当时可由图像直接进行求解．
【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得，
∴；
（2）由五点法可得如图所示：
①由图像可得：
方程的解是，；
②由图象可得，当时，或．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
20．（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）已知抛物线经过点和点，
(1)求这个抛物线的解析式及顶点坐标．
(2)求抛物线与x轴两个交点之间的距离．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把解析式化为顶点式，即可求解；
（2）令，可得，即可求解．
【详解】（1）解：把点和点代入得：
，
解得：，
∴这个抛物线的解析式为，
∵，
∴这个抛物线的顶点坐标为；
（2）解：当时，，
解得：，
∴抛物线与x轴两个交点坐标为，
∴抛物线与x轴两个交点之间的距离为．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点问题，利用待定系数法求出抛物线的解析式是解题的关键．
21．（2023·浙江杭州·统考二模）已知二次函数和一次函数．
(1)二次函数的图象过点，求二次函数的表达式；
(2)若一次函数与二次函数的图象交于x轴上同一点，且这个点不是原点．
①求证：；
②若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，求m的值．
【答案】(1)二次函数的表达式为；
(2)①证明见解析，②
【分析】（1）待定系数法，求出函数解析式即可．
（2）①先求出二次函数与轴的交点坐标，进而得到一次函数与二次函数的图象的交点坐标，代入一次函数，即可得出结论；②求出二次函数的顶点坐标，代入一次函数即可得出结果．
【详解】（1）解：∵二次函数过，
∴，
∴二次函数的表达式为，
将点代入，得，
∴；
∴二次函数的表达式为．
（2）①∵当时，解得：，
∴二次函数与x轴交于和点，
又一次函数与二次函数的图象交于x轴上同一点，且这个点不是原点，
∴一次函数过点，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，
∵二次函数的顶点为，
∴过，
∴
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用．熟练掌握二次函数与一次函数的图象和性质，是解题的关键．
22．（2023·浙江·九年级专题练习）对于抛物线．
(1)若抛物线过点，
①求顶点坐标；
②当时，直接写出的取值范围为_______；
(2)已知当时，，求和的值．
【答案】(1)①；②
(2)，
【分析】（1）①先利用待定系数法确定抛物线的解析式，再将解析式化为顶点式即可得出答案；
②先确定抛物线的对称轴为直线，，再确定当时，，当时，，比较函数值的大小即可得出答案；
（2）先确定抛物线与轴交点坐标为，而当时，，从而可得出，利用顶点纵坐标公式可求出，此时当时，可得，建立方程解之即可．
【详解】（1）解：①∵抛物线过点，
∴，
解得：，
∴，
∴顶点坐标为；
②∵抛物线的对称轴为直线，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，的取值范围为．
故答案为：．
（2）∵抛物线
当时，，
∴抛物线与轴交于点，
∵当时，，
∴抛物线经历先下降再上升的过程，
∴，
解得：或（舍去），
∴，．
【点睛】考查二次函数的性质，二次函数的最值，解方程组，待定系数法，掌握二次函数的性质是解题的关键．
23．（2023·浙江杭州·统考一模）二次函数的图象与y轴的交点为．
(1)求a的值．
(2)求二次函数在x轴上截得的线段长的值．
(3)对于任意实数k，规定：当时，关于x的函数的最小值记作：，求的解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把代入解析式即可；
（2）根据（1）求出的解析式，令，解方程求出和，然后求出即可；
（3）先求出的解析式，再根据的对称轴，然后分，，三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与y轴的交点为，
∴，
解得，
∴a的值为；
（2）解：由（1）知，，
∴，
令，则，
解得，，
∴，
∴二次函数在x轴上截得的线段长的值为；
（3）解：∵，
∴，
∴对称轴为，
当即时，当时，有最小值，
∴；
当时，即，当时，有最小值，
∴；
当即时，当时，有最小值，
∴，
综上所述，的解析式为：．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，利用分类讨论思想是解题的关键．
24．（2023·浙江温州·校联考二模）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点．
(1)求该二次函数图象与轴的另一交点的坐标及其函数表达式．
(2)记图象与轴交于点，过点作轴，交图象于另一点．将抛物线向上平移个单位长度后，与轴交于点点为右侧的交点）．若，求的值．
【答案】(1)抛物线解析式为；
(2)
【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式，再令，解方程求出点坐标；
（2）先根据对称性求出的坐标，再求出，设平移后的解析式为，再根据，求出坐标，在代入平移后的解析式即可求出．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得，
抛物线解析式为；
令，则，
解得，，
；
（2）令，则，
，
对称轴为直线，
，
，
抛物线向上平移个单位长度后的解析式为，
，，
，
把代入得：
，
解得．
【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，平移的性质，二次函数的性质，关键是求出抛物线解析式．
25．（2023·浙江杭州·杭州市公益中学校考二模）在平面直角坐标系中，当和时，二次函数（，是常数，）的函数值相等．
(1)若该函数的最大值为，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
(2)若该函数的图象与轴有且只有一个交点，求，的值．
(3)记（2）中的抛物线为，将抛物线向上平移个单位得到抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值之差为，求的值．
【答案】(1)，；
(2)，；
(3)．
【分析】（1）根据二次函数的性质及对称轴即可解答；
（2）根据二次函数与轴的交点个数及二次函数的性质即可解答；
（3）根据二次函数的平移规律及二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵当和时，二次函数（，是常数，）的函数值相等，
∴二次函数的对称轴为，，
∵该函数的最大值为，
∴该函数的顶点坐标为，
∴，
∴由①②可得：，
∴函数表达式为：；
（2）解：∵该函数的图象与轴有且只有一个交点，
∴一元二次方程，该函数的顶点坐标为，
∴，，
∴由①②可得（舍去），，
∴，；
（3）解：由（2）可得的解析式为：，
∵将抛物线向上平移个单位得到抛物线，
∴，
∴当时，，
∵的顶点坐标为，且当时，抛物线的最大值与最小值之差为，
∴，随的增大而增大，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与轴的交点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键．
26．（2023·浙江杭州·统考二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c是常数）．
(1)当，时，求该函数图象的顶点坐标．
(2)设该二次函数图象的顶点坐标是，当该函数图象经过点时，求n关于m的函数解析式．
(3)已知，当时，该函数有最大值8，求c的值．
【答案】(1)
(2)
(3)2
【分析】（1）将二次函数化为顶点式求解即可；
（2）根据二次函数的性质和已知条件得到，，，，进而求解即可；
（3）当时，二次函数的对称轴为直线，开口向下，分 、、三种情况，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：当，时，，
∴当，时，该函数图象的顶点坐标为；
（2）解：∵该函数图象经过点，
∴，则，
∵该二次函数图象的顶点坐标是，
∴，，
∴，，
∴，即；
（3）解：当时，二次函数的对称轴为直线，开口向下，
∵，
∴当即时，该函数的最大值为，即，
解得，，不合题意，舍去；
当即时，时，y随x的增大而减小，
∴当时，y有最大值为，不合题意，舍去；
当即时，时，y随x的增大而增大，
∴当时，y有最大值为，
解得，符合题意，
综上，满足条件的c的值为2．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用分类讨论思想求解第（3）问是解答的关键．
x
…
﹣5
﹣2
3
5
…
y
…
m
3
m
0
…
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0.13
0.38
0.53
0.58
0.53
0.38
0.13