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初中浙教版（2024）3.3 垂径定理课时训练
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这是一份初中浙教版（2024）3.3 垂径定理课时训练，共68页。
一．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
二．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
【考点剖析】
一．垂径定理（共9小题）
1．（2023•荆州模拟）如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点，若点M的坐标是（﹣4，﹣2），则点N的坐标为（ ）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1.5，﹣2）D．（1.5，﹣2）
2．（2023•西湖区校级模拟）如图，AB是半径为4的⊙O的直径，P是圆上异于A，B的任意一点，∠APB的平分线交⊙O于点C，连接AC和BC，△ABC的中位线所在的直线与⊙O相交于点E、F，则EF的长是（ ）
A．B．C．3D．
3．（2022秋•杭州期末）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，DE．若DE＝3DO，，则△ODE的面积为（ ）
A．4B．C．D．
4．（2023•杭州模拟）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AC⊥BD，AB＝8，CD＝2，则⊙O的直径为（ ）
A．9B．C．D．12
5．（2023•衢州一模）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且OE＝2cm，DE＝7cm，则AB的长为（ ）
A．4cmB．8cmC．cmD．2cm
6．（2022秋•杭州期末）如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
（1）求证：AC＝BD．
（2）若CD＝8，EF＝2，求⊙O的半径．
7．（2023•桐乡市一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若BE＝CD＝8，则⊙O的半径的长是（ ）
A．5B．4C．3D．2
8．（2023•天台县一模）如图，AB是半圆O的直径，P是AB上的动点，CP⊥AB交半圆于点C，已知AB＝2，则OP+PC的最大值是 ．
9．（2023•杭州一模）如图，在矩形ABCD中，AB＜AD，以点A为圆心，线段AD的长为半径画弧，与BC边交于点E，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F．
（1）求证：DF＝AB．
（2）连接BF，若BE＝6，CE＝3，求线段BF的长．
二．垂径定理的应用（共12小题）
10．（2023•武义县一模）如图，一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E．若CD＝6，EM＝9，则⊙O的半径为（ ）
A．4B．5C．6D．7
11．（2023•杭州一模）为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（ ）
A．12cmB．10cmC．8cmD．6cm
12．（2023•金华模拟）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为 cm．
13．（2022秋•滨江区期末）如图是一个管道的横截面，圆心O到水面AB的距离OD是3，水面宽AB＝6．
（1）求这个管道横截面的半径．
（2）求∠AOB的度数．
14．（2023•鹿城区校级三模）如图为一个指纹锁的部分设计图，尺寸如图所示，求AB所在圆的半径为（ ）
A．50mmB．50.5mmC．51mmD．51.5mm
15．（2023•沂南县二模）如图是美妆小镇某品牌的香水瓶．从正面看上去它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在⊙O上），其中BC∥EF；已知⊙O的半径为2.5cm，BC＝1.4cm，AB＝2.6cm，EF＝4.8cm，则香水瓶的高度h是（ ）
A．5.6cmB．5.7cmC．5.8cmD．5.9cm
16．（2023春•乐清市月考）如图1，是某隧道的入口，它的截面如图2所示，是由和矩形ABCD组成，且点B，C也在所在的圆上，已知AB＝4m，M是BC的中点，此时隧道的最高点P离地面BC的距离MP＝8m，则该道路的路面宽BC＝ m；在上，离地面相同高度的两点E，F装有两排照明灯，若点E是的中点，则这两排照明灯离地面的高度是 m．
17．（2023•长兴县一模）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，那么桥拱所在圆的半径OA＝ 米．
18．（2023•松阳县二模）课堂上，师生一起探究用圆柱形管子的内径去测量球的半径．嘉嘉经过思考找到了测量方法：如图，把球置于圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高CD＝12cm，底面内径BC＝8cm，球的最高点E到瓶底的距离为20cm，则球的半径为 cm．
19．（2023•南浔区一模）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝5cm，水面宽AB＝8cm，则截面圆心O到水面的距离为 cm．
20．（2023•瑞安市模拟）如图，某公园有一月牙形水池，水池边缘有A，B，C，D，E五盏装饰灯．为了估测该水池的大小，观测员在A，D两点处发现点A，E，C和D，E，B均在同一直线上，沿AD方向走到F点，发现∠AFC＝90°．测得AD＝9.6米，AE＝DE＝8米，DF＝2.4米，则所在圆的半径为 米，所在圆的半径为 米．
21．（2022秋•温州期末）根据素材解决问题．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023·浙江衢州·统考一模）如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·浙江金华·统考一模）如图，小明分别以点为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点，作直线分别交弦和劣弧于点．小明量得．则劣弧所在圆的半径长为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·浙江金华·统考一模）一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，M是中弦的中点，连接，并延长交于点E，若，隧道的高，则的半径为（ ）
A．8B．7C．6D．5
4．（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期末）如图为一座拱形桥示意图，桥身AB（弦AB）长度为8，半径OC垂直AB于点D，，则桥拱高CD为（ ）
A．3B．2.5C．2D．1.5
5．（2023·浙江·一模）如图，在水平放置的圆柱形排水管的截面中，圆的半径为5，弓形部分水面宽度，则该截面中水的最大深度是（ ）
A．5B．4C．3D．2
6．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，已知是的直径，点C是弧的中点，点D在的延长线上，连接交⊙O于点E，若，则（ ）
A．20°B．2°C．25°D．30°
7．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）．
A．点B．点 C．点 D．点
8．（2023秋·浙江·九年级期中）如图，是以为直径的半圆上一点，连接，，分别以，为边向外作正方形，，，，弧，弧的中点分别是、、、，若，，则（ ）
A．B．C．11D．15
9．（2021秋·九年级校考期中）AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（ ）
A．1或7B．7C．1D．3或4
10．（2023春·浙江台州·九年级台州市书生中学校考期中）如图这是我市某跨海大桥正侧面的照片，大桥的主桥拱为圆弧型，桥面长为800米，且与水面平行，小王用计算机根据照片对大桥进行了模拟分析，在桥正下方的水面上取一点P，在桥面上取点C，作射线交弧（主桥拱）于点D，右边画出了与关于长的函数图象，下列对此桥的判断不合理的是（ ）
A．桥拱的最高点与桥面的实际距离约为210米
B．桥拱正下方的桥面的实际长度约为500米
C．拍摄照片时，桥面离水面的实际高度约为110米
D．桥面上段的实际长度约200米
二、填空题
11．（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）已知的半径为，弦，且，则弦和之间的距离为_______．
12．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）五水共治办公室在一次巡查时测量一排水管的排水情况，如图，水平放置的圆柱形排水管的截面为，半径是，有水部分弓形的高为，则______．
13．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，⊙O的半径为5，弦，B是的中点，连接，则的长为 _____．
14．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD =______．
15．（2023·浙江绍兴·统考一模）已知半径为5的圆O中有一条长度为8的弦，分别以A，B为圆心，长度大于4为半径作圆弧交于点M，N，连接，点C为直线与圆O的交点，点D为直线与弦的交点，则的长度为_______．
16．（2021·浙江·九年级自主招生）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E，F，G，M，N都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是_________．
17．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是_____．
18．（2020秋·浙江·九年级期中）在半径为5cm的⊙O中，弦AB∥CD，且AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD间距离为____
三、解答题
19．（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）我们在学习了《浙教版数学九年级上册》探究活动，“已知：如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面已知桥洞的拱形是抛物线”，现以水平方向为轴，若小明同学以为顶点求出了函数表达式是；
探究一：
(1)若小红同学以为顶点求出了函数表达式是__________．
(2)在（1）条件下，求出该抛物线在水面中的倒影所在抛物线函数表达式为____________．
(3)一艘宽为米，高出水面米的货船，能否从桥下通过？
探究二：
(4)若已知桥洞的拱形是圆的一部分，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，该圆半径为__________．
20．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5．
（1）若，，求的长；
（2）若，且，求弦的长；
21．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点．连接，过点作于点．
(1)求证：四边形为矩形．
(2)已知的半径为4，，求弦的长．
22．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为．
(1)请用尺规作图，作出圆弧所在圆的圆心O，并计算圆的半径；
(2)当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，水面离拱顶只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．
23．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）如图，由小正方形构成的网格，经过，，三点，仅用无刻度的直尺按要求画图．（保留作图痕迹）
(1)在图（1）中画弦的弦心距；
(2)在图（2）中的圆上找一点，使点是的中点．
24．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，为的直径，弦于点，点为圆上一点，，过点作交于点，交于点．
(1)求证：．
(2)若，，求．
25．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．
(1)求证：．
(2)若，大圆的半径，求小圆的半径r．
第08讲 垂径定理
【知识梳理】
一．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
二．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
【考点剖析】
一．垂径定理（共9小题）
1．（2023•荆州模拟）如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点，若点M的坐标是（﹣4，﹣2），则点N的坐标为（ ）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1.5，﹣2）D．（1.5，﹣2）
【分析】本题可先设半径的大小，由此得出A点的方程．连接AM、AN根据等腰三角形的性质即可得出AN的长度，再根据两点之间的距离公式即可解出N点的坐标．
【解答】解：分别过点M、N作x轴的垂线，过点A作AB⊥MN，连接AN，则BM＝BN，
设⊙A的半径为r，
则AN＝r，AB＝2，BM＝BN＝4﹣r，
在Rt△ABN中，根据勾股定理，22+（4﹣r）2＝r2，
可得：r＝2.5，
∴BN＝4﹣2.5＝1.5，
则N到y轴的距离为：AO﹣BN＝2.5﹣1.5＝1，
又点N在第三象限，
∴N的坐标为（﹣1，﹣2），
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．
2．（2023•西湖区校级模拟）如图，AB是半径为4的⊙O的直径，P是圆上异于A，B的任意一点，∠APB的平分线交⊙O于点C，连接AC和BC，△ABC的中位线所在的直线与⊙O相交于点E、F，则EF的长是（ ）
A．B．C．3D．
【分析】连接OE、OC，OC交EF于D，由圆周角定理得出，如果连接OC交EF于D，根据垂径定理可知：OC必垂直平分EF．由MN是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得：OD＝CD＝OC＝2．在Rt△OED中求出ED的长，即可得出EF的值．
【解答】解：如图所示，
∵PC是∠APB的角平分线，
∴∠APC＝∠CPB，
∴弧AC＝弧BC；
∴AC＝BC；
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°．
即△ABC是等腰直角三角形．
连接OC，交EF于点D，则OC⊥AB；
∵MN是△ABC的中位线，
∴MN∥AB；
∴OC⊥EF，OD＝OC＝2．
连接OE，根据勾股定理，得：DE＝＝2，
∴EF＝2ED＝4．
故选：A．
【点评】此题考查圆周角定理，垂径定理，三角形的中位线，综合运用了圆周角定理及其推论发现等腰直角三角形，再进一步根据等腰三角形的性质以及中位线定理，求得EF的弦心距，最后结合垂径定理和勾股定理求得弦长．
3．（2022秋•杭州期末）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，DE．若DE＝3DO，，则△ODE的面积为（ ）
A．4B．C．D．
【分析】先根据垂径定理得到AD＝BD＝2，则BE＝2OD，再根据圆周角定理得到∠B＝90°，接着利用勾股定理得到BD2+BE2＝DE2，从而可求出OD，然后利用三角形面积公式计算．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝2，
∵OA＝OE，
∴OD为△ABE的中位线，
∴BE＝2OD，
∵AE为直径，
∴∠B＝90°，
在Rt△BDE中，
∵BD2+BE2＝DE2，
∴（2）2+（2OD）2＝（3OD）2，
解得OD＝2，
∴△ODE的面积＝OD•BD＝×2×2＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和勾股定理．
4．（2023•杭州模拟）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AC⊥BD，AB＝8，CD＝2，则⊙O的直径为（ ）
A．9B．C．D．12
【分析】作直径AF，连BF、CF．证明CD＝BF＝6，利用勾股定理求出AF即可．
【解答】解：作直径AF，连BF、CF．
∵AF是圆O的直径，
∴∠ACF＝∠ABF＝90°，
∴CF⊥AC，
又∵BD⊥AC，
∵CF∥BD，
∴∠DBC＝∠BCF，
∴＝，
∴BF＝CD＝2，
∴AF＝＝＝2，
∴⊙O的直径为2．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理，圆周角定理，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
5．（2023•衢州一模）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且OE＝2cm，DE＝7cm，则AB的长为（ ）
A．4cmB．8cmC．cmD．2cm
【分析】连接OA，如图，先计算出OD＝OA＝5，OE＝2，再根据垂径定理得到AE＝BE，然后利用勾股定理计算出AE，从而得到AB的长．
【解答】解：连接OA，如图，
∵OE＝2cm，DE＝7cm，
∴OD＝5cm，
∴OA＝5cm，
∵AB⊥CD，
∴AE＝BE，
在Rt△AOE中，AE＝＝＝（cm），
∴AB＝2AE＝2（cm）．
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
6．（2022秋•杭州期末）如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
（1）求证：AC＝BD．
（2）若CD＝8，EF＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）由垂径定理得到CF＝DF，由等腰三角形的性质得到AF＝BF，从而证明AC＝BD；
（2）设⊙O的半径是r，由勾股定理，垂径定理列出关于r的方程，即可求出⊙O的半径．
【解答】（1）证明：∵OE⊥AB，
∴CF＝DF，
∵OA＝OB，
∴AF＝BF，
∴AF﹣CF＝BF﹣DF，
∴AC＝BD；
（2）解：设⊙O的半径是r，
∵CO2＝CF2+OF2，
∴r2＝42+（r﹣2）2，
∴r＝5，
∴⊙O的半径是5．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于半径的方程．
7．（2023•桐乡市一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若BE＝CD＝8，则⊙O的半径的长是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【分析】连接OC，设⊙O的半径为R，则OE＝8﹣R，根据垂径定理得出CE＝DE＝4，根据勾股定理得出OC2＝CE2+OE2，代入后求出R即可．
【解答】解：连接OC，
设⊙O的半径为R，则OE＝8﹣R，
∵CD⊥AB，AB过圆心O，CD＝8，
∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4，
由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，
R2＝42+（8﹣R）2，
解得：R＝5，
即⊙O的半径长是5，
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
8．（2023•天台县一模）如图，AB是半圆O的直径，P是AB上的动点，CP⊥AB交半圆于点C，已知AB＝2，则OP+PC的最大值是 ．
【分析】连接OC，由勾股定理得到OP2+PC2＝OC2＝1，由（OP+PC）2＝OP2+PC2+2PO•PC＝1+2PO•PC，得到OP+PC＝，当PO•PC最大时，PO+PC的值最大，由（PC﹣PO）2≥0，得到2PC•PO≤PC2+PO2＝1，由此即可求出OP+PC的最大值．
【解答】解：连接OC，
∵AB＝2，
∴OC＝AB＝1，
∵PC⊥AB，
∴OP2+PC2＝OC2＝1，
∵（OP+PC）2＝OP2+PC2+2PO•PC＝1+2PO•PC，
∴OP+PC＝，
∴当PO•PC最大时，PO+PC的值最大，
∵（PC﹣PO）2≥0，
∴PC2+PO2﹣2PC•PO≥0，
∴2PC•PO≤PC2+PO2＝1，
∴2PC•PO的最大值是1，
∴PO+PC的最大值是＝．
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理，完全平方公式，关键是由PC2+PO2﹣2PC•PO≥0，得到2PC•PO≤PC2+PO2＝1．
9．（2023•杭州一模）如图，在矩形ABCD中，AB＜AD，以点A为圆心，线段AD的长为半径画弧，与BC边交于点E，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F．
（1）求证：DF＝AB．
（2）连接BF，若BE＝6，CE＝3，求线段BF的长．
【分析】（1）利用角平分线的性质定理证明DF＝DC即可解决问题；
（2）过点B作BG⊥AE，垂足为G，证明Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），求出，设AG＝x，在△ABG和△EBG中，利用勾股定理列出方程，求出x值，可得AG＝5，进一步利用勾股定理求出结果即可．
【解答】（1）证明：连接DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD∥BC，∠C＝90°，
由作图可知：AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝∠DEC，
∵DF⊥AE，DC⊥BC，
∴DF＝DC＝AB．
（2）如图，过点B作BG⊥AE，垂足为G，
∵BE＝6，CE＝3，
∴AD＝AE＝BC＝9，
在Rt△DEF和Rt△DEC中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），
∴CE＝EF＝3，
∴AF＝6，
∴，
设AG＝x，则FG＝6﹣x，EG＝9﹣x，
在△ABG和△EBG中，AB2﹣AG2＝BE2﹣EG2，即，
解得：x＝5，即AG＝5，
∴，FG＝1，
∴．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握相应定理，找到线段之间的关系．
二．垂径定理的应用（共12小题）
10．（2023•武义县一模）如图，一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E．若CD＝6，EM＝9，则⊙O的半径为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】因为M是⊙O弦CD的中点，根据垂径定理，EM⊥CD，则CM＝DM＝3，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，可求得OM，进而就可求得EM．
【解答】解：∵M是⊙O弦CD的中点，
∴EM⊥CD，
∵CD＝6，
∴CM＝CD＝3，
设OC是x米，则OM＝9﹣x，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝32+（9﹣x）2，
解得：x＝5，
∴OC＝5．
故选：B．
【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2＝d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
11．（2023•杭州一模）为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（ ）
A．12cmB．10cmC．8cmD．6cm
【分析】连接AB、CD交于点D，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：连接AB、CD交于点D，
由题意得，OC⊥AB，
则AD＝DB＝AB＝4，
设圆的半径为Rcm，则OD＝（R﹣2）cm，
在Rt△AOD中，OA2＝AD2+OD2，即R2＝42+（R﹣2）2，
解得，R＝5，
则该铁球的直径为10cm，
故选：B．
【点评】本题考查的市场价定理的应用、勾股定理，掌握垂直于弦的直径，平分弦并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
12．（2023•金华模拟）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为 16 cm．
【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．
【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝48cm，
∴BD＝AB＝×48＝24（cm），
∵⊙O的直径为52cm，
∴OB＝OC＝26cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），
即水的最大深度为16cm，
故答案为：16．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
13．（2022秋•滨江区期末）如图是一个管道的横截面，圆心O到水面AB的距离OD是3，水面宽AB＝6．
（1）求这个管道横截面的半径．
（2）求∠AOB的度数．
【分析】（1）根据垂径定理，可知△OAD是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可解；
（2）根据等腰直角三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，连接OA，
∵AB＝6，OD⊥AB，
∴AD＝3，
∵OD＝3，
∴△OAD是等腰直角三角形，
在Rt△AOD中，，
∴这个管道横截面的半径为；
（2）在等腰直角△ADO中，∠AOD＝45°，
在等腰直角△BDO中，∠BOD＝45°，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝45°+45°＝90°，
∴∠AOB＝90°．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质，解题关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理．
14．（2023•鹿城区校级三模）如图为一个指纹锁的部分设计图，尺寸如图所示，求AB所在圆的半径为（ ）
A．50mmB．50.5mmC．51mmD．51.5mm
【分析】如图，设圆心为O，半径为Rmm，作OD⊥AB与点C交⊙O于D．利用勾股定理构建方程求解．
【解答】解：如图，设圆心为O，半径为Rmm，作OD⊥AB与点C交⊙O于D．
∵OD⊥AB，OD是半径，
∴AC＝CB＝10，
在Rt△AOC中，OA2＝AC2+OC2，
∴R2＝102+（R﹣1）2，
∴R＝50.5．
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
15．（2023•沂南县二模）如图是美妆小镇某品牌的香水瓶．从正面看上去它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在⊙O上），其中BC∥EF；已知⊙O的半径为2.5cm，BC＝1.4cm，AB＝2.6cm，EF＝4.8cm，则香水瓶的高度h是（ ）
A．5.6cmB．5.7cmC．5.8cmD．5.9cm
【分析】作OG⊥BC于G，延长GO交EF于H，连接BO、EO．根据垂径定理求出BG、EH，解直角三角形求出OG，OH，根据h＝OH+OG+AB即可解决问题．
【解答】解：如图，作OG⊥BC于G，延长GO交EF于H，连接BO、EO．
∵EF∥BC，
∴OH⊥EF，
∴，，
∴；，
∴h＝OH+OG+AB＝0.7+2.4+2.6＝5.7cm．
即香水瓶的高度h为5.7cm，
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
16．（2023春•乐清市月考）如图1，是某隧道的入口，它的截面如图2所示，是由和矩形ABCD组成，且点B，C也在所在的圆上，已知AB＝4m，M是BC的中点，此时隧道的最高点P离地面BC的距离MP＝8m，则该道路的路面宽BC＝ 8 m；在上，离地面相同高度的两点E，F装有两排照明灯，若点E是的中点，则这两排照明灯离地面的高度是 （2+2） m．
【分析】连接PM，作AB的垂直平分线OG，交PM于点O，交AB于点G，则点O是圆心，连接OB，可得半径，在利用勾股定理求BM即可；连接PA、OE交于点N，作AH⊥PM于点H，EQ⊥BC于点Q，交OG于点K，用勾股定理求出AP，进而可求ON，在证明△EOK≌△OPN即可．
【解答】解：连接PM，作AB的垂直平分线OG，交PM于点O，交AB于点G，
则点O是圆心，连接OB，
∴OM＝BG＝AB＝2m，
∵MP＝8m，
∴圆的半径为8﹣2＝6m，
∴BM＝，
∴BC＝2BM＝8m，
连接PA、OE交于点N，作AH⊥PM于点H，EQ⊥BC于点Q，交OG于点K，
∵MP＝8m，MH＝AB＝4m，
∴PH＝8﹣4＝4m，
∵AH＝BM＝4m，
∴PA＝m，
∵E是的中点，
∴OE垂直平分AP，
∴PN＝AP＝2m，
∴ON＝m，
∵EQ⊥BC，PM⊥BC，
∴EQ∥PM，
∴∠OEK＝∠EOP，
在△EOK和△OPN中，
，
∴△EOK≌△OPN（AAS），
∴EK＝ON＝2m，
∴EQ＝EK+KQ＝（2+2）m，
故答案为：8m、（2+2）m．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，三角形求得的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
17．（2023•长兴县一模）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，那么桥拱所在圆的半径OA＝ 10 米．
【分析】利用直角三角形，根据勾股定理和垂径定理解答．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝BD＝8米，
设BO＝x米，则DO＝（x﹣4）米，
在Rt△OBD中，得：BD2+DO2＝BO2，
即82+（x﹣4）2＝x2，
解得：x＝10，
即桥拱所在圆的半径是10米．
故答案为：10．
【点评】此题主要考查了垂径定理的应用题，解题的关键是利用垂径定理和勾股定理求线段的长．
18．（2023•松阳县二模）课堂上，师生一起探究用圆柱形管子的内径去测量球的半径．嘉嘉经过思考找到了测量方法：如图，把球置于圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高CD＝12cm，底面内径BC＝8cm，球的最高点E到瓶底的距离为20cm，则球的半径为 5 cm．
【分析】如图，连接OA．设OE＝OA＝Rcm．利用勾股定理构建方程求解．
【解答】解：如图，连接OA．设OE＝OA＝Rcm．
由题意AD＝BC＝8cm，EG＝20﹣12＝8（cm），
∵EF⊥AD，
∴AG＝DG＝4（cm），
则有R2＝（8﹣R）2+42，
∴R＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．（2023•南浔区一模）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝5cm，水面宽AB＝8cm，则截面圆心O到水面的距离为 3 cm．
【分析】根据垂径定理求出BC，根据勾股定理求出OC即可．
【解答】解：过O作OC⊥AB于C，
∴BC＝AC＝AB＝×8＝4（cm），
在Rt△OCB中，
由勾股定理得：
OC＝＝＝3（cm），
故答案为：3．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，掌握垂径定理，勾股定理．
20．（2023•瑞安市模拟）如图，某公园有一月牙形水池，水池边缘有A，B，C，D，E五盏装饰灯．为了估测该水池的大小，观测员在A，D两点处发现点A，E，C和D，E，B均在同一直线上，沿AD方向走到F点，发现∠AFC＝90°．测得AD＝9.6米，AE＝DE＝8米，DF＝2.4米，则所在圆的半径为 5 米，所在圆的半径为 米．
【分析】如图，连接BC，过点E作EM⊥AD于M，交BC于N，设所在圆的圆心为O，连接AO，设圆O的半径为x米，根据勾股定理和垂径定理列方程可得x的值；设所在圆的圆心为O'，则O'在MN上，连接O'A，O'C，则O'A＝O'C，设O'M＝b米，再根据勾股定理可得O'A的长．
【解答】解：如图，连接BC，过点E作EM⊥AD于M，交BC于N，
设所在圆的圆心为O，连接AO，
∵AE＝ED，EM⊥AD，
∴AM＝DM＝AD＝4.8米，
∴点O在EM上，
设圆O的半径为x米，
Rt△AEM中，AE＝8米，AM＝4.8米，
∴EM＝＝＝6.4米，
∴OM＝（6.4﹣x）米，
在Rt△AMO中，由勾股定理得：AO2＝AM2+OM2，
∴x2＝4.82+（6.4﹣x）2，
∴x＝5，
∴所在圆的半径为5米；
∵AE＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∵∠EAD＝∠CBE，∠EDA＝∠ECB，
∴∠EBC＝∠ECB，
∴EB＝EC，
∵∠AED＝∠CEB，
∴∠EAD＝∠ECB，
∴AD∥BC，
∴∠CNE＝∠AME＝90°，
∵CF⊥AD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠AFC＝∠CNE＝∠FMN＝90°，
∴四边形MNCF是矩形，
∴MN＝CF，CN＝FM＝2.4+4.8＝7.2，
∵∠AEM＝∠CEN，
∴tan∠AEM＝tan∠CEN，即＝，
即＝＝，
∴EN＝9.6米，
∴MN＝9.6+6.4＝16（米），
设所在圆的圆心为O'，则O'在MN上，
连接O'A，O'C，则O'A＝O'C，
设O'M＝b米，
由勾股定理得：O'A2＝4.82+b2＝（16﹣b）2+7.22，
∴b＝8.9，
∴O'A＝＝（米），
即所在圆的半径为米．
故答案为：5，．
【点评】本题考查垂径定理．勾股定理，三角函数，矩形的性质和判定等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
21．（2022秋•温州期末）根据素材解决问题．
【分析】任务1，设 圆心为点O，则点O在CD延长线上，延长CD，则CD经过点O，连结AO，设桥拱的半径为rm，则OD＝（r﹣4）m，由勾股定理，垂径定理，列出关于半径的方程，即可解决问题；
任务2，由勾股定理得到货船不能通过圆形桥拱，通过计算，即可得到需要增加的货物的吨数．
【解答】解：任务1，设 圆心为点O，则点O在CD延长线上，延长CD，则CD经过点O，连结AO，如图，
设桥拱的半径为rm，则OD＝（r﹣4）m，
∵OC⊥AB，
∴m，
∵OD2+AD2＝OA2，
∴（r﹣4）2+82＝r2，
∴r＝10，
∴圆形拱桥的半径为10m．
任务2，根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，至少要增加吨的货物才能通过．理由：
当EH是⊙O的弦时，EH与OC的交点为M，连接OE，OH，如图，
∵四边形EFGH为矩形，
∴EH∥FG，
∵OC⊥AB，
∴OM⊥EH．
∴，
∴m，
∵OD＝6m，
∴，
∴根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，
∴船在水面部分可以下降的高度m．
∵，
∴吨，
∴至少要增加吨的货物才能通过．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023·浙江衢州·统考一模）如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接，如图，先计算出，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
2．（2023·浙江金华·统考一模）如图，小明分别以点为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点，作直线分别交弦和劣弧于点．小明量得．则劣弧所在圆的半径长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据作图即可得到直线是的垂直平分线，再利用垂径定理及勾股定理即可解答．
【详解】解：∵直线是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴设，
∴，，
∴在中，，
∴，
∴圆的半径为，
故答案为．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
3．（2023·浙江金华·统考一模）一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，M是中弦的中点，连接，并延长交于点E，若，隧道的高，则的半径为（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】D
【详解】解：连接，
∵M是中弦的中点，，
∴，，
设，则，
在中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理定理，解题的关键是掌握平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，正确画出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求解．
4．（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期末）如图为一座拱形桥示意图，桥身AB（弦AB）长度为8，半径OC垂直AB于点D，，则桥拱高CD为（ ）
A．3B．2.5C．2D．1.5
【答案】C
【分析】连接，先根据垂径定理求出，，再由勾股定理求出的长，进而可得出结论．
【详解】解：连接，
半径弦于点，，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
5．（2023·浙江·一模）如图，在水平放置的圆柱形排水管的截面中，圆的半径为5，弓形部分水面宽度，则该截面中水的最大深度是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】D
【分析】根据垂径定理和勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，过O作于C，并延长交圆于D，则，，，
在在，，
∴，
即该截面中水的最大深度是2，
故选：D．
【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理得到是解答的关键．
6．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，已知是的直径，点C是弧的中点，点D在的延长线上，连接交⊙O于点E，若，则（ ）
A．20°B．2°C．25°D．30°
【答案】D
【分析】如图所示，连接，先根据垂径定理得到，则，再证明得到，利用三角形外角的性质得到，再由三角形内角和定理建立方程进行求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵点C是弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主考查了垂径定理，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质和三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键．
7．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）．
A．点B．点 C．点 D．点
【答案】B
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作，的垂直平分线即可得到答案．
【详解】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，如图，
它们都经过，所以点为这条圆弧所在圆的圆心．
故选：B．
【点睛】本题主要查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，理解并掌握圆心为弦垂直平分线的交点是解决此题的关键．
8．（2023秋·浙江·九年级期中）如图，是以为直径的半圆上一点，连接，，分别以，为边向外作正方形，，，，弧，弧的中点分别是、、、，若，，则（ ）
A．B．C．11D．15
【答案】D
【分析】连接，，根据，，弧，弧的中点分别是、、、，得到，，从而得到H、I分别是、的中点，利用中位线定理即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，，
∵，，弧，弧的中点分别是、、、，
∴，，
∴H、I分别是、的中点，
∴
∵，，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了中位线定理，垂径定理，解题的关键是正确的作出辅助线，根据垂径定理得到，．
9．（2021秋·九年级校考期中）AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（ ）
A．1或7B．7C．1D．3或4
【答案】A
【分析】分两种情况：①当AB、CD在圆心两侧时；②当AB、CD在圆心同侧时；利用垂径定理及勾股定理求出答案.
【详解】解：①当AB、CD在圆心两侧时；
过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，如图所示：
∵半径r＝5，弦AB∥CD，且AB＝6，CD＝8，
∴OA＝OC＝5，CE＝DE＝4，AF＝FB＝3，E、F、O在一条直线上，
∴EF为AB、CD之间的距离
在Rt△OEC中，由勾股定理可得：
OE2＝OC2﹣CE2
∴OE3，
在Rt△OFA中，由勾股定理可得：
OF2＝OA2﹣AF2
∴OF4，
∴EF＝OE+OF＝3+4＝7，
AB与CD的距离为7；
②当AB、CD在圆心同侧时；
同①可得：OE＝3，OF＝4；
则AB与CD的距离为：OF﹣OE＝1；
综上所述：AB与CD间的距离为1或7．
故选：A.
【点睛】此题考查圆的垂径定理、直角三角形的勾股定理，解题中注意运用分类讨论的思想避免漏解.
10．（2023春·浙江台州·九年级台州市书生中学校考期中）如图这是我市某跨海大桥正侧面的照片，大桥的主桥拱为圆弧型，桥面长为800米，且与水面平行，小王用计算机根据照片对大桥进行了模拟分析，在桥正下方的水面上取一点P，在桥面上取点C，作射线交弧（主桥拱）于点D，右边画出了与关于长的函数图象，下列对此桥的判断不合理的是（ ）
A．桥拱的最高点与桥面的实际距离约为210米
B．桥拱正下方的桥面的实际长度约为500米
C．拍摄照片时，桥面离水面的实际高度约为110米
D．桥面上段的实际长度约200米
【答案】A
【分析】由题意知，从0变化到8，米，横坐标一个单位长度对应的长度为100米，函数图象中与函数图象的交点即为桥拱与桥面的交点、，对应的横坐标分别为1、6，可求，进而可判断B的正误；如图，过最高点作，交于，由题意知，中点对应最高点，根据时，， 结合图象可判断A的正误；纵坐标最小时，，由函数图象可得的值，进而可判断C的正误；根据桥面上段的实际长度约 米，计算可判断D的正误．
【详解】解：由题意知，从0变化到8，米，
∴横坐标一个单位长度对应的长度为100米，
函数图象中与函数图象的交点即为桥拱与桥面的交点、，对应的横坐标分别为1、6，
∴米，B正确，故不符合要求；
如图，过最高点作，交于，
由题意知，中点对应最高点，
∴时，，
由图象可知，米，
∴桥拱的最高点与桥面的实际距离小于180米，A错误，故符合要求；
纵坐标最小时，此时，由函数图象可知，米，C正确，故不符合要求；
桥面上段的实际长度约 米，D正确，故不符合要求．
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象，垂径定理．解题的关键在于结合题意理解图象信息．
二、填空题
11．（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）已知的半径为，弦，且，则弦和之间的距离为_______．
【答案】14cm或2cm
【分析】根据垂径定理及勾股定理，可求出弦AB、CD的弦心距；由于两弦的位置不确定，因此需要分类讨论．
【详解】解：如图①，连接OA，OC，过点O作OE⊥AB，交CD于点F，交AB于点E，
因为AB//CD ，所以OE⊥CD，
∴Rt△OAE中，OA=10cm，AE=AB=6cm；
OE==8cm；
同理可得：OF=6cm；
故EF=OE-OF=2cm；
如图②；同（1）可得：OE=8cm，OF=6cm；
故EF=OE+OF=14cm；
所以AB与CD的距离是14cm或2cm，
故答案为：14cm或2cm．
【点睛】此题主要考查的是垂径定理以及勾股定理的应用，需注意弦AB、CD的位置关系有两种，需分类讨论，不要漏解．
12．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）五水共治办公室在一次巡查时测量一排水管的排水情况，如图，水平放置的圆柱形排水管的截面为，半径是，有水部分弓形的高为，则______．
【答案】
【分析】作于，交于，由垂径定理得出，，，，求出，由勾股定理求出，即可得出．
【详解】解：作于，交于，连接，如图所示：
则，，，，
，
，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出是解决问题的关键．
13．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，⊙O的半径为5，弦，B是的中点，连接，则的长为 _____．
【答案】3
【分析】连接，根据垂径定理的推论得OB⊥AC，再根据勾股定理即可求出答案．
【详解】解：如图，连接，
∵B是的中点，，
∴，，
∴在中，，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了垂径定理的推论、勾股定理，熟练掌握垂径定理的推论是解答的关键．
14．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD =______．
【答案】
【分析】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在△OHF中，勾股定理计算．
【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，
则EH=FH=EF=2，
∵GB=5，
∴OF=OB=，
在△OHF中，勾股定理，得
OH=，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形OADH也是矩形，
∴AD=OH=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．
15．（2023·浙江绍兴·统考一模）已知半径为5的圆O中有一条长度为8的弦，分别以A，B为圆心，长度大于4为半径作圆弧交于点M，N，连接，点C为直线与圆O的交点，点D为直线与弦的交点，则的长度为_______．
【答案】2或8
【分析】根据作图可知，为的中垂线，则必过圆心O，连接，利用垂径定理求出的长，分点在劣弧上和点在优弧上两种情况进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：是弦的中垂线，为的中点，如图，连接，
则：，
∴，
∵，
∴三点共线，
∴，
∴；
①当点在劣弧上时：；
②当点在优弧上时：；
故答案为：2或8
【点睛】本题考查中垂线的作图，垂径定理．根据作图方法得到是的中垂线，是解题的关键．注意分类讨论．
16．（2021·浙江·九年级自主招生）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E，F，G，M，N都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是_________．
【答案】
【分析】先设的三边长为，，，其中为斜边，设的半径为，根据图形找出，，，的关系，用含的式子表示和，即可求出比值．
【详解】如图：取的中点为，取的中点为，连接，，，
设，，则①
取的中点为，
是直角三角形
圆心在和的垂直平分线上
为圆心
连接，，则，为半径
的中点为，的中点为
，
在和中，由勾股定理得：
②
由①②得
，
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形斜边中线等于斜边一半，即斜边的中点为圆的圆心，解题关键在于找到圆心，用用含的式子表示和．
17．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是_____．
【答案】3
【分析】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，先利用垂径定理得到CH=4，然后在Rt△OCH中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点O作OH⊥CD于H，
连接OC，如图，则CH＝DH＝CD＝4，
在Rt△OCH中，OH＝＝3，
所以CD与AB之间的距离是3．
故答案为3．
【点睛】此题主要考查垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题关键．
18．（2020秋·浙江·九年级期中）在半径为5cm的⊙O中，弦AB∥CD，且AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD间距离为____
【答案】1或7cm
【分析】先作出圆心与两弦的垂直距离，作图后很容易可以用勾股定理算出AB弦与圆心的距离为3cm，CD弦与圆心的距离为4cm，若AB、CD位于圆心异侧，则两平行弦的距离为3+4=7cm，AB、CD位于圆心同侧4-3=1cm．
【详解】解：过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，
∵ AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵OE过圆心，OE⊥AB，
∴EB=AB=3cm，
∵OB=5cm，
EO= 4cm，
同理，OF=3cm，
∴EF=1cm，
当AB、CD位于圆心两旁时EF=7cm，
∴EF=1cm或EF=7cm．
故答案为：1或7cm．
【点睛】本题结合勾股定理考查了垂径定理解决与弦有关的问题，往往要作弦的弦心距，构造以弦心距、半径、弦长的一半为三边的直角三角形，利用勾股定理解答问题．
三、解答题
19．（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）我们在学习了《浙教版数学九年级上册》探究活动，“已知：如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面已知桥洞的拱形是抛物线”，现以水平方向为轴，若小明同学以为顶点求出了函数表达式是；
探究一：
(1)若小红同学以为顶点求出了函数表达式是__________．
(2)在（1）条件下，求出该抛物线在水面中的倒影所在抛物线函数表达式为____________．
(3)一艘宽为米，高出水面米的货船，能否从桥下通过？
探究二：
(4)若已知桥洞的拱形是圆的一部分，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，该圆半径为__________．
【答案】(1)
(2)
(3)货船能顺利通过此桥洞，理由见详解
(4)
【分析】探究一：
（1）根据题目中所示坐标系设出对应的函数解析式，再用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据倒影与拱桥关于轴对称，求出倒影的解析式即可；
（3）把代入解析式求出即可；
探究二：
（4）设拱形所在圆的半径为，根据已知条件和垂径定理以及勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：根据题意设抛物线的解析式为，
把代入解析式得：，解得：，
∴函数表达式为，
故答案为：．
（2）解：∵物线在水面中的倒影与抛物线关于轴对称，
∴倒影所在抛物线函数表达式为，
故答案为：．
（3）解：当时，，
∴货船能顺利通过此桥洞．
（4）解：如图所示，设，则，
由垂径定理得，
在中，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的应用和垂径定理，当桥洞的拱形是抛物线关键是根据坐标系列出相应的函数解析式，当桥洞的拱形是圆弧时，关键是设出圆的半径根据垂径定理和勾股定理列出方程．
20．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5．
（1）若，，求的长；
（2）若，且，求弦的长；
【答案】（1）7；（2）8
【分析】（1）连接AO和DO，由垂径定理得，再由勾股定理求出OF的长，同理求出OE的长，即可求出EF的长；
（2）连接BO和DO，先由垂径定理和勾股定理求出OE的长，设，在中，利用勾股定理列式求出x的值，得到BF的长，即可求出AB的长．
【详解】解：（1）连接AO和DO，
∵，且EF过圆心，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
同理，
，
∴；
（2）如图，连接BO和DO，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
，解得，（舍去），
∴，
∴．
【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理，并能够结合勾股定理进行运用求解．
21．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点．连接，过点作于点．
(1)求证：四边形为矩形．
(2)已知的半径为4，，求弦的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是矩形判定即可．
（2）根据矩形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可．
【详解】（1）证明：∵与轴相切于点，
∴轴．
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）如图，连接．
四边形是矩形，
．
在中，，
．
点为圆心，，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定，垂径定理，圆的性质，熟练掌握矩形的判定和垂径定理是解题的关键．
22．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为．
(1)请用尺规作图，作出圆弧所在圆的圆心O，并计算圆的半径；
(2)当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，水面离拱顶只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．
【答案】(1)拱桥所在的圆的半径
(2)不需要采取紧急措施，理由见解析
【分析】（1）连接，作的垂直平分线，延长与的垂直平分线相交于点O，点O即为所求的圆弧所在圆的圆心，连接，由垂径定理可知，再在中，由勾股定理得出方程，即可求出半径；
（2）求出，再由勾股定理可得，则，即可得出结论．
【详解】（1）如图，点O即为所求的圆弧所在圆的圆心，连接，
设半径为，则，
由垂径定理可知，
∵，
∴，
在中，，
由勾股定理可得，，
即，
解得，
∴拱桥所在的圆的半径；
（2）∵，
∴
在中，由勾股定理可得，
，
∴，
∴不需要采取紧急措施．
【点睛】本题考查了作图—垂直平分线、垂径定理和勾股定理的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
23．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）如图，由小正方形构成的网格，经过，，三点，仅用无刻度的直尺按要求画图．（保留作图痕迹）
(1)在图（1）中画弦的弦心距；
(2)在图（2）中的圆上找一点，使点是的中点．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据垂径定理解决问题即可；
（2）取格点，作直径交于点，解决问题即可．
【详解】（1）解：如图1，线段即为所求；
（2）解：如图2，点即为所求．
【点睛】本题考查作图应用与设计作图，垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
24．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，为的直径，弦于点，点为圆上一点，，过点作交于点，交于点．
(1)求证：．
(2)若，，求．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据垂径定理得出，进而得出，再根据“弧，弦，圆心角之间的关系”得出，然后结合平行线的性质得出，最后根据“等角对等边”得出答案；
（2）作，可知，根据“弦，弧，圆心角之间的关系”得，进而得出，设，表示，，再表示，然后根据勾股定理得，再根据平行线的性质得，结合，根据得出比例式，并求出a值，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵为的直径，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）过点O作，垂足为点M．
则，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
可设，则，，
∵为的直径，，
∴，
由勾股定理可得．
∵，，
∴，．
∴，
即，
解得，
∴．
【点睛】这是一道关于圆的综合问题，考查了垂径定理，勾股定理，弧、弦、圆心角之间的关系，解直角三角形，两直线平行，同位角相等，构造辅助线是解题的关键．
25．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．
(1)求证：．
(2)若，大圆的半径，求小圆的半径r．
【答案】(1)证明见解析
(2)小圆的半径r为
【分析】（1）过O作于点E，由垂径定理可知E为和的中点，则可证得结论；
（2）连接，由条件可求得的长，则可求得和的长，在中，利用勾股定理可求得的长，在中可求得的长；
【详解】（1）证明：过O作于点E，如图1，
由垂径定理可得
∴
∴
（2）解：连接，如图2，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
在中，由勾股定理可得
∴，即小圆的半径r为．
【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1
图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB＝16m，拱顶离水面的距离CD＝4m．
素材2
如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF＝3m，EH＝10m．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式．
问题解决
任务1
确定桥拱半径
求圆形桥拱的半径
任务2
拟定设计方案
根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1
图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB＝16m，拱顶离水面的距离CD＝4m．
素材2
如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF＝3m，EH＝10m．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式．
问题解决
任务1
确定桥拱半径
求圆形桥拱的半径
任务2
拟定设计方案
根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
一．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
二．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
【考点剖析】
一．垂径定理（共9小题）
1．（2023•荆州模拟）如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点，若点M的坐标是（﹣4，﹣2），则点N的坐标为（ ）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1.5，﹣2）D．（1.5，﹣2）
2．（2023•西湖区校级模拟）如图，AB是半径为4的⊙O的直径，P是圆上异于A，B的任意一点，∠APB的平分线交⊙O于点C，连接AC和BC，△ABC的中位线所在的直线与⊙O相交于点E、F，则EF的长是（ ）
A．B．C．3D．
3．（2022秋•杭州期末）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，DE．若DE＝3DO，，则△ODE的面积为（ ）
A．4B．C．D．
4．（2023•杭州模拟）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AC⊥BD，AB＝8，CD＝2，则⊙O的直径为（ ）
A．9B．C．D．12
5．（2023•衢州一模）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且OE＝2cm，DE＝7cm，则AB的长为（ ）
A．4cmB．8cmC．cmD．2cm
6．（2022秋•杭州期末）如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
（1）求证：AC＝BD．
（2）若CD＝8，EF＝2，求⊙O的半径．
7．（2023•桐乡市一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若BE＝CD＝8，则⊙O的半径的长是（ ）
A．5B．4C．3D．2
8．（2023•天台县一模）如图，AB是半圆O的直径，P是AB上的动点，CP⊥AB交半圆于点C，已知AB＝2，则OP+PC的最大值是 ．
9．（2023•杭州一模）如图，在矩形ABCD中，AB＜AD，以点A为圆心，线段AD的长为半径画弧，与BC边交于点E，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F．
（1）求证：DF＝AB．
（2）连接BF，若BE＝6，CE＝3，求线段BF的长．
二．垂径定理的应用（共12小题）
10．（2023•武义县一模）如图，一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E．若CD＝6，EM＝9，则⊙O的半径为（ ）
A．4B．5C．6D．7
11．（2023•杭州一模）为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（ ）
A．12cmB．10cmC．8cmD．6cm
12．（2023•金华模拟）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为 cm．
13．（2022秋•滨江区期末）如图是一个管道的横截面，圆心O到水面AB的距离OD是3，水面宽AB＝6．
（1）求这个管道横截面的半径．
（2）求∠AOB的度数．
14．（2023•鹿城区校级三模）如图为一个指纹锁的部分设计图，尺寸如图所示，求AB所在圆的半径为（ ）
A．50mmB．50.5mmC．51mmD．51.5mm
15．（2023•沂南县二模）如图是美妆小镇某品牌的香水瓶．从正面看上去它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在⊙O上），其中BC∥EF；已知⊙O的半径为2.5cm，BC＝1.4cm，AB＝2.6cm，EF＝4.8cm，则香水瓶的高度h是（ ）
A．5.6cmB．5.7cmC．5.8cmD．5.9cm
16．（2023春•乐清市月考）如图1，是某隧道的入口，它的截面如图2所示，是由和矩形ABCD组成，且点B，C也在所在的圆上，已知AB＝4m，M是BC的中点，此时隧道的最高点P离地面BC的距离MP＝8m，则该道路的路面宽BC＝ m；在上，离地面相同高度的两点E，F装有两排照明灯，若点E是的中点，则这两排照明灯离地面的高度是 m．
17．（2023•长兴县一模）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，那么桥拱所在圆的半径OA＝ 米．
18．（2023•松阳县二模）课堂上，师生一起探究用圆柱形管子的内径去测量球的半径．嘉嘉经过思考找到了测量方法：如图，把球置于圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高CD＝12cm，底面内径BC＝8cm，球的最高点E到瓶底的距离为20cm，则球的半径为 cm．
19．（2023•南浔区一模）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝5cm，水面宽AB＝8cm，则截面圆心O到水面的距离为 cm．
20．（2023•瑞安市模拟）如图，某公园有一月牙形水池，水池边缘有A，B，C，D，E五盏装饰灯．为了估测该水池的大小，观测员在A，D两点处发现点A，E，C和D，E，B均在同一直线上，沿AD方向走到F点，发现∠AFC＝90°．测得AD＝9.6米，AE＝DE＝8米，DF＝2.4米，则所在圆的半径为 米，所在圆的半径为 米．
21．（2022秋•温州期末）根据素材解决问题．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023·浙江衢州·统考一模）如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·浙江金华·统考一模）如图，小明分别以点为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点，作直线分别交弦和劣弧于点．小明量得．则劣弧所在圆的半径长为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·浙江金华·统考一模）一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，M是中弦的中点，连接，并延长交于点E，若，隧道的高，则的半径为（ ）
A．8B．7C．6D．5
4．（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期末）如图为一座拱形桥示意图，桥身AB（弦AB）长度为8，半径OC垂直AB于点D，，则桥拱高CD为（ ）
A．3B．2.5C．2D．1.5
5．（2023·浙江·一模）如图，在水平放置的圆柱形排水管的截面中，圆的半径为5，弓形部分水面宽度，则该截面中水的最大深度是（ ）
A．5B．4C．3D．2
6．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，已知是的直径，点C是弧的中点，点D在的延长线上，连接交⊙O于点E，若，则（ ）
A．20°B．2°C．25°D．30°
7．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）．
A．点B．点 C．点 D．点
8．（2023秋·浙江·九年级期中）如图，是以为直径的半圆上一点，连接，，分别以，为边向外作正方形，，，，弧，弧的中点分别是、、、，若，，则（ ）
A．B．C．11D．15
9．（2021秋·九年级校考期中）AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（ ）
A．1或7B．7C．1D．3或4
10．（2023春·浙江台州·九年级台州市书生中学校考期中）如图这是我市某跨海大桥正侧面的照片，大桥的主桥拱为圆弧型，桥面长为800米，且与水面平行，小王用计算机根据照片对大桥进行了模拟分析，在桥正下方的水面上取一点P，在桥面上取点C，作射线交弧（主桥拱）于点D，右边画出了与关于长的函数图象，下列对此桥的判断不合理的是（ ）
A．桥拱的最高点与桥面的实际距离约为210米
B．桥拱正下方的桥面的实际长度约为500米
C．拍摄照片时，桥面离水面的实际高度约为110米
D．桥面上段的实际长度约200米
二、填空题
11．（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）已知的半径为，弦，且，则弦和之间的距离为_______．
12．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）五水共治办公室在一次巡查时测量一排水管的排水情况，如图，水平放置的圆柱形排水管的截面为，半径是，有水部分弓形的高为，则______．
13．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，⊙O的半径为5，弦，B是的中点，连接，则的长为 _____．
14．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD =______．
15．（2023·浙江绍兴·统考一模）已知半径为5的圆O中有一条长度为8的弦，分别以A，B为圆心，长度大于4为半径作圆弧交于点M，N，连接，点C为直线与圆O的交点，点D为直线与弦的交点，则的长度为_______．
16．（2021·浙江·九年级自主招生）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E，F，G，M，N都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是_________．
17．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是_____．
18．（2020秋·浙江·九年级期中）在半径为5cm的⊙O中，弦AB∥CD，且AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD间距离为____
三、解答题
19．（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）我们在学习了《浙教版数学九年级上册》探究活动，“已知：如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面已知桥洞的拱形是抛物线”，现以水平方向为轴，若小明同学以为顶点求出了函数表达式是；
探究一：
(1)若小红同学以为顶点求出了函数表达式是__________．
(2)在（1）条件下，求出该抛物线在水面中的倒影所在抛物线函数表达式为____________．
(3)一艘宽为米，高出水面米的货船，能否从桥下通过？
探究二：
(4)若已知桥洞的拱形是圆的一部分，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，该圆半径为__________．
20．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5．
（1）若，，求的长；
（2）若，且，求弦的长；
21．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点．连接，过点作于点．
(1)求证：四边形为矩形．
(2)已知的半径为4，，求弦的长．
22．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为．
(1)请用尺规作图，作出圆弧所在圆的圆心O，并计算圆的半径；
(2)当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，水面离拱顶只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．
23．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）如图，由小正方形构成的网格，经过，，三点，仅用无刻度的直尺按要求画图．（保留作图痕迹）
(1)在图（1）中画弦的弦心距；
(2)在图（2）中的圆上找一点，使点是的中点．
24．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，为的直径，弦于点，点为圆上一点，，过点作交于点，交于点．
(1)求证：．
(2)若，，求．
25．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．
(1)求证：．
(2)若，大圆的半径，求小圆的半径r．
第08讲 垂径定理
【知识梳理】
一．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
二．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
【考点剖析】
一．垂径定理（共9小题）
1．（2023•荆州模拟）如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点，若点M的坐标是（﹣4，﹣2），则点N的坐标为（ ）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1.5，﹣2）D．（1.5，﹣2）
【分析】本题可先设半径的大小，由此得出A点的方程．连接AM、AN根据等腰三角形的性质即可得出AN的长度，再根据两点之间的距离公式即可解出N点的坐标．
【解答】解：分别过点M、N作x轴的垂线，过点A作AB⊥MN，连接AN，则BM＝BN，
设⊙A的半径为r，
则AN＝r，AB＝2，BM＝BN＝4﹣r，
在Rt△ABN中，根据勾股定理，22+（4﹣r）2＝r2，
可得：r＝2.5，
∴BN＝4﹣2.5＝1.5，
则N到y轴的距离为：AO﹣BN＝2.5﹣1.5＝1，
又点N在第三象限，
∴N的坐标为（﹣1，﹣2），
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．
2．（2023•西湖区校级模拟）如图，AB是半径为4的⊙O的直径，P是圆上异于A，B的任意一点，∠APB的平分线交⊙O于点C，连接AC和BC，△ABC的中位线所在的直线与⊙O相交于点E、F，则EF的长是（ ）
A．B．C．3D．
【分析】连接OE、OC，OC交EF于D，由圆周角定理得出，如果连接OC交EF于D，根据垂径定理可知：OC必垂直平分EF．由MN是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得：OD＝CD＝OC＝2．在Rt△OED中求出ED的长，即可得出EF的值．
【解答】解：如图所示，
∵PC是∠APB的角平分线，
∴∠APC＝∠CPB，
∴弧AC＝弧BC；
∴AC＝BC；
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°．
即△ABC是等腰直角三角形．
连接OC，交EF于点D，则OC⊥AB；
∵MN是△ABC的中位线，
∴MN∥AB；
∴OC⊥EF，OD＝OC＝2．
连接OE，根据勾股定理，得：DE＝＝2，
∴EF＝2ED＝4．
故选：A．
【点评】此题考查圆周角定理，垂径定理，三角形的中位线，综合运用了圆周角定理及其推论发现等腰直角三角形，再进一步根据等腰三角形的性质以及中位线定理，求得EF的弦心距，最后结合垂径定理和勾股定理求得弦长．
3．（2022秋•杭州期末）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，DE．若DE＝3DO，，则△ODE的面积为（ ）
A．4B．C．D．
【分析】先根据垂径定理得到AD＝BD＝2，则BE＝2OD，再根据圆周角定理得到∠B＝90°，接着利用勾股定理得到BD2+BE2＝DE2，从而可求出OD，然后利用三角形面积公式计算．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝2，
∵OA＝OE，
∴OD为△ABE的中位线，
∴BE＝2OD，
∵AE为直径，
∴∠B＝90°，
在Rt△BDE中，
∵BD2+BE2＝DE2，
∴（2）2+（2OD）2＝（3OD）2，
解得OD＝2，
∴△ODE的面积＝OD•BD＝×2×2＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和勾股定理．
4．（2023•杭州模拟）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AC⊥BD，AB＝8，CD＝2，则⊙O的直径为（ ）
A．9B．C．D．12
【分析】作直径AF，连BF、CF．证明CD＝BF＝6，利用勾股定理求出AF即可．
【解答】解：作直径AF，连BF、CF．
∵AF是圆O的直径，
∴∠ACF＝∠ABF＝90°，
∴CF⊥AC，
又∵BD⊥AC，
∵CF∥BD，
∴∠DBC＝∠BCF，
∴＝，
∴BF＝CD＝2，
∴AF＝＝＝2，
∴⊙O的直径为2．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理，圆周角定理，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
5．（2023•衢州一模）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且OE＝2cm，DE＝7cm，则AB的长为（ ）
A．4cmB．8cmC．cmD．2cm
【分析】连接OA，如图，先计算出OD＝OA＝5，OE＝2，再根据垂径定理得到AE＝BE，然后利用勾股定理计算出AE，从而得到AB的长．
【解答】解：连接OA，如图，
∵OE＝2cm，DE＝7cm，
∴OD＝5cm，
∴OA＝5cm，
∵AB⊥CD，
∴AE＝BE，
在Rt△AOE中，AE＝＝＝（cm），
∴AB＝2AE＝2（cm）．
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
6．（2022秋•杭州期末）如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
（1）求证：AC＝BD．
（2）若CD＝8，EF＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）由垂径定理得到CF＝DF，由等腰三角形的性质得到AF＝BF，从而证明AC＝BD；
（2）设⊙O的半径是r，由勾股定理，垂径定理列出关于r的方程，即可求出⊙O的半径．
【解答】（1）证明：∵OE⊥AB，
∴CF＝DF，
∵OA＝OB，
∴AF＝BF，
∴AF﹣CF＝BF﹣DF，
∴AC＝BD；
（2）解：设⊙O的半径是r，
∵CO2＝CF2+OF2，
∴r2＝42+（r﹣2）2，
∴r＝5，
∴⊙O的半径是5．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于半径的方程．
7．（2023•桐乡市一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若BE＝CD＝8，则⊙O的半径的长是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【分析】连接OC，设⊙O的半径为R，则OE＝8﹣R，根据垂径定理得出CE＝DE＝4，根据勾股定理得出OC2＝CE2+OE2，代入后求出R即可．
【解答】解：连接OC，
设⊙O的半径为R，则OE＝8﹣R，
∵CD⊥AB，AB过圆心O，CD＝8，
∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4，
由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，
R2＝42+（8﹣R）2，
解得：R＝5，
即⊙O的半径长是5，
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
8．（2023•天台县一模）如图，AB是半圆O的直径，P是AB上的动点，CP⊥AB交半圆于点C，已知AB＝2，则OP+PC的最大值是 ．
【分析】连接OC，由勾股定理得到OP2+PC2＝OC2＝1，由（OP+PC）2＝OP2+PC2+2PO•PC＝1+2PO•PC，得到OP+PC＝，当PO•PC最大时，PO+PC的值最大，由（PC﹣PO）2≥0，得到2PC•PO≤PC2+PO2＝1，由此即可求出OP+PC的最大值．
【解答】解：连接OC，
∵AB＝2，
∴OC＝AB＝1，
∵PC⊥AB，
∴OP2+PC2＝OC2＝1，
∵（OP+PC）2＝OP2+PC2+2PO•PC＝1+2PO•PC，
∴OP+PC＝，
∴当PO•PC最大时，PO+PC的值最大，
∵（PC﹣PO）2≥0，
∴PC2+PO2﹣2PC•PO≥0，
∴2PC•PO≤PC2+PO2＝1，
∴2PC•PO的最大值是1，
∴PO+PC的最大值是＝．
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理，完全平方公式，关键是由PC2+PO2﹣2PC•PO≥0，得到2PC•PO≤PC2+PO2＝1．
9．（2023•杭州一模）如图，在矩形ABCD中，AB＜AD，以点A为圆心，线段AD的长为半径画弧，与BC边交于点E，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F．
（1）求证：DF＝AB．
（2）连接BF，若BE＝6，CE＝3，求线段BF的长．
【分析】（1）利用角平分线的性质定理证明DF＝DC即可解决问题；
（2）过点B作BG⊥AE，垂足为G，证明Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），求出，设AG＝x，在△ABG和△EBG中，利用勾股定理列出方程，求出x值，可得AG＝5，进一步利用勾股定理求出结果即可．
【解答】（1）证明：连接DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD∥BC，∠C＝90°，
由作图可知：AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝∠DEC，
∵DF⊥AE，DC⊥BC，
∴DF＝DC＝AB．
（2）如图，过点B作BG⊥AE，垂足为G，
∵BE＝6，CE＝3，
∴AD＝AE＝BC＝9，
在Rt△DEF和Rt△DEC中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），
∴CE＝EF＝3，
∴AF＝6，
∴，
设AG＝x，则FG＝6﹣x，EG＝9﹣x，
在△ABG和△EBG中，AB2﹣AG2＝BE2﹣EG2，即，
解得：x＝5，即AG＝5，
∴，FG＝1，
∴．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握相应定理，找到线段之间的关系．
二．垂径定理的应用（共12小题）
10．（2023•武义县一模）如图，一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E．若CD＝6，EM＝9，则⊙O的半径为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】因为M是⊙O弦CD的中点，根据垂径定理，EM⊥CD，则CM＝DM＝3，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，可求得OM，进而就可求得EM．
【解答】解：∵M是⊙O弦CD的中点，
∴EM⊥CD，
∵CD＝6，
∴CM＝CD＝3，
设OC是x米，则OM＝9﹣x，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝32+（9﹣x）2，
解得：x＝5，
∴OC＝5．
故选：B．
【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2＝d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
11．（2023•杭州一模）为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（ ）
A．12cmB．10cmC．8cmD．6cm
【分析】连接AB、CD交于点D，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：连接AB、CD交于点D，
由题意得，OC⊥AB，
则AD＝DB＝AB＝4，
设圆的半径为Rcm，则OD＝（R﹣2）cm，
在Rt△AOD中，OA2＝AD2+OD2，即R2＝42+（R﹣2）2，
解得，R＝5，
则该铁球的直径为10cm，
故选：B．
【点评】本题考查的市场价定理的应用、勾股定理，掌握垂直于弦的直径，平分弦并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
12．（2023•金华模拟）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为 16 cm．
【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．
【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝48cm，
∴BD＝AB＝×48＝24（cm），
∵⊙O的直径为52cm，
∴OB＝OC＝26cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），
即水的最大深度为16cm，
故答案为：16．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
13．（2022秋•滨江区期末）如图是一个管道的横截面，圆心O到水面AB的距离OD是3，水面宽AB＝6．
（1）求这个管道横截面的半径．
（2）求∠AOB的度数．
【分析】（1）根据垂径定理，可知△OAD是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可解；
（2）根据等腰直角三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，连接OA，
∵AB＝6，OD⊥AB，
∴AD＝3，
∵OD＝3，
∴△OAD是等腰直角三角形，
在Rt△AOD中，，
∴这个管道横截面的半径为；
（2）在等腰直角△ADO中，∠AOD＝45°，
在等腰直角△BDO中，∠BOD＝45°，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝45°+45°＝90°，
∴∠AOB＝90°．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质，解题关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理．
14．（2023•鹿城区校级三模）如图为一个指纹锁的部分设计图，尺寸如图所示，求AB所在圆的半径为（ ）
A．50mmB．50.5mmC．51mmD．51.5mm
【分析】如图，设圆心为O，半径为Rmm，作OD⊥AB与点C交⊙O于D．利用勾股定理构建方程求解．
【解答】解：如图，设圆心为O，半径为Rmm，作OD⊥AB与点C交⊙O于D．
∵OD⊥AB，OD是半径，
∴AC＝CB＝10，
在Rt△AOC中，OA2＝AC2+OC2，
∴R2＝102+（R﹣1）2，
∴R＝50.5．
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
15．（2023•沂南县二模）如图是美妆小镇某品牌的香水瓶．从正面看上去它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在⊙O上），其中BC∥EF；已知⊙O的半径为2.5cm，BC＝1.4cm，AB＝2.6cm，EF＝4.8cm，则香水瓶的高度h是（ ）
A．5.6cmB．5.7cmC．5.8cmD．5.9cm
【分析】作OG⊥BC于G，延长GO交EF于H，连接BO、EO．根据垂径定理求出BG、EH，解直角三角形求出OG，OH，根据h＝OH+OG+AB即可解决问题．
【解答】解：如图，作OG⊥BC于G，延长GO交EF于H，连接BO、EO．
∵EF∥BC，
∴OH⊥EF，
∴，，
∴；，
∴h＝OH+OG+AB＝0.7+2.4+2.6＝5.7cm．
即香水瓶的高度h为5.7cm，
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
16．（2023春•乐清市月考）如图1，是某隧道的入口，它的截面如图2所示，是由和矩形ABCD组成，且点B，C也在所在的圆上，已知AB＝4m，M是BC的中点，此时隧道的最高点P离地面BC的距离MP＝8m，则该道路的路面宽BC＝ 8 m；在上，离地面相同高度的两点E，F装有两排照明灯，若点E是的中点，则这两排照明灯离地面的高度是 （2+2） m．
【分析】连接PM，作AB的垂直平分线OG，交PM于点O，交AB于点G，则点O是圆心，连接OB，可得半径，在利用勾股定理求BM即可；连接PA、OE交于点N，作AH⊥PM于点H，EQ⊥BC于点Q，交OG于点K，用勾股定理求出AP，进而可求ON，在证明△EOK≌△OPN即可．
【解答】解：连接PM，作AB的垂直平分线OG，交PM于点O，交AB于点G，
则点O是圆心，连接OB，
∴OM＝BG＝AB＝2m，
∵MP＝8m，
∴圆的半径为8﹣2＝6m，
∴BM＝，
∴BC＝2BM＝8m，
连接PA、OE交于点N，作AH⊥PM于点H，EQ⊥BC于点Q，交OG于点K，
∵MP＝8m，MH＝AB＝4m，
∴PH＝8﹣4＝4m，
∵AH＝BM＝4m，
∴PA＝m，
∵E是的中点，
∴OE垂直平分AP，
∴PN＝AP＝2m，
∴ON＝m，
∵EQ⊥BC，PM⊥BC，
∴EQ∥PM，
∴∠OEK＝∠EOP，
在△EOK和△OPN中，
，
∴△EOK≌△OPN（AAS），
∴EK＝ON＝2m，
∴EQ＝EK+KQ＝（2+2）m，
故答案为：8m、（2+2）m．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，三角形求得的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
17．（2023•长兴县一模）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，那么桥拱所在圆的半径OA＝ 10 米．
【分析】利用直角三角形，根据勾股定理和垂径定理解答．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝BD＝8米，
设BO＝x米，则DO＝（x﹣4）米，
在Rt△OBD中，得：BD2+DO2＝BO2，
即82+（x﹣4）2＝x2，
解得：x＝10，
即桥拱所在圆的半径是10米．
故答案为：10．
【点评】此题主要考查了垂径定理的应用题，解题的关键是利用垂径定理和勾股定理求线段的长．
18．（2023•松阳县二模）课堂上，师生一起探究用圆柱形管子的内径去测量球的半径．嘉嘉经过思考找到了测量方法：如图，把球置于圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高CD＝12cm，底面内径BC＝8cm，球的最高点E到瓶底的距离为20cm，则球的半径为 5 cm．
【分析】如图，连接OA．设OE＝OA＝Rcm．利用勾股定理构建方程求解．
【解答】解：如图，连接OA．设OE＝OA＝Rcm．
由题意AD＝BC＝8cm，EG＝20﹣12＝8（cm），
∵EF⊥AD，
∴AG＝DG＝4（cm），
则有R2＝（8﹣R）2+42，
∴R＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．（2023•南浔区一模）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝5cm，水面宽AB＝8cm，则截面圆心O到水面的距离为 3 cm．
【分析】根据垂径定理求出BC，根据勾股定理求出OC即可．
【解答】解：过O作OC⊥AB于C，
∴BC＝AC＝AB＝×8＝4（cm），
在Rt△OCB中，
由勾股定理得：
OC＝＝＝3（cm），
故答案为：3．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，掌握垂径定理，勾股定理．
20．（2023•瑞安市模拟）如图，某公园有一月牙形水池，水池边缘有A，B，C，D，E五盏装饰灯．为了估测该水池的大小，观测员在A，D两点处发现点A，E，C和D，E，B均在同一直线上，沿AD方向走到F点，发现∠AFC＝90°．测得AD＝9.6米，AE＝DE＝8米，DF＝2.4米，则所在圆的半径为 5 米，所在圆的半径为 米．
【分析】如图，连接BC，过点E作EM⊥AD于M，交BC于N，设所在圆的圆心为O，连接AO，设圆O的半径为x米，根据勾股定理和垂径定理列方程可得x的值；设所在圆的圆心为O'，则O'在MN上，连接O'A，O'C，则O'A＝O'C，设O'M＝b米，再根据勾股定理可得O'A的长．
【解答】解：如图，连接BC，过点E作EM⊥AD于M，交BC于N，
设所在圆的圆心为O，连接AO，
∵AE＝ED，EM⊥AD，
∴AM＝DM＝AD＝4.8米，
∴点O在EM上，
设圆O的半径为x米，
Rt△AEM中，AE＝8米，AM＝4.8米，
∴EM＝＝＝6.4米，
∴OM＝（6.4﹣x）米，
在Rt△AMO中，由勾股定理得：AO2＝AM2+OM2，
∴x2＝4.82+（6.4﹣x）2，
∴x＝5，
∴所在圆的半径为5米；
∵AE＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∵∠EAD＝∠CBE，∠EDA＝∠ECB，
∴∠EBC＝∠ECB，
∴EB＝EC，
∵∠AED＝∠CEB，
∴∠EAD＝∠ECB，
∴AD∥BC，
∴∠CNE＝∠AME＝90°，
∵CF⊥AD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠AFC＝∠CNE＝∠FMN＝90°，
∴四边形MNCF是矩形，
∴MN＝CF，CN＝FM＝2.4+4.8＝7.2，
∵∠AEM＝∠CEN，
∴tan∠AEM＝tan∠CEN，即＝，
即＝＝，
∴EN＝9.6米，
∴MN＝9.6+6.4＝16（米），
设所在圆的圆心为O'，则O'在MN上，
连接O'A，O'C，则O'A＝O'C，
设O'M＝b米，
由勾股定理得：O'A2＝4.82+b2＝（16﹣b）2+7.22，
∴b＝8.9，
∴O'A＝＝（米），
即所在圆的半径为米．
故答案为：5，．
【点评】本题考查垂径定理．勾股定理，三角函数，矩形的性质和判定等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
21．（2022秋•温州期末）根据素材解决问题．
【分析】任务1，设 圆心为点O，则点O在CD延长线上，延长CD，则CD经过点O，连结AO，设桥拱的半径为rm，则OD＝（r﹣4）m，由勾股定理，垂径定理，列出关于半径的方程，即可解决问题；
任务2，由勾股定理得到货船不能通过圆形桥拱，通过计算，即可得到需要增加的货物的吨数．
【解答】解：任务1，设 圆心为点O，则点O在CD延长线上，延长CD，则CD经过点O，连结AO，如图，
设桥拱的半径为rm，则OD＝（r﹣4）m，
∵OC⊥AB，
∴m，
∵OD2+AD2＝OA2，
∴（r﹣4）2+82＝r2，
∴r＝10，
∴圆形拱桥的半径为10m．
任务2，根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，至少要增加吨的货物才能通过．理由：
当EH是⊙O的弦时，EH与OC的交点为M，连接OE，OH，如图，
∵四边形EFGH为矩形，
∴EH∥FG，
∵OC⊥AB，
∴OM⊥EH．
∴，
∴m，
∵OD＝6m，
∴，
∴根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，
∴船在水面部分可以下降的高度m．
∵，
∴吨，
∴至少要增加吨的货物才能通过．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023·浙江衢州·统考一模）如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接，如图，先计算出，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
2．（2023·浙江金华·统考一模）如图，小明分别以点为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点，作直线分别交弦和劣弧于点．小明量得．则劣弧所在圆的半径长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据作图即可得到直线是的垂直平分线，再利用垂径定理及勾股定理即可解答．
【详解】解：∵直线是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴设，
∴，，
∴在中，，
∴，
∴圆的半径为，
故答案为．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
3．（2023·浙江金华·统考一模）一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，M是中弦的中点，连接，并延长交于点E，若，隧道的高，则的半径为（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】D
【详解】解：连接，
∵M是中弦的中点，，
∴，，
设，则，
在中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理定理，解题的关键是掌握平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，正确画出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求解．
4．（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期末）如图为一座拱形桥示意图，桥身AB（弦AB）长度为8，半径OC垂直AB于点D，，则桥拱高CD为（ ）
A．3B．2.5C．2D．1.5
【答案】C
【分析】连接，先根据垂径定理求出，，再由勾股定理求出的长，进而可得出结论．
【详解】解：连接，
半径弦于点，，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
5．（2023·浙江·一模）如图，在水平放置的圆柱形排水管的截面中，圆的半径为5，弓形部分水面宽度，则该截面中水的最大深度是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】D
【分析】根据垂径定理和勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，过O作于C，并延长交圆于D，则，，，
在在，，
∴，
即该截面中水的最大深度是2，
故选：D．
【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理得到是解答的关键．
6．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，已知是的直径，点C是弧的中点，点D在的延长线上，连接交⊙O于点E，若，则（ ）
A．20°B．2°C．25°D．30°
【答案】D
【分析】如图所示，连接，先根据垂径定理得到，则，再证明得到，利用三角形外角的性质得到，再由三角形内角和定理建立方程进行求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵点C是弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主考查了垂径定理，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质和三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键．
7．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）．
A．点B．点 C．点 D．点
【答案】B
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作，的垂直平分线即可得到答案．
【详解】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，如图，
它们都经过，所以点为这条圆弧所在圆的圆心．
故选：B．
【点睛】本题主要查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，理解并掌握圆心为弦垂直平分线的交点是解决此题的关键．
8．（2023秋·浙江·九年级期中）如图，是以为直径的半圆上一点，连接，，分别以，为边向外作正方形，，，，弧，弧的中点分别是、、、，若，，则（ ）
A．B．C．11D．15
【答案】D
【分析】连接，，根据，，弧，弧的中点分别是、、、，得到，，从而得到H、I分别是、的中点，利用中位线定理即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，，
∵，，弧，弧的中点分别是、、、，
∴，，
∴H、I分别是、的中点，
∴
∵，，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了中位线定理，垂径定理，解题的关键是正确的作出辅助线，根据垂径定理得到，．
9．（2021秋·九年级校考期中）AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（ ）
A．1或7B．7C．1D．3或4
【答案】A
【分析】分两种情况：①当AB、CD在圆心两侧时；②当AB、CD在圆心同侧时；利用垂径定理及勾股定理求出答案.
【详解】解：①当AB、CD在圆心两侧时；
过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，如图所示：
∵半径r＝5，弦AB∥CD，且AB＝6，CD＝8，
∴OA＝OC＝5，CE＝DE＝4，AF＝FB＝3，E、F、O在一条直线上，
∴EF为AB、CD之间的距离
在Rt△OEC中，由勾股定理可得：
OE2＝OC2﹣CE2
∴OE3，
在Rt△OFA中，由勾股定理可得：
OF2＝OA2﹣AF2
∴OF4，
∴EF＝OE+OF＝3+4＝7，
AB与CD的距离为7；
②当AB、CD在圆心同侧时；
同①可得：OE＝3，OF＝4；
则AB与CD的距离为：OF﹣OE＝1；
综上所述：AB与CD间的距离为1或7．
故选：A.
【点睛】此题考查圆的垂径定理、直角三角形的勾股定理，解题中注意运用分类讨论的思想避免漏解.
10．（2023春·浙江台州·九年级台州市书生中学校考期中）如图这是我市某跨海大桥正侧面的照片，大桥的主桥拱为圆弧型，桥面长为800米，且与水面平行，小王用计算机根据照片对大桥进行了模拟分析，在桥正下方的水面上取一点P，在桥面上取点C，作射线交弧（主桥拱）于点D，右边画出了与关于长的函数图象，下列对此桥的判断不合理的是（ ）
A．桥拱的最高点与桥面的实际距离约为210米
B．桥拱正下方的桥面的实际长度约为500米
C．拍摄照片时，桥面离水面的实际高度约为110米
D．桥面上段的实际长度约200米
【答案】A
【分析】由题意知，从0变化到8，米，横坐标一个单位长度对应的长度为100米，函数图象中与函数图象的交点即为桥拱与桥面的交点、，对应的横坐标分别为1、6，可求，进而可判断B的正误；如图，过最高点作，交于，由题意知，中点对应最高点，根据时，， 结合图象可判断A的正误；纵坐标最小时，，由函数图象可得的值，进而可判断C的正误；根据桥面上段的实际长度约 米，计算可判断D的正误．
【详解】解：由题意知，从0变化到8，米，
∴横坐标一个单位长度对应的长度为100米，
函数图象中与函数图象的交点即为桥拱与桥面的交点、，对应的横坐标分别为1、6，
∴米，B正确，故不符合要求；
如图，过最高点作，交于，
由题意知，中点对应最高点，
∴时，，
由图象可知，米，
∴桥拱的最高点与桥面的实际距离小于180米，A错误，故符合要求；
纵坐标最小时，此时，由函数图象可知，米，C正确，故不符合要求；
桥面上段的实际长度约 米，D正确，故不符合要求．
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象，垂径定理．解题的关键在于结合题意理解图象信息．
二、填空题
11．（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）已知的半径为，弦，且，则弦和之间的距离为_______．
【答案】14cm或2cm
【分析】根据垂径定理及勾股定理，可求出弦AB、CD的弦心距；由于两弦的位置不确定，因此需要分类讨论．
【详解】解：如图①，连接OA，OC，过点O作OE⊥AB，交CD于点F，交AB于点E，
因为AB//CD ，所以OE⊥CD，
∴Rt△OAE中，OA=10cm，AE=AB=6cm；
OE==8cm；
同理可得：OF=6cm；
故EF=OE-OF=2cm；
如图②；同（1）可得：OE=8cm，OF=6cm；
故EF=OE+OF=14cm；
所以AB与CD的距离是14cm或2cm，
故答案为：14cm或2cm．
【点睛】此题主要考查的是垂径定理以及勾股定理的应用，需注意弦AB、CD的位置关系有两种，需分类讨论，不要漏解．
12．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）五水共治办公室在一次巡查时测量一排水管的排水情况，如图，水平放置的圆柱形排水管的截面为，半径是，有水部分弓形的高为，则______．
【答案】
【分析】作于，交于，由垂径定理得出，，，，求出，由勾股定理求出，即可得出．
【详解】解：作于，交于，连接，如图所示：
则，，，，
，
，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出是解决问题的关键．
13．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，⊙O的半径为5，弦，B是的中点，连接，则的长为 _____．
【答案】3
【分析】连接，根据垂径定理的推论得OB⊥AC，再根据勾股定理即可求出答案．
【详解】解：如图，连接，
∵B是的中点，，
∴，，
∴在中，，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了垂径定理的推论、勾股定理，熟练掌握垂径定理的推论是解答的关键．
14．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD =______．
【答案】
【分析】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在△OHF中，勾股定理计算．
【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，
则EH=FH=EF=2，
∵GB=5，
∴OF=OB=，
在△OHF中，勾股定理，得
OH=，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形OADH也是矩形，
∴AD=OH=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．
15．（2023·浙江绍兴·统考一模）已知半径为5的圆O中有一条长度为8的弦，分别以A，B为圆心，长度大于4为半径作圆弧交于点M，N，连接，点C为直线与圆O的交点，点D为直线与弦的交点，则的长度为_______．
【答案】2或8
【分析】根据作图可知，为的中垂线，则必过圆心O，连接，利用垂径定理求出的长，分点在劣弧上和点在优弧上两种情况进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：是弦的中垂线，为的中点，如图，连接，
则：，
∴，
∵，
∴三点共线，
∴，
∴；
①当点在劣弧上时：；
②当点在优弧上时：；
故答案为：2或8
【点睛】本题考查中垂线的作图，垂径定理．根据作图方法得到是的中垂线，是解题的关键．注意分类讨论．
16．（2021·浙江·九年级自主招生）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E，F，G，M，N都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是_________．
【答案】
【分析】先设的三边长为，，，其中为斜边，设的半径为，根据图形找出，，，的关系，用含的式子表示和，即可求出比值．
【详解】如图：取的中点为，取的中点为，连接，，，
设，，则①
取的中点为，
是直角三角形
圆心在和的垂直平分线上
为圆心
连接，，则，为半径
的中点为，的中点为
，
在和中，由勾股定理得：
②
由①②得
，
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形斜边中线等于斜边一半，即斜边的中点为圆的圆心，解题关键在于找到圆心，用用含的式子表示和．
17．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是_____．
【答案】3
【分析】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，先利用垂径定理得到CH=4，然后在Rt△OCH中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点O作OH⊥CD于H，
连接OC，如图，则CH＝DH＝CD＝4，
在Rt△OCH中，OH＝＝3，
所以CD与AB之间的距离是3．
故答案为3．
【点睛】此题主要考查垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题关键．
18．（2020秋·浙江·九年级期中）在半径为5cm的⊙O中，弦AB∥CD，且AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD间距离为____
【答案】1或7cm
【分析】先作出圆心与两弦的垂直距离，作图后很容易可以用勾股定理算出AB弦与圆心的距离为3cm，CD弦与圆心的距离为4cm，若AB、CD位于圆心异侧，则两平行弦的距离为3+4=7cm，AB、CD位于圆心同侧4-3=1cm．
【详解】解：过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，
∵ AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵OE过圆心，OE⊥AB，
∴EB=AB=3cm，
∵OB=5cm，
EO= 4cm，
同理，OF=3cm，
∴EF=1cm，
当AB、CD位于圆心两旁时EF=7cm，
∴EF=1cm或EF=7cm．
故答案为：1或7cm．
【点睛】本题结合勾股定理考查了垂径定理解决与弦有关的问题，往往要作弦的弦心距，构造以弦心距、半径、弦长的一半为三边的直角三角形，利用勾股定理解答问题．
三、解答题
19．（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）我们在学习了《浙教版数学九年级上册》探究活动，“已知：如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面已知桥洞的拱形是抛物线”，现以水平方向为轴，若小明同学以为顶点求出了函数表达式是；
探究一：
(1)若小红同学以为顶点求出了函数表达式是__________．
(2)在（1）条件下，求出该抛物线在水面中的倒影所在抛物线函数表达式为____________．
(3)一艘宽为米，高出水面米的货船，能否从桥下通过？
探究二：
(4)若已知桥洞的拱形是圆的一部分，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，该圆半径为__________．
【答案】(1)
(2)
(3)货船能顺利通过此桥洞，理由见详解
(4)
【分析】探究一：
（1）根据题目中所示坐标系设出对应的函数解析式，再用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据倒影与拱桥关于轴对称，求出倒影的解析式即可；
（3）把代入解析式求出即可；
探究二：
（4）设拱形所在圆的半径为，根据已知条件和垂径定理以及勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：根据题意设抛物线的解析式为，
把代入解析式得：，解得：，
∴函数表达式为，
故答案为：．
（2）解：∵物线在水面中的倒影与抛物线关于轴对称，
∴倒影所在抛物线函数表达式为，
故答案为：．
（3）解：当时，，
∴货船能顺利通过此桥洞．
（4）解：如图所示，设，则，
由垂径定理得，
在中，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的应用和垂径定理，当桥洞的拱形是抛物线关键是根据坐标系列出相应的函数解析式，当桥洞的拱形是圆弧时，关键是设出圆的半径根据垂径定理和勾股定理列出方程．
20．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5．
（1）若，，求的长；
（2）若，且，求弦的长；
【答案】（1）7；（2）8
【分析】（1）连接AO和DO，由垂径定理得，再由勾股定理求出OF的长，同理求出OE的长，即可求出EF的长；
（2）连接BO和DO，先由垂径定理和勾股定理求出OE的长，设，在中，利用勾股定理列式求出x的值，得到BF的长，即可求出AB的长．
【详解】解：（1）连接AO和DO，
∵，且EF过圆心，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
同理，
，
∴；
（2）如图，连接BO和DO，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
，解得，（舍去），
∴，
∴．
【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理，并能够结合勾股定理进行运用求解．
21．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点．连接，过点作于点．
(1)求证：四边形为矩形．
(2)已知的半径为4，，求弦的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是矩形判定即可．
（2）根据矩形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可．
【详解】（1）证明：∵与轴相切于点，
∴轴．
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）如图，连接．
四边形是矩形，
．
在中，，
．
点为圆心，，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定，垂径定理，圆的性质，熟练掌握矩形的判定和垂径定理是解题的关键．
22．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为．
(1)请用尺规作图，作出圆弧所在圆的圆心O，并计算圆的半径；
(2)当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，水面离拱顶只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．
【答案】(1)拱桥所在的圆的半径
(2)不需要采取紧急措施，理由见解析
【分析】（1）连接，作的垂直平分线，延长与的垂直平分线相交于点O，点O即为所求的圆弧所在圆的圆心，连接，由垂径定理可知，再在中，由勾股定理得出方程，即可求出半径；
（2）求出，再由勾股定理可得，则，即可得出结论．
【详解】（1）如图，点O即为所求的圆弧所在圆的圆心，连接，
设半径为，则，
由垂径定理可知，
∵，
∴，
在中，，
由勾股定理可得，，
即，
解得，
∴拱桥所在的圆的半径；
（2）∵，
∴
在中，由勾股定理可得，
，
∴，
∴不需要采取紧急措施．
【点睛】本题考查了作图—垂直平分线、垂径定理和勾股定理的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
23．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）如图，由小正方形构成的网格，经过，，三点，仅用无刻度的直尺按要求画图．（保留作图痕迹）
(1)在图（1）中画弦的弦心距；
(2)在图（2）中的圆上找一点，使点是的中点．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据垂径定理解决问题即可；
（2）取格点，作直径交于点，解决问题即可．
【详解】（1）解：如图1，线段即为所求；
（2）解：如图2，点即为所求．
【点睛】本题考查作图应用与设计作图，垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
24．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，为的直径，弦于点，点为圆上一点，，过点作交于点，交于点．
(1)求证：．
(2)若，，求．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据垂径定理得出，进而得出，再根据“弧，弦，圆心角之间的关系”得出，然后结合平行线的性质得出，最后根据“等角对等边”得出答案；
（2）作，可知，根据“弦，弧，圆心角之间的关系”得，进而得出，设，表示，，再表示，然后根据勾股定理得，再根据平行线的性质得，结合，根据得出比例式，并求出a值，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵为的直径，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）过点O作，垂足为点M．
则，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
可设，则，，
∵为的直径，，
∴，
由勾股定理可得．
∵，，
∴，．
∴，
即，
解得，
∴．
【点睛】这是一道关于圆的综合问题，考查了垂径定理，勾股定理，弧、弦、圆心角之间的关系，解直角三角形，两直线平行，同位角相等，构造辅助线是解题的关键．
25．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．
(1)求证：．
(2)若，大圆的半径，求小圆的半径r．
【答案】(1)证明见解析
(2)小圆的半径r为
【分析】（1）过O作于点E，由垂径定理可知E为和的中点，则可证得结论；
（2）连接，由条件可求得的长，则可求得和的长，在中，利用勾股定理可求得的长，在中可求得的长；
【详解】（1）证明：过O作于点E，如图1，
由垂径定理可得
∴
∴
（2）解：连接，如图2，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
在中，由勾股定理可得
∴，即小圆的半径r为．
【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1
图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB＝16m，拱顶离水面的距离CD＝4m．
素材2
如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF＝3m，EH＝10m．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式．
问题解决
任务1
确定桥拱半径
求圆形桥拱的半径
任务2
拟定设计方案
根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1
图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB＝16m，拱顶离水面的距离CD＝4m．
素材2
如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF＝3m，EH＝10m．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式．
问题解决
任务1
确定桥拱半径
求圆形桥拱的半径
任务2
拟定设计方案
根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
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