2022-2023学年北京市昌平实验学校高二（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年北京市昌平实验学校高二（上）期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）设i为虚数单位，复数z1＝1﹣3i，z2＝3﹣2i，则z1﹣z2在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（4分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，化简＝（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）已知l是直线，α、β是两个不同平面，下列命题中的真命题是（ ）
A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
C．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l∥α，α∥β，则l∥β
4．（4分）设A（3，2，1），B（1，0，5），则AB的中点M的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣2，4）B．（﹣1，﹣1，2）C．（2，1，3）D．（4，2，6）
5．（4分）直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
6．（4分）已知直线l经过点P（﹣1，3），且与直线x﹣2y+3＝0平行，则直线l的方程为（ ）
A．x﹣2y﹣5＝0B．2x+y﹣1＝0C．x﹣2y+7＝0D．2x+y﹣5＝0
7．（4分）直线y＝x与直线y＝x+1间的距离等于（ ）
A．B．C．1D．
8．（4分）圆O1：x2+y2＝1与圆O2：（x﹣2）2+y2＝9的位置关系为（ ）
A．外离B．外切C．相交D．内切
9．（4分）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．y＝±2xC．D．
10．（4分）已知椭圆C：的离心率，短轴的右端点为B，M（1，0）为线段OB的中点，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（每题5分）
11．（5分）已知直线l1：ax+y+1＝0，l2：x﹣2y+1＝0，若l1⊥l2，则实数a＝ ．
12．（5分）点P（1，﹣2）到直线l2：4x+3y﹣8＝0的距离是
13．（5分）圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1上的点到原点距离的最小值等于 ．
14．（5分）已知双曲线C：的渐近线方程为y＝±2x，则C的离心率为 ．
15．（5分）设F1、F2分别为椭圆E：的左、右焦点，点A为椭圆E的左顶点，点B为椭圆E的上顶点，且|AB|＝2，，则椭圆E的标准方程为 ．
三、解答题（16-17每题13分，18题14分，19-21每题15分）
16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acsB．
（1）求角B的大小；
（2）若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．
17．（13分）已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，0）、B（2，1）、C（﹣2，3）
（1）求AC边所在直线的方程；
（2）求BC边的垂直平分线所在直线的方程
18．（14分）已知圆M：x2+y2﹣2x＝0．
（1）求过点P（2，2）与圆相切的直线方程；
（2）若直线x﹣y﹣2＝0与圆M交于A，B两点，求弦AB的长．
19．（15分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝AA1＝2，点E在AB上，且AE＝1．
（1）求直线A1E与BC1所成角的余弦值；
（2）求点B到平面A1EC的距离．
20．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，AD＝2，M为BC的中点．
（1）求证：AD⊥PC．
（2）求直线PB与平面PAM所成角的正弦值．
（3）求平面PAM与平面PCD的夹角的余弦值．
21．（15分）已知椭圆C：的一个顶点为P（0，1），且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点Q坐标为（﹣2，0），直线y＝2x+1与椭圆C交于A、B两点，求△ABQ的面积；
（3）若直线l：y＝x+m与椭圆C交于M、N两点，且|PM|＝|PN|，求m的值．
2022-2023学年北京市昌平实验学校高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题4分）
1．（4分）设i为虚数单位，复数z1＝1﹣3i，z2＝3﹣2i，则z1﹣z2在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据复数的减法运算，可得z1﹣z2＝﹣2﹣i，再由复数的几何意义，即可得解．
【解答】解：因为z1＝1﹣3i，z2＝3﹣2i，
所以z1﹣z2＝﹣2﹣i，在复平面内对应的点为（﹣2，﹣1），位于第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查复数的运算，复数的几何意义，考查运算能力，属于基础题．
2．（4分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，化简＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由空间向量的线性运算即可求解．
【解答】解：＝+＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查空间向量的线性运算，属于基础题．
3．（4分）已知l是直线，α、β是两个不同平面，下列命题中的真命题是（ ）
A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
C．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l∥α，α∥β，则l∥β
【分析】根据线面平行的性质，结合面面位置关系即可判断A；由线面平行的性质和面面垂直的性质，即可判断B；由线面平行的性质定理和线面垂直的性质，结合面面垂直的判定定理，即可判断C；由线面平行的性质和面面平行的性质，即可判断D．
【解答】解：A．若l∥α，l∥β，则α∥β或α∩β＝a，故A错；
B．若α⊥β，l∥α，则l⊂β，或l∥β，或l⊥β，故B错；
C．若l⊥α，l∥β，则过l作平面γ，设γ∩β＝c，则l∥c，故c⊥α，c⊂β，故α⊥β，即C正确；
D．若l∥α，α∥β，则l⊂β，或l∥β，故D错．
故选：C．
【点评】本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查线面平行与垂直的判定和性质、面面平行与垂直的判断和性质，熟记这些是迅速解题的关键．
4．（4分）设A（3，2，1），B（1，0，5），则AB的中点M的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣2，4）B．（﹣1，﹣1，2）C．（2，1，3）D．（4，2，6）
【分析】利用中点坐标公式直接求解．
【解答】解：∵A（3，2，1），B（1，0，5），
∴AB的中点坐标为M（2，1，3）．
故选：C．
【点评】本题考查中点坐标的求法，考查中点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（4分）直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【分析】先求出直线的斜率，再根据倾斜角与斜率的关系及倾斜角的范围，求出倾斜角的大小．
【解答】解：直线x﹣y+2＝0的斜率等于，
又因为直线的斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角大于或等于0度小于180度，
故直线的倾斜角为60°，
故选：B．
【点评】本题考查直线的斜率和倾斜角的关系，以及倾斜角的范围．
6．（4分）已知直线l经过点P（﹣1，3），且与直线x﹣2y+3＝0平行，则直线l的方程为（ ）
A．x﹣2y﹣5＝0B．2x+y﹣1＝0C．x﹣2y+7＝0D．2x+y﹣5＝0
【分析】设与直线x﹣2y+3＝0平行的直线l的方程为x﹣2y+m＝0，把点P（﹣1，3）代入方程解得m，即可得出．
【解答】解：设与直线x﹣2y+3＝0平行的直线l的方程为x﹣2y+m＝0，
把点P（﹣1，3）代入可得：﹣1﹣2×3+m＝0，解得m＝7，
∴直线l的方程为x﹣2y+7＝0，
故选：C．
【点评】本题考查了直线方程、相互平行的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．（4分）直线y＝x与直线y＝x+1间的距离等于（ ）
A．B．C．1D．
【分析】根据已知条件，结合两条平行直线间的距离公式，即可求解．
【解答】解：∵直线y＝x与直线y＝x+1平行，
∴直线y＝x与直线y＝x+1间的距离为．
故选：B．
【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式，属于基础题．
8．（4分）圆O1：x2+y2＝1与圆O2：（x﹣2）2+y2＝9的位置关系为（ ）
A．外离B．外切C．相交D．内切
【分析】求出两个圆的圆心坐标与半径，求出圆心距，即可判断两个圆的位置关系．
【解答】解：∵圆O1：x2+y2＝1的圆心（0，0），半径为1；
圆O2：（x﹣2）2+y2＝9圆心坐标（2，0），半径为：3，
∴两个圆的圆心距为：2，
又两个圆的半径差为：3﹣1＝2，
∴两个圆的位置关系是内切．
故选：D．
【点评】本题考查圆的标准方程的应用，两个圆的位置关系的判断，基本知识的考查，基础题．
9．（4分）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．y＝±2xC．D．
【分析】由题意知，因为双曲线的焦点在x轴上，由此可知渐近线方程为．
【解答】解：由已知得到，
因为双曲线的焦点在x轴上，
故渐近线方程为；
故选：C．
【点评】本题主要考查了双曲线的几何性质和运用．考查了同学们的运算能力和推理能力．
10．（4分）已知椭圆C：的离心率，短轴的右端点为B，M（1，0）为线段OB的中点，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由点的坐标求得b，通过离心率求得a，即可求解椭圆方程．
【解答】解：如图：
因为M（1，0）为线段OB的中点，且B（b，0），所以b＝2，
又椭圆C的离心率，所以，所以，
所以椭圆C的标准方程为．
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，方程思想，属基础题．
二、填空题（每题5分）
11．（5分）已知直线l1：ax+y+1＝0，l2：x﹣2y+1＝0，若l1⊥l2，则实数a＝ 2 ．
【分析】根据已知条件结合直线垂直的性质列式求解即可．
【解答】解：因为直线l1：ax+y+1＝0，l2：x﹣2y+1＝0，且l1⊥l2，
所以a×1+1×（﹣2）＝0，解得a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查直线垂直条件的应用等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12．（5分）点P（1，﹣2）到直线l2：4x+3y﹣8＝0的距离是 2
【分析】直接代入点到直线的距离公式求解即可．
【解答】解：点P（1，﹣2）到直线l2：4x+3y﹣8＝0的距离是．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
13．（5分）圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1上的点到原点距离的最小值等于 ．
【分析】先求出圆心到原点的距离再减去圆的半径即为所求．
【解答】解：圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1上的点到原点距离的最小值为圆心到原点的距离减去圆的半径，
由圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1知圆心C（1，1），半径为1，
＝＝，所以圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1上的点到原点距离的最小值等于﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，属基础题．
14．（5分）已知双曲线C：的渐近线方程为y＝±2x，则C的离心率为 ．
【分析】由题意可得，然后由可求得结果．
【解答】解：因为双曲线C：的渐近线方程为y＝±2x，
所以，
所以离心率，
故答案为：
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，离心率的求法，是基础题．
15．（5分）设F1、F2分别为椭圆E：的左、右焦点，点A为椭圆E的左顶点，点B为椭圆E的上顶点，且|AB|＝2，，则椭圆E的标准方程为 ．
【分析】根据题意列出基本量满足的等式化简即可．
【解答】解：因为|AB|＝2，故，
又，故a2+b2＝4，
，解得a2＝3，b2＝1，
故椭圆E的标准方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，方程思想，属基础题．
三、解答题（16-17每题13分，18题14分，19-21每题15分）
16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acsB．
（1）求角B的大小；
（2）若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．
【分析】（1）直接利用已知条件和正弦定理求出B的值．
（2）根据（1）的结论和余弦定理求出结果．
【解答】解：（1）∵bsinA＝acsB，
由正弦定理可得，
即得，
由于：0＜B＜π，
∴．
（2）∵sinC＝2sinA，
由正弦定理得c＝2a，
由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accsB，
，
解得，
∴．
故a＝，c＝2．
【点评】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，余弦定理的应用及相关的运算问题
17．（13分）已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，0）、B（2，1）、C（﹣2，3）
（1）求AC边所在直线的方程；
（2）求BC边的垂直平分线所在直线的方程
【分析】（1）利用斜率公式求出直线AC的斜率，代入点斜式即可求解；
（2）利用中点坐标公式求出BC的中点坐标，然后利用相互垂直的直线斜率关系求出斜率，代入点斜式即可求解．
【解答】解：（1）直线AC的斜率为，且A（﹣3，0），
所以AC边所在直线的方程为y﹣0＝3（x+3），即3x﹣y+9＝0．
（2）因为B（2，1）、C（﹣2，3），所以BC的中点为（0，2），
又直线BC的斜率为，所以BC边的垂直平分线所在直线的斜率为，
所以BC边的垂直平分线所在直线的方程为y﹣2＝2（x﹣0），即2x﹣y+2＝0．
【点评】本题考查了斜率计算公式、点斜式、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18．（14分）已知圆M：x2+y2﹣2x＝0．
（1）求过点P（2，2）与圆相切的直线方程；
（2）若直线x﹣y﹣2＝0与圆M交于A，B两点，求弦AB的长．
【分析】（1）讨论切线斜率是否存在设方程，利用相切时圆心到直线的距离等于半径列关系计算即得结果；
（2）计算M到直线AB的距离d，再利用弦三角形的勾股定理，即得弦长|AB|．
【解答】解：（1）圆M方程可化为（x﹣1）2+y2＝1，则圆心M（1，0），半径为1，
由（2﹣1）2+22＞1，可得点P在圆外，
当过点P的直线斜率存在时，设切线的方程为y＝k（x﹣2）+2，即kx﹣y+2﹣2k＝0，
则圆心M到切线的距离为，解得，
所以切线方程为，即3x﹣4y+2＝0，
当过点P的直线斜率不存在时，切线方程为x＝2，此时直线与圆M相切，
所以切线方程为3x﹣4y+2＝0或x＝2；
（2）直线AB方程为x﹣y﹣2＝0，
则圆心M到直线AB的距离，直线AB与圆相交，
所以．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
19．（15分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝AA1＝2，点E在AB上，且AE＝1．
（1）求直线A1E与BC1所成角的余弦值；
（2）求点B到平面A1EC的距离．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线A1E与直线BC1所成角的余弦值．
（2）先求出平面A1EC的法向量，然后利用向量法求得点B到平面A1EC的距离．
【解答】解：（1）由题意，建立如图所示空间直角坐标系，
，
设直线A1E与直线BC1所成角为α，
则．
（2）由题意，
设平面A1EC的法向量为，
则，取，又，
所以B到平面A1EC的距离为．
【点评】本题考查异面直线所成角的求解，点面距的求解，属中档题．
20．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，AD＝2，M为BC的中点．
（1）求证：AD⊥PC．
（2）求直线PB与平面PAM所成角的正弦值．
（3）求平面PAM与平面PCD的夹角的余弦值．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标公式计算得向量垂直，从而证明线线垂直；
（2）利用空间向量线面角公式进行求解即可；
（3）利用面面角的向量求法进行求解即可．
【解答】（1）证明：因为PD⊥底面ABCD，且四边形ABCD是矩形，所以DA，DC，DP两两垂直，
以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
则D（0，0，0）、P（0，0，1）、B（2，1，0）、M（1，1，0）、A（2，0，0）、C（0，1，0），
所以，，
所以，
所以AD⊥PC，得证；
（2）解：设平面PAM的法向量为，，，
由，取y＝1，可得，又，
所以，
所以直线PB与平面PAM所成角的正弦值为．
（3）解：易知平面PCD的一个法向量为，
设平面PAM与平面PCD的夹角为，
则，
所以平面PAM与平面PCD的夹角的余弦值为．
【点评】本题主要考查线线垂直的判定，直线与平面所成角、平面与平面所成角的求法，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．
21．（15分）已知椭圆C：的一个顶点为P（0，1），且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点Q坐标为（﹣2，0），直线y＝2x+1与椭圆C交于A、B两点，求△ABQ的面积；
（3）若直线l：y＝x+m与椭圆C交于M、N两点，且|PM|＝|PN|，求m的值．
【分析】（1）根据椭圆的顶点求得b＝1，再根据离心率及c2＝a2﹣b2求解a＝2，由此求出椭圆方程；
（2）联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求出弦长，再利用点到直线的距离公式求出高即可求解；
（3）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及直线垂直的条件求解即可．
【解答】解：（1）因为椭圆C：的一个顶点为P（0，1），所以b＝1，
因为椭圆C的离心率为，所以a＝2，
所以椭圆C的方程为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立消去y得，17x2+16x＝0，Δ＞0，
则，x1x2＝0，
所以＝，
点（﹣2，0）到直线y＝2x+1的距离，
所以△ABQ的面积；
（3）设M（x3，y3），N（x4，y4），
联立消去y得，5x2+8mx+4m2﹣4＝0，
由Δ＝64m2﹣80（m2﹣1）＞0得，则，
设线段MN的中点为D，
则，所以，
因为|PM|＝|PN|，所以PD⊥MN，
所以，解得，满足，所以．
【点评】此题考查了直线与椭圆的综合问题，考查了转化思想，属于难题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/23 9:46:11；用户：菁优校本题库；邮箱：2471@xyh.cm；学号：56380052