2022-2023学年北京市西城外国语学校高二（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年北京市西城外国语学校高二（上）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）已知点A（1，﹣1），B（4，a），直线AB的斜率为2，则a的值为（ ）
A．﹣7B．7C．﹣5D．5
2．（4分）圆的方程为x2+y2+x+2y﹣10＝0，则圆心坐标为（ ）
A．（1，﹣1）B．C．（﹣1，2）D．
3．（4分）如果向量，则＝（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程为（ ）
A．4x+2y﹣5＝0B．4x﹣2y﹣5＝0C．x+2y﹣5＝0D．x﹣2y﹣5＝0
5．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线A1C与平面ABCD所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．（4分）已知直线x+ay﹣1＝0和直线ax+4y+2＝0互相平行，则a的值是（ ）
A．0B．2C．﹣2D．±2
7．（4分）已知圆M：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1与圆N：x2+y2＝1的位置关系是（ ）
A．内切B．外切C．相交D．相离
8．（4分）“a＝1”是“直线ax+y+1＝0与直线（a+2）x﹣3y﹣2＝0垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
9．（4分）已知直线l：x﹣y+1＝0和圆C：（x+1）2+（y+2）2＝5交于M，N两点，则|MN|＝（ ）
A．2B．4C．D．
10．（4分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱B1C，BB1的中点，G为面对角线A1D上的一个动点，则下列选项中不正确的是（ ）
A．三棱锥B1﹣EFG的体积为定值
B．线段A1D上存在点G，使A1C⊥平面EFG
C．线段A1D上存在点G，使平面EFG∥平面ACD1
D．设直线FG与平面ADD1A1所成角为θ，则sinθ的最大值为
二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分）
11．（5分）以点A（0，4），B（4，6）为直径的两个端点的圆的标准方程是 ．
12．（5分）已知平面α的一个法向量，点A（﹣1，﹣3，0）在平面α内，若点B（m，0，2﹣m）在平面α内，则m＝ ．
13．（5分）已知点P（4，2），Q（1，0），则过点Q且与OP（O是坐标原点）平行的直线方程是 ．
14．（5分）已知点（x，y）在直线2x+y+5＝0上运动，则的最小值是 ．
15．（5分）在平面直角坐标系中，定义d（S，T）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|为两点S（x1，y1），T（x2，y2）之间的“折线距离”，有下列命题，其中为真命题的是 ．（填序号）
①若A（0，0），B（1，1），则d（A，B）＝2；
②到原点的“折线距离”不大于1的点构成的区域面积为1；
③原点O与直线x﹣y+3＝0上任意一点M之间的折线距离d（O，M）的最小值为3；
④原点O与圆（x﹣2）2+（y﹣4）2＝1上任意一点M之间的折线距离d（O，M）的最大值为6+．
三、解答题（本大题共6小题，共85分）
16．已知三角形的顶点为A（﹣2，1），B（3，2），C（1，﹣4）．
（1）求BC边上的中线所在直线方程；
（2）求BC边上的高线所在直线方程．
17．已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣2）2＝4，点P（6，﹣2）．
（1）试判断点P与圆C的位置关系，并说明理由；
（2）若过点P的直线l与圆C相切，求直线l的方程．
18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．
（Ⅰ）求异面直线AC与BC1所成的角；
（Ⅱ）求证：AC1∥平面CDB1．
19．已知圆C的圆心在直线x﹣2y＝0上，且与y轴相切于点（0，1）．
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C与直线l：x﹣y+m＝0交于A，B两点，∠ACB＝120°，求m的值．
20．已知xOy平面上的直线l：kx﹣y+1+2k＝0，k∈R，且l与x轴和y轴分别相交于点A，B．
（1）当k＞0时，求△AOB面积的最小值；
（2）若△AOB的面积为，求k的值．
21．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，平面ABC⊥平面ABB1A1，平面ABC⊥平面ACC1A1．
（1）证明：AA1⊥平面ABC；
（2）在①AB＝AC＝1，②BC1与平面ABB1A1所成的角为30°，③异面直线C1C与A1B所成角的余弦值为．这三个条件中任选两个，求二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值．
2022-2023学年北京市西城外国语学校高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）
1．（4分）已知点A（1，﹣1），B（4，a），直线AB的斜率为2，则a的值为（ ）
A．﹣7B．7C．﹣5D．5
【分析】根据直线的斜率公式，计算即可．
【解答】解：∵点A（1，﹣1），B（4，a），直线AB的斜率为2，
∴2＝，解得a＝5，
故选：D．
【点评】本题考查了直线的斜率，是基础题．
2．（4分）圆的方程为x2+y2+x+2y﹣10＝0，则圆心坐标为（ ）
A．（1，﹣1）B．C．（﹣1，2）D．
【分析】化成圆的标准方程即可求解．
【解答】接：因为x2+y2+x+2y﹣10＝0，所以，
故圆心坐标为（﹣），
故选：D．
【点评】本题主要考查圆的标准方程，属于基础题．
3．（4分）如果向量，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】求出向量+2的坐标，再代入模长公式求解即可．
【解答】解：∵向量，
∴+2＝（0，3，﹣3），
∴＝＝3，
故选：D．
【点评】本题主要考查向量的模长，考查计算能力．
4．（4分）已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程为（ ）
A．4x+2y﹣5＝0B．4x﹣2y﹣5＝0C．x+2y﹣5＝0D．x﹣2y﹣5＝0
【分析】利用线段垂直平分线的性质、两点之间的距离公式即可得出．
【解答】解：设P（x，y）为线段AB的垂直平分线上的任意一点，
则|PA|＝|PB|，
∴＝，
化为4x﹣2y﹣5＝0．
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、两点之间的距离公式，属于基础题．
5．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线A1C与平面ABCD所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由AA1⊥平面ABCD，则对角线A1C与平面ABCD所成角为∠A1CA，然后求解即可．
【解答】解：连接AC，
由AA1⊥平面ABCD，
则对角线A1C与平面ABCD所成角为∠A1CA，
则＝，
故选：D．
【点评】本题考查了线面角的求法，属基础题．
6．（4分）已知直线x+ay﹣1＝0和直线ax+4y+2＝0互相平行，则a的值是（ ）
A．0B．2C．﹣2D．±2
【分析】利用直线一般式方程平行条件即可直接求解．
【解答】解：因为直线x+ay﹣1＝0与直线ax+4y+2＝0平行，
所以4﹣a2＝0，
所以a＝±2，
当a＝﹣2时，两直线方程分别为x﹣2y﹣1＝0，﹣2x+4y+2＝0，此时两直线重合，不符合题意，
所以a＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了直线平行条件的应用，属于基础题．
7．（4分）已知圆M：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1与圆N：x2+y2＝1的位置关系是（ ）
A．内切B．外切C．相交D．相离
【分析】分别求出圆M，圆N的圆心和半径，计算圆心距，与两半径之差，两半径之和比较大小，即可得出答案．
【解答】解：因为圆M方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，
所以M点的坐标为（1，1），半径为1，
因为圆N的方程为x2+y2＝1，
所以N点的坐标为（0，0），半径为1，
所以圆心距|MN|＝＝，
所以圆心距离大于两半径之差1﹣1＝0，小于两半径之和1+1＝2，
所以圆M与圆N的位置为相交，
故选：C．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，解题中需要理清思路，属于中档题．
8．（4分）“a＝1”是“直线ax+y+1＝0与直线（a+2）x﹣3y﹣2＝0垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
【分析】利用直线与直线垂直的充要条件判断即可．
【解答】解：当a＝1时，直线x+y+1＝0的斜率为﹣1，3x﹣3y﹣2＝0的斜率为1；
∴这两直线垂直；
若直线ax+y+1＝0与（a+2）x﹣3y﹣2＝0垂直，则：﹣a•＝﹣1；
∴解得a＝1或﹣3；
∴“直线ax+y+1＝0与直线（a+2）x﹣3y﹣2＝0垂直“不一定得到“a＝1“；
∴综上得“a＝1“是“直线ax+y+1＝0与直线（a+2）x﹣3y﹣2＝0垂直”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查存在斜率的两直线垂直的充要条件，以及充分条件、必要条件、充分不必要条件的概念．
9．（4分）已知直线l：x﹣y+1＝0和圆C：（x+1）2+（y+2）2＝5交于M，N两点，则|MN|＝（ ）
A．2B．4C．D．
【分析】首先求得圆心到直线的距离，然后计算弦长即可．
【解答】解：圆心（﹣1，﹣2）到直线的距离，
则直线与圆相交的弦长为．
故选：C．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的弦长的求解等知识，属于基础题．
10．（4分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱B1C，BB1的中点，G为面对角线A1D上的一个动点，则下列选项中不正确的是（ ）
A．三棱锥B1﹣EFG的体积为定值
B．线段A1D上存在点G，使A1C⊥平面EFG
C．线段A1D上存在点G，使平面EFG∥平面ACD1
D．设直线FG与平面ADD1A1所成角为θ，则sinθ的最大值为
【分析】对于A选项，利用等体积法判断；
对于B、C、D三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解
【解答】解：易得平面ADD1A1∥平面BCC1B1，所以G到平面BCC1B1的距离为定值，又为定值，所以三棱锥G﹣B1EF即三棱锥B1﹣EFG的体积为定值，故A正确；
对于B，如图所示，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），D1（0，0，2），C1（0，2，2），E（1，2，2），F（2，2，1），
所以，，，，
设，则G（2λ，0，2λ），
所以，，
A1C⊥平面EFG⇔，即，
解之得，
当G为线段A1D上靠近D的四等分点时，A1C⊥平面EFG．故B正确；
对于C，设平面EFG的法向量，
则，取x＝1，得 ，
同理可得设平面ACD1的法向量 ，
平面ACD1∥平面EFG⇔，
设 ，即 （1，1，1）＝k（1，），
解得 k＝1，，∵0≤λ≤1，∴不合题意，
∴线段B1C上不存在点G，使平面EFG∥平面BDC1，故C错误；
对于D，平面ADD1A1的法向量为，
则sin＝，
因为，
所以sin，
所以sinθ的最大值为．故D正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查空间中直线与平面所成的角，属于中档题．
二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分）
11．（5分）以点A（0，4），B（4，6）为直径的两个端点的圆的标准方程是 （x﹣2）2+（y﹣5）2＝5 ．
【分析】求出AB的中点的坐标，即是圆心的坐标，再求半径r＝的值，代入圆的标准方程．
【解答】解：点A（0，4），B（4，6）的中点坐标为（，），
即圆心的坐标（2，5），
半径r＝＝＝，
所以A（0，4），B（4，6）为直径的两个端点的圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣5）2＝5；
故答案为：（x﹣2）2+（y﹣5）2＝5．
【点评】本题考查求圆的方程的方法，属于基础题．
12．（5分）已知平面α的一个法向量，点A（﹣1，﹣3，0）在平面α内，若点B（m，0，2﹣m）在平面α内，则m＝ ﹣2 ．
【分析】利用向量垂直的性质直接求解．
【解答】解：平面α的一个法向量，点A（﹣1，﹣3，0）在平面α内，
点B（m，0，2﹣m）在平面α内，
∴＝（m+1，3，2﹣m），
∴＝﹣2（m+1）﹣6+2﹣m＝0，
∴m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13．（5分）已知点P（4，2），Q（1，0），则过点Q且与OP（O是坐标原点）平行的直线方程是 x﹣2y﹣1＝0 ．
【分析】根据直线平行关系先求直线的斜率，然后结合直线的点斜式可求．
【解答】解：由题意得直线OP的斜率k＝，
所以过点Q且与OP平行的直线方程为y＝（x﹣1），即x﹣2y﹣1＝0．
故答案为：x﹣2y﹣1＝0．
【点评】本题主要考查了直线的斜率公式，直线的位置关系及直线方程的求解，属于基础题．
14．（5分）已知点（x，y）在直线2x+y+5＝0上运动，则的最小值是 ．
【分析】根据题意，分析可得＝，其几何意义为原点（0，0）到直线2x+y+5＝0上任意一点的距离，其最小值为点（0，0）到直线2x+y+5＝0的距离，
由点到直线的距离公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，点（x，y）在直线2x+y+5＝0上运动，
又由＝，其几何意义为原点（0，0）到直线2x+y+5＝0上任意一点的距离，则
其最小值为点（0，0）到直线2x+y+5＝0的距离，即的最小值为d＝＝；
故答案为：
【点评】本题考查点到直线的距离公式，注意分析的几何意义．
15．（5分）在平面直角坐标系中，定义d（S，T）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|为两点S（x1，y1），T（x2，y2）之间的“折线距离”，有下列命题，其中为真命题的是 ①③④ ．（填序号）
①若A（0，0），B（1，1），则d（A，B）＝2；
②到原点的“折线距离”不大于1的点构成的区域面积为1；
③原点O与直线x﹣y+3＝0上任意一点M之间的折线距离d（O，M）的最小值为3；
④原点O与圆（x﹣2）2+（y﹣4）2＝1上任意一点M之间的折线距离d（O，M）的最大值为6+．
【分析】根据新定义d（S，T）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|为两点S（x1，y1），T（x2，y2）之间的“折线距离”，依次判断即可．
【解答】解：对于①：坐标代入d（A，B）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|＝|0﹣1|+|0﹣1|＝2，故①对．
对于②：到原点的“折线距离”不大于1的点的集合{（x，y）||x|+|y|≤1}，
如图：
构成的区域面积为2××2×1＝2，故②不正确．
对于③：设M（x，x+3），则d（O，M）＝|x|+|x+3|＝，函数图像如下：
则d（O，M）最小值为3，故③正确；
对于④：因为圆（x﹣2）2+（y﹣4）2＝1表示以（2，4）为圆心，1为半径的圆，
设M（x，y），则d（O，M）＝|x|+|y|＝x+y，令z＝x+y，即x+y﹣z＝0，
所以≤1，解得6﹣≤z≤6+，
即d（O，M）最大值为6+，故④正确；
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了对新定义的理解和运用能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共85分）
16．已知三角形的顶点为A（﹣2，1），B（3，2），C（1，﹣4）．
（1）求BC边上的中线所在直线方程；
（2）求BC边上的高线所在直线方程．
【分析】（1）求出BC的中点坐标，利用两点式求解直线方程即可．
（2）求解BC的斜率，然后求解BC边上的高线所在直线方程．
【解答】解：（1）∵A（2，1），B（3，2），C（﹣1，4），BC的中点坐标（1，3），
BC边上的中线所在直线方程：，即2x+y﹣5＝0．
（2）BC的斜率为：＝，
所以BC边上的高线所在直线方程：y﹣1＝2（x﹣2），
即2x﹣y﹣3＝0．
【点评】本题考查直线方程的求法，点斜式以及两点式的应用，是基础题．
17．已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣2）2＝4，点P（6，﹣2）．
（1）试判断点P与圆C的位置关系，并说明理由；
（2）若过点P的直线l与圆C相切，求直线l的方程．
【分析】（1）将点P的坐标代入圆方程的左边计算，再将其与圆方程的右边4比较大小即可得解；
（2）分类讨论设出直线l的方程，再通过相切建立方程即可求解．
【解答】解：（1）∵圆C：（x﹣4）2+（y﹣2）2＝4，点P（6，﹣2），
又（6﹣4）2+（﹣2﹣2）2＝20＞4，
∴点P在圆C外；
（2）①当P（6，﹣2）且斜率不存在时，直线l的方程为x＝6，
又直线l到圆心C（4，2）的距离d＝2＝r，满足题意，
∴直线l的方程为x＝6；
②当P（6，﹣2）且斜率存在时，
设直线l的方程为y+2＝k（x﹣6），即kx﹣y﹣2﹣6k＝0
又过点P的直线l与圆C相切，
∴圆心C（4，2）到直线l的距离d＝r，
∴，解得k＝，
∴直线l的方程为3x+4y﹣10＝0，
综合可得直线l的方程为x＝6或3x+4y﹣10＝0．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，圆的切线的求解，方程讨论思想，方程思想，属中档题．
18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．
（Ⅰ）求异面直线AC与BC1所成的角；
（Ⅱ）求证：AC1∥平面CDB1．
【分析】（Ⅰ）方法一：因为AC＝3，BC＝4，AB＝5，利用勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，AC⊥BC．因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，可得C1C⊥平面ABC，AC⊥C1C，AC⊥平面BB1C1C，即可得出结论．
方法二：因为AC＝3，BC＝4，AB＝5，利用勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，AC⊥BC．因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，可得C1C⊥平面ABC，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得出．
（Ⅱ）方法一：设B1C∩BC1＝O，连结OD，利用三角形中位线定理、线面平行的判定定理即可证明结论．
方法二：建立空间直角坐标系，利用直线方向向量、平面的法向量关系即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）方法一：因为AC＝3，BC＝4，AB＝5，
所以AC2+BC2＝AB2，所以△ABC是直角三角形，
所以，所以AC⊥BC，
因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以C1C⊥平面ABC，
因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥C1C，
因为BC∩C1C＝C，BC，C1C⊂BB1C1CC，所以AC⊥平面BB1C1C
因为BC1⊂BB1C1C，所以AC⊥BC1
所以异面直线AC与BC1所成的角为．
方法二：因为AC＝3，BC＝4，AB＝5，
所以AC2+BC2＝AB2，所以△ABC是直角三角形，
所以，所以AC⊥BC
因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以C1C⊥平面ABC，
所以C1C⊥AC，C1C⊥BC
以C为原点，分别以CA、CB、CC1为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），A（3，0，0），B（0，4，0），C1（0，0，4）
所以直线AC的方向向量为，直线BC1的方向向量为，
设异面直线AC与BC1所成的角为θ，则csθ＝0
所以所以异面直线AC与BC1所成的角为．
（Ⅱ）方法一：设B1C∩BC1＝O，连结OD，
因为O，D分别为BC1，AB的中点
所以OD是△ABC1的中位线
所以OD∥AC1
因为OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，
所以AC1∥平面CDB1．
方法二：，B1（0，4，4），则，
设平面CDB1的法向量为，则，所以
令x＝4，则y＝﹣3，z＝3，所以
直线AC1的方向向量为，
因为，所以AC1∥平面CDB1．
【点评】本题考查了空间位置关系、线面面面平行与垂直的判定性质定理、三角形中位线定理、法向量的应用、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．已知圆C的圆心在直线x﹣2y＝0上，且与y轴相切于点（0，1）．
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C与直线l：x﹣y+m＝0交于A，B两点，∠ACB＝120°，求m的值．
【分析】（1）根据题意可设圆心C为（2b，b），再由圆C与y轴相切于点（0，1），可得圆心C为（2，1），r＝2，从而得圆C的方程；
（2）根据∠ACB＝120°，可得圆心C（2，1）到直线l：x﹣y+m＝0的距离d＝r＝1，从而再建立方程即可求解．
【解答】解：（1）根据题意可设圆心C为（2b，b），
又圆C与y轴相切于点（0，1），
∴b＝1，r＝2b＝2，∴圆心C为（2，1），
∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4；
（2）∵圆C与直线l：x﹣y+m＝0交于A，B两点，且∠ACB＝120°，
∴圆心C（2，1）到直线l：x﹣y+m＝0的距离d＝r＝1，
∴，解得m＝或m＝，
∴m的值为或．
【点评】本题考查圆的方程的求解，直线与圆的位置关系，方程思想，属基础题．
20．已知xOy平面上的直线l：kx﹣y+1+2k＝0，k∈R，且l与x轴和y轴分别相交于点A，B．
（1）当k＞0时，求△AOB面积的最小值；
（2）若△AOB的面积为，求k的值．
【分析】（1）求出点A，B的坐标，利用k表示△AOB的面积S，利用基本不等式求最值．
（2）由（1）得△AOB的面积并化简，即可得到关于k的方程，分k＞0和k＜0即可求解．
【解答】解：（1）直线l：kx﹣y+1+2k＝0，
令x＝0时，可得y＝1+2k，令y＝0，可得x＝，
∴A（，0），B（0，1+2k），
∵k＞0，∴△AOB的面积：
S＝|||1+2k|＝
＝≥＝＝4，
当且仅当即k＝时等号成立，
∴S的最小值为4．
（2）由（1）得△AOB的面积：
S＝＝•||＝•，
∴•＝，整理可得4k2+4k+1﹣9|k|＝0，
由题意得k≠0，
当k＞0时，方程可转化得4k2﹣5k+1＝0，解得k＝1或k＝，
当k＜0时，方程可转化得4k2+13k+1＝0，解得k＝，
综上所述k＝1或k＝或k＝．
【点评】本题考查直线方程、点到直线距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
21．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，平面ABC⊥平面ABB1A1，平面ABC⊥平面ACC1A1．
（1）证明：AA1⊥平面ABC；
（2）在①AB＝AC＝1，②BC1与平面ABB1A1所成的角为30°，③异面直线C1C与A1B所成角的余弦值为．这三个条件中任选两个，求二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值．
【分析】（1）先由面面垂直的性质可得AC⊥平面ABB1A1，进而得到AC⊥AA1，同理可得AB⊥AA1，由此即可得证；
（2）无论选择哪两项，都可以得到，再建立空间直角坐标系，进而求出各点的坐标，求出平面A1BC1及平面BC1B1的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．
【解答】解：（1）证明：∵AB⊥AC，平面ABC⊥平面ABB1A1，平面ABC∩平面ABB1A1＝AB，AB⊂平面ABC，
∴AC⊥平面ABB1A1，
又∵AA1⊂平面ABB1A1，
∴AC⊥AA1，
同理，AB⊥AA1，
又∵AB∩AC＝A，
∴AA1⊥平面ABC；
（2）若选择①②，由（1）知，AA1⊥平面ABC，所以三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，
∵AC⊥AB，AB＝AC＝1，
∴，
在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥平面ABB1A1，A1C1∥AC，
∴A1C1⊥平面ABB1A1，
∴∠C1BA1为BC1与平面ABB1A1所成角，
∴∠C1BA1＝30°，
在Rt△C1A1B中，C1A1＝1，C1B＝2，所以，
在Rt△ABA1中，AB＝1，所以，
以A为坐标原点，AB，AA1，AC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
∴，
设平面A1BC1的一个法向量为，则，可取，
设平面BC1B1的一个法向量为，则，可取，
∴，
∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为；
若选②③，由（1）知，AA1⊥平面ABC，所以三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，
在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥平面ABB1A1，A1C1∥AC，
∴A1C1⊥平面ABB1A1，
∴∠C1BA1为BC1与平面ABB1A1所成角，
∴∠C1BA1＝30°，
在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，C1C∥A1A，AA1⊥AB，
∴异面直线C1C与A1B所成角为∠AA1B，所以，
在Rt△A1BC1中，设C1A1＝1，则C1B＝2，所以，
在Rt△ABA1中，因为，所以，
以A为坐标原点，AB，AA1，AC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
∴，
设平面A1BC1的一个法向量为，则，可取，
设平面BC1B1的一个法向量为，则，可取，
∴，
∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为；
若选①③，因为AC⊥AB，AB＝AC＝1，所以，
由（1）知，AA1⊥平面ABC，则AA1⊥AB，
在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，C1C∥A1A，
所以异面直线C1C与A1B所成角为∠AA1B，所以，
在Rt△ABA1中，因为，所以，
以A为坐标原点，AB，AA1，AC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
∴，
设平面A1BC1的一个法向量为，则，可取，
设平面BC1B1的一个法向量为，则，可取，
∴，
∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为；
【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，直线与平面所成角，异面直线所成角等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力，考查数形结合思想，化归与转化思想，属于中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/23 9:49:06；用户：菁优校本题库；邮箱：2471@xyh.cm；学号：56380052