2023-2024学年北京市房山区高二（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年北京市房山区高二（上）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了解答题共5小题，共70分等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知A（﹣1，3），B（3，5），则线段AB的中点坐标为（ ）
A．（1，4）B．（2，1）C．（2，8）D．（4，2）
2．（5分）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1中点．设＝，＝，＝，用基底{，，}表示向量，则＝（ ）
A．++B．++C．++D．++
3．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B，B1C所成角的大小为（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
4．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，＝（ ）
A．B．C．2D．4
5．（5分）如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，则下列叙述中错误的是（ ）
A．∠ACD是直线AC与平面BCD所成角
B．∠ABD是二面角A﹣BC﹣D的一个平面角
C．线段AC的长是点A到直线BC的距离
D．线段AD的长是点A到平面BCD的距离
6．（5分）已知直线l1：2x+（a﹣1）y+a＝0与直线l2：ax+y+2＝0平行，则a的值为（ ）
A．﹣1或2B．C．2D．﹣1
7．（5分）在同一平面直角坐标系中，表示l1：y＝ax+b与l2：y＝bx﹣a的直线可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，M为AB的中点，D1M⊥MC，则AD＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．（5分）设P为直线y＝﹣1上的动点，过点P作圆C：（x+3）2+（y﹣2）2＝4的切线，则切线长的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
10．（5分）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点A（﹣1，0），B（2，0），圆，在圆上存在点P满足|PA|＝2|PB|，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
11．（5分）已知A（2，1），B（0，﹣3），则直线AB的斜率kAB＝ ．
12．（5分）已知A（0，0），B（2，2），C（4，2），则△ABC外接圆的方程为 ．
13．（5分）已知直线l与平面α所成角为45°，A，B是直线l上两点，且AB＝6，则线段AB在平面α内的射影的长等于 ．
14．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，AB＝2，则点D1到点B的距离等于 ；点D1到直线AC的距离等于 ．
15．（5分）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0）和直线l：x﹣y+4＝0，则圆心O到直线l的距离等于 ；若圆O上有且仅有两个点到直线l的距离为，写出一个符合要求的实数r的值，r＝ ．
16．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，△PAB是等边三角形，O为AB的中点，且PO⊥底面ABCD，点F为棱PC上一点．给出下面四个结论：
①对任意点F，都有CD⊥OF；
②存在点F，使OF∥平面PAD；
③二面角P﹣AC﹣B的正切值为；
④平面PAB⊥平面ABCD．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．（14分）已知三条直线l1：x+y﹣2＝0，l2：x﹣3y+10＝0，l3：3x﹣4y+5＝0．
（Ⅰ）求直线l1，l2的交点M的坐标；
（Ⅱ）求过点M且与直线l3平行的直线方程；
（Ⅲ）求过点M且与直线l3垂直的直线方程．
18．（14分）已知圆C的圆心为点C（1，﹣3），半径为2．
（Ⅰ）写出圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：x﹣y﹣2＝0与圆C交于A，B两点，求线段AB的长．
19．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝1，M为PB的中点．
（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；
（Ⅱ）求直线PD与平面PBC所成角的大小；
（Ⅲ）求点D到平面PBC的距离．
20．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，D是BC的中点，BC＝，A1A＝AB＝AC＝1．
（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；
（Ⅱ）求二面角D﹣AC1﹣C的余弦值；
（Ⅲ）判断直线A1B1与平面ADC1是否相交，如果相交，求出A到交点H的距离；如果不相交，求直线A1B1到平面ADC1的距离．
21．（14分）已知圆M：x2+y2﹣4x﹣2y＝0和直线l：y＝kx﹣1．
（Ⅰ）写出圆M的圆心和半径；
（Ⅱ）若在圆M上存在两点A，B关于直线l对称，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线AB的方程．
2023-2024学年北京市房山区高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（5分）已知A（﹣1，3），B（3，5），则线段AB的中点坐标为（ ）
A．（1，4）B．（2，1）C．（2，8）D．（4，2）
【分析】根据题意，由中点坐标公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，已知A（﹣1，3），B（3，5），
由中点坐标公式，线段AB的中点坐标为（，），即（1，4）．
故选：A．
【点评】本题考查线段的中点坐标，注意中点坐标的计算公式，属于基础题．
2．（5分）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1中点．设＝，＝，＝，用基底{，，}表示向量，则＝（ ）
A．++B．++C．++D．++
【分析】直接利用向量的线性运算求出结果．
【解答】解：已知＝，＝，＝，
由向量的线性运算，．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
3．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B，B1C所成角的大小为（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
【分析】先通过平行寻找线线角，再根据解三角形得结果．
【解答】解：因为A1B∥D1C，所以∠D1CB1为异面直线A1B与B1C所成角的平面角，
因为△D1CB1为正三角形，
所以∠D1CB1＝60°，
即异面直线A1B，B1C所成角的大小为60°．
故选：B．
【点评】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题．
4．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，＝（ ）
A．B．C．2D．4
【分析】根据已知条件，结合向量的线性运算，以及空间向量的数量积运算，即可求解．
【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
则，，
＝＝＝0+22＝4．
故选：D．
【点评】本题主要考查空间向量的数量积运算，属于基础题．
5．（5分）如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，则下列叙述中错误的是（ ）
A．∠ACD是直线AC与平面BCD所成角
B．∠ABD是二面角A﹣BC﹣D的一个平面角
C．线段AC的长是点A到直线BC的距离
D．线段AD的长是点A到平面BCD的距离
【分析】根据线面角、二面角的定义，点到线与点到面的距离的定义，结合线面垂直的判定定理与性质定理，逐一分析选项，即可得解．
【解答】解：因为AD⊥平面BCD，所以∠ACD是直线AC与平面BCD所成角，即选项A正确；
因为AD⊥平面BCD，且BC⊂平面BCD，所以AD⊥BC，
又BC⊥CD，AD∩CD＝D，AD、CD⊂平面ACD，
所以BC⊥平面ACD，
因为AC⊂平面ACD，所以BC⊥AC，
由二面角的定义知，∠ACD是二面角A﹣BC﹣D的一个平面角，即选项B错误；
因为AC⊥BC，所以线段AC的长是点A到直线BC的距离，即选项C正确；
因为AD⊥平面BCD，所以线段AD的长是点A到平面BCD的距离，即选项D正确．
故选：B．
【点评】本题考查立体几何的综合问题，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，理解二面角、线面角的定义，点到线与点到面的距离的定义是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力，属于基础题．
6．（5分）已知直线l1：2x+（a﹣1）y+a＝0与直线l2：ax+y+2＝0平行，则a的值为（ ）
A．﹣1或2B．C．2D．﹣1
【分析】由两条直线平行，可得参数的关系，进而求出a的值．
【解答】解：直线l1：2x+（a﹣1）y+a＝0与直线l2：ax+y+2＝0平行，
所以2×1＝a（a﹣1），且2×2≠a2，
解得a＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查平行直线的性质的应用，属于基础题．
7．（5分）在同一平面直角坐标系中，表示l1：y＝ax+b与l2：y＝bx﹣a的直线可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由图观察两直线的斜率的正负号、两直线在y轴上的截距的正负号，从而得出结论．
【解答】解：由图A可得直线l1的斜率a＞0，在y轴上的截距b＞0；
而l2的斜率b＜0，在y轴上的截距﹣a＜0，即a＞0，故A不能成立．
由图B可得直线l1的斜率a＞0，在y轴上的截距b＞0；
而l2的斜率b＜0，矛盾，故B不能成立．
由图C可得直线l1的斜率a＜0，在y轴上的截距b＞0；
而l2的斜率b＞0，在y轴上的截距﹣a＞0，即a＜0，故C能成立．
由图D可得直线l1的斜率a＜0，在y轴上的截距b＜0；
而l2的斜率b＞0，在y轴上的截距﹣a＞0，即a＜0，矛盾，故D不能成立．
故选：C．
【点评】本题主要考查确定直线位置关系的要素，属于基础题．
8．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，M为AB的中点，D1M⊥MC，则AD＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据题意，设AD＝x，分析可得CM2、和的值，由勾股定理可得x2+1+x2+5＝8，解可得答案．
【解答】解：根据题意，设AD＝x，如图：
M为AB的中点，则CM2＝x2+1，＝4+4＝8，＝x2+1+4＝x2+5，
若D1M⊥MC，则有x2+1+x2+5＝8，
解可得：x＝1，即AD＝1．
故选：A．
【点评】本题考查棱柱的结构特征，注意勾股定理的应用，属于基础题．
9．（5分）设P为直线y＝﹣1上的动点，过点P作圆C：（x+3）2+（y﹣2）2＝4的切线，则切线长的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
【分析】由圆的标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，要使切线长的最小，则必须点P到圆的距离最小，求出圆心到直线y＝﹣1的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长的最小值即可．
【解答】解：∵（x+3）2+（y﹣2）2＝4，
∴圆心C（﹣3，2），半径r＝2．
由题意可知，
点P到圆C：x2+y2＝4的切线长最小时，CP⊥l，
∵圆心C到直线y＝﹣1的距离d＝|2﹣（﹣1）|＝3，
∴切线长的最小值为：＝．
故选：B．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，以及勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键，属中档题．
10．（5分）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点A（﹣1，0），B（2，0），圆，在圆上存在点P满足|PA|＝2|PB|，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【分析】设P（x，y），求出点P的轨迹方程，然后将问题转化为两圆有公共点，求解即可．
【解答】解：设P（x，y），
因为点A（﹣1，0），B（2，0），|PA|＝2|PB|，
所以，
化简整理可得（x﹣3）2+y2＝4，
所以圆心为（3，0），半径R＝2，
又圆，
则圆心C（2，m），半径r＝，
由题意可知，两圆有公共点，
所以，
解得，
则实数m的取值范围是．
故选：D．
【点评】本题考查了动点轨迹方程的求解，要掌握常见的求解轨迹的方法：直接法、定义法、代入法、消参法、交轨法等等，属于中档题．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
11．（5分）已知A（2，1），B（0，﹣3），则直线AB的斜率kAB＝ 2 ．
【分析】利用直线的斜率公式求解即可．
【解答】解：由题意，直线AB的斜率．
故答案为：2．
【点评】本题考查直线的斜率公式，属于基础题．
12．（5分）已知A（0，0），B（2，2），C（4，2），则△ABC外接圆的方程为 （x﹣3）2+（y+1）2＝10 ．
【分析】设圆的一般式方程，然后将三角形的三个顶点坐标代入，可求出该三角形外接圆的方程．
【解答】解：设三角形外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
将A（0，0），B（2，2），C（4，2）代入得，
解得．
∴三角形外接圆的方程为x2+y2﹣6x+2y＝0，即（x﹣3）2+（y+1）2＝10．
故答案为：（x﹣3）2+（y+1）2＝10．
【点评】本题主要考查了三角形的外接圆，同时考查了待定系数法和计算能力，属于基础题．
13．（5分）已知直线l与平面α所成角为45°，A，B是直线l上两点，且AB＝6，则线段AB在平面α内的射影的长等于 3 ．
【分析】根据线面角以及余弦定理求出线段AB在平面α内的射影的长即可．
【解答】解：如图示，过B点作BH⊥α，垂足是H，连接AH，
则线段AH就是线段AB在平面α内的射影，
∠BAH就是直线l与平面α所成的角，
由已知有：∠BAH＝45°，
∵BH⊥α，AH⊂α，∴BH⊥AH，
在Rt△AHB中，AB＝6，
∴AH＝AB•cs∠BAH＝6•cs45°＝3．
【点评】本题考查了线面角问题，考查数形结合思想，是基础题．
14．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，AB＝2，则点D1到点B的距离等于 ；点D1到直线AC的距离等于 ．
【分析】利用勾股定理，求得点D1到点B的距离D1B；结合勾股定理与等面积法，可得点D1到直线AC的距离．
【解答】解：由勾股定理知，D1B＝＝＝，
所以点D1到点B的距离等于，
由勾股定理知，AD1＝，CD1＝，AC＝，
设点D1到直线AC的距离为d，
在△ACD1中，＝AD1•，
所以d＝×，解得d＝，
所以点D1到直线AC的距离为．
故答案为：，．
【点评】本题考查空间中点与点，点到线的距离，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
15．（5分）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0）和直线l：x﹣y+4＝0，则圆心O到直线l的距离等于 2 ；若圆O上有且仅有两个点到直线l的距离为，写出一个符合要求的实数r的值，r＝ （，3） ．
【分析】结合原点O到直线l：x﹣y+4＝0的距离为2，结合题意可得满足条件的r的取值范围．
【解答】解：∵圆O：x2+y2＝r2（r＞0）的圆心为（0，0），半径为r，
圆心O到直线l：x﹣y+4＝0的距离d＝＝2．
∵圆O上有且只有两个点到直线l的距离为，
∴r的取值范围是2﹣＜r＜2+，
∴r的取值范围为（，3）．
故答案为：2；（，3）．
【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查转化思想，考查点到直线的距离，属中档题．
16．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，△PAB是等边三角形，O为AB的中点，且PO⊥底面ABCD，点F为棱PC上一点．给出下面四个结论：
①对任意点F，都有CD⊥OF；
②存在点F，使OF∥平面PAD；
③二面角P﹣AC﹣B的正切值为；
④平面PAB⊥平面ABCD．
其中所有正确结论的序号是 ②③④ ．
【分析】建立空间直角坐标系，由向量表示直线与直线垂直，直线与平面平行，平面与平面垂直和求二面角等知识逐一判断各命题即可．
【解答】解：取CD的中点M，
因为PO⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，
所以OP，OB，OM两两互相垂直，
以O为坐标原点，OB，OM，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
因为正方形ABCD的边长为1，△PAB是等边三角形，O为AB的中点，
则A（），B（），C（），D（），P（0，0，），
因为点F为棱PC上一点，设＝＝（0≤λ≤1），
所以F（），
对于①，因为，，所以不一定为0，故①错误；
对于②，因为，，设平面PAD的法向量为，
则，令z＝﹣1，则，y＝0，所以，
若OF∥平面PAD，则，解得，
此时F为PC的中点，且OF⊄平面PAD，所以存在点F为PC的中点，使OF∥平面PAD，故②正确；
对于③，由题知平面ABC的一个法向量为，
因为，，
设平面PAC的法向量为，则，
令z1＝1，则，所以，
则＝＝，
由图知二面角P﹣AC﹣B为锐二面角，设二面角P﹣AC﹣B的平面角为θ，
所以cs，则sinθ＝，＝，故③正确；
对于④，由题可知平面ABCD的一个法向量为，
平面ABC的一个法向量为，所以，所以平面PAB⊥平面ABCD，故④正确．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查空间中点，直线，平面的位置关系，求二面角的大小等，属于中档题．
三、解答题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．（14分）已知三条直线l1：x+y﹣2＝0，l2：x﹣3y+10＝0，l3：3x﹣4y+5＝0．
（Ⅰ）求直线l1，l2的交点M的坐标；
（Ⅱ）求过点M且与直线l3平行的直线方程；
（Ⅲ）求过点M且与直线l3垂直的直线方程．
【分析】（Ⅰ）联立直线方程，即可求解；
（Ⅱ）根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解；
（Ⅲ）根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解；
【解答】解：（Ⅰ）联立，解得，
故交点M坐标为（﹣1，3）；
（Ⅱ）所求直线与直线l3平行，
则所求直线可设3x﹣4y+C＝0（C≠5），
所求直线过点（﹣1，3），
则3×（﹣1）﹣4×3+15＝0，解得C＝15，
故所求直线方程为3x﹣4y+15＝0；
（Ⅲ）所求直线与直线l3垂直，
则所求直线可设4x+3y+D＝0，
所求直线过点（2，4），
则4×（﹣1）+3×3+D＝0，解得D＝﹣5，
故所求直线方程为4x+3y﹣5＝0．
【点评】本题主要考查直线平行、垂直的性质，属于基础题．
18．（14分）已知圆C的圆心为点C（1，﹣3），半径为2．
（Ⅰ）写出圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：x﹣y﹣2＝0与圆C交于A，B两点，求线段AB的长．
【分析】（Ⅰ）由圆的标准方程直接写出即可；
（Ⅱ）联立直线和圆的方程，解出交点坐标，由两点距离公式即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，圆C的圆心为（1，﹣3），半径为2，
所以圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y+3）2＝4；
（Ⅱ）联立，
解得或，
即点A（1，﹣1），B（﹣1，﹣3），
故|AB|＝＝，
即线段AB长为．
【点评】本题考查圆的标准方程，考查求直线和圆的相交弦长，属中档题．
19．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝1，M为PB的中点．
（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；
（Ⅱ）求直线PD与平面PBC所成角的大小；
（Ⅲ）求点D到平面PBC的距离．
【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，由向量法求直线与平面所成角即可；
（3）由题可证AD∥平面PBC，从而将D到平面的距离转化为A到平面的距离，再求点到平面的距离的定义可得A到平面的距离为AM＝，从而即可求得．
【解答】证明：（1）因为PA⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，所以PA⊥AD，
因为底面ABCD是正方形，所以BC⊥AB，
因为PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，
因为AM⊂平面PAB，所以AM⊥BC，
因为PA＝AB＝1，M为PB的中点，所以AM⊥PB，
因为BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC，所以AM⊥平面PBC；
解：（2）因为PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，所以AB，ADAP两两互相垂直，
以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），M（），
所以，，
由（1）知，平面PBC的一个法向量为，
设直线PD与平面PBC所成角的大小为θ，
则sinθ＝＝，
因为，所以；
解：（3）因为底面ABCD是正方形，所以AD∥BC，
因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
所以AD∥平面PBC，
则D到平面PBC的距离等于A到平面PBC的距离，
由（1）知，A到平面的距离即为AM，
由（2）知，＝，
所以点D到平面PBC的距离为．
【点评】本题考查空间中直线于平面的位置关系，直线与平面所成的角，点到平面的距离等，属于中档题．
20．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，D是BC的中点，BC＝，A1A＝AB＝AC＝1．
（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；
（Ⅱ）求二面角D﹣AC1﹣C的余弦值；
（Ⅲ）判断直线A1B1与平面ADC1是否相交，如果相交，求出A到交点H的距离；如果不相交，求直线A1B1到平面ADC1的距离．
【分析】（Ⅰ）连接A1C，交AC1于点O，连接OD，由OD∥A1B，利用线面平行的判定定理，即可得证；
（Ⅱ）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角，即可得解；
（Ⅲ）利用向量法可证直线A1B1与平面ADC1相交，延长C1D，交B1B于点G，连接GA并延长，与B1A1的延长线相交于点H，由D是BC的中点，结合三棱柱的性质，推出A1是HB1的中点，再由勾股定理，计算AH的长即可．
【解答】（Ⅰ）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD，则O为A1C的中点，
因为D是BC的中点，
所以OD∥A1B，
又A1B⊄平面ADC1，OD⊂平面ADC1，
所以A1B∥平面ADC1．
（Ⅱ）解：因为BC＝，AB＝AC＝1，所以BC2＝AB2+AC2，即AB⊥AC，
又A1A⊥平面ABC，故以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），C（0，1，0），B（1，0，0），D（，，0），C1（0，1，1），
所以＝（0，1，1），＝（，，0），
设平面ADC1的法向量为＝（x，y，z），则，即，
令y＝﹣1，则x＝z＝1，所以＝（1，﹣1，1），
由题意知，平面AC1C的一个法向量为＝（1，0，0），
所以cs＜，＞＝＝＝，
由图知，二面角D﹣AC1﹣C为锐角，
所以二面角D﹣AC1﹣C的余弦值为．
（Ⅲ）解：由题意知，＝＝（1，0，0），
由（1）知，平面ADC1的法向量为＝（1，﹣1，1），
因为•＝1≠0，所以直线A1B1与平面ADC1相交，
延长C1D，交B1B于点G，连接GA并延长，与B1A1的延长线相交于点H，
因为D是BC的中点，且BD∥B1C1，所以B是B1G的中点，
因为AB∥A1B1，所以A是GH的中点，
又AA1∥BB1，所以A1是HB1的中点，即A1H＝A1B1＝1，
所以AH＝＝＝，
故直线A1B1与平面ADC1相交，且点A到交点H的距离为．
【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面平行的判定定理，利用向量法求二面角、线面角是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．
21．（14分）已知圆M：x2+y2﹣4x﹣2y＝0和直线l：y＝kx﹣1．
（Ⅰ）写出圆M的圆心和半径；
（Ⅱ）若在圆M上存在两点A，B关于直线l对称，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线AB的方程．
【分析】（Ⅰ）将圆的方程化为标准方程，即可得圆心和半径；
（Ⅱ）由题意得直线l过圆心，求得k＝1，从而得kAB＝﹣1，根据以AB为直径的圆过原点，得OA⊥OB，即可求得直线AB的方程．
【解答】解：（Ⅰ）圆M：x2+y2﹣4x﹣2y＝0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5，
则圆M的圆心为（2，1），半径为；
（Ⅱ）由圆M上存在两点A，B关于直线l对称可知，
直线l过弦AB的垂直平分线，即直线l过圆心（2，1），
所以2k﹣1＝1，解得k＝1，故kAB＝﹣1，
设直线AB方程为：y＝﹣x+b，
联立，消去y，可得2x2﹣（2b+2）x+b2﹣2b＝0，
由Δ＞0得：b2﹣6b﹣1＜0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2＝b+1，，
则＝，
因为以线段AB为直径的圆经过坐标原点，
所以，即x1x2+y1y2＝0，
即，解得b＝0或b＝3，均满足Δ＞0，
故直线AB的方程为x+y＝0或x+y﹣3＝0．
【点评】本题考查圆的方程，考查直线和圆的关系，属中档题．
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