2023-2024学年北京市汇文中学教育集团高二（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年北京市汇文中学教育集团高二（上）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）直线l过点P（﹣1，2），且倾斜角为45°，则直线l的方程为（ ）
A．x﹣y+1＝0B．x﹣y﹣1＝0C．x﹣y﹣3＝0D．x﹣y+3＝0
2．（5分）设a∈R，则“a＝﹣2”是“直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：x+（a+1）y+4＝0平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（5分）直线＝1与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为直径的圆的方程为（ ）
A．x2+y2﹣4x﹣2y﹣1＝0B．x2+y2﹣4x﹣2y＝0
C．x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0D．x2+y2﹣2x﹣4y＝0
4．（5分）已知方程表示的曲线是椭圆，则t的取值范围为（ ）
A．（4，7）B．（7，10）
C．（4，10）D．（4，7）∪（7，10）
5．（5分）已知圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣8y+7＝0，则圆C1与圆C2的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．内切D．外切
6．（5分）抛物线y＝x2上的一动点M到直线l：x﹣y﹣1＝0距离的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）直线l过抛物线y2＝2x的焦点F，且l与该抛物线交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1+x2＝3，则弦AB的长是（ ）
A．4B．5C．6D．8
8．（5分）我们把离心率为黄金分割系数的椭圆称为“黄金椭圆”．如图，“黄金椭圆”C的中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为长轴和短轴上的顶点，则∠ABF＝（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
9．（5分）已知圆M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B，则|PM||AB|的最小值为（ ）
A．4B．2C．3D．5
10．（5分）已知圆C：x2+y2＝4，直线l：y＝kx+m，若当k的值发生变化时，直线被圆C所截的弦长的最小值为2，则m的取值为（ ）
A．±2B．±C．±D．±3
11．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
12．（5分）曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）距离之积等于定长4的点的轨迹，以下说法正确的是（ ）
①曲线C过坐标原点；
②曲线关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于2；
④曲线C与曲线有且仅有两个交点．
A．①②B．②③C．③④D．②③④
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
13．（5分）已知抛物线y2＝2px的准线方程为x＝﹣1，则p＝ ．
14．（5分）已知双曲线y2+＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝ ．
15．（5分）圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝8与y轴相交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的大小为 ．
16．（5分）设P为椭圆上一动点，F1，F2分别为左、右焦点，延长F1P至点Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹方程为 ．
17．（5分）若直线y＝kx﹣1与曲线y＝﹣有公共点，则k的取值范围是 ．
18．（5分）在平面直角坐标系中，定义d（S，T）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|为两点S（x1，y1），T（x2，y2）之间的“折线距离”，有下列命题，其中为真命题的是 ．（填序号）
①若A（0，0），B（1，1），则d（A，B）＝2；
②到原点的“折线距离”不大于1的点构成的区域面积为1；
③原点O与直线x﹣y+3＝0上任意一点M之间的折线距离d（O，M）的最小值为3；
④原点O与圆（x﹣2）2+（y﹣4）2＝1上任意一点M之间的折线距离d（O，M）的最大值为6+．
三、解答题（本大题共4小题，共60.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（15分）在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1＝0，∠A的平分线所在直线方程为y＝0，若点B的坐标为（1，2）．
（1）求点A和点C的坐标；
（2）求AC边上的高所在的直线l的方程．
20．（15分）设抛物线C的方程为x2＝y，点M为直线l：y＝﹣m（m＞0）上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．
（1）当M的坐标为时，求过M，A，B三点的圆的方程，并判断直线l与此圆的位置关系；
（2）求证：直线AB恒过定点．
21．（15分）已知椭圆的离心率为，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当直线l与x轴垂直时，|AB|＝3．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）当直线l与x轴不垂直时，在x轴上是否存在一点P（异于点F），使x轴上任意点到直线PA，PB的距离均相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．
22．（15分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过点P（﹣2，1）作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N．当|MN|＝2时，求k的值．
2023-2024学年北京市汇文中学教育集团高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1．（5分）直线l过点P（﹣1，2），且倾斜角为45°，则直线l的方程为（ ）
A．x﹣y+1＝0B．x﹣y﹣1＝0C．x﹣y﹣3＝0D．x﹣y+3＝0
【分析】根据直线的倾斜角求出斜率k，用点斜式写出直线方程，再化为一般式即可．
【解答】解：直线l过点P（﹣1，2），且倾斜角为45°，
则直线l的斜率为k＝tan45°＝1，
直线方程为y﹣2＝1×（x+1），
即x﹣y+3＝0．
故选：D．
【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率以及点斜式方程和一般式方程的应用问题，是基础题目．
2．（5分）设a∈R，则“a＝﹣2”是“直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：x+（a+1）y+4＝0平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据直线平行的条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：当a＝﹣2时，两直线方程分别为l1：﹣2x+2y﹣1＝0与直线l2：x﹣y+4＝0满足，两直线平行，充分性成立．
当a＝1时，满足直线l1：x+2y﹣1＝0与直线l2：x+2y+4＝0平行，∴必要性不成立，
∴“a＝﹣2”是“直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：x+（a+1）y+4＝0平行”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用直线平行的条件是解决本题的关键．
3．（5分）直线＝1与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为直径的圆的方程为（ ）
A．x2+y2﹣4x﹣2y﹣1＝0B．x2+y2﹣4x﹣2y＝0
C．x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0D．x2+y2﹣2x﹣4y＝0
【分析】由已知直线方程求得A与B的坐标，再由中点坐标公式求圆的圆心坐标，求出AB的长度可得圆的半径，则圆的方程可求．
【解答】解：直线＝1在x，y轴上的截距分别为4，2，即A（4，0），B（0，2）
则AB的中点坐标为（2，1），且|AB|＝，
∴以线段AB为直径的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5，即x2+y2﹣4x﹣2y＝0．
故选：B．
【点评】本题考查直线的方程，考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．
4．（5分）已知方程表示的曲线是椭圆，则t的取值范围为（ ）
A．（4，7）B．（7，10）
C．（4，10）D．（4，7）∪（7，10）
【分析】由题意可得关于t的不等式组，求解得答案．
【解答】解：∵方程表示的曲线是椭圆，
∴，解得4＜t＜10且t≠7．
∴t的取值范围为（4，7）∪（7，10）．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，是基础题．
5．（5分）已知圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣8y+7＝0，则圆C1与圆C2的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．内切D．外切
【分析】根据题意，由圆的方程得到两个圆的圆心和半径，求出圆心距，再判断位置关系．
【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y2＝1，圆心为（0，0），半径r＝1，
圆C2：x2+y2﹣8y+7＝0，即x2+（y﹣4）2＝9，圆心为（0，4），半径R＝3，
圆心距|C1C2|＝4＝R+r，两圆外切，
故选：D．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的一般方程，属于基础题．
6．（5分）抛物线y＝x2上的一动点M到直线l：x﹣y﹣1＝0距离的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】（法一）对y＝x2求导可求与直线x﹣y﹣1＝0平行且与抛物线y＝x2相切的切线方程，然后利用两平行线的距离公司可得所求的最小距离d
（法二）设抛物线上的任意一点M（m，m2），由点到直线的距离公司可求M到直线x﹣y﹣1＝0的距离d＝＝＝，由二次函数的性质可求M到直线x﹣y﹣1＝0的最小距离
【解答】解：（法一）对y＝x2求导可得y′＝2x
令y′＝2x＝1可得
∴与直线x﹣y﹣1＝0平行且与抛物线y＝x2相切的切点（，），切线方程为y﹣即x﹣y
由两平行线的距离公式可得所求的最小距离d＝＝
（法二）设抛物线上的任意一点M（m，m2）
M到直线x﹣y﹣1＝0的距离d＝＝＝
由二次函数的性质可知，当m＝时，最小距离d＝＝
故选：A．
【点评】本题考查直线的抛物线的位置关系的应用，解题时要注意公式的灵活运用，抛物线的基本性质和点到线的距离公式的应用，考查综合运用能力
7．（5分）直线l过抛物线y2＝2x的焦点F，且l与该抛物线交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1+x2＝3，则弦AB的长是（ ）
A．4B．5C．6D．8
【分析】由题意可知p＝1，再结合抛物线的定义得，|AB|＝x1+x2+p，代入数据即可得解．
【解答】解：∵抛物线y2＝2x，∴p＝1，
由抛物线的定义可知，|AB|＝x1+x2+p＝3+1＝4，
故选：A．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，熟练运用抛物线的定义是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．
8．（5分）我们把离心率为黄金分割系数的椭圆称为“黄金椭圆”．如图，“黄金椭圆”C的中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为长轴和短轴上的顶点，则∠ABF＝（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
【分析】根据椭圆的离心率e和a、b、c的关系，得出b2＝ac，利用三角形相似求出∠ABF的值．
【解答】解：黄金椭圆C中，e＝＝，
b2＝a2﹣c2＝a2﹣a2＝a2，
∴＝，
∴＝，
即b2＝ac，
∴OB2＝OA•OF，
即＝，
∴△AOB∽△BOF，
∴∠ABO＝∠BFO，
∴∠ABF＝∠ABO+∠OBF＝90°．
故选：A．
【点评】本题考查了椭圆方程与几何性质的应用问题，是基础题．
9．（5分）已知圆M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B，则|PM||AB|的最小值为（ ）
A．4B．2C．3D．5
【分析】|PM||AB|最小值满足四边形PAMB的面积最小，可转化为动点P到点M的距离最小值，即可求解．
【解答】解：∵圆M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，
∴（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，即圆心为（1，1），半径为2，
如图所示，
连接AM，BM，四边形PAMB的面积为，
要使|PM||AB|最小，
则只需PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小，
∵|AM|＝2，
∴只需|PA|最小，
|AM|＝＝，
所以只需直线2x+y+2＝0上的动点P到点M的距离最小，其最小值是圆心到直线的距离d＝，
此时PM⊥l，|PA|＝1，
则此时四边形PAMB的面积为2，即|PM||AB|的最小值为4．
故选：A．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的能力，属于中档题．
10．（5分）已知圆C：x2+y2＝4，直线l：y＝kx+m，若当k的值发生变化时，直线被圆C所截的弦长的最小值为2，则m的取值为（ ）
A．±2B．±C．±D．±3
【分析】利用弦长公式可得d＝，若a取最小值2时，则d取最大值，由d＝，≥1，故d的最大值为|m|＝，进而求得m的取值．
【解答】解：圆心C（0，0），半径r＝2，则圆心C到直线l的距离d＝，
设弦长为a，则由弦长公式可得d＝＝，
若a取最小值2时，则d取最大值＝，
即又d＝，≥1，故d的最大值为|m|＝，
所以m＝±，
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的综合，涉及点到直线的距离公式，弦长公式，属于中档题．
11．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分等腰三角形△F1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围．
【解答】解：①当点P与短轴的顶点重合时，
△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，
此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；
②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，
以F2P作为等腰三角形的底边为例，
∵F1F2＝F1P，
∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上
因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，
存在2个满足条件的等腰△F1F2P，
在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，
由此得知3c＞a．所以离心率e＞．
当e＝时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠
同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P
这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形
综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）
故选：D．
【点评】本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6个不同点P使得△F1F2P为等腰三角形，求椭圆离心率e的取值范围．着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．
12．（5分）曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）距离之积等于定长4的点的轨迹，以下说法正确的是（ ）
①曲线C过坐标原点；
②曲线关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于2；
④曲线C与曲线有且仅有两个交点．
A．①②B．②③C．③④D．②③④
【分析】设曲线C上的任意一点P（x，y），根据|PF1|•|PF2|＝4，可得[（x+1）2+y2][（x﹣1）2+y2]﹣16＝0，
①把x＝y＝0代入上述方程即可判断出正误；
②把（﹣x，﹣y）代入上述方程中的（x，y），其方程不变，即可判断出正误；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积＝|PF1|•|PF2|•sin∠F1PF2，根据已知条件及其三角函数的值域即可判断出正误；
④把y2＝3（1﹣）代入曲线C，化简解出x即可判断出正误．
【解答】解：设曲线C上的任意一点P（x，y），则|PF1|•|PF2|＝4，
∴•＝4，化为：[（x+1）2+y2][（x﹣1）2+y2]﹣16＝0，
①把x＝y＝0代入上述方程可得1﹣4＝0，此式不成立，因此曲线C不过坐标原点，因此①不正确；
②把（﹣x，﹣y）代入上述方程中的（x，y），其方程不变，因此曲线关于坐标原点对称，因此②正确；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积＝|PF1|•|PF2|•sin∠F1PF2＝×4×sin∠F1PF2≤2，因此③正确；
④由曲线，（x∈[﹣2，2]），解得y2＝3（1﹣），并且代入曲线C，化为x2（x2﹣32）＝0，x2＝32舍去，∴x＝0，解得y＝，可得曲线C与曲线有且仅有两个交点（0，±），因此④正确．
综上可得：只有②③④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了曲线方程的求法、两点之间的距离公式、方程与曲线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
13．（5分）已知抛物线y2＝2px的准线方程为x＝﹣1，则p＝ 2 ．
【分析】由已知结合抛物线的直线方程列式求得p值．
【解答】解：由抛物线y2＝2px，得准线方程为x＝﹣，
由题意，，得p＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，是基础题．
14．（5分）已知双曲线y2+＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝ ﹣3 ．
【分析】化双曲线方程为标准方程，从而可得m＜0，求出渐近线方程，结合已知即可求解m的值．
【解答】解：双曲线y2+＝1化为标准方程可得y2﹣＝1，
所以m＜0，双曲线的渐近线方程y＝±x，
又双曲线y2+＝1的渐近线方程为y＝±x，
所以＝，解得m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查双曲线的简单性质，考查运算求解能力，属于基础题．
15．（5分）圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝8与y轴相交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的大小为 90° ．
【分析】根据条件令y＝0，求出AB的长度，结合三角形的勾股定理求出三角形AOB是直角三角形即可得到结论．
【解答】解：当x＝0时，得（y﹣2）2＝4，解得y＝0或y＝4，
则AB＝4﹣0＝4，
半径R＝＝，
∵OA2+OB2＝（）2+（）2＝8+8＝16＝（AB）2，
∴△AOB是直角三角形，
∴∠AOB＝90°，
即弦AB所对的圆心角的大小为90°，
故答案为：90°
【点评】本题主要考查圆心角的求解，根据条件求出先AB的长度是解决本题的关键．
16．（5分）设P为椭圆上一动点，F1，F2分别为左、右焦点，延长F1P至点Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹方程为 （x+2）2+y2＝28 ．
【分析】由椭圆定义可得，|PQ|＝|PF2|，从而，进而Q的轨迹是以F1（﹣2，0）为圆心，为半径的圆，由此能求出动点Q的轨迹方程．
【解答】解：∵P为椭圆上一动点，F1，F2分别为左、右焦点，
延长F1P至点Q，使得|PQ|＝|PF2|，
∴，|PQ|＝|PF2|，
∴，
∴Q的轨迹是以F1（﹣2，0）为圆心，为半径的圆，
∴动点Q的轨迹方程为（x+2）2+y2＝28．
故答案为：（x+2）2+y2＝28．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，轨迹方程的求解，属中档题．
17．（5分）若直线y＝kx﹣1与曲线y＝﹣有公共点，则k的取值范围是 [0，1] ．
【分析】曲线表示圆心为（2，0），半径为1的x轴下方的半圆，直线与曲线有公共点，即直线与半圆有交点，根据题意画出相应的图形，求出直线的斜率的取值范围．
【解答】解：曲线y＝﹣表示圆心为（2，0），半径为1的x轴下方的半圆，直线y＝kx﹣1为恒过（0，﹣1）点的直线系，
根据题意画出图形，如图所示：
则直线与圆有公共点时，倾斜角的取值范围是[0，1]．
故答案为：[0，1]．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，考查转化及数形结合的思想，其中根据题意画出相应的图形是解本题的关键．
18．（5分）在平面直角坐标系中，定义d（S，T）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|为两点S（x1，y1），T（x2，y2）之间的“折线距离”，有下列命题，其中为真命题的是 ①③④ ．（填序号）
①若A（0，0），B（1，1），则d（A，B）＝2；
②到原点的“折线距离”不大于1的点构成的区域面积为1；
③原点O与直线x﹣y+3＝0上任意一点M之间的折线距离d（O，M）的最小值为3；
④原点O与圆（x﹣2）2+（y﹣4）2＝1上任意一点M之间的折线距离d（O，M）的最大值为6+．
【分析】根据新定义d（S，T）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|为两点S（x1，y1），T（x2，y2）之间的“折线距离”，依次判断即可．
【解答】解：对于①：坐标代入d（A，B）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|＝|0﹣1|+|0﹣1|＝2，故①对．
对于②：到原点的“折线距离”不大于1的点的集合{（x，y）||x|+|y|≤1}，
如图：
构成的区域面积为2××2×1＝2，故②不正确．
对于③：设M（x，x+3），则d（O，M）＝|x|+|x+3|＝，函数图像如下：
则d（O，M）最小值为3，故③正确；
对于④：因为圆（x﹣2）2+（y﹣4）2＝1表示以（2，4）为圆心，1为半径的圆，
设M（x，y），则d（O，M）＝|x|+|y|＝x+y，令z＝x+y，即x+y﹣z＝0，
所以≤1，解得6﹣≤z≤6+，
即d（O，M）最大值为6+，故④正确；
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了对新定义的理解和运用能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共4小题，共60.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（15分）在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1＝0，∠A的平分线所在直线方程为y＝0，若点B的坐标为（1，2）．
（1）求点A和点C的坐标；
（2）求AC边上的高所在的直线l的方程．
【分析】（1）由已知点A应在BC边上的高所在直线与∠A的角平分线所在直线的交点，联立方程即可得出A坐标．由kAC＝﹣kAB＝﹣1，所以AC所在直线方程为y＝﹣（x+1），BC所在直线的方程为y﹣2＝﹣2（x﹣1），联立解得C坐标．
（2）由（1）知，AC所在直线方程x+y+1＝0，即可得出l所在的直线方程．
【解答】解：（1）由已知点A应在BC边上的高所在直线与∠A的角平分线所在直线的交点，
由得，故A（﹣1，0）．
由kAC＝﹣kAB＝﹣1，所以AC所在直线方程为y＝﹣（x+1），BC所在直线的
方程为y﹣2＝﹣2（x﹣1），由，得C（5，﹣6）．
（2）由（1）知，AC所在直线方程x+y+1＝0，
所以l所在的直线方程为（x﹣1）﹣（y﹣2）＝0，即x﹣y+1＝0．
【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、直线方程、角平分线性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
20．（15分）设抛物线C的方程为x2＝y，点M为直线l：y＝﹣m（m＞0）上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．
（1）当M的坐标为时，求过M，A，B三点的圆的方程，并判断直线l与此圆的位置关系；
（2）求证：直线AB恒过定点．
【分析】（1）由题意，设过M点的切线方程，将切线方程与抛物线方程联立，根据Δ＝0，得到A，B两点的坐标，进而可得AB的中点，结合，列出等式，即可求出圆的方程，从而可判断圆与直线l相切；
（2）利用导数法，得到切线的斜率和切线方程，进而可得直线AB的方程，再进行求解即可．
【解答】解：（1）当M的坐标为时，
不妨设过M点的切线方程为，
联立，消去y并整理得，
令，
解得k＝±1，
代入切线方程中，解得，，
因为AB的中点，且，
所以过M，A，B三点的圆的圆心为，半径为，
则圆的方程为．
因为圆心坐标为，半径为，
所以圆N与直线相切；
（2）证明：已知抛物线方程为y＝x2，
可得y′＝2x，
不妨设切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），
则过点A（x1，y1）的切线斜率为k＝2x1，
此时切线方程为，
即，
又切线过点M（x0，﹣m），
所以，①
即﹣m＝2x1x0﹣y1，
同理得过点B（x2，y2）的切线为，
又切线过点M（x0，﹣m），
所以，②
即﹣m＝2x2x0﹣y2，
因为点A（x1，y1），B（x2，y2）均满足﹣m＝2xx0﹣y，
所以直线AB的方程为﹣m＝2xx0﹣y，
又M（x0，﹣m）为直线l：y＝﹣m（m＞0）上任意一点，
则2xx0＝y﹣m对任意x0成立，
可得x＝0，y＝m，
故直线AB恒过定点（0，m）．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
21．（15分）已知椭圆的离心率为，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当直线l与x轴垂直时，|AB|＝3．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）当直线l与x轴不垂直时，在x轴上是否存在一点P（异于点F），使x轴上任意点到直线PA，PB的距离均相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）根据题意列出关于a，b，c的方程组，解出a，b，c的值，从而得到椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l的斜率不为零，可设直线l：x＝my+1（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．设P（x0，0），设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，
则，而x轴上任意点到直线PA，PB距离均相等价于k1+k2＝0．所以k1+k2＝，联立直线l与椭圆方程，利用韦达定理代入上式化简，即可求出x0的值，经验证当直线l的斜率为零时，P（4，0）也符合题意．故存在点P（4，0），使得x轴上任意点到直线PA，PB距离均相等．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得：，
解得：．
所以椭圆的标准方程为：；
（ II）依题意，若直线l的斜率不为零，可设直线l：x＝my+1（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．
假设存在点P，设P（x0，0），由题设，x0≠1，且x0≠x1，x0≠x2．
设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，
则．
因为A（x1，y1），B（x2，y2）在x＝my+1上，
故x1＝my1+1，x2＝my2+1．
而x轴上任意点到直线PA，PB距离均相等等价于“PF平分∠APB”，
继而等价于k1+k2＝0．
则＝＝．
联立，消去x，得：（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，
有．
则，
即﹣4m+mx0＝0，故x0＝4或m＝0（舍）．
当直线l的斜率为零时，P（4，0）也符合题意．
故存在点P（4，0），使得x轴上任意点到直线PA，PB距离均相等．
【点评】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，是中档题．
22．（15分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过点P（﹣2，1）作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N．当|MN|＝2时，求k的值．
【分析】（Ⅰ）利用已知和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程．
（Ⅱ）联立直线与椭圆方程，再利用韦达定理求出x1+x2，x1•x2，再表示出|MN|，化简即可．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得，
，∴b＝1，c＝，a＝2，
∴椭圆E的方程为+y2＝1．
（Ⅱ）设过点P（﹣2，1）的直线为y﹣1＝k（x+2），B（x1，y1），C（x2，y2），
联立得，即（1+4k2）x2+（16k2+8k）x+16k2+16k＝0，
∵直线与椭圆相交，∴Δ＝[（16k2+8k）]2﹣4（1+4k2）（16k2+16k）＞0，∴k＜0，
由韦达定理得x1+x2＝﹣，x1•x2＝，
∵kAB＝，∴直线AB为y＝x+1，
令y＝0，则x＝，∴M（，0），同理N（，0），
∴|MN|＝|﹣|＝|﹣|＝|（﹣）|
＝|•|＝|•|
＝||＝2，
∴|•|＝2，∴||＝，
∴k＝﹣4．
【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，考查联立法和韦达定理、方程思想和运算能力，是一道综合题．
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