河北安国中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份河北安国中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．命题，，则命题p的否定形式是( )
A.，B.，
C.，D.，
2．已知集合，，则集合B的真子集的个数为( )
A.3B.7C.8D.15
3．已知命题，，命题，恒成立.若p和q至多有一个为真命题，则实数m的取值范围为( )
A.B.C.D.
4．已知全集,集合,,则图中阴影部分表示的集合为( )
A.B.
C.D.
5．设集合,，则是的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6．已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集( )
A.B.C.或D.或
7．下列说法正确的是( )
A.若,，则B.若,，则
C.若,，则D.若，则
8．定义集合运算；将称为集合A与集合的对称差,命题甲：；命题乙：则下列说法正确的是( )
A.甲乙都是真命题B.只有甲是真命题
C.只有乙是真命题D.甲乙都不是真命题
二、多项选择题
9．已知,且，则下列不等式恒成立的是( )
A.的最小值为2B.的最小值为
C.的最大值为1D.的最大值为2
10．已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论正确的有( )
A.B.C.D.
11．已知关于x的方程，则下列说法正确的是( )
A.方程有一个正根和一个负根的充要条件是
B.方程无实数根的一个必要条件是
C.方程有两个正根的充要条件是
D.当时，方程的两个实数根之和为0
三、填空题
12．已知,，集合，则________.
13．已知,则的取值范围为________.
14．不等式的解集是________.
四、解答题
15．已知集合.
（1）若A中没有元素，求实数a的取值集合；
（2）若A中只有一个元素，求实数a的取值集合.
16．已知全集，集合,,
(1)分别求,；
(2)若，求a的取值范围.
17．科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础.某科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用.经调研，该企业生产此设备获得的月利润（单位：万元）与投入的月研发经费x（，单位：万元）有关：当投入的月研发经费不高于36万元时，；当投入月研发经费高于36万元时，.对于企业而言，研发利润率，是优化企业管理的重要依据之一，y越大，研发利润率越高，反之越小.
(1)求该企业生产此设备的研发利润率y的最大值以及相应月研发经费x的值；
(2)若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，求月研发经费x的取值范围.
18．已知函数的图象为C.
(1)若图象C恒在直线下方（不包括直线），求m的取值范围；
(2)求图象C在直线上以及直线上方的点的横坐标x的取值范围（用m表示）；
(3)当自变量x满足时，函数值恒成立，求m的取值范围.
19．设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称A为“等差集”.
(1)若集合，，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B；
(2)若集合是“等差集”，求m的值；
(3)已知正整数，证明：不是“等差集”.
参考答案
1．答案：C
解析：命题，，为全称量词命题，
则该命题的否定为：，.故选：C.
2．答案：B
解析：，，，
所以集合B的真子集的个数为.故选：B.
3．答案：D
解析：当命题为真命题，即，使成立，得到，即，当命题q为真命题，即对，恒成立，得到，即，
所以当命题p和命题q同时为真命题时，有，即，
又命题p和命题q至多有一个为真命题，所以或，故选：D.
4．答案：D
解析：由题意,
阴影部分为.
故选：D.
5．答案：B
解析：由集合，
又,，所以，
所以是的必要不充分条件.故选：B.
6．答案：C
解析：由不等式的解集为，
得，且1,3是方程的两根，
则,，即,,，
不等式化为：，即，
于是，解得或
所以原不等式的解集为或.故选：C
7．答案：C
解析：A：若，则，又，所以，故A错误；
B：若,，则，
即，故B错误；
C：若，，则，
所以，即，故C正确；
D：取,，满足，但不成立，故D错误.故选：C
8．答案：B
解析：对于甲,
,故命题甲正确；
对于乙,如图所示：
所以,,故命题乙不正确.
故选：B.
9．答案：ACD
解析：对A，，
当且仅当时等号成立，A正确；
对B，，
当且仅当，即,时等号成立，B错误；
对C，，当且仅当时等号成立，C正确；
对D，，当且仅当时等号成立，
所以，D正确.故选：ACD
10．答案：ABD
解析：由关于x的不等式的解集是，其中，
所以，且,是方程的两根，
所以，，
所以，，故AB正确；
又因为，故C错误；
作出和的图象，则,为两函数图象交点的横坐标，
由图象可知，故D正确；故选：ABD.
11．答案：ABC
解析：关于x的方程中，，
且两根和为、两根积为m.
对A，若方程有一个正根一个负根，则，解得，故A对；
对B，若方程无实根，则，解得，则其一个必要条件是，故B对；
对C，若方程有两个正根，则，解得，故C对；
对D，当时，方程可化为，显然无实数解，故D错.
故选：ABC.
12．答案：
解析：由题设，若，则不满足元素的互异性，
所以，显然满足题设，所以.故答案为：8
13．答案：
解析：假设，则，解得，
因为，所以；
又因为，所以；
由上两同向不等式相加得：，
整理得：。故答案为：。
14．答案：
解析：由题意，且，
所以，利用穿针引线法，在数轴上标根如下图：解得：不等式的解集为.
故答案为：.
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）对于方程，若，则，不合题意，故，此时方程是关于x的一元二次方程.集合A中没有元素，则，即.所以实数a的取值集合为.
（2）对于方程，若，则，符合题意；
若，方程是关于x的一元二次方程.A中只有一个元素，即，即.
综上，实数a的取值集合为.
16．答案：（1）或或；
（2）且
解析：（1）因为,
所以；
因为或，
所以或或；
（2）因为，所以，
当时，则有，解得；
当时，则有，解得，
综上，且，所以a的取值范围为且.
17．答案：（1）当月研发经费为30万元时，研发利润率取得最大值200%；
（2）研发利润率不小于190%时，月研发经费的取值范围是
解析：（1）由题意知，当时，
，
当且仅当，即时取等号；
当时，，
在上单调递减，.
又，当月研发经费为30万元时，研发利润率取得最大值200%.
（2）由（1）可知，此时月研发经费，
于是，令，整理得，解得：.
因此，当研发利润率不小于190%时，月研发经费的取值范围是.
18．答案：（1）；
（2）答案见解析；
（3）
解析：（1）当，即时，函数，图象为一条直线，不合题意；
当，即时，依题意有恒成立，
即不等式解集为R，
则有，解得
所以m的取值范围为.
（2）由，得，
即，
当，即时，原不等式的解集为；
当，即时，不等式为，
因为，所以原不等式的解集为；
当，即时，不等式为，
因为，所以原不等式的解集为；
综上所述
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
（3），即，
由恒成立，得，
在时，设，则，，
，
由，当且仅当时等号成立，则，当且仅当时等号成立，
所以当时，，则有.
所以m的取值范围为.
19．答案：（1）或或；
（2）；
（3）
解析：（1）因为集合，，存在3个不同的元素，使得，
则或或.
（2）因为集合是“等差集”，
所以或或,
计算可得或或或，
又因为m正整数,所以.
（3）假设是“等差集”，
则存在，,成立，
化简可得,
因为，,所以,
所以与集合的互异性矛盾，
所以不是“等差集”.