四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷(含答案)

这是一份四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．( )
A.B.C.D.
2．关于百分位数,下列选项错误的是( )
A.一组数按照从小到大排列后为:,,…,,计算得:,则这组数的80%分位数是
B.一组数据的百分位数可能是这组数据中的数,也可能不是这组数据中的数
C.一组数据的某些百分位数可能是同一个数
D.第50百分位数就是中位数
3．已知正方体中,点E为的中点,若,（x,）则x,y的值分别为( )
A.1,1B.1,C.,D.,1
4．已知直线l的方向向量是,平面的一个法向量是,则l与的位置关系是( )
A.⊥B.
C.l与相交但不垂直D.或
5．某学校举办作文比赛,共6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为( )
A.B.C.D.
6．将边长为2的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱,如图,,,其中与C在平面的同侧,则异面直线与所成角的大小是( )
A.B.C.D.
7．正三棱锥的侧面都是直角三角形,E,F分别是AB,BC的中点,则PB与平面PEF所成角的正弦值为( )
A.B.C.D.
8．在四棱柱中,底面ABCD是正方形,侧棱底面ABCD.已知,,E为线段AB上一个动点,则的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．关于空间向量,以下说法正确的是( )
A.空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面
B.若对空间中任意一点,有,则P,A,B,C四点共面
C.设是空间中的一组基底,则也是空间的一组基底
D.若,则是钝角
10．对于概率的基本性质,下列选项正确的是( )
A.如果事件A与事件B互斥,那么
B.如果事件A与事件B互为对立事件,那么
C.如果,则
D.
11．在棱长为1的正方体中,已知E为线段的中点,点F和点P分别满足,,其中,,则下列说法正确的是( )
A.当时,三棱锥的体积为定值
B.当时,四棱锥的外接球的表面积是
C.的最小值为
D.存在唯一的实数对,使得平面PDF
三、填空题
12．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率为________.
13．已知空间向量,,,则向量与的夹角为____________.
14．在棱长为2的正方体中,E,F分别为棱,的中点,G为棱上的一点,且,则点G到平面的距离为________.
四、解答题
15．在空间直角坐标系中,,,,,点P满足.
（1）求点P的坐标（用表示）;
（2）若,求的值.
16．一次数学考试有4道填空题,共20分,每道题完全答对得5分,否则得0分.在试卷命题时,设计第一道题使考生都能完全答对,后三道题能得出正确答案的概率分别为、、,且每题答对与否相互独立.
（1）当时,求考生填空题得满分的概率;
（2）若考生填空题得10分与得15分的概率相等,求P的值.
17．某电视台为宣传安徽，随机对安徽15～65岁的人群抽取了n人，回答问题“皖江城市带有哪几个城市？”统计结果如图表所示：
(1)分别求出a，b，x，y的值；
(2)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组人数
18．已知直三棱柱中,侧面为正方形,,E,F分别为AC和的中点,D为棱上的点,
（1）求异面直线DE与BF的夹角;
（2）若,求平面与平面DFE所成的二面角的夹角的正弦值
19．如图,已知正方形ABCD的边长为4,E,F分别为AD,BC的中点,沿EF将四边形EFCD折起,使二面角的大小为60°,点M在线段AB上.
（1）若M为AB的中点,且直线MF与直线EA的交点为O,求OA的长,并证明直线平面EMC;
（2）是否存在点M,使得直线DE与平面EMC所成的角为60°;若存在,求此时二面角的余弦值,若不存在,说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析：,
,
,
,
故选:D
2．答案：A
解析：由百分位数的定义可知,若,则这组数的80%分位数是,故A错误;
由百分位数的定义可知,对分位数,若不为整数时,则分位数是这组数据中的数,若为整数时,则分位数是相邻两个数据的平均值,故可能不是这组数据中的数,故B正确;
当一组数据的分位数,分位数,满足是整数部分相同的非整数时,它们对应百分位数是同一个数,故C正确;
由百分位数的意义可知第50百分位数就是中位数,故D正确.
故选:A
3．答案：C
解析：,
所以.
故选:C.
4．答案：D
解析：因为,
所以,所以或.
故选:D.
5．答案：A
解析：用1,2,3,4,5,6表示6个主题,甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表:
共有36个不同结果,它们等可能,
其中甲乙抽到相同结果有,,,,,,共6个,
因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个,概率.
故选:A
6．答案：C
解析：如图所示,建立空间直角坐标系.
,,,,,
,
设异面直线与所成角为,
,
,
异面直线与所成角的大小是.
故选:C.
7．答案：C
解析：因为正三棱锥的侧面都是直角三角形,
所以可以以P为原点,PA,PB,PC分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
设,
因为E,F分别是AB,BC的中点,
所以,,,,,,
,,,
设平面PEF的法向量为,
则有,
所以PB与平面PEF所成角的正弦值为:,
故选:C
8．答案：B
解析：建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,.
E为线段AB上一个动点,
设,
则,,
故问题转化为求的最小值问题,即转化为求平面直角坐标系tOu中的一个动点到两定点,的距离之和的最小值的问题,如图所示.
由此可知,当M,P,N三点共线时,,
故选:B.
9．答案：ABC
解析：对于A中,根据共线、共面向量的概念,可知空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面,所以是正确的;
对于B中,若对空间中任意一点O,有,根据空间向量的共面定理的推论,可得P,A,B,C四点一定共面,所以是正确的;
对于C中,由是空间中的一组基底,则向量,,不共面,可得向量,,也不共面,所以也是空间的一组基底,所以是正确的;
对于D中,若,又由,所以,所以不正确,
故选:ABC.
10．答案：BD
解析：对于A,事件A与事件B互斥,则,而可以为1,A错误;
对于B,事件A与事件B互为对立事件,则,B正确;
对于C,,则,C错误;
对于D,,D正确.
故选:BD
11．答案：ABD
解析：对于A,当时,F为中点,又E为中点,,
平面EFD,平面EFD,平面EFD,
则当P在线段上移动时,其到平面EFD的距离不变,
三棱锥的体积为定值,A正确;
对于B,当时,取AC,BD交点O,连接PO,则四棱锥为正四棱锥,
平面ABCD,
设四棱锥的外接球的球心为,半径为R,则在直线PO上,
,,,即,
解得:,四棱锥的外接球的表面积,B正确;
对于C,将问题转化为在平面内求解的最小值,
作E关于线段的对称点,过作,交,AB于H,G,如下图所示,
,（当且仅当F与H重合时取等号）,
,
,
,,
即的最小值为,C错误;
对于D,以D为坐标原点,,,为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系,
则,,,,
,,,
若平面PDF,则,
,
解得:（舍）或,
存在唯一的实数对,使得平面PDF,D正确.
故选:ABD.
12．答案：0.2
解析：从1,2,3,4,5中任意取两个不同的数共有,,,,,,,,,10种.
其中和为5的有,2种.
由古典概型概率公式知所求概率为=.
13．答案：
解析：依题意,,所以,
所以,由于,所以向量与的夹角为.
故答案为：.
14．答案：
解析：由题意得,平面,平面,所以平面,则点G到平面的距离等于点到平面的距离.
以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则,,,,所以,,.
设平面的法向量为,则,
令,则,,
所以平面的一个法向量.
点A1到平面的距离,即点G到平面的距离为.
故答案为:.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,,所以,
因为,
所以,
所以点P的坐标为;
（2）因为,,,
所以,即,解得.
16．答案：（1）
（2）
解析：设考生填空题得满分、15分、10分为事件A、B、C
（1）
（2）
因为,所以得
17．答案：(1)a，b，x，y依次为5，27，0.9，0.2；
(2)第2、3、4组人数依次为2人，3人，1人
解析：（1）由频率表中第4组数据知，第4组总人数为，
由频率分布直方图知，
，
，
，
.
（2）第2，3，4组回答正确的共有人.
利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：
第2组：人，
第3组：人，
第4组：人.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为为正方形,所以.
又,且,所以面.所以.
因为为直三棱柱,所以在B处,AB、BC、两两垂直,可以以B为原点,、、为正方向建立空间直角坐标系,则、、、、、、、、.
所以,.
设异面直线DE与BF的夹角为,则,
所以,即异面直线DE与BF的夹角为.
（2）在（1）建立的坐标系中,若,则,所以,.
设为平面DFE的一个法向量,则,
即,不妨设y=-2,则有.
显然为面的一个法向量.
设平面与平面DFE所成的二面角的平面角为,则,
所以,
即平面与平面DFE所成的二面角的夹角的正弦值为.
19．答案：（1）;证明见解析;
（2）存在点M,使得直线DE与平面EMC所成的角为;此时二面角的余弦值为.
解析：（1）E,F分别为AD,BC中点,
,且,
又M为AB中点,且,
易得,
连接CE,DF,交于点N,连接MN,
由题设,易知四边形CDEF为平行四边形,
为DF中点,
,A是OE的中点,
为OF中点,
,又平面EMC,平面EMC,
平面EMC;
（2）,
,,
又平面CEF,平面AEF,
即为二面角的平面角,
;
取AE,BF中点O,P,连接OD,OP,如图,
,,
,
,
,
,
,,又AE,平面AED,,
平面AED,
,平面AED,
,,
则以O为坐标原点,,,方向为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示,
则,,,,
设,则,,,
设平面EMC的法向量,则,
令,则,,,
直线DE与平面EMC所成的角为,
,解得或,
存在点M,当或时,使得直线DE与平面EMC所成的角为;
设平面CEF的法向量,又,,
,
令,则,,;
当时,,;
当时,,;
综上所述:二面角的余弦值为.
组号
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的频率
第1组
a
0.5
第2组
18
x
第3组
b
0.9
第4组
9
0.36
第5组
3
y
乙甲
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6