义乌市第二中学2024-2025学年高二上学期10月统测数学试卷(含答案)

这是一份义乌市第二中学2024-2025学年高二上学期10月统测数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若直线的倾斜角为，则( )
A.0B.C.D.不存在
2．圆心在y轴上，半径为2，且过点的圆的方程为( )
A.B.C.D.
3．已知，，，如，，三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，则实数为( )
A.0B.9C.5D.3
4．如图所示,空间四边形OABC中,,,,点M在OA上,且,M为OA中点,N为BC中点,则等于( )
A.B.C.D.
5．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则( )
A.两人都中靶的概率为0.12B.两人都不中靶的概率为0.42
C.恰有一人中靶的概率为0.46D.至少一人中靶的概率为0.74
6．已知点在线段上，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．在单位正方体中，M为的中点，则点M到平面的距离为( )
A.B.C.D.
8．定义：若抛物线的顶点，抛物线与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”.如图，直线经过点，一组抛物线的顶点,,，（n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：,，,…,,（n为正整数）.若，当d为( )时，这组抛物线中存在美丽抛物线.
A.或B.或C.或D.
二、多项选择题
9．某次校十佳歌手评比中，10位评委给出的分数分别为，，…，，计算得平均数，方差，现去掉一个最高分10分和一个最低分5分后，对新数据下列说法正确的是( )
A.极差变大B.中位数不变C.平均数变小D.方差变大
10．下列选项正确的是( )
A.若直线的一个方向向量是，则直线l的倾斜角是
B.“”是“直线与直线垂直”的充要条件
C.“”是“直线与直线平行”的充要条件
D.直线的倾斜角的取值范围是
11．已知动直线和，P是两直线的交点，A、B是两直线m和n分别过的定点，下列说法正确的是( )
A.B点的坐标为B.
C.的最大值为10D.P的轨迹方程为
12．已知P、Q分别为棱长为2的正方体棱、上的动点，则下列说法正确的是( )
A.线段长度的最小值为2
B.三棱锥的外接球体积的最大值为
C.直线与直线所成角的余弦值的范围为
D.当P、Q为中点时，平面截正方体所形成的图形的面积为
三、填空题
13．一组数据42,38,45,43,41,47,44,46的第75百分位数是_________.
14．点关于直线的对称点Q的坐标为__________.
15．已知在平面直角坐标系中，点，，点P满足.则当P,A,B三点不共线时，面积的最大值为________.
16．直三棱柱的各顶点都在同一球面上,若,,,则此球的表面积等于________________.
四、解答题
17．在空间直角坐标系中,已知点,,.
（1）若,求x的值;
（2）求的最小值.
18．设的顶点坐标是，，，其中，圆M为的外接圆.
（1）求圆M的方程；
（2）当a变化时，圆M是否过某一定点?请说明理由.
19．已知直线.
（1）求证：直线l过定点；
（2）若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围；
（3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程.
20．某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计解题思路，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；
(2)成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分；
(3)已知落在内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差.
（附：设两组数据的样本量､样本平均数和样本方差分别为：m,,;n,,.记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差）
21．已知在多面体中，，，，，且平面平面.
(1)设点F为线段的中点，试证明平面；
(2)若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.
22．如图1.在菱形中，，，，，沿将向上折起得到棱锥.如图2所示，设二面角的平面角为.
(1)当为何值时，三棱锥和四棱锥的体积之比为？
(2)当为何值时，，平面与平面的夹角的余弦值为？
参考答案
1．答案：C
解析：因为，
为一常数，故直线的倾斜角为，
故选：C
2．答案：D
解析：根据题意，设圆心的坐标为，
则有，解可得，
则圆的方程为；
故选D.
3．答案：C
解析：,
与不平行,
,,三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底,
存在实数x,y使得,即,解得,
故实数为5.
故选:C.
4．答案：A
解析：由题意得:,
故选:A.
5．答案：C
解析：设甲中靶为事件A，乙中靶为事件B，，，
则两人都中靶的概率为，
两人都不中靶的概率为，
恰有一人中靶的概率为，
至少一人中靶的概率为.
故选：C
6．答案：B
解析：如图，是线段上的一点，且为原点到该线段上点的距离的平方.该线段端点分别为，，到原点距离的平方分别为20，40.由图知原点到线段的距离，则.综上，，故.
7．答案：C
解析：如图，以D为坐标原点，以,,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
则,,,,
故,,，
设平面的法向量为，
则，令，则，
故点M到平面的距离为,
故选：C
8．答案：B
解析：因为直线经过点，则，解得，
直线，
由抛物线的对称性知，“美丽抛物线”所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，
所以该等腰三角形的高等于斜边的一半，
因为，结合题意可知该等腰直角三角形的斜边长小于2，
斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1），
因为当时，，
当时，，
当时，，
所以美丽抛物线的顶点只有,，
①若为顶点，由，则；
②若为顶点，由，则，
综上所述，d的值为或时，存在美丽抛物线.
故选：B
9．答案：BC
解析：由于10个数据已经确定，
故不妨设，由题意不妨取，，
A项，原极差为，
去掉最高与最低分后，极差为，
所以去掉最高和最低分，极差有可能减小，极差变大是不可能的，故A项错误；
B项，中位数的定义知：数据从小到大排列，中间两个数的平均值是中位数，去掉最高和最低不影响中间两个数，B项正确；
C项，由题意原平均数，
则，则去掉最高与最低分后，
平均数变为，平均数变小，故C正确；
D项，去掉最高和最低分后，数据移除这两个极端值后，数据的波动性减小，
故方差会变小，故D项错误.
故选：BC.
10．答案：ACD
解析：对于A项，在直线l中，一个方向向量是，则直线l的斜率为
直线l的倾斜角是，A正确；
对于B项，当时，直线与直线变为：与
显然垂直，充分性成立.
当直线与直线垂直时，
解得：或，必要性不成立，故B错误；
对于C项，当时，直线与直线化为：与,即与，两直线平行，充分性满足要求.
若直线与直线平行
，解得：，必要性成立，故C正确；
对于D项，在直线中，该直线的斜率为
故倾斜角范围为.故D正确.
故选：ACD.
11．答案：BC
解析：直线m的方程可化为，
所以直线m过定点，
直线n的方程可化为，
所以直线n过定点，
所以点A的坐标为，点B的坐标为，所以A错误，
由已知，
所以直线m与直线n垂直，即，B正确，
因为，所以，
故，
所以，当且仅当时等号成立，
C正确；
因为，故，
设点P的坐标为，
则，
化简可得，
又点不是直线m,n的交点，点在圆上，
故点P的轨迹为圆除去点，D错误；
故选：BC.
12．答案：ABC
解析：以点为坐标原点，、、所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为正方体的棱长为2.
则，，，，，，，.
所以，，，.
因为P、Q分别为棱、上的动点，令，.
所以，.
对于选项A：因为，当且仅当时，等号成立.
所以线段长度的最小值为2，故选项A正确；
对于选项B：由正方体的性质可得三角形为边长为的正三角形，.
所以该正方体的外接球球心O为正方体的中心，球半径为，外接球体积的为.
因为点P为棱上的动点，
所以点P在正方体外接球内运动.
故正方体外接球的体积就是三棱锥外接球体积的最大值，为，此时点P与点（或点D）重合.故选项B正确；
对于选项C：因为，，
所以直线与直线所成角的余弦值为
.
当时，.
当时，有，，
因为当时，，
则.
所以直线与直线所成角的余弦值的范围为，故选项C正确；
对于选项D：
取中点M，连接，，，.
因为正方体棱长为2
则，，，.
当P、Q为中点时，，
所以平面截正方体所形成的图形为梯形.
因为在等腰梯形中，梯形的高为.
所以截面面积为，故选项D错误.
故选：ABC.
13．答案：45.5
解析：这组数据从小到大排列为：38,41,42,43,44,45,46,47,
由于,所以第75百分位数是：.
故答案为：45.5.
14．答案：
解析：设是点关于直线的对称点，
由题意可得，解得，，可得.
故答案为：.
15．答案：12
解析：设，则由得：，
即，整理可得：，即，
P点轨迹是以为圆心，4为半径的圆，
如图所示：当P在圆心的正上方或正下方时，P到的距离最大，且为半径4，
.
故答案为：12.
16．答案：
解析：在中,由余弦定理得,
由,得,设的外接圆半径为r,
由正弦定理得,则,
设三棱柱的外接球半径为R,则,
所以球O的表面积.
故答案为：.
17．答案：（1）2或
（2）
解析：（1）由题意可得,,
因为,
解得或
（2）由空间两点间的距离公式,
得
,
当时,有最小值.
18．答案：(1)；
(2).
解析：(1)设圆M的方程为.
圆M过点,,,
解得,,.
圆M的方程为.
(2)圆M的方程可化为.由
解得,.
圆M过定点.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）；
（3）
解析：（1）由，即，
则，解得，
所以直线过定点；
（2）
如图所示，结合图像可知，
当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立；
当时，直线斜率存在，方程为，
又直线不经过第二象限，则，解得；
综上所述；
（3）已知直线，且由题意知，
令，得，得，
令，得，得，
则，
所以当时，S取最大值，
此时直线l的方程为，即.
20．答案：(1)平均数为71，众数为75；
(2)88；
(3)平均数为76，方差为12.
解析：（1）一至六组的频率分别为0.10，0.15，0.15，0.30，0.25，0.05，
平均数.
由图可知，众数为75.
以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为71分，众数为75分.
（2）前4组的频率之和为，
前5组的频率之和为，
第分位数落在第5组,设为x，则，解得.
“防溺水达人”的成绩至少为88分.
（3）)的频率为0.15，)的频率为0.30，
所以的频率与的频率之比为
的频率与的频率之比为
设内的平均成绩和方差分别为，，
依题意有，解得，
，解得，
所以内的平均成绩为76，方差为12.
21．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）取的中点O，连接，，
在中，.
由平面平面，且交线为，平面，得平面.
O，F分别为，的中点，，且.
又，，，且.
四边形为平行四边形.，
平面.
（2）平面，平面，所以,L，
又因为，所以,,三者两两互相垂直，
以O为原点，所在直线为x轴，过点O与平行的直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系.
则，，.
平面，直线与平面所成的角为.
..
可取平面的法向量，
设平面的法向量，，，
则，取，则，.，
，
二面角的余弦值为.
22．答案：(1)；
(2)
解析：（1）因为，，所以.
因为在菱形中，，，
所以为正三角形，，
正的面积为，四边形的面积为，
而三棱锥和四棱锥有相同的高（点P到平面的距离），
所以其体积之比等于，解得或，
因为，所以.
（2）因为菱形的对角线互相垂直，
设与的交点为O，在翻折的过程中，始终有，，
所以二面角的平面角为，
在棱锥中，显然有，
以O为坐标原点，，分别为x轴、y轴，
过O且与平面垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，，
则，，，，
可得，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，可得，
设平面的法向量为，则，
令，则，，可得，
由题意可得，解得，
且，所以当时，.